Κεφ. 3 - Τριγωνομετρία›3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 3 - Τριγωνομετρία

§3.2 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α

🟰Οι βασικές ταυτότητες

•
Πυθαγόρεια ταυτότητα — ισχύει για κάθε γωνία ω, χωρίς καμία εξαίρεση: $ημ^{2} ω + συν^{2} ω = 1$
❓ Γιατί:Το σημείο της τελικής πλευράς πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο έχει συντεταγμένες (συνω, ημω) και απέχει μία μονάδα από την αρχή. Η ταυτότητα δεν είναι παρά το Πυθαγόρειο θεώρημα γραμμένο με τριγωνομετρικούς αριθμούς.
•
Η εφαπτομένη ως πηλίκο — ορίζεται μόνο όταν το συνημίτονο δεν μηδενίζεται: $εφ ω = \frac{ημ ω}{συν ω}$
•
Η συνεφαπτομένη ως πηλίκο — ορίζεται μόνο όταν το ημίτονο δεν μηδενίζεται: $σφ ω = \frac{συν ω}{ημ ω}$
•
Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι αντίστροφοι αριθμοί — αρκεί να ορίζονται και οι δύο, δηλαδή να μη μηδενίζεται ούτε το ημίτονο ούτε το συνημίτονο: $εφ ω \cdot σφ ω = 1$
•
Δύο ακόμη ταυτότητες, που δίνουν το συνημίτονο και το ημίτονο όταν ξέρουμε μόνο την εφαπτομένη. Ισχύουν όπου ορίζεται η εφαπτομένη, δηλαδή όπου το συνημίτονο δεν μηδενίζεται: $συν^{2} ω = \frac{1}{1 + εφ ^{2} ω}$
•
Και η αντίστοιχη για το ημίτονο, με τον ίδιο περιορισμό: $ημ^{2} ω = \frac{εφ ^{2} ω}{1 + εφ ^{2} ω}$

📐Από πού βγαίνουν

•
Η πρώτη βγαίνει κατευθείαν από τον ορισμό. Αν το Μ είναι το σημείο όπου η τελική πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, η τετμημένη του είναι το συνημίτονο, η τεταγμένη του το ημίτονο, και η απόστασή του από την αρχή είναι μονάδα: $x^{2} + y^{2} = 1$
•
Η δεύτερη και η τρίτη είναι οι ίδιοι οι ορισμοί της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, γραμμένοι με ημίτονο και συνημίτονο αντί για συντεταγμένες.
•
Η πρώτη από τις δύο τελευταίες βγαίνει αν διαιρέσουμε την Πυθαγόρεια ταυτότητα με το συνημίτονο στο τετράγωνο — γι αυτό και χρειάζεται να μη μηδενίζεται: $εφ^{2} ω + 1 = \frac{1}{συν ^{2} ω}$
•
Η δεύτερη βγαίνει από την πρώτη: αντικαθιστούμε αυτό που μόλις βρήκαμε για το συνημίτονο πίσω στην Πυθαγόρεια ταυτότητα και λύνουμε ως προς το ημίτονο.

🧰Πού χρησιμεύουν

•
Όταν ξέρουμε έναν τριγωνομετρικό αριθμό και το τεταρτημόριο, βρίσκουμε όλους τους υπόλοιπους. Το τεταρτημόριο είναι που κρίνει το πρόσημο.
💡 Παράδειγμα:
Αν ημω $= \frac{5}{13}$ και η ω είναι αμβλεία: $συν^{2} ω = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , και επειδή στο 2ο τεταρτημόριο το συνημίτονο είναι αρνητικό, συνω $= - \frac{12}{13}$ .
•
Για να απλοποιήσουμε παραστάσεις ή να αποδείξουμε καινούριες ταυτότητες. Το κόλπο είναι σχεδόν πάντα να εμφανίσουμε κάπου το άθροισμα των τετραγώνων: $ημ^{4} ω + συν^{4} ω = 1 - 2 ημ^{2} ω \cdot συν^{2} ω$
•
Και μια προσοχή που κοστίζει μονάδες: κάθε ταυτότητα ισχύει μόνο εκεί που ορίζονται όλοι οι όροι της. Η εφω λείπει όπου μηδενίζεται το συνημίτονο, η σφω όπου μηδενίζεται το ημίτονο.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Πολλαπλής επιλογής

Αν ημω

= \frac{3}{5}

και η ω ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο, τότε συνω =

2Πολλαπλής επιλογής

Το γινόμενο εφω

\cdot σ φ

ω (όπου ορίζονται και οι δύο) ισούται με:

3Σωστό / Λάθος

Η ταυτότητα

ημ^{2} ω + συν^{2} ω = 1

ισχύει μόνο για οξείες γωνίες.

4Πολλαπλής επιλογής

Αν συνω

= 0, 6

τότε το η

μ^{2}

ω ισούται με:

5Σωστό / Λάθος

Για κάθε γωνία ω ισχύει σφω =

\frac{1}{εφ ω}

6Πολλαπλής επιλογής

Αν εφω

= 2

, τότε το συ

ν^{2}

ω ισούται με:

7Πολλαπλής επιλογής

Η παράσταση

ημ^{4} ω + συν^{4} ω

γράφεται ισοδύναμα:

8Σωστό / Λάθος

Αν ξέρουμε μόνο ότι ημω

= \frac{1}{2}

, μπορούμε να βρούμε μονοσήμαντα το συνω.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

← Προηγούμενο

3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας

Επόμενο →

3.3 Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο