Κεφ. 3 - Τριγωνομετρία›3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 3 - Τριγωνομετρία

§3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

⭕Ορισμός με τριγωνομετρικό κύκλο

•
Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy, για μια γωνία ω (μετρημένη από τον θετικό ημιάξονα Οx), παίρνουμε σημείο Μ(x, $y$ ) πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας. Έστω $ρ = OM$ η απόστασή του από την αρχή Ο. $ρ = x^{2} + y^{2}$
•
Ημίτονο της γωνίας ω — λόγος της τεταγμένης $y$ προς την απόσταση ρ: $ημ ω = \frac{y}{ρ}$
▶️ Πλήρης μοναδιαίος κύκλος 0°–360° · slider γωνίας · τεταρτημόρια & πρόσημα.
συνω = x0.500
ημω = y0.866
εφω = y/x1.732
1ο τεταρτημόριο · ημω+, συνω+, εφω+
ω = 60°
Σύρε το Μ γύρω από τον κύκλο — ή χρησιμοποίησε το slider.
•
Συνημίτονο της γωνίας ω — λόγος της τετμημένης $x$ προς την απόσταση ρ: $συν ω = \frac{x}{ρ}$
•
Εφαπτομένη της γωνίας ω — λόγος ημω προς συνω (ορίζεται όταν $x \neq = 0$ ): $εφ ω = \frac{y}{x} (x \neq = 0)$
•
Συνεφαπτομένη της γωνίας ω — λόγος της τετμημένης $x$ προς την τεταγμένη $y$ (ορίζεται όταν $y \neq = 0$ ): $σφ ω = \frac{x}{y} (y \neq = 0)$
❓ Γιατί:Ορίζεται αυτοτελώς, ΟΧΙ ως αντίστροφος της εφαπτομένης. Στις 90° και στις 270° η συνεφαπτομένη υπάρχει και ισούται με μηδέν, ενώ η εφαπτομένη δεν ορίζεται καθόλου.
•
Στον μοναδιαίο κύκλο $(ρ = 1)$ : συνω $= x - συν$ τεταγμένη, ημω $= y - συν$ τεταγμένη του Μ.
•
Άμεση συνέπεια: το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο, οπότε καμία από τις δύο συντεταγμένες του δεν ξεπερνά τη μονάδα. Το ημίτονο και το συνημίτονο κινούνται πάντα ανάμεσα στο −1 και στο 1: $- 1 \leq ημ ω \leq 1 και - 1 \leq συν ω \leq 1$
•
Οι τιμές που χρειάζεσαι σχεδόν σε κάθε άσκηση — οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60°: $η μ 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, η μ 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}, η μ 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
•
Και τα αντίστοιχα συνημίτονα, ανάποδη σειρά — γιατί οι γωνίες 30° και 60° έχουν άθροισμα 90°: $συν 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}, συν 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}, συν 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
•
Στα άκρα, όπου η τελική πλευρά πέφτει πάνω σε άξονα, οι τιμές είναι στρογγυλές: $η μ 0^{\circ} = 0, συν 0^{\circ} = 1, η μ 9 0^{\circ} = 1, συν 9 0^{\circ} = 0$

🧭Πρόσημα ανά τεταρτημόριο

•
1ο τεταρτ. (0°–90°): ημω $> 0, συν$ ω $> 0, εφ$ ω $> 0$ .
•
2ο τεταρτ. (90°–180°): ημω $> 0, συν$ ω $< 0, εφ$ ω $< 0$ .
•
3ο τεταρτ. (180°–270°): ημω $< 0, συν$ ω $< 0, εφ$ ω $> 0$ .
•
4ο τεταρτ. (270°–360°): ημω $< 0, συν$ ω $> 0, εφ$ ω $< 0$ .
❓ Γιατί:Καθορίζονται από τα πρόσημα του $x$ και του $y$ στο σημείο Μ. Συστηματικός κανόνας: «Ο.Η.Ε.Σ.» (Όλοι θετικοί στο 1ο, μόνο Ημίτονο στο 2ο, μόνο Εφαπτομένη στο 3ο, μόνο Συνημίτονο στο 4ο).
•
Η συνεφαπτομένη έχει ΠΑΝΤΑ το ίδιο πρόσημο με την εφαπτομένη, αφού είναι πηλίκο των ίδιων δύο συντεταγμένων ανάποδα: θετική στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο, αρνητική στο 2ο και στο 4ο.

📏Το ακτίνιο

•
Εκτός από τη μοίρα, οι γωνίες μετριούνται και με το ακτίνιο. Ένα ακτίνιο (1 rad) είναι η γωνία που, με κορυφή το κέντρο ενός κύκλου, βαίνει σε τόξο με μήκος ίσο με την ακτίνα.
•
Επειδή ολόκληρος ο κύκλος είναι 360° και ταυτόχρονα 2π ακτίνια, η μετατροπή γίνεται με μία απλή αναλογία, όπου μ είναι οι μοίρες και α τα ακτίνια: $\frac{μ}{180} = \frac{α}{π}$
•
Από εκεί βγαίνουν οι τιμές που θα συναντάς συνέχεια: $3 0^{\circ} = \frac{π}{6}, 4 5^{\circ} = \frac{π}{4}, 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}, 9 0^{\circ} = \frac{π}{2}, 18 0^{\circ} = π$
❓ Γιατί:Από την επόμενη παράγραφο και μετά, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις γράφονται με τη μεταβλητή σε ακτίνια — γι αυτό η μετατροπή πρέπει να γίνεται στο μυαλό.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Στον μοναδιαίο κύκλο

(ρ = 1)

, το συνω ισούται με την τετμημένη

x

του σημείου Μ της τελικής πλευράς της γωνίας.

2Σωστό / Λάθος

Αν η γωνία ω ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο (90°–180°), τότε συνω

> 0

3Πολλαπλής επιλογής

Για σημείο Μ(

x

y

) στην τελική πλευρά γωνίας ω με

ρ = OM

, η εφω ορίζεται (όταν

x \neq = 0

) ως ο λόγος:

4Πολλαπλής επιλογής

Για σημείο Μ(

x

y

) της τελικής πλευράς μιας γωνίας, η απόσταση

ρ = (O M)

δίνεται από τη σχέση:

5Σωστό / Λάθος

Η συνεφαπτομένη σφω ορίζεται για κάθε γωνία ω.

6Πολλαπλής επιλογής

Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται μια γωνία ω με ημω

< 0

και συνω

> 0

;

7Σωστό / Λάθος

Υπάρχει γωνία ω με ημω

= 1, 4

8Σωστό / Λάθος

Στο 3ο τεταρτημόριο (180°–270°) η εφω είναι θετική.

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-3.1-m1
Αν ημθ $= \frac{3}{5}$ και θ στο 2ο τεταρτημόριο, βρες εφθ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Στο 2ο τεταρτημόριο συνθ $< 0$ : $συν^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
2. 2
  συνθ $= - \frac{4}{5}$ . Άρα εφθ = $\frac{ημ θ}{συν θ}$ $= \frac{\frac{3}{5}}{- \frac{4}{5}} = - \frac{3}{4}$ .
2Εύκολοlb-3.1-e1
Αν ημθ $= \frac{3}{5}$ και η θ είναι στο 2ο τεταρτημόριο, βρες συνθ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Στο 2ο τεταρτημόριο: συνθ $< 0$ . $συν^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
2. 2
  συνθ $= - \frac{4}{5}$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlb-3.1-m1
Αν ημθ $= \frac{3}{5}$ και θ στο 2ο τεταρτημόριο, βρες εφθ.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔺 Quiz · Τριγωνομετρία (Λύκειο)

← Προηγούμενο

2.2 Κατακόρυφη - Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης

Επόμενο →

3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες