Κεφ. 4 - Πολυώνυμα - Πολυωνυμικές Εξισώσεις›4.1 Πολυώνυμα

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 4 - Πολυώνυμα - Πολυωνυμικές Εξισώσεις

§4.1 Πολυώνυμα — πράξεις

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες

📜Ορισμός πολυωνύμου · βαθμός

•
Πολυώνυμο μιας μεταβλητής $x$ ονομάζεται κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α_ν $x^{n} +$ α_ ${ν - 1} x^{n}$ ⁻¹ + … + α_ $1 x +$ α_0, όπου $ν \in N$ και οι συντελεστές α_0, α_1, …, α_ν είναι πραγματικοί αριθμοί. $P (x) = α_{ν} x^{n} + α_{ν - 1} x^{n - 1} + \dots + α_{1} x + α_{0}$
•
Οι αριθμοί α_0, α_1, …, α_ν λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου. Ο α_0 λέγεται σταθερός όρος και ο α_ν (αν είναι μη μηδενικός) λέγεται μεγιστοβάθμιος συντελεστής.
•
Βαθμός ενός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης του $x$ με μη μηδενικό συντελεστή. Συμβολίζεται deg(P).
💡 Παράδειγμα:
$P (x) = 2 x^{3} - 5 x + 7 \overset{ε}{ˊ} χει βαθμ \overset{ο}{ˊ} 3, μεγιστοβ \overset{α}{ˊ} θμιο συν τελεστ \overset{η}{ˊ} 2, και σταθερ \overset{ο}{ˊ} \overset{ο}{ˊ} ρο 7.$
•
Σταθερό πολυώνυμο: μόνο σταθερός όρος, βαθμός 0 (αν α_ $0 \neq = 0$ ). Παράδειγμα: $P (x) = 5$ .
•
Μηδενικό πολυώνυμο: όλοι οι συντελεστές είναι 0, δηλαδή $P (x) = 0$ . Δεν έχει βαθμό (ή κατά σύμβαση −∞).
❓ Γιατί:Το μηδενικό πολυώνυμο είναι «ειδική περίπτωση» που δεν ταιριάζει στον ορισμό του βαθμού, γι’ αυτό αντιμετωπίζεται ξεχωριστά σε όλους τους κανόνες πράξεων.
•
Τιμή πολυωνύμου στο $x_{0}$ : το αποτέλεσμα της αντικατάστασης του $x$ με τον αριθμό $x_{0}$ , δηλαδή $P (x_{0})$ . Λέγεται και αριθμητική τιμή του πολυωνύμου στο $x_{0}$ .
💡 Παράδειγμα:
$Για P (x) = x^{2} - 3 x + 1, \overset{ε}{ˊ} χουμε P (2) = 4 - 6 + 1 = - 1.$
•
Ρίζα πολυωνύμου $P (x)$ λέγεται κάθε αριθμός $ρ \in R$ για τον οποίο $P (ρ) = 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$Για P (x) = x^{2} - 4, οι ρ \overset{ι}{ˊ} ζες ε \overset{ι}{ˊ} ναι 2 και - 2 (αφο \overset{υ}{ˊ} 4 - 4 = 0 και 4 - 4 = 0) .$

🟰Ισότητα πολυωνύμων

•
Δύο πολυώνυμα $P (x)$ και $Q (x)$ λέγονται ίσα, και γράφουμε $P (x) = Q (x)$ , όταν έχουν τους ίδιους συντελεστές σε κάθε δύναμη του $x$ .
•
Συνέπεια: αν $P (x) = Q (x)$ , τότε $P (x_{0}) = Q (x_{0})$ για κάθε $x_{0}$ ∈ ℝ. Ισχύει και το αντίστροφο: αν $P (x) = Q (x)$ για κάθε πραγματικό $x$ , τότε τα δύο πολυώνυμα είναι ίσα.
❓ Γιατί:Η ισότητα τιμών σε ΟΛΑ τα $x$ είναι ισοδύναμη με την ισότητα συντελεστών — γι’ αυτό χρησιμοποιείται η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών για την εύρεση αγνώστων παραμέτρων.

➕Πρόσθεση & αφαίρεση πολυωνύμων

•
Για να προσθέσουμε δύο πολυώνυμα, προσθέτουμε τους συντελεστές των ίδιων δυνάμεων του $x$ . Για να αφαιρέσουμε, αφαιρούμε τους αντίστοιχους συντελεστές.
💡 Παράδειγμα:
$(2 x^{3} - x + 4) + (x^{3} + 3 x - 1) = 3 x^{3} + 2 x + 3.$
•
Ο βαθμός του αθροίσματος $P (x)$ + $Q (x)$ είναι το πολύ ίσος με τον μεγαλύτερο από τους βαθμούς των $P$ και $Q$ . Συνήθως είναι ίσος, αλλά μπορεί να είναι μικρότερος αν οι μεγιστοβάθμιοι συντελεστές αναιρεθούν.
💡 Παράδειγμα:
$(2 x^{3} + 1) + (- 2 x^{3} + x) = x + 1, βαθμο \overset{υ}{ˊ} 1 (\overset{ο}{ˊ} χι 3) .$

✖️Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

•
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα, εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα: κάθε όρος του πρώτου πολλαπλασιάζεται με κάθε όρο του δεύτερου, και μετά μαζεύουμε όμοιους όρους.
💡 Παράδειγμα:
$(x + 2) (x^{2} - 1) = x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1) + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot (- 1) = x^{3} - x + 2 x^{2} - 2 = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2.$
•
Ο βαθμός του γινομένου $P (x)$ · $Q (x)$ ισούται με το άθροισμα των βαθμών (όταν κανένα από τα δύο πολυώνυμα δεν είναι το μηδενικό). $d e g (P \cdot Q) = d e g (P) + d e g (Q)$
•
Ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του γινομένου ισούται με το γινόμενο των μεγιστοβάθμιων συντελεστών των δύο πολυωνύμων.
💡 Παράδειγμα:
Για $P (x) = 2 x^{2} +$ … και $Q (x) = 3 x +$ …, ο μεγιστοβάθμιος του $P$ · $Q$ είναι $2 \cdot 3 = 6$ , στη δύναμη $x^{3}$ .

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Το πολυώνυμο

P (x) = 3 x^{4} - x^{2} + 5

έχει βαθμό 4 και σταθερό όρο 5.

2Πολλαπλής επιλογής

Το μηδενικό πολυώνυμο

P (x) = 0

3Σωστό / Λάθος

Ο βαθμός του αθροίσματος δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι πάντα ίσος με τον μεγαλύτερο από τους βαθμούς τους.

4Πολλαπλής επιλογής

Αν το

P (x)

έχει βαθμό 3 και το

Q (x)

έχει βαθμό 2 (κανένα μηδενικό), τότε ο βαθμός του γινομένου

P (x) \cdot Q (x)

είναι:

5Σωστό / Λάθος

Ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου

P (x) = x^{2} - 5 x + 6

6Πολλαπλής επιλογής

Δύο πολυώνυμα

P (x)

και

Q (x)

είναι ίσα όταν:

7Πολλαπλής επιλογής

Αν

P (x) = 2 x^{3} + \dots

και

Q (x) = - 3 x^{2} + \dots

(με τους μεγιστοβάθμιους όρους που φαίνονται), τότε ο μεγιστοβάθμιος όρος του

P (x) \cdot Q (x)

είναι:

8Σωστό / Λάθος

Το πολυώνυμο

P (x) = 7

έχει βαθμό 1.

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοlb-4.1-e2
Δίνεται $P (x) = (x - 2) (x^{6} - 1)$ . Ποιος ο βαθμός του $P (x)$ ;
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
Βαθμός $= 1 + 6 = 7$ .
2Εύκολοlb-4.1-e1
Δίνεται $P (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 (x^{3} + 1) + 9$ . Βρες αν είναι 3ου βαθμού.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $P (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} - 2 + 9 = 4 x^{2} + 7$ .
2. 2
  Βαθμός 2, όχι 3.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

∑ Quiz · Πολυώνυμα & Horner

← Προηγούμενο

3.10 Επίλυση Τριγώνου

Επόμενο →

4.2 Διαίρεση Πολυωνύμων