Αυτούσια θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων του ΙΕΠ · 0 λυμένα · 72 προς λύση
Τι θα τυπωθεί:72 από 72
Ονοματεπώνυμο
Τμήμα
Ημερομηνία
✏️ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Αυτούσια θέματα εξετάσεων, χωρίς λύσεις — όπως θα τα δεις στο διαγώνισμα.
3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας
1.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15079Στον παρακάτω τριγωνομετρικό κύκλο σχεδιάσαμε τη γωνία ω=ΒΟΑ.
α)Με βάση το σχήμα, να αιτιολογήσετε γιατί συνω =53.
β)Η προέκταση του τμήματος ΑΟ τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Γ, όπως φαίνεται στο σχήμα. i. Να εκφράσετε τη γωνία φ=ΒΟΓ με τη βοήθεια της γωνίας ω. ii. Να υπολογίσετε το συνφ.
2.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15191Στον παρακάτω τριγωνομετρικό κύκλο σχεδιάσαμε γωνία ω, με ημω =0,4.
α)Να μεταφέρετε στην κόλλα σας το σχήμα και να σχεδιάσετε τη γωνία −ω. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, να βρείτε το ημ(−ω).
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #17793Στον τριγωνομετρικό κύκλο έχει σημειωθεί το σημείο Α.
α)Να μεταφέρετε το σχήμα στην κόλλα σας και να τοποθετήσετε κατά προσέγγιση στον τριγωνομετρικό κύκλο σημεία Β, Γ, Δ ώστε να δημιουργηθούν τόξα AB=1rad,AΓ=2rad και AΔ=4rad.
β)Για κάθε ένα τόξο του α) ερωτήματος να αποφανθείτε αν το συνημίτονο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας είναι θετικός ή αρνητικός αριθμός. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #18868Δίνονται οι γωνίες 500°, 250° και 300°.
α)Να αποδείξετε ότι εφ500° =εφ140°.
β)i. Να βρείτε το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού εφ500°. ii. Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης A=εφ500°⋅ημ250°⋅συν300°.
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21161Σε έναν κύκλο ακτίνας ρ θεωρούμε ένα τόξο ΑΒ με μήκος ίσο με 2ρ.
α)Να βρείτε πόσα ακτίνια είναι η αντίστοιχη στο τόξο ΑΒ επίκεντρη γωνία ω.
β)Αν ω=2 ακτίνια, να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία ω.
α)Να αιτιολογήσετε γιατί το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.
β)Να βρείτε το ημΑ.
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15060Στον τριγωνομετρικό κύκλο του σχήματος θεωρούμε το σημείο Μ με τεταγμένη 21 και τη γωνία θ με 2π<θ<π, η οποία έχει αρχική πλευρά την ΟΑ και τελική την ΟΜ.
α)Να αιτιολογήσετε γιατί ισχύει ημθ =21.
β)Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας θ.
γ)Να βρείτε τη γωνία θ.
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15185Δίνεται ο τριγωνομετρικός κύκλος του παρακάτω σχήματος και η γωνία ω με αρχική πλευρά την ΟΑ και τελική την ΟΒ.
α)Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας ω του παρακάτω σχήματος και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
α)Να αιτιολογήσετε με βάση το σχήμα γιατί συνω =−53.
β)Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς i. ημω, ii. εφω.
10.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15814Δίνεται ο κύκλος του παρακάτω σχήματος με κέντρο Κ και ακτίνα 10 cm. Επίσης δίνεται το τόξο ΑΒ με μήκος 12 cm και η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ω.
α)i. Να αιτιολογήσετε γιατί το μέτρο της γωνίας ω είναι 1,2 rad. ii. Με χρήση του α)i ερωτήματος, να αιτιολογήσετε γιατί η γωνία ω είναι οξεία.
β)Αν συνω =259, να βρείτε το ημω. Δίνεται ότι 544=434.
11.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #16000Δίνεται γωνία θ.
α)Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία θ ώστε ημθ =21 και συνθ =21.
β)Έστω θ μια γωνία με 23π<θ<2π για την οποία ισχύει συνθ =21. Να βρείτε το ημθ.
12.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20817Δίνεται γωνία ω, με π<ω<23π, για την οποία ισχύει συνω =−54.
α)Να δείξετε ότι ημω =−53.
β)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = 1+εφωημω+συνω.
13.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20824Στον παρακάτω τριγωνομετρικό κύκλο δίνεται γωνία AOx=ω, με 2π<ω<π, και το σημείο Μ με τεταγμένη 21.
α)Να βρείτε το ημω. Με ποιον τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας ω ισούται η τετμημένη x του σημείου Μ;
β)Να δείξετε ότι συνω =−23.
3.3 Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο
14.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15092Στο παρακάτω σχήμα έχει σχεδιασθεί ο τριγωνομετρικός κύκλος και η ευθεία (δ), η οποία είναι εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Η τελική πλευρά ΟΒ της θετικής γωνίας ΑΟΒ=θ, αν προεκταθεί, τέμνει την ευθεία (δ) στο σημείο Γ. Γνωρίζουμε ότι ημθ =53.
α)Με τη βοήθεια του σχήματος ή με όποιο άλλο τρόπο θέλετε, να βρείτε τον αριθμό συνθ και στη συνέχεια τον αριθμό εφθ.
β)Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Β και Γ.
15.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15193Στον παρακάτω τριγωνομετρικό κύκλο σχεδιάσαμε γωνία ω, με συνω =0,8.
α)Να μεταφέρετε στην κόλλα σας το σχήμα και να σχεδιάσετε τις γωνίες στο διάστημα [0, 2π], των οποίων το συνημίτονο είναι −0,8. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Να βρείτε τη σχέση των γωνιών που βρήκατε στο α) ερώτημα με τη γωνία ω.
16.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15266Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ο τριγωνομετρικός κύκλος και οι γωνίες θ και −θ.
α)Να αιτιολογήσετε γιατί συνθ =53.
β)Να βρείτε το ημθ.
γ)Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας −θ.
17.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15652Δίνεται ημφ =53, όπου φ η οξεία γωνία που σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε) του παρακάτω σχήματος.
α)Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ.
β)Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας ω του σχήματος.
18.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15999Δίνεται η παράσταση A=2συν(2π−θ)+ημ(−θ).
α)Να αποδείξετε ότι A=ημθ.
β)Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α, όταν 23π<θ<2π και συνθ =1312.
19.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #17933Στον παρακάτω τριγωνομετρικό κύκλο δίνεται η γωνία ΑΟΖ=θ.
α)Να μεταφέρετε τον κύκλο στην κόλλα σας και να φέρετε σε αυτόν τις τελικές πλευρές των γωνιών 3π+θ και 4π−θ.
β)i. Να αιτιολογήσετε γιατί ημθ =0,4. ii. Με χρήση του β)i ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ(3π+θ) και ημ(4π−θ).
20.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #17936Στον παρακάτω τριγωνομετρικό κύκλο δίνεται η γωνία ΑΟΖ=θ.
α)Να μεταφέρετε τον κύκλο στην κόλλα σας και να φέρετε σε αυτόν τις τελικές πλευρές των γωνιών 3π+θ και 2π+θ.
β)i. Να αιτιολογήσετε γιατί συνθ =0,4. ii. Με χρήση του β)i ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς συν(3π+θ) και ημ(2π+θ).
21.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #18229Έστω θ μια γωνία για την οποία ισχύει συνθ =−32 και π<θ<23π.
α)Να βρείτε το ημθ.
β)Αν ημθ =−35, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A=συν(π−θ)συν(−θ)−ημ(π−θ)ημ(−θ).
22.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20761Δίνεται γωνία ω η οποία είναι ίση με −1125°.
α)Να αποδείξετε ότι η γωνία ω ισούται με −425π ακτίνια (rad).
β)Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
23.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20942Στο παρακάτω σχήμα δίνεται γωνία xOζ=ω με π<ω<23π.
α)Να αιτιολογήσετε ότι συνω =−31.
β)Να υπολογίσετε το ημίτονο και την εφαπτομένη της γωνίας ω.
γ)Να υπολογίσετε το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας π − ω.
24.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21237Δίνεται ότι ημθ=συν24πημ32π−συν3π.
α)Να δείξετε ότι: i. ημ(32π)=23. ii. ημθ =3−1.
β)Αν για τη γωνία θ έχουμε 0<θ<2π, να βρείτε το συνθ.
25.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #22002Δίνεται ότι ημ18° =45−1. Να βρείτε τους ακόλουθους τριγωνομετρικούς αριθμούς, αιτιολογώντας την απάντησή σας.
α)συν72°
β)συν108°
γ)ημ162°
26.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18231Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα από το −1 και πάνω, της οποίας η γραφική παράσταση Cf φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
α)Να βρείτε τη μονοτονία και τη μέγιστη τιμή της.
β)Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(−53) και f(−95).
γ)Αν ο τύπος της συνάρτησης είναι f(x)=1−x2 για −1≤x≤0 και f(x)=1−x για x>0, να βρείτε τους αριθμούς f(συν120∘) και f(ημ120∘).
δ)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=f(x−2), για x≥1.
3.4 Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις
27.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15009Δίνεται η συνάρτηση f(x)=−3συνx, με x πραγματικό αριθμό.
α)Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f.
β)Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης f.
γ)Από τις τέσσερις γραφικές παραστάσεις του σχήματος μία μόνο αντιστοιχεί στη συνάρτηση f(x)=−3συνx. Να επιλέξετε αυτήν και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
28.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15091Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=2⋅συνx, με x πραγματικό αριθμό.
α)i. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης. ii. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της.
β)Να υπολογίσετε τον αριθμό f(2025π).
29.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15172Δίνεται η συνάρτηση f(x)=4ημ(11π−x), με x πραγματικό αριθμό.
α)Να δείξετε ότι: i. ημ(11π−x)=ημx για κάθε x. ii. f(x)=4ημx για κάθε x.
β)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=4ημx όταν x ανήκει στο διάστημα από 0 ως 2π.
30.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15644Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων έχουμε σχεδιάσει δύο γραφικές παραστάσεις C1 και C2 για x στο διάστημα από 0 ως 2π.
α)Αν οι γραφικές παραστάσεις είναι των συναρτήσεων f(x)=συνx και g(x)=ημx για x στο διάστημα από 0 ως 2π, ποια από τις C1, C2 είναι η γραφική παράσταση της f και ποια της g; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Με τη βοήθεια του σχήματος να λύσετε την εξίσωση ημx=συνx στο διάστημα από 0 ως 2π.
31.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15788Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ημx στο διάστημα από 0 ως 2π και η γραφική παράσταση της συνάρτησης g που προέκυψε από την f με δύο διαδοχικές μετατοπίσεις. Με τη βοήθεια του σχήματος να βρείτε:
α)το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, τη μέγιστη τιμή της και σε ποια θέση την αποκτά.
β)i. τις δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της f από τις οποίες προέκυψε η g. ii. τον τύπο της g.
32.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15809Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ημ2x, με x πραγματικό αριθμό.
α)Να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της.
β)i. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας και να συμπληρώσετε πίνακα τιμών με τρεις γραμμές, x, 2x και f(x)=ημ2x, για τις τιμές x=0,4π,2π,43π και π. ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα μιας περιόδου.
33.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15810Δίνεται η συνάρτηση g(x)=συν2x, με x πραγματικό αριθμό.
α)Να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της.
β)i. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας και να συμπληρώσετε πίνακα τιμών με τρεις γραμμές, x, 2x και g(x)=συν2x, για τις τιμές x=0,4π,2π,43π και π. ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της g σε διάστημα μιας περιόδου.
34.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #16131Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=εφx, με x πραγματικό αριθμό διαφορετικό από κπ+2π, όπου κ ακέραιος.
α)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=1 στο διάστημα από 0 ως 2π, χωρίς τα άκρα.
β)Να μεταφέρετε στο γραπτό σας το παρακάτω σχήμα και να παραστήσετε σε αυτό τις λύσεις της παραπάνω εξίσωσης.
35.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20660Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ημ(π−x)+συν(2π−x), με x πραγματικό αριθμό.
α)Να αποδείξετε ότι f(x)=2ημx, για κάθε x πραγματικό αριθμό.
β)i. Να βρείτε την περίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f. ii. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f για x από 0 ως 2π.
36.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20807Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ημ(π+x)+ημ(−x), με x πραγματικό αριθμό.
α)Να αποδείξετε ότι f(x)=−2ημx, για κάθε x πραγματικό αριθμό, και να βρείτε την περίοδο αυτής.
β)i. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας και να συμπληρώσετε πίνακα τιμών της f(x)=−2ημx για τις τιμές x=0,2π,π,23π και 2π. ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f για x από 0 ως 2π.
37.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20867Δίνεται η παράσταση A=συν2x−ημ2x.
α)Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α για x=0.
β)Να δείξετε ότι A=1−2ημ2x.
γ)Με χρήση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο 1−2ημ2x του σχήματος και του ερωτήματος β), να λύσετε την εξίσωση A=1, για x ανάμεσα στο 0 και στο 2π, χωρίς τα άκρα.
38.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #22003Δίδεται η συνάρτηση f με f(x)=ημ(2πx), με x πραγματικό αριθμό.
α)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο T=1.
β)Να υπολογίσετε το f(0) και το f(41).
γ)Μία από τις τέσσερις καμπύλες του σχήματος αντιστοιχεί στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Ποια είναι αυτή; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
39.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21235Δίνεται η παράσταση A=συν(90∘−20∘)ημ(180∘−20∘)⋅συν(−3x).
α)Να δείξετε ότι A=συν3x.
β)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή και την περίοδο της συνάρτησης f(x)=συν3x.
40.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #22007Στο σχήμα φαίνεται απόσπασμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης συνx, από το σημείο α ως το σημείο β του οριζόντιου άξονα.
α)Να βρείτε τα α και β.
β)Προς ποια κατεύθυνση και κατά πόσο πρέπει να μετατοπιστεί η παραπάνω καμπύλη ώστε να συμπέσει με τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ημx;
41.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #31568Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(21)συν2x, με x πραγματικό αριθμό.
α)Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης f;
β)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου.
42.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #31569Δίνεται η συνάρτηση f(x)=−3συν2x, με x πραγματικό αριθμό.
α)Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f.
β)Να συμπληρώσετε πίνακα τιμών με γραμμές x, 2x, συν2x και f(x)=−3συν2x, για τις τιμές x=0,4π,2π,43π και π, και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f σε διάστημα μιας περιόδου.
43.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15062Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι της μορφής f(x)=ρημ(αx), με x πραγματικό αριθμό και α, ρ θετικούς αριθμούς.
α)Να βρείτε, με βάση το σχήμα, την περίοδό της, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της.
β)Με βάση τις απαντήσεις στο προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε τους αριθμούς α και ρ.
γ)Έστω ρ=3 και α=2. Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g(x)=x4−2x2+5, με x πραγματικό αριθμό. Να αποδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της είναι ίση με 4.
δ)Να αιτιολογήσετε γιατί οι γραφικές παραστάσεις των f, g δεν έχουν κοινό σημείο.
44.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15095Η περίμετρος μιας επίπεδης μεμβράνης, όπως φαίνεται κάτω από ένα μικροσκόπιο, αποτελείται από τέσσερις γραμμές: τις κατακόρυφες ευθείες x=0 και x=3,την παραβολή y=x2−πx και την καμπύλη y=21+ημx. Η μεμβράνη πρόκειται να καλυφθεί με ένα γυάλινο ορθογώνιο πλακίδιο.
α)i. Γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της f(x)=x2−πx, για x από 0 ως π, είναι το τμήμα της παραβολής που φαίνεται στο σχήμα, η οποία παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο Κ με τετμημένη 2π και τεταγμένη −4π2. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της g(x)=21+ημx, για x από 0 ως π, στο ίδιο σύστημα αξόνων. ii. Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να βρείτε τα ακρότατα των δύο συναρτήσεων και τα διαστήματα μονοτονίας τους.
β)Να βρείτε τη μέγιστη κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων.
γ)Να βρείτε τις ελάχιστες διαστάσεις του ορθογώνιου πλακιδίου.
45.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15689Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα από −5 ως 5. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται, για τις μη αρνητικές τιμές του x, η γραφική της παράσταση. Είναι γνωστό ότι η f είναι άρτια.
α)Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση για τις αρνητικές τιμές του x.
β)Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της, την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της. Για ποιες τιμές του x προκύπτουν οι ακρότατες τιμές της;
γ)Έστω θ ένας αριθμός με θ ανάμεσα στο 4π και στο 2π. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: i. ημθ και συνθ. ii. f(ημθ) και f(συνθ).
46.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15992Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=ρημ(αx) και g(x)=ημ(ωx), όπου ω και ρ θετικοί αριθμοί.
α)Να βρεθούν οι τιμές των ρ, ω, αν είναι γνωστό ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι −2 και η περίοδος της g είναι π. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
β)i. Να κάνετε, στο ίδιο σύστημα αξόνων, τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=2ημx και g(x)=ημ(2x), για x από 0 ως π. ii. Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να αποδείξετε ότι 2ημ(95π)>ημ(910π).
47.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #18234Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2ημx−1, με x στο διάστημα από 0 ως 2π.
α)Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της. Για ποιες τιμές του x προκύπτουν αυτές;
β)Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.
γ)Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
δ)Αν για κάποιον αριθμό α, με α ανάμεσα στο 0 και στο 2π, ισχύει f(α)=f(2π−α), να αποδείξετε ότι α=4π.
48.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20870Το βάθος y, σε μέτρα, του νερού σε ένα λιμάνι επηρεάζεται από το φαινόμενο της παλίρροιας κατά τη διάρκεια μιας ημέρας, εντός 24 ωρών. Το πρώτο, μετά τα μεσάνυχτα, μέγιστο βάθος είναι 5,8 μέτρα και συμβαίνει στις 3:00 π.μ. Το πρώτο ελάχιστο βάθος είναι 2,6 μέτρα και συμβαίνει στις 9:00 π.μ. Το βάθος y δίνεται ως συνάρτηση του χρόνου t, σε ώρες, από τη σχέση y=αημ(ωt)+β, με α, ω, β θετικούς αριθμούς και t από 0 ως 24.
α)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, ω και β.
β)Αν α=1,6,ω=6π και β=4,2: i. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της y=1,6⋅ημ(6πt)+4,2, με t από 0 ως 24. ii. Ποιο θα είναι το βάθος του νερού στις 12 το μεσημέρι; iii. Ένα μεγάλο πλοίο χρειάζεται τουλάχιστον 4,2 μέτρα βάθος νερού για να δέσει στο λιμάνι. Στη διάρκεια ποιου χρονικού διαστήματος από τις 12 το μεσημέρι και μετά θα μπορεί να δέσει με ασφάλεια;
49.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #15391Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=ημx και g(x)=συνx, για x στο διάστημα από 0 ως 2π. Τα Α και Β είναι τα κοινά τους σημεία.
α)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β.
β)Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης g στο διάστημα από 2π ως π και τη μονοτονία της συνάρτησης f στο διάστημα από 23π ως 2π.
γ)Με τη βοήθεια του ερωτήματος β) ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, να συγκρίνετε, με δικαιολόγηση, τους αριθμούς: i. συν(32π) και συν(65π). ii. ημ(35π) και ημ(611π).
3.5 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις
50.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14977Δίνεται ο παρακάτω τριγωνομετρικός κύκλος, με αρχική πλευρά την ημιευθεία Οx.
α)Να σημειώσετε τις τελικές πλευρές δύο γωνιών που ανήκουν στο διάστημα από 0 ως 2π και έχουν ημίτονο ίσο με 21, καθώς και άλλων δύο που έχουν συνημίτονο ίσο με 21.
β)Να λύσετε την εξίσωση ημx=21, με x πραγματικό αριθμό.
51.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15036Δίνεται η συνάρτηση f(x)=3συν2x, με x πραγματικό αριθμό.
α)i. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. ii. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης f.
β)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=−3 στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
52.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15969Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συν(13π+x)−2ημ(2π−x).
α)Να δείξετε ότι συν(13π+x)=−συνx.
β)Να δείξετε ότι f(x)=−4συνx.
γ)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=−2.
53.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #16298Δίνεται γωνία ω, με 0≤ω<2π,που ικανοποιεί τις σχέσεις συνω =−21 και ημω >0.
α)Να σχεδιάσετε τη γωνία ω πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο και να βρείτε το μέτρο της.
β)Να βρείτε όλες τις γωνίες φ, με φ πραγματικό αριθμό, που ικανοποιούν τη σχέση συνφ =−21.
54.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21995Να βρείτε πόσες και ποιες λύσεις έχει η εξίσωση ημx=α στο διάστημα από −2π ως 2π, στις παρακάτω περιπτώσεις. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γραφικά ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε.
α)Όταν α=1.
β)Όταν α=−2.
55.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #32675Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2ημx+1, με x πραγματικό αριθμό.
α)Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f.
β)Για ποια τιμή του x στο διάστημα από 0 ως 2π η συνάρτηση παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της;
56.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14975Ένα ελατήριο με φυσικό μήκος κρέμεται από το ταβάνι. Τοποθετούμε στο ελατήριο ένα σώμα μάζας m, το οποίο ισορροπεί στη θέση Ο, απέχοντας από το πάτωμα απόσταση ίση με 1 μέτρο. Το σώμα ανεβοκατεβαίνει, ξεκινώντας από τη θέση Ο, εκτελώντας ταλάντωση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις Α και Β, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση ίση με το διπλάσιο ενός μήκους y0. Η απόσταση του σώματος από το πάτωμα, σε μέτρα, ως συνάρτηση του χρόνου t σε δευτερόλεπτα, δίνεται από τη σχέση y(t)=1+0,2⋅ημ(2πt).
α)Να βρείτε το y0 και στη συνέχεια την απόσταση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις Α και Β της ταλάντωσης.
β)Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης.
γ)Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για t από 0 ως 4.
δ)Να βρείτε ποιες χρονικές στιγμές, για t από 0 ως 2, η απόσταση του σώματος από το πάτωμα είναι ίση με 1,1 μέτρα.
57.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15003Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ημ(αx)⋅[συν(2π−αx)+2]−συν(αx)⋅συν(π−αx)−1, με α πραγματικό αριθμό.
α)i. Να δείξετε ότι f(x)=2ημ(αx), για κάθε x πραγματικό αριθμό. ii. Δίνεται επιπλέον ότι η γραφική παράσταση της f είναι αυτή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να δείξετε ότι α=2.
β)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία ε: y=1, για x στο διάστημα από 0 ως π.
58.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15014Δίνεται η συνάρτηση f(x)=α⋅ημ(βx), με α και β θετικούς ακέραιους αριθμούς.
α)Να βρείτε την τιμή του α, αν η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι 2.
β)Αν α=2, να δείξετε ότι η μικρότερη τιμή του β για την οποία ισχύει f(16π)=2 είναι β=8.
γ)Αν α=2 και β=8, να λύσετε την εξίσωση f(x)=1 στο διάστημα από 0 ως 2π.
59.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15025Στο παρακάτω σχήμα δίνεται μια γωνία θ=ΑΟΜ με ημθ =54, της οποίας η τελική πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ, ενώ η ευθεία που την περιέχει τέμνει την ευθεία x=1, δηλαδή τον άξονα των εφαπτομένων, στο σημείο Κ.
α)Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς συνθ, εφθ και σφθ.
β)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ και Κ.
γ)Έστω μια γωνία φ στο διάστημα από 0 ως 2π για την οποία ισχύει ημφ =53 και συνφ <0. i. Να αιτιολογήσετε γιατί η γωνία φ έχει την τελική πλευρά της στο 2ο τεταρτημόριο. ii. Να αιτιολογήσετε γιατί θ<φ.
60.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15026Δίνεται η συνάρτηση f(x)=1+2ημ(2πx), με x πραγματικό αριθμό.
α)Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης f.
β)Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f.
γ)Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x.
δ)Να αποδείξετε ότι (f(x)−1)2+(f(1−x)−1)2=4 για κάθε x πραγματικό αριθμό.
61.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15049Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ημ(2π−x)+ημ(π+x), με x πραγματικό αριθμό.
α)Να αποδείξετε ότι f(x)=συνx−ημx.
β)Να αποδείξετε ότι −2≤f(x)≤2. Κατόπιν να εξετάσετε αν ο αριθμός 2 είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης.
γ)Να βρείτε: i. Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y΄y. ii. Δύο σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x΄x.
62.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15050Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συνx, με x πραγματικό αριθμό.
α)Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της.
β)Να βρείτε δύο κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y=1.
γ)Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(3π) και f(52π).
δ)Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα από 0 ως 2π.
63.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15288Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2ημ3x+1, με x πραγματικό αριθμό.
α)Να βρείτε την περίοδο Τ, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f.
β)Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=α⋅ημ(βx)+γ, με α, β, γ πραγματικούς αριθμούς, β θετικό και πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών. i. Με βάση το σχήμα, να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ, αιτιολογώντας την απάντησή σας. ii. Για α=−2,β=1 και γ=1, να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x) στο διάστημα από 0 ως π, χωρίς το π.
64.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15347Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2συν2(π−x)−3ημ(2π+x)+α, με α πραγματικό αριθμό.
α)Να δείξετε ότι f(x)=2συν2x−3συνx+α.
β)Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή.
γ)Να βρείτε το α, αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ με τετμημένη 3π και τεταγμένη 1.
δ)Για α=2 και g(x)=2ημ2x+9συνx−9, να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν κοινά σημεία.
65.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15287Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ευθεία y=αx, με α πραγματικό αριθμό, και η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f(x)=ρ⋅ημ(ωx), όπου ρ>0 και ω>0, με x πραγματικό αριθμό. Το Ε είναι το σημείο στο οποίο η ευθεία συναντά την κορυφή της καμπύλης. Με βάση το σχήμα:
α)Να δείξετε ότι ρ=3 και ω=2.
β)Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α.
γ)Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης 3ημ(2x)−(π12)⋅x=0.
66.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15422Δίνεται η συνάρτηση f(x)=α⋅συν(2π−2x)−2ημ(π+2x), με α>0.
α)Να δείξετε ότι f(x)=(α+2)⋅ημ2x.
β)i. Αν η μέγιστη τιμή της f είναι 4, να δείξετε ότι α=2. ii. Να βρείτε την περίοδο της f.
γ)Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f σε διάστημα μιας περιόδου.
δ)Αν g(x)=5−συν22x, να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g.
67.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15821Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=3⋅ημx και g(x)=3⋅συνx, με x πραγματικό αριθμό.
α)Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία x τέτοια ώστε ημx=συνx=0.
β)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3⋅ημx=3⋅συνx είναι ισοδύναμη με την εξίσωση εφx=3 και κατόπιν να τη λύσετε στο διάστημα από 0 ως 2π.
γ)Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και g στο ίδιο σύστημα αξόνων, στο διάστημα από 0 ως 2π, και να ερμηνεύσετε γραφικά το συμπέρασμα του ερωτήματος β).
δ)Αξιοποιώντας το ερώτημα γ), να λύσετε γραφικά την ανίσωση 3⋅ημx<3⋅συνx στο διάστημα από 0 ως 2π.
68.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20645Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=συν(x−4π) και g(x)=συνx, με x πραγματικό αριθμό.
α)Να περιγράψετε με ποιο τρόπο προκύπτει η γραφική παράσταση της f από τη γραφική παράσταση της g.
β)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
γ)Να βρείτε τις τιμές f(2π) και f(π).
δ)Να λύσετε την εξίσωση 2⋅f(x)+1=0.
69.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20712Σε μια θαλάσσια περιοχή, λόγω της παλίρροιας, η στάθμη των υδάτων αυξομειώνεται. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της ημιτονοειδούς συνάρτησης f, που δίνει σε μέτρα το ύψος της στάθμης των υδάτων συναρτήσει του χρόνου t σε ώρες.
α)Να βρείτε την υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην υψηλότερη στάθμη, δηλαδή την πλημμυρίδα, και τη χαμηλότερη στάθμη, δηλαδή την άμπωτη.
β)Να βρείτε την περίοδο του φαινομένου της παλίρροιας.
γ)Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.
δ)Ποιες ώρες, στη διάρκεια μιας ημέρας, η στάθμη των υδάτων είναι 23 μέτρα;
70.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20747Δίνεται η συνάρτηση f(x)=3+3⋅εφ(ω)⋅ημx, με x πραγματικό αριθμό, όπου ω είναι μια γωνία του διαστήματος από 0 ως 2π για την οποία ισχύει η σχέση −2συν2(ω)+ημ(ω)=−1.
α)i. Να αποδείξετε ότι εφ(ω)=33. ii. Για εφ(ω)=33, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f.
β)Δίνεται η συνάρτηση g(x)=x2−10x+30, με x πραγματικό αριθμό, και η γραφική της παράσταση στο παρακάτω σχήμα. i. Να βρείτε, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, την ελάχιστη τιμή της g. ii. Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν κοινά σημεία και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
71.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #21244Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2α+1⋅συν(βx), με α>0 και β>0, η οποία έχει ελάχιστο −2 και περίοδο 2π.
α)Να δείξετε ότι α=3 και β=4.
β)Δίνεται η παράσταση Α, που έχει αριθμητή το γινόμενο ημ(2π−x)⋅εφ(π−x)⋅ημ(2π+x) και παρονομαστή το γινόμενο συν(3π−x)⋅σφ(27π−x)⋅συν(2π+x). Να δείξετε ότι A=−1.
γ)Να λύσετε την εξίσωση f(x)=2A, στο διάστημα από π ως 23π.
72.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #15789Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=ημx, με x στο διάστημα από 0 ως π.
α)i. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας το σχήμα και, μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της f, να σχεδιάσετε τη συνάρτηση g(x)=f(x−2π). ii. Ποιος είναι ο τύπος της g και σε ποιο διάστημα ορίζεται;