Κεφ. 4 - Πολυώνυμα - Πολυωνυμικές Εξισώσεις›4.4 Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 4 - Πολυώνυμα - Πολυωνυμικές Εξισώσεις

§4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α

🎯Η ιδέα

•
Πολλές εξισώσεις δεν είναι πολυωνυμικές, αλλά με κατάλληλη επεξεργασία η λύση τους ανάγεται στη λύση μιας πολυωνυμικής. Εκεί ξαναχρησιμοποιούμε όλα τα εργαλεία της προηγούμενης παραγράφου: ακέραιες ρίζες, σχήμα Horner, παραγοντοποίηση, πίνακα προσήμων.
•
Το βήμα που δεν παραλείπεται ποτέ είναι διπλό: πρώτα γράφουμε πού ορίζεται η εξίσωση, και στο τέλος κρατάμε μόνο όσες ρίζες σέβονται αυτόν τον περιορισμό.
❓ Γιατί:Οι μετασχηματισμοί που κάνουμε εδώ — απαλοιφή παρονομαστών, ύψωση στο τετράγωνο, αντικατάσταση — δεν είναι πάντα ισοδύναμοι. Η τελική εξίσωση μπορεί να έχει ρίζες που η αρχική δεν είχε ποτέ.

➗Κλασματικές εξισώσεις

•
Βήμα 1: γράφουμε τους περιορισμούς. Κάθε παρονομαστής πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός.
•
Βήμα 2: πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το κοινό παρονομαστή. Οι παρονομαστές φεύγουν και μένει πολυωνυμική εξίσωση, την οποία λύνουμε με παραγοντοποίηση.
•
Βήμα 3: απορρίπτουμε όσες ρίζες παραβιάζουν τους περιορισμούς του πρώτου βήματος.
💡 Παράδειγμα:
Μια εξίσωση με παρονομαστές $2 x - 1$ και $x$ ορίζεται για $x$ διάφορο του 0 και του $\frac{1}{2}$ .Αν καταλήξει στην $(2 x - 1) (x^{3} + 1) = 0$ , οι ρίζες της τελευταίας είναι $\frac{1}{2}$ και −1 — αλλά δεκτή είναι μόνο η $x = - 1$ .

📐Άρρητες εξισώσεις

•
Άρρητη λέγεται η εξίσωση που έχει τον άγνωστο κάτω από ρίζα. Πρώτα γράφουμε το πεδίο ορισμού: κάθε υπόρριζο πρέπει να είναι μη αρνητικό.
•
Απομονώνουμε το ριζικό στο ένα μέλος και υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο. Αν τα ριζικά είναι δύο, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία.
•
Η ύψωση στο τετράγωνο ΔΕΝ δίνει ισοδύναμη εξίσωση. Μπορεί να προσθέσει ρίζες που δεν ήταν ποτέ λύσεις της αρχικής, γι αυτό η επαλήθευση κάθε ρίζας στην ΑΡΧΙΚΗ εξίσωση είναι υποχρεωτική.
❓ Γιατί:Δύο αντίθετοι αριθμοί έχουν το ίδιο τετράγωνο. Υψώνοντας, χάνουμε την πληροφορία του προσήμου — και μαζί της τη διάκριση ανάμεσα σε μια αληθινή και μια ψεύτικη λύση.
•
Ένα παράδειγμα που δείχνει ακριβώς αυτό:
💡 Παράδειγμα:
$H εξ \overset{ι}{ˊ} σωση x = x - 2 ορ \overset{ι}{ˊ} ζεται για x \geq 0.$
$M ε \overset{υ}{ˊ} ψωση στο τετρ \overset{α}{ˊ} γωνο δ \overset{ι}{ˊ} νει x^{2} - 5 x + 4 = 0, μ ε ρ \overset{ι}{ˊ} ζες 1 και 4.$
Η επαλήθευση δείχνει ότι μόνο η $x = 4$ είναι λύση: για $x = 1$ το δεξί μέλος βγαίνει αρνητικό, ενώ η ρίζα δεν είναι ποτέ αρνητική.

🔁Αλλαγή μεταβλητής

•
Όταν η ίδια παράσταση επαναλαμβάνεται μέσα στην εξίσωση, τη θέτουμε ίση με $t$ . Η εξίσωση γίνεται πολυωνυμική ως προς $t$ και λύνεται με τα γνωστά.
•
Λύνουμε ως προς $t$ και μετά επιστρέφουμε στον αρχικό άγνωστο. Εκεί μπαίνουν οι περιορισμοί της αντικατάστασης, και συχνά κόβουν λύσεις.
💡 Παράδειγμα:
$Σ ε εξ \overset{ι}{ˊ} σωση μ ε η μx, η μ^{2} x και η μ^{3} x θ \overset{ε}{ˊ} τουμε t = η μx, οπ \overset{ο}{ˊ} τε - 1 \leq t \leq 1.$
$Μια ρ \overset{ι}{ˊ} ζα t = 2 της πολυωνυμικ \overset{η}{ˊ} ς απορρ \overset{ι}{ˊ} πτεται αμ \overset{ε}{ˊ} σως, γιατ \overset{ι}{ˊ} καν \overset{ε}{ˊ} να ημ \overset{ι}{ˊ} τονο δεν ε \overset{ι}{ˊ} ναι 2.$
•
Ίδια ιδέα και στις διτετράγωνες εξισώσεις, με $t = x^{2}$ . Εκεί ο περιορισμός είναι ότι δεκτές είναι μόνο οι μη αρνητικές τιμές του $t$ , και κάθε θετική δίνει δύο αντίθετες τιμές του $x$ .

📊Ανισώσεις με πηλίκο

•
Το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι πάντα ομόσημα. Άρα μια ανίσωση με κλάσμα γίνεται ανίσωση με γινόμενο, δηλαδή πολυωνυμική:
$A \frac{x}{B} (x) > 0$ $⟺ A (x) \cdot B (x) > 0$
•
Το ίδιο ακριβώς ισχύει και με την αντίθετη φορά:
$A \frac{x}{B} (x) < 0$ $⟺ A (x) \cdot B (x) < 0$
•
Στις ανισώσεις με «μεγαλύτερο ή ίσο» και «μικρότερο ή ίσο» κρατάμε ΚΑΙ τον περιορισμό ότι ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται:
$A \frac{x}{B} (x) \geq 0$ $⟺ A (x) \cdot B (x) \geq 0 και B (x) \neq = 0$
•
Από εκεί και πέρα δουλεύουμε ακριβώς όπως στην προηγούμενη παράγραφο: παραγοντοποίηση, ρίζες, πίνακας προσήμων, ανάγνωση του αποτελέσματος.
💡 Παράδειγμα:
Η ανίσωση $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$ ισοδυναμεί με $(x - 2) (x + 1) > 0, που$ αληθεύει όταν $x < - 1$ ή $x > 2$ .

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Σε μια κλασματική εξίσωση, αφού απαλείψουμε τους παρονομαστές, κάθε ρίζα της πολυωνυμικής που προκύπτει είναι και ρίζα της αρχικής.

2Πολλαπλής επιλογής

Για ποιες τιμές του

x

ορίζεται η εξίσωση με παρονομαστές

x - 3

και

x + 2

;

3Σωστό / Λάθος

Η ύψωση και των δύο μελών μιας εξίσωσης στο τετράγωνο δίνει πάντα ισοδύναμη εξίσωση.

4Πολλαπλής επιλογής

Η εξίσωση

x = x - 2

έχει:

5Πολλαπλής επιλογής

Σε εξίσωση όπου εμφανίζονται ημx, η

μ^{2}

x

και η

μ^{3}

x

θέτουμε

t = η μx

. Ποιος περιορισμός ισχύει για το

t

;

6Σωστό / Λάθος

Η ανίσωση

A \frac{x}{B} (x) > 0

είναι ισοδύναμη με

την A (x) \cdot B (x) > 0

7Πολλαπλής επιλογής

Η ανίσωση

A \frac{x}{B} (x) \geq 0

είναι ισοδύναμη με:

8Πολλαπλής επιλογής

Στη διτετράγωνη εξίσωση θέτουμε

t = x^{2}

. Αν βρούμε

t = - 4

, τότε:

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

← Προηγούμενο

4.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις

Επόμενο →

5.1 Εκθετική Συνάρτηση