Κεφ. 4 - Πολυώνυμα›4.4 Πολυωνυμικές Ανισώσεις

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 4 - Πολυώνυμα

§4.4 Πολυωνυμικές ανισώσεις

•
Πολυωνυμική ανίσωση είναι κάθε ανίσωση της μορφής $P (x) > 0, P (x) < 0, P (x) \geq 0$ ή $P (x) \leq 0$ , όπου $P$ είναι πολυώνυμο.
•
Στρατηγική: μελετάμε το πρόσημο του $P (x)$ σε καθένα από τα διαστήματα που ορίζουν οι ρίζες του.
•
Στις ρίζες του πολυωνύμου, το $P (x)$ μηδενίζεται. Καθώς το $x$ περνά από μία ρίζα πολλαπλότητας ΠΕΡΙΤΤΗΣ, το $P$ αλλάζει πρόσημο. Καθώς περνά από ρίζα ΑΡΤΙΑΣ πολλαπλότητας, το πρόσημο διατηρείται.
❓ Γιατί:Σκέψου τον παράγοντα $(x - ρ)^{2}$ : είναι πάντα $\geq 0$ — δεν αλλάζει πρόσημο. Σε αντίθεση, ο (x − ρ) αλλάζει από − σε + καθώς το $x$ ξεπερνά τη ρίζα ρ.

•
Βήμα 1: Παραγοντοποιούμε το $P (x)$ σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων (όπου είναι δυνατό) ή/και τριωνύμων με αρνητική διακρίνουσα.
•
Βήμα 2: Βρίσκουμε όλες τις πραγματικές ρίζες (τα σημεία στα οποία το $P$ μπορεί να αλλάξει πρόσημο) και τις τοποθετούμε στη γραμμή σε αύξουσα σειρά.
•
Βήμα 3: Σε κάθε διάστημα που ορίζουν οι ρίζες, υπολογίζουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα και κατόπιν του γινομένου.
•
Βήμα 4: Διαβάζουμε από τον πίνακα τη λύση που ζητάει η ανίσωση.
💡 Παράδειγμα:
$Παρ \overset{α}{ˊ} δειγμα : (x - 1) (x - 3) > 0.$
Ρίζες 1, 3.
$Σ ε x < 1 : ο πρ \overset{ω}{ˊ} τος παρ \overset{α}{ˊ} γοντας ε \overset{ι}{ˊ} ναι - και ο δε \overset{υ}{ˊ} τερος -, γιν \overset{ο}{ˊ} μενο + .$
$Σ ε 1 < x < 3 : ο πρ \overset{ω}{ˊ} τος + και ο δε \overset{υ}{ˊ} τερος -, γιν \overset{ο}{ˊ} μενο - .$
$Σ ε x > 3 : και οι δ \overset{υ}{ˊ} ο +, γιν \overset{ο}{ˊ} μενο + .$
$Άρα η λ \overset{υ}{ˊ} ση ε \overset{ι}{ˊ} ναι x < 1 \overset{η}{ˊ} x > 3.$

•
Αν στην παραγοντοποίηση εμφανίζεται τριώνυμο 2ου βαθμού με ΑΡΝΗΤΙΚΗ διακρίνουσα $(Δ < 0)$ , αυτό έχει σταθερό πρόσημο σε όλο το ℝ — ομόσημο του συντελεστή α του $x^{2}$ . $α x^{2} + β x + γ, Δ < 0 \Rightarrow ομ \overset{ο}{ˊ} σημο του α παντο \overset{υ}{ˊ}$
❓ Γιατί:Όταν $Δ < 0$ , το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες, οπότε δεν τέμνει τον άξονα $x$ . Η γραφική του παράσταση μένει εξ ολοκλήρου πάνω (αν α > 0) ή κάτω (αν α < 0) από τον άξονα.
📎 Δες και:
•
Παράδειγμα: $(x - 2) (x^{2} + 1) > 0$ . Το $x^{2} + 1$ είναι πάντα θετικό (Δ = −4 < 0 και α = 1 > 0), οπότε η ανίσωση ισοδυναμεί με $x - 2 > 0$ , δηλαδή $x > 2$ .

•
Πρόσθεση/αφαίρεση του ίδιου αριθμού (ή έκφρασης) και στα δύο μέλη ΔΙΑΤΗΡΕΙ τη φορά της ανίσωσης.
•
Πολλαπλασιασμός/διαίρεση και των δύο μελών με ΘΕΤΙΚΟ αριθμό διατηρεί τη φορά. Με ΑΡΝΗΤΙΚΟ αριθμό, η φορά ΑΛΛΑΖΕΙ.
•
Προσοχή: πολλαπλασιασμός με παράσταση που περιέχει $x$ δεν είναι ασφαλής — γιατί το πρόσημο της παράστασης εξαρτάται από το $x$ . Σε τέτοιες περιπτώσεις πρέπει να εξετάσουμε χωριστά τις περιπτώσεις προσήμου.

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlb-4.4-m1
Δίνεται $P (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 2 x + 1 = (2 x - 1) (x^{2} - 1)$ . Λύσε $P (x) > 0$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.