Κεφ. 4 - Πολυώνυμα›4.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 4 - Πολυώνυμα

§4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις

•
Πολυωνυμική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής $P (x) = 0$ , όπου $P (x)$ είναι ένα πολυώνυμο. Λύσεις της εξίσωσης είναι οι ρίζες του πολυωνύμου $P (x)$ . $α_{ν} x^{n} + α_{ν - 1} x^{n - 1} + \dots + α_{1} x + α_{0} = 0$
•
Βασική ιδέα: αν παραγοντοποιήσουμε το $P (x)$ σε γινόμενο πρωτοβάθμιων (ή κατά ανάγκη ανώτερων) παραγόντων, τότε η εξίσωση $P (x) = 0$ ισοδυναμεί με «κάποιος από τους παράγοντες $= 0$ ».
$P (x) = (x - ρ_{1}) (x - ρ_{2}) \dots (x - ρ ν) = 0$ $⟺ x = ρ_{1} \overset{η}{ˊ} x = ρ_{2} \overset{η}{ˊ} \dots \overset{η}{ˊ} x = ρ ν$

•
Αν το πολυώνυμο $P (x)$ έχει ακέραιους συντελεστές, τότε κάθε ακέραια ρίζα του είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α_0. $ρ \in Z ρ \overset{ι}{ˊ} ζα του P \Rightarrow ρ ∣ α_{0}$
❓ Γιατί:Αυτό μας επιτρέπει να βρίσκουμε γρήγορα τις ακέραιες ρίζες δοκιμάζοντας μόνο ένα πεπερασμένο σύνολο τιμών — τους διαιρέτες (θετικούς και αρνητικούς) του σταθερού όρου.
•
Παράδειγμα: για $P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ , οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του −6, δηλαδή ±1, ±2, ±3, ±6.

•
Βήμα 1: Βρίσκουμε τους διαιρέτες του σταθερού όρου και τους δοκιμάζουμε στο $P$ . Ψάχνουμε ένα ρ τέτοιο ώστε $P (ρ) = 0$ .
•
Βήμα 2: Όταν βρούμε μια ρίζα ρ, διαιρούμε το $P (x)$ με τον παράγοντα (x − ρ) χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner. Παίρνουμε ένα πολυώνυμο μικρότερου βαθμού (το «πηλίκο»).
•
Βήμα 3: Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία στο μειωμένο πολυώνυμο μέχρι να φτάσουμε σε τριώνυμο 2ου βαθμού (που λύνεται με τον τύπο της διακρίνουσας) ή σε πρωτοβάθμιο.
💡 Παράδειγμα:
$P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6.$
$Δοκιμ \overset{α}{ˊ} ζουμε x = 1 : P (1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓ .$
$H or n er \to πηλ \overset{ι}{ˊ} κο x^{2} - 5 x + 6.$
$Λ \overset{υ}{ˊ} νουμε x^{2} - 5 x + 6 = 0 \to x = 2 \overset{η}{ˊ} x = 3.$
Ρίζες: 1, 2, 3.
❓ Γιατί:Όταν το πηλίκο μετά τη διαίρεση γίνει τριώνυμο 2ου βαθμού, χρησιμοποιούμε τον τύπο της διακρίνουσας — δεν χρειάζεται άλλη δοκιμή.
📎 Δες και:

•
Ένα πολυώνυμο βαθμού $ν \geq 1$ έχει το πολύ ν διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
❓ Γιατί:Κάθε πραγματική ρίζα δίνει έναν παράγοντα (x − ρ), και ο βαθμός του γινομένου τους δεν μπορεί να ξεπερνά τον βαθμό του $P$ .
•
Αν το (x − ρ)ᵏ είναι παράγοντας του $P (x)$ αλλά το (x − ρ)ᵏ⁺¹ δεν είναι, η ρ λέγεται ρίζα πολλαπλότητας κ.
💡 Παράδειγμα:
Στο $P (x) = (x - 2)^{3} \cdot (x + 1)$ , η $ρ = 2$ είναι ρίζα πολλαπλότητας 3, και η $ρ = - 1$ είναι απλή ρίζα (πολλαπλότητας 1).
•
Αν μετράμε τις ρίζες με την πολλαπλότητά τους, το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με τον βαθμό ν του πολυωνύμου (όταν όλες οι ρίζες είναι πραγματικές).

•
Διτετράγωνες εξισώσεις: $α x^{4} + β x^{2} + γ = 0$ . Λύνουμε με αντικατάσταση $t = x^{2}$ και μετά παίρνουμε $x = \pm t$ (αν $t$ ≥ 0).
💡 Παράδειγμα:
$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0.$
$Θ \overset{ε}{ˊ} τω t = x^{2} : t^{2} - 5 t + 4 = 0 \to t = 1 \overset{η}{ˊ} 4 \to x = \pm 1 \overset{η}{ˊ} x = \pm 2.$
•
Όταν δεν βρίσκουμε εύκολα ρίζα: μπορούμε να ομαδοποιήσουμε όρους για να εμφανιστεί κοινός παράγοντας, ή να χρησιμοποιήσουμε ταυτότητες (διαφορά κύβων κ.λπ.).

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοlb-4.3-h1
Δίνεται $P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ . Δείξε ότι το $x - 1$ είναι παράγοντας και λύσε $P (x) = 0$ .
2Μεσαίοlb-4.3-m1
Λύσε $την x^{3} - 7 x + 6 = 0$ .
3Μεσαίοlb-4.3-m2
Λύσε: $x^{3} + x^{2} - x - 1 = 0$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.