Αυτούσια θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων του ΙΕΠ · 0 λυμένα · 60 προς λύση
Τι θα τυπωθεί:60 από 60
Ονοματεπώνυμο
Τμήμα
Ημερομηνία
✏️ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Αυτούσια θέματα εξετάσεων, χωρίς λύσεις — όπως θα τα δεις στο διαγώνισμα.
4.1 Πολυώνυμα
1.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15113Δίνονται τα πολυώνυμα: P(x)=−2x3+4x2+2(x3−1)+9 και Q(x)=αx2+7,α ∈ ℝ.
α)Είναι το πολυώνυμο P(x) 3ου βαθμού; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Να βρείτε την τιμή του α, ώστε τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) να είναι ίσα.
2.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20640Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3−8x2+7x−1.
α)Να αποδείξετε ότι έχει ρίζα τον αριθμό 1.
β)Έστω Q(x) πολυώνυμο το οποίο δεν έχει ρίζα τον αριθμό 1. i. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο R1(x)=P(x)+Q(x)δεν έχει ρίζα τον αριθμό 1. ii. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο R2(x)=P(x)⋅Q(x) έχει ρίζα τον αριθμό 1.
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21998Δίδεται το πολυώνυμο P(x)=(x−2)(x6+1).
α)Ποιος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου P(x); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Να βρείτε όλες τις ρίζες του πολυωνύμου P(x).
4.2 Διαίρεση Πολυωνύμων
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14981Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3−x+6.
α)Να υπολογίσετε το P(−2).
β)Να αποδείξετε ότι το x+2 είναι παράγοντας του P(x).
γ)Να παραγοντοποιήσετε το P(x).
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15012Η διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x) με το x−3 έχει πηλίκο x2+2 και υπόλοιπο 4.
α)Να γράψετε την ταυτότητα της παραπάνω διαίρεσης.
β)Να δείξετε ότι P(x)=x3−3x2+2x−2.
γ)Είναι το x=3 ρίζα του πολυωνύμου P(x); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15096Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3+x2−3x+1.
α)Να αποδείξετε ότι το 1 και το −1δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου.
β)Να κάνετε τη διαίρεση του P(x) : (x2+x−1) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15642Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2(x−1)20−3(x−1)10+5x2−3x−2.
α)Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x−1.
β)i. Να υπολογίσετε την τιμή P(0). ii. Είναι το x παράγοντας του πολυωνύμου P(x); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15643Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3−3x2−11x+6.
α)i. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x−3. ii. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης P(x) : (x−3).
β)Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το (x−3)(2x−1).
9.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20941Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+2x2+x+3.
α)Να δείξετε ότι το −2δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου.
β)Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης P(x) : (x+2).
γ)Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : (x+2).
10.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21997Δίδεται το πολυώνυμο P(x)=(x−1)(x−2)(x−3).
α)Ποιος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου P(x); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Ποιο είναι το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x) που προκύπτει από την διαίρεση P(x) : (x−2);
4.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις
11.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15040Δίνεται η εξίσωση x3−7x+6=0.
α)Να εξετάσετε αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα της.
β)Με τη βοήθεια του σχήματος Horner ή με όποιο άλλο τρόπο θέλετε, να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης (x3−7x+6) : (x−1) και να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.
γ)Να λύσετε την εξίσωση x3−7x+6=0.
12.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15047Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x4−x3−5x2+7x−2.
α)Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου.
β)Να εξετάσετε αν το πολυώνυμο έχει και άλλη ακέραια ρίζα.
13.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15175Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3−x2+x−1.
α)Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου.
β)Να αποδείξετε ότι P(x)=(x−1)(x2+1).
γ)Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.
14.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15248Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με το πολυώνυμο 2x−1 δίνει πηλίκο x2−2 και υπόλοιπο 1.
α)Να βρείτε το πολυώνυμο P(x).
β)Αν P(x)=2x3−x2−4x+3, i. να αποδείξετε ότι το P(x) έχει ρίζα το 1 και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : (x−1). ii. να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.
15.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15618Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3+x2−x.
α)Να γράψετε το πολυώνυμο P(x)=2x3+x2−x ως γινόμενο ενός πρωτοβάθμιου και ενός δευτεροβάθμιου πολυωνύμου.
β)Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.
16.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15654Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3−7x+6.
α)Να δείξετε ότι το x−2 είναι παράγοντας του P(x).
β)Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.
17.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15695Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+2x−3,x ∈ ℝ.
α)Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x+1) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
β)Να λύσετε την εξίσωση P(x)+6=0.
18.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15989Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3−2x2−2x+4.
α)Δίνεται ότι το πολυώνυμο P(x) έχει μοναδική ακέραια ρίζα. Να προσδιορίσετε τη μοναδική ακέραια ρίζα του πολυωνύμου P(x).
β)Να βρείτε όλες τις ρίζες του P(x) και να το γράψετε ως γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων.
19.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15176Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3−2x2+3x−2.
α)Να αποδείξετε ότι το x−1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου.
β)Αν P(x)=(x−1)(x2−x+2), να βρείτε για ποιες τιμές του x είναι P(x)>0.
20.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15246Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+x2−x−1.
α)Να παραγοντοποιήσετε το P(x).
β)Αν P(x)=(x+1)2(x−1) να λύσετε την ανίσωση P(x)≥0.
21.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15247Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3−x2+2x−1.
α)Να παραγοντοποιήσετε το P(x).
β)Αν P(x)=(2x−1)(x2+1) να λύσετε την ανίσωση P(x)≥0.
22.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15653Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+x2+2x+2.
α)i. Να κάνετε τη διαίρεση του P(x) με το (x+1). ii. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : (x+1).
β)Αν P(x)=(x+1)(x2+2), να λύσετε την ανίσωση P(x)<0.
23.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15674Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=3x3−x2−x+2.
α)Να κάνετε τη διαίρεση P(x) : (x−1) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
β)Αν P(x)=(x−1)(3x2+2x+1)+3, να λύσετε την ανίσωση P(x)<3.
24.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #17241Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+x+2.
α)i. Να αποδείξετε ότι το P(x) έχει παράγοντα το (x+1). ii. Να κάνετε τη διαίρεση P(x) : (x+1).
β)Αν P(x)=(x+1)(x2−x+2), να λύσετε την ανίσωση P(x)<0.
25.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #18583Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3−x2−8x+4.
α)i. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x−2). ii. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : (x−2).
β)Αν P(x)=(2x−1)(x2−4), να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.
26.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20856Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x3+x2+x−1, με x∈R.
α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0δεν έχει ακέραιες ρίζες.
β)Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. i. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ρίζα. ii. Να αποδείξετε ότι η ρίζα αυτή βρίσκεται στο (0, 1).
27.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #18230Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3+x2−8x−4.
α)Να αποδείξετε ότι έχει παράγοντα το (x−2).
β)Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο.
γ)Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.
28.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14955Η μέση θερμοκρασία Τ (σε βαθμούς Κελσίου) στην επιφάνεια ενός πλανήτη, μετά από x εκατομμύρια χρόνια, έχει εκτιμηθεί ότι είναι T(x)=x3−10x2+31x−30.
α)Αποδείξτε ότι 2 εκατομμύρια χρόνια μετά, η μέση θερμοκρασία στον πλανήτη θα είναι μηδέν βαθμοί Κελσίου.
β)Να βρείτε τους αριθμούς α, β, γ με α<β<γ ώστε να ισχύει T(x)=(x−α)(x−β)(x−γ).
γ)Θεωρούμε ότι μια χρονική περίοδος παγετώνων στον πλανήτη είναι αυτή στην οποία η μέση θερμοκρασία Τ είναι συνεχώς κάτω από μηδέν βαθμούς Κελσίου. Ποιες χρονικές περιόδους θα έχουμε παγετώνες στον πλανήτη;
29.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15005Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x6−3x2+2.
α)Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.
β)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x΄x.
γ)Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της f για x≤0. Να συμπληρώσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για x>0.
δ)Με βάση τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα.
30.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15066Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)=2x4−5x3+4x2−5x+2.
α)Να αποδείξετε ότι: i. Ο αριθμός 0 δεν είναι ρίζα του. ii. Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα του, τότε και ο αριθμός ρ1 είναι επίσης ρίζα του.
β)Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό που να είναι ρίζα του.
γ)Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.
δ)Να λύσετε την ανίσωση P(x)<0.
31.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15037Στο σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=x+3 και g(x)=3x−1.
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τη μονοτονία των συναρτήσεων f, g.
β)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x).
γ)i. Να λύσετε γραφικά την ανίσωση f(x)<g(x). ii. Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το αποτέλεσμα του i ερωτήματος.
32.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15094Το διάστημα S(t) σε μέτρα που έχει διανύσει ένα κινητό τη χρονική στιγμή t σε δευτερόλεπτα, δίνεται από τη σχέση S(t)=2t3−6t2+10t.
α)Να βρείτε το διάστημα που έχει διανύσει το κινητό τις χρονικές στιγμές t=0 και t=2.
β)Να βρείτε πόσο χρόνο χρειάζεται το κινητό για να διανύσει απόσταση 30 μέτρων.
γ)Επειδή το S(t) εκφράζει το διάστημα που διανύει το κινητό, θα πρέπει να είναι πάντα μη αρνητικό. Να αποδείξετε αλγεβρικά αυτόν τον ισχυρισμό.
δ)Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών πολυωνύμων S(t). Μία από αυτές εκφράζει το διάστημα S(t) της εκφώνησης. Να βρείτε ποια από τις τρεις είναι αυτή, δικαιολογώντας την απάντησή σας.
33.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15174Δίνονται τα πολυώνυμα P(x)=x4+x3+αx−4 και δ(x)=x2−3x+2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το δ(x), είναι το πολυώνυμο υ(x)=24x−24.
α)Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α.
β)Για α=2, i. να υπολογίσετε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x−1. ii. να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα x΄x με την γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης P(x). iii. να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες, η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης P(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.
34.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15250Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x5−4x3−x2+αx+β, το οποίο διαιρούμενο με το x2−4 δίνει υπόλοιπο 4x+1.
α)Να κάνετε τη διαίρεση P(x) : (x2−4).
β)Να βρείτε τις τιμές των α και β.
γ)Έστω α=4 και β=5. Αν το πηλίκο της διαίρεσης P(x) : (x2−4) είναι το π(x)=x3−1, τότε: i. να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : (x2−4). ii. να λύσετε την ανίσωση P(x)<4x+1.
35.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15436Ένας κολυμβητής βρίσκεται στη θάλασσα, στο σημείο Β σε απόσταση 2 km από το κοντινότερο σημείο Α μιας ευθύγραμμης ακτής. Ο προορισμός του είναι ένα σημείο Κ της ακτής, το οποίο απέχει 4 km από το Α. Η διαδρομή που κάνει είναι η ΒΜ κολυμπώντας στη θάλασσα με σταθερή ταχύτητα 3km/h και η ΜΚ τρέχοντας στην ακτή με σταθερή ταχύτητα 5km/h. Γνωρίζουμε ότι η σχέση μεταξύ του διαστήματος που διανύεται, της ταχύτητας και του αντίστοιχου χρόνου κίνησης είναι υ=ts, δηλαδή t=υs. Αν το σημείο Μ απέχει από το Α απόσταση x km, τότε:
α)Να αποδείξετε ότι BM=4+x2.
β)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση που εκφράζει τον χρόνο κίνησης t (σε h) του κολυμβητή-δρομέα ως προς την απόσταση x (σε km) είναι η t(x)=34+x2+54−x, με x∈[0,4].
γ)Να βρείτε τη θέση του σημείου Μ της ακτής, έτσι ώστε ο χρόνος της διαδρομής του κολυμβητή να είναι 34 ώρες.
36.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15431Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3+αx2+βx−5, με x∈R.
α)i. Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντα το (x−1) και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με (x−2) είναι −1, να δείξετε ότι 2α+β=−6 και α+β=3. ii. Να δείξετε ότι α=−9 και β=12.
β)Να βρείτε τις τιμές του x∈R για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)=2x3−9x2+12x−5 είναι κάτω από τον άξονα x΄x.
γ)Αν η γραφική παράσταση της P(x) είναι η παρακάτω, να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της.
37.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15677Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x4−2x3−x2+αx+β, όπου α, β∈R.
α)Να βρείτε τις τιμές των α, β, αν είναι γνωστό ότι το P(x) διαιρείται με το πολυώνυμο Q(x)=x2−2x+1.
β)Για α=4,β=−2: i. Να κάνετε τη διαίρεση P(x) : (x2+5) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. ii. Αν P(x)=(x2+5)(x2−2x−6)+14x+28 να λύσετε την εξίσωση P(x)=14(x+2).
38.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15960Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x4+κx−1, με κ∈R.
α)Να βρείτε την τιμή του κ∈R για την οποία f(−x)=f(x) για κάθε x∈R.
β)Για κ=0, i. να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (−∞,0]. ii. να δείξετε ότι f(x)≥−1 για κάθε x∈R. iii. να βρείτε τα x∈R για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.
39.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15790Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x4−3x2−4 και g(x)=−x2+4 με πεδίο ορισμού το ℝ.
α)Να δείξετε ότι f(−x)=f(x) και g(−x)=g(x) για κάθε x∈R.
β)Στο παρακάτω σχήμα δίνεται μέρος των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. Αφού μεταφέρετε το σχήμα στην κόλλα σας, να συμπληρώσετε τις γραφικές παραστάσεις σε όλο το ℝ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ)Να λύσετε, αλγεβρικά ή γραφικά: i. την εξίσωση f(x)=g(x) ii. την ανίσωση f(x)<g(x).
40.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #17919Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=(41)x3−x, με x∈R, και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A(1,−43) και B(4,−3).
α)Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ.
β)i. Να αποδείξετε ότι f(−x)=−f(x) για κάθε x∈R. ii. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας το σχήμα και να συμπληρώσετε τη γραφική παράσταση της f για x<0.
γ)Αν η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση y=−(43)x, με χρήση του β) ερωτήματος ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας με την γραφική παράσταση της f.
41.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #17943Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με εμβαδό E=60cm2, του οποίου η υποτείνουσα είναι κατά 2 cm μεγαλύτερη από τη μία κάθετη πλευρά. Αν ονομάσουμε x το μήκος αυτής της κάθετης πλευράς και y το μήκος της άλλης κάθετης (σε cm), τότε:
α)i. Να δείξετε ότι y=x120. ii. Αφού εκφράσετε όλες τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου συναρτήσει του x, να δείξετε ότι ο αριθμός x ικανοποιεί την εξίσωση x3+x2−3600=0.
β)Αν γνωρίζετε ότι το μήκος της πλευράς x είναι αριθμός ακέραιος και μικρότερος του 16, να βρείτε την τιμή του x καθώς και τα μήκη των άλλων πλευρών του τριγώνου.
γ)Να βρείτε το πλήθος των ορθογωνίων τριγώνων που ικανοποιούν τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
42.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #17925Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=(41)x4+αx2, με x∈R και α∈R, και το σημείο A(−1,−43) αυτής.
α)Να δείξετε ότι α=−1.
β)Για α=−1, i. Να αποδείξετε ότι f(−x)=f(x) για κάθε x∈R. ii. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας το σχήμα και να συμπληρώσετε τη γραφική παράσταση της f για x>0.
γ)Αφού επιβεβαιώσετε ότι f(−3)=−43, με χρήση του β) ερωτήματος ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας y=−43 με την γραφική παράσταση της f.
43.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18221Στο παρακάτω σχήμα, δίνεται η παραβολή y=3−x2 και τα σημεία της Γ, Δ. Δίνεται ακόμα ότι το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με α∈(0,3).
α)Αν Ε είναι το εμβαδό του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, τότε: i. να αποδείξετε ότι για κάθε α∈(0,3) είναι E=f(α)=−2α3+6α τετραγωνικές μονάδες. ii. να βρεθεί το εμβαδό Ε στη θέση α=1.
β)Να αποδείξετε ότι το εμβαδό Ε δεν μπορεί να ξεπεράσει τις 4 τετραγωνικές μονάδες.
γ)Να βρεθεί η θέση του α, ώστε το εμβαδό Ε να πάρει τη μέγιστη τιμή του.
44.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18696Στο σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=x3+3x2−4 και g(x)=4x−4 με x∈R.
α)Από τη γραφική παράσταση της f, να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της.
β)Να λύσετε γραφικά και αλγεβρικά την εξίσωση f(x)=g(x).
γ)Να βρείτε αλγεβρικά τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης g είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
45.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21155Στον πίνακα μιας σχολικής τάξης είναι γραμμένο το πολυώνυμο P(x)=x3+αx2+bx+c, όπου οι συντελεστές α, b, c είναι μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί. Δύο μαθητές, ο Α και ο Β, παίζουν ένα παιχνίδι, επιλέγοντας τιμές για τους συντελεστές ως εξής: πρώτα ο Α επιλέγει τιμή για κάποιον συντελεστή, μετά ο Β επιλέγει τιμή για έναν από τους δύο εναπομείναντες συντελεστές και τέλος ο Α επιλέγει τιμή για τον συντελεστή που έμεινε. Προσπαθούν να επιλέξουν τους α, b, c ώστε το P(x) να ικανοποιεί κάποια συγκεκριμένη συνθήκη.
α)Έστω ότι ο μαθητής Α επιλέγει α=2, μετά ο Β επιλέγει b=1 και τέλος ο Α επιλέγει πάλι c=2. Να αποδείξετε ότι το P(x) θα έχει τότε ως μοναδική ρίζα τον αριθμό −2.
β)Ο μαθητής Α επιλέγει α=−1. Να αποδείξετε ότι ανεξάρτητα πως θα παίξει ο μαθητής Β, ο Α μπορεί μετά να επιλέξει συντελεστή έτσι ώστε το P(x) να έχει παράγοντα το πολυώνυμο x−1.
γ)Ο μαθητής Α επιλέγει c=1. Να αποδείξετε ότι ανεξάρτητα πως θα παίξει ο μαθητής Β, ο Α μπορεί μετά να επιλέξει συντελεστή έτσι ώστε το P(x) να έχει σίγουρα ρίζα στο διάστημα (−1, 0).
δ)Ο μαθητής Α επιλέγει c=2022. Να αποδείξετε ότι όπως και να επιλεγούν μετά οι συντελεστές α και b είναι αδύνατον το P(x) να έχει ως ρίζα τον αριθμό 13.
46.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #22013Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x4+1.
α)Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) δεν έχει πραγματικές ρίζες.
β)Να βρείτε δύο αριθμούς α, β τέτοιους ώστε: x4+1=(x2+αx+1)⋅(x2+βx+1).
γ)Θεωρούμε την ακόλουθη πρόταση: «Κάθε πολυώνυμο που μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πολυωνύμων μικρότερου μη μηδενικού βαθμού, έχει πραγματικές ρίζες». Είναι η πρόταση αυτή Σωστή ή Λάθος; Αν η πρόταση είναι σωστή, να δώσετε απόδειξη. Αν η πρόταση είναι λάθος, να δώσετε αντιπαράδειγμα.
47.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20859Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3−4x2+x+6x2−2x−3.
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
β)Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή.
γ)i. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. ii. Αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=x1 είναι η παρακάτω, να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
δ)Να λύσετε την εξίσωση: ∣f1(x)∣=1.
48.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #37475Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3−x2−2x+1. Να αποδείξετε ότι:
α)το P(x) έχει παράγοντα το x−1 και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : (x−1).
β)P(x)<0 για κάθε x ∈ (−∞,−1)∪(21,1).
γ)21<συνθ <1 για κάθε γωνία θ∈(0,3π).
δ)P(συνθ)<0 για κάθε γωνία θ∈(0,3π).
4.4 Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές
49.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15187Για τη γωνία ω του παρακάτω σχήματος ισχύει 5ημ3ω−8ημ2ω−7ημω +6=0.
α)Να δείξετε ότι ημω =53.
β)Να βρείτε: i. την τιμή του συνω, ii. τις συντεταγμένες των σημείων Β, Γ και Δ, iii. το ημίτονο και το συνημίτονο των θετικών γωνιών ΑΟΒ, ΑΟΓ και ΑΟΔ.
50.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15270Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [0,+∞).
α)Να βρείτε την μονοτονία της και την μέγιστη τιμή της.
β)Αν f(41)=21 και 0<α<41<β, να βρείτε το πρόσημο του γινομένου P=(2f(α)−1)(2f(β)−1).
γ)Έστω ότι η συνάρτηση του προβλήματος είναι η f(x)=1−x, με x≥0. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης με την ευθεία y=2x.
51.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15377Μία κυβική δεξαμενή Α έχει ακμή με μήκος x μέτρα. Αν αυξηθεί η μία μόνο ακμή της κατά μία μονάδα θα μετατραπεί στη δεξαμενή Β σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με τετράγωνη βάση.
α)Να βρείτε τη διαφορά Δ(x) των όγκων των δύο δεξαμενών ως συνάρτηση του x.
β)Αν ο όγκος της δεξαμενής Β είναι 36 κυβικά μέτρα να βρείτε: i. Τις διαστάσεις των δεξαμενών Α και Β. ii. Τη διαφορά των όγκων Δ(x).
γ)Αν επιπλέον αυξηθεί η μία ακμή της βάσης της δεξαμενής Β κατά 2 μονάδες, να βρείτε τη μικρότερη τιμή του x ώστε ο όγκος της νέας δεξαμενής Γ να είναι τουλάχιστον 60 κυβικά μέτρα.
52.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #17941Δίνεται η εξίσωση 2−x+x+2=α, με α∈R.
α)Να βρείτε τις τιμές του x∈R για τις οποίες ορίζεται η εξίσωση.
β)Να λύσετε την εξίσωση για α=0.
γ)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=2−x+x+2 είναι άρτια.
δ)Να αποδείξετε ότι: i. Για α=22 η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα. ii. Για α=22, αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό ρ∈[−2,2] τότε θα έχει ως ρίζα και τον αριθμό −ρ.
53.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18111Δίνονται οι συναρτήσεις g, με g(x)= ∛x όταν x≥0 και g(x)=−∛(−x) όταν x<0, και h(x)=x3−x, με x∈R.
α)i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι περιττή. ii. Να συμπληρώσετε το παρακάτω σχήμα ώστε να παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h. iii. Χωρίς να χρησιμοποιήσετε το παραπάνω σχήμα, να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h με τον άξονα x΄x.
β)Αν x≥0 να αποδείξετε ότι: η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από την ευθεία ε: y=x αν και μόνο αν η γραφική παράσταση της h βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.
54.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18713Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3−αx2+2x+β, με α, β∈R. Αν P(1)=2 και το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x−2) ισούται με 15,
α)Να δείξετε ότι P(x)=2x3−x2+2x−1.
β)i. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο π(x)=x2+1 είναι παράγοντας του P(x). ii. Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0.
γ)Να λύσετε την εξίσωση συν3x+συνx=1−(21)ημ2x, με x∈(0,2π).
55.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20647Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=αx3+βx2−βx+3, με α, β∈R. Αν είναι γνωστό ότι έχει ρίζα τον αριθμό 2, τότε:
α)Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον ένας συντελεστής του δεν είναι ακέραιος.
β)Αν επιπλέον P(1)=0, να αποδείξετε ότι α=−3 και β=221.
γ)Να λύσετε την ανίσωση P(x)≤0.
δ)Να λύσετε την εξίσωση P(συνx)=0.
56.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20731Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x4+6x2−7.
α)Να δείξετε ότι το πολυώνυμο x−1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου.
β)Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο P(x) σε πολυώνυμα πρώτου ή δευτέρου βαθμού.
γ)i. Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0. ii. Αν οι αριθμοί −1 και 1 είναι οι ρίζες της εξίσωσης P(x)=0, να λύσετε την εξίσωση (2ημx−1)4+6(2ημx−1)2−7=0, για x∈R.
57.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20752Δύο συμμαθητές, ο Αλέξανδρος και ο Φίλιππος, που κάθονται στο ίδιο θρανίο σχεδιάζουν τον τριγωνομετρικό κύκλο σε μιλιμετρέ χαρτί και στη συνέχεια, προσπαθώντας να υπολογίσουν τις συντεταγμένες ενός δοσμένου σημείου Μ αυτού του κύκλου, διαφωνούν στην απάντησή τους. Ο Αλέξανδρος εκτιμά ότι οι συντεταγμένες του σημείου Μ είναι Μ(0,8 , 0,6) ενώ ο Φίλιππος εκτιμά ότι οι συντεταγμένες του είναι Μ(1 , 1).
α)Ποιος από τους δύο έχει σίγουρα άδικο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Αν υποθέσουμε ότι το σημείο του οποίου υπολογίστηκαν σωστά οι συντεταγμένες του είναι το Μ(0,8 , 0,6): i. να αιτιολογήσετε ότι ημω =0,6 και συνω =0,8. ii. να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A=ημ(π−ω)−2συν(2π−ω)+εφ(−ω)+σφ(π+ω).
γ)Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x)=5συνω⋅x3−10ημω⋅x2+5x−3, με x∈R, όπου ω η γωνία που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα. Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.
58.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20759Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΜ που βλέπετε στο παρακάτω σχήμα είναι (ΟΑΜ)=64 τετραγωνικές μονάδες. Η ευθεία ε είναι εφαπτόμενη στον κύκλο στο σημείο Α.
α)Να αποδείξετε ότι για τη γωνία ω=ΑΟΜ ισχύει εφω =34, με 0<ω<2π.
β)Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω, συνω, σφω της γωνίας ω=ΑΟΜ αν ισχύει 0<ω<2π.
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=ημ2x−5ημω⋅ημx+5συνω και του άξονα x΄x, όπου ω=ΑΟΜ η γωνία του προηγούμενου ερωτήματος και x∈R.
59.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20943Δίνεται γωνία x με 23π<x<2π και οι παραστάσεις A=ημ2(π−x)+ημ2(π+x)+συν2(−x) και B=1+συνxημx+ημx1+συνx.
α)Να αποδείξετε ότι A=ημ2x+1.
β)Να απλοποιήσετε την παράσταση Β.
γ)Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία x για την οποία οι παραστάσεις Α και Β να είναι ίσες.
60.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21240Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=3x3+4x2−5x−2.
α)Να βρείτε τις ρίζες του πολυωνύμου.
β)Να λύσετε την ανίσωση P(x)>0.
γ)Να λύσετε την ανίσωση 3(x2+15)3+4(x2+15)2−5(x2+15)−2>0.