Κεφ. 4 - Πολυώνυμα - Πολυωνυμικές Εξισώσεις›4.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 4 - Πολυώνυμα - Πολυωνυμικές Εξισώσεις

§4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις & ανισώσεις

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🎯Ορισμός · ρίζες · θεμελιώδης ιδέα

•
Πολυωνυμική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής $P (x) = 0$ , όπου $P (x)$ είναι ένα πολυώνυμο. Λύσεις της εξίσωσης είναι οι ρίζες του πολυωνύμου $P (x)$ . $α_{ν} x^{n} + α_{ν - 1} x^{n - 1} + \dots + α_{1} x + α_{0} = 0$
•
Βασική ιδέα: αν παραγοντοποιήσουμε το $P (x)$ σε γινόμενο πρωτοβάθμιων (ή κατά ανάγκη ανώτερων) παραγόντων, τότε η εξίσωση $P (x) = 0$ ισοδυναμεί με «κάποιος από τους παράγοντες $= 0$ ».
$P (x) = (x - ρ_{1}) (x - ρ_{2}) \dots (x - ρ ν) = 0$ $⟺ x = ρ_{1} \overset{η}{ˊ} x = ρ_{2} \overset{η}{ˊ} \dots \overset{η}{ˊ} x = ρ ν$

🔍Θεώρημα ακέραιων ριζών

•
Αν το πολυώνυμο $P (x)$ έχει ακέραιους συντελεστές, τότε κάθε ακέραια ρίζα του είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α_0. $ρ \in Z ρ \overset{ι}{ˊ} ζα του P \Rightarrow ρ ∣ α_{0}$
❓ Γιατί:Αυτό μας επιτρέπει να βρίσκουμε γρήγορα τις ακέραιες ρίζες δοκιμάζοντας μόνο ένα πεπερασμένο σύνολο τιμών — τους διαιρέτες (θετικούς και αρνητικούς) του σταθερού όρου.
•
Παράδειγμα: για $P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ , οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του −6, δηλαδή ±1, ±2, ±3, ±6.

🪜Μέθοδος εύρεσης ριζών

•
Βήμα 1: Βρίσκουμε τους διαιρέτες του σταθερού όρου και τους δοκιμάζουμε στο $P$ . Ψάχνουμε ένα ρ τέτοιο ώστε $P (ρ) = 0$ .
•
Βήμα 2: Όταν βρούμε μια ρίζα ρ, διαιρούμε το $P (x)$ με τον παράγοντα (x − ρ) χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner. Παίρνουμε ένα πολυώνυμο μικρότερου βαθμού (το «πηλίκο»).
•
Βήμα 3: Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία στο μειωμένο πολυώνυμο μέχρι να φτάσουμε σε τριώνυμο 2ου βαθμού (που λύνεται με τον τύπο της διακρίνουσας) ή σε πρωτοβάθμιο.
💡 Παράδειγμα:
$P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6.$
$Δοκιμ \overset{α}{ˊ} ζουμε x = 1 : P (1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓ .$
$H or n er \to πηλ \overset{ι}{ˊ} κο x^{2} - 5 x + 6.$
$Λ \overset{υ}{ˊ} νουμε x^{2} - 5 x + 6 = 0 \to x = 2 \overset{η}{ˊ} x = 3.$
Ρίζες: 1, 2, 3.
❓ Γιατί:Όταν το πηλίκο μετά τη διαίρεση γίνει τριώνυμο 2ου βαθμού, χρησιμοποιούμε τον τύπο της διακρίνουσας — δεν χρειάζεται άλλη δοκιμή.
📎 Δες και:

🔢Πλήθος ριζών · πολλαπλότητα

•
Ένα πολυώνυμο βαθμού $ν \geq 1$ έχει το πολύ ν διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
❓ Γιατί:Κάθε πραγματική ρίζα δίνει έναν παράγοντα (x − ρ), και ο βαθμός του γινομένου τους δεν μπορεί να ξεπερνά τον βαθμό του $P$ .
•
Αν το (x − ρ)ᵏ είναι παράγοντας του $P (x)$ αλλά το (x − ρ)ᵏ⁺¹ δεν είναι, η ρ λέγεται ρίζα πολλαπλότητας κ.
💡 Παράδειγμα:
Στο $P (x) = (x - 2)^{3} \cdot (x + 1)$ , η $ρ = 2$ είναι ρίζα πολλαπλότητας 3, και η $ρ = - 1$ είναι απλή ρίζα (πολλαπλότητας 1).
•
Αν μετράμε τις ρίζες με την πολλαπλότητά τους, το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με τον βαθμό ν του πολυωνύμου (όταν όλες οι ρίζες είναι πραγματικές).

🧩Ειδικές περιπτώσεις

•
Διτετράγωνες εξισώσεις: $α x^{4} + β x^{2} + γ = 0$ . Λύνουμε με αντικατάσταση $t = x^{2}$ και μετά παίρνουμε $x = \pm t$ (αν $t \geq 0$ ).
💡 Παράδειγμα:
$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0.$
$Θ \overset{ε}{ˊ} τω t = x^{2} : t^{2} - 5 t + 4 = 0 \to t = 1 \overset{η}{ˊ} 4 \to x = \pm 1 \overset{η}{ˊ} x = \pm 2.$
•
Όταν δεν βρίσκουμε εύκολα ρίζα: μπορούμε να ομαδοποιήσουμε όρους για να εμφανιστεί κοινός παράγοντας, ή να χρησιμοποιήσουμε ταυτότητες (διαφορά κύβων κ.λπ.).

🎯Στόχος · στρατηγική

•
Πολυωνυμική ανίσωση είναι κάθε ανίσωση της μορφής $P (x) > 0, P (x) < 0, P (x) \geq 0$ ή $P (x) \leq 0$ , όπου $P$ είναι πολυώνυμο.
•
Στρατηγική: μελετάμε το πρόσημο του $P (x)$ σε καθένα από τα διαστήματα που ορίζουν οι ρίζες του.
•
Στις ρίζες του πολυωνύμου, το $P (x)$ μηδενίζεται. Καθώς το $x$ περνά από μία ρίζα πολλαπλότητας ΠΕΡΙΤΤΗΣ, το $P$ αλλάζει πρόσημο. Καθώς περνά από ρίζα ΑΡΤΙΑΣ πολλαπλότητας, το πρόσημο διατηρείται.
❓ Γιατί:Σκέψου τον παράγοντα $(x - ρ)^{2}$ : είναι πάντα $\geq 0$ — δεν αλλάζει πρόσημο. Σε αντίθεση, ο (x − ρ) αλλάζει από − σε + καθώς το $x$ ξεπερνά τη ρίζα ρ.

📊Πίνακας προσήμων — μέθοδος

•
Βήμα 1: Παραγοντοποιούμε το $P (x)$ σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων (όπου είναι δυνατό) ή/και τριωνύμων με αρνητική διακρίνουσα.
•
Βήμα 2: Βρίσκουμε όλες τις πραγματικές ρίζες (τα σημεία στα οποία το $P$ μπορεί να αλλάξει πρόσημο) και τις τοποθετούμε στη γραμμή σε αύξουσα σειρά.
•
Βήμα 3: Σε κάθε διάστημα που ορίζουν οι ρίζες, υπολογίζουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα και κατόπιν του γινομένου.
•
Βήμα 4: Διαβάζουμε από τον πίνακα τη λύση που ζητάει η ανίσωση.
💡 Παράδειγμα:
$Παρ \overset{α}{ˊ} δειγμα : (x - 1) (x - 3) > 0.$
Ρίζες 1, 3.
$Σ ε x < 1 : ο πρ \overset{ω}{ˊ} τος παρ \overset{α}{ˊ} γοντας ε \overset{ι}{ˊ} ναι - και ο δε \overset{υ}{ˊ} τερος -, γιν \overset{ο}{ˊ} μενο + .$
$Σ ε 1 < x < 3 : ο πρ \overset{ω}{ˊ} τος + και ο δε \overset{υ}{ˊ} τερος -, γιν \overset{ο}{ˊ} μενο - .$
$Σ ε x > 3 : και οι δ \overset{υ}{ˊ} ο +, γιν \overset{ο}{ˊ} μενο + .$
$Άρα η λ \overset{υ}{ˊ} ση ε \overset{ι}{ˊ} ναι x < 1 \overset{η}{ˊ} x > 3.$

🧱Παράγοντες ανώτερου βαθμού · σταθερό πρόσημο

•
Αν στην παραγοντοποίηση εμφανίζεται τριώνυμο 2ου βαθμού με ΑΡΝΗΤΙΚΗ διακρίνουσα $(Δ < 0)$ , αυτό έχει σταθερό πρόσημο σε όλο το ℝ — ομόσημο του συντελεστή α του $x^{2}$ . $α x^{2} + β x + γ, Δ < 0 \Rightarrow ομ \overset{ο}{ˊ} σημο του α παντο \overset{υ}{ˊ}$
❓ Γιατί:Όταν $Δ < 0$ , το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες, οπότε δεν τέμνει τον άξονα $x$ . Η γραφική του παράσταση μένει εξ ολοκλήρου πάνω (αν $α > 0$ ) ή κάτω (αν $α < 0$ ) από τον άξονα.
📎 Δες και:
•
Παράδειγμα: $(x - 2) (x^{2} + 1) > 0$ . Το $x^{2} + 1$ είναι πάντα θετικό ( $Δ = - 4 < 0$ και $α = 1 > 0$ ), οπότε η ανίσωση ισοδυναμεί με $x - 2 > 0$ , δηλαδή $x > 2$ .

🔁Ισοδύναμοι μετασχηματισμοί

•
Πρόσθεση/αφαίρεση του ίδιου αριθμού (ή έκφρασης) και στα δύο μέλη ΔΙΑΤΗΡΕΙ τη φορά της ανίσωσης.
•
Πολλαπλασιασμός/διαίρεση και των δύο μελών με ΘΕΤΙΚΟ αριθμό διατηρεί τη φορά. Με ΑΡΝΗΤΙΚΟ αριθμό, η φορά ΑΛΛΑΖΕΙ.
•
Προσοχή: πολλαπλασιασμός με παράσταση που περιέχει $x$ δεν είναι ασφαλής — γιατί το πρόσημο της παράστασης εξαρτάται από το $x$ . Σε τέτοιες περιπτώσεις πρέπει να εξετάσουμε χωριστά τις περιπτώσεις προσήμου.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Οι λύσεις της πολυωνυμικής εξίσωσης

P (x) = 0

είναι ακριβώς οι ρίζες του πολυωνύμου

P (x)

2Σωστό / Λάθος

Αν ένα πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές, τότε κάθε διαιρέτης του σταθερού όρου είναι οπωσδήποτε ρίζα του.

3Πολλαπλής επιλογής

Ποιες είναι οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου

P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 6

;

4Πολλαπλής επιλογής

Ποια από τις παρακάτω τιμές είναι ρίζα της εξίσωσης

x^{3} - 7 x + 6 = 0

;

5Σωστό / Λάθος

Ένα πολυώνυμο 5ου βαθμού μπορεί να έχει 6 διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

6Πολλαπλής επιλογής

Στο πολυώνυμο

P (x) = (x - 1)^{2} (x + 3)

, η ρίζα

ρ = 1

έχει πολλαπλότητα:

7Πολλαπλής επιλογής

Πόσες πραγματικές ρίζες έχει η διτετράγωνη εξίσωση

x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0

;

8Σωστό / Λάθος

Αν

P (ρ) = 0

, τότε το

x - ρ

είναι παράγοντας του

P (x)

, και με το σχήμα Horner βρίσκουμε πηλίκο βαθμού κατά ένα μικρότερο από τον βαθμό του

P (x)

9Σωστό / Λάθος

Καθώς το

x

περνά από μια ρίζα ΠΕΡΙΤΤΗΣ πολλαπλότητας του

P (x)

, το πολυώνυμο αλλάζει πρόσημο.

10Σωστό / Λάθος

Καθώς το

x

περνά από μια ρίζα ΑΡΤΙΑΣ πολλαπλότητας, το πολυώνυμο αλλάζει πρόσημο.

11Πολλαπλής επιλογής

Η λύση της ανίσωσης

(x - 1) (x - 4) < 0

είναι:

12Πολλαπλής επιλογής

Η ανίσωση

(x - 3) (x^{2} + x + 1) > 0

ισοδυναμεί με:

13Σωστό / Λάθος

Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης με το

- 2

, η φορά της ανίσωσης διατηρείται.

14Πολλαπλής επιλογής

Η λύση της ανίσωσης

(x + 2)^{2} (x - 5) \leq 0

είναι:

15Σωστό / Λάθος

Στην ανίσωση

P (x) \geq 0

, οι πραγματικές ρίζες του

P (x)

συμπεριλαμβάνονται στις λύσεις.

16Πολλαπλής επιλογής

Οι 3 διαφορετικές πραγματικές ρίζες ενός πολυωνύμου χωρίζουν τον άξονα των πραγματικών αριθμών σε:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-ep-m1
Δείξε ότι το πολυώνυμο $P (x) = (x - 1)^{2} (x + 1)$ έχει διπλή ρίζα τον αριθμό 1 και απλή ρίζα $τον - 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
Παραγοντοποίηση δίνει άμεσα τη διπλή ρίζα $x = 1$ (από $(x - 1)^{2}$ ) και απλή $x = - 1$ (από $(x + 1)$ ).
2Μεσαίοlb-4.3-m1
Λύσε $την x^{3} - 7 x + 6 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Δοκιμή $x = 1$ : $1 - 7 + 6 = 0$ ✓.
2. 2
  Διαίρεση: $x^{3} - 7 x + 6 = (x - 1) (x^{2} + x - 6) = (x - 1) (x - 2) (x + 3)$ .
3. 3
  Ρίζες: 1, 2, −3.
3Μεσαίοlb-4.3-m2
Λύσε: $x^{3} + x^{2} - x - 1 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ομαδοποίηση: $x^{2} (x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x^{2} - 1) = (x + 1)^{2} (x - 1)$ .
2. 2
  Ρίζες: $x = - 1$ (διπλή) ή $x = 1$ .
4Μεσαίοlb-4.4-m1
Δίνεται $P (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1 = (2 x - 1) (x^{2} - 1)$ . Λύσε $P (x) > 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $(2 x - 1) (x - 1) (x + 1) > 0$ .
2. 2
  Ρίζες: $- 1, \frac{1}{2}, 1$ .
3. 3
  Πρόσημο: για $x > 1 +$ , για $\frac{1}{2} < x < 1 -$ , για $- 1 < x < \frac{1}{2} +$ , για $x < - 1 -$ .
4. 4
  Λύσεις: $x$ ∈ $(- 1, \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοlb-4.3-h1
Δίνεται $P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ . Δείξε ότι το $x - 1$ είναι παράγοντας και λύσε $P (x) = 0$ .
2Μεσαίοlb-4.3-m2
Λύσε: $x^{3} + x^{2} - x - 1 = 0$ .
3Μεσαίοlb-4.3-m1
Λύσε $την x^{3} - 7 x + 6 = 0$ .
4Μεσαίοlb-4.4-m1
Δίνεται $P (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1 = (2 x - 1) (x^{2} - 1)$ . Λύσε $P (x) > 0$ .
5Μεσαίοlb-ep-m1
Δείξε ότι το πολυώνυμο $P (x) = (x - 1)^{2} (x + 1)$ έχει διπλή ρίζα τον αριθμό 1 και απλή ρίζα $τον - 1$ .
6Δύσκολοlb-ep-h1
Δίνεται $f (x) = 2 x^{3} - 8 x^{2} + 7 x - 1$ . Δείξε ότι έχει ρίζα τον 1.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

∑ Quiz · Πολυώνυμα & Horner

← Προηγούμενο

4.2 Διαίρεση Πολυωνύμων

Επόμενο →

4.4 Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές