Κεφ. 2 - Συναρτήσεις›2.2 Μονοτονία - Ακρότατα

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 2 - Συναρτήσεις

§2.2 Μονοτονία & ακρότατα

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

📈Γνησίως αύξουσα συνάρτηση

•
Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ ⊆ Α, όταν για οποιαδήποτε $x_{1}$ , $x_{2}$ ∈ Δ με $x_{1} < x_{2}$ ισχύει $f (x_{1}) < f (x_{2})$ . $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$
💡 Παράδειγμα:
Η $f (x) = 2 x + 3$ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ: αν π.χ. $x_{1} = 1 < 2 = x_{2}$ , τότε $f (1) = 5 < 7 = f (2)$ .
•
Γεωμετρικά: η γραφική παράσταση μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης «ανεβαίνει» καθώς κινούμαστε προς τα δεξιά στον άξονα $x$ .
▶️ Μονοτονία — σύρε x₁ < x₂ και δες αν η f «ανεβαίνει» ή «κατεβαίνει».
x₁ < x₂ και f(x₁) < f(x₂) → γνησίως αύξουσα ↗ εδώ.
Σύρε τα σημεία x₁, x₂ πάνω στην καμπύλη.
❓ Γιατί:Όσο μεγαλύτερο το $x$ , τόσο μεγαλύτερη και η τιμή $y = f (x)$ — άρα τα σημεία της C_f βρίσκονται όλο και ψηλότερα.

📉Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση

•
Μια συνάρτηση $f$ λέγεται γνησίως φθίνουσα σε διάστημα Δ ⊆ Α, όταν για οποιαδήποτε $x_{1}$ , $x_{2}$ ∈ Δ με $x_{1} < x_{2}$ ισχύει $f (x_{1}) > f (x_{2})$ . $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = - x + 5 ε \overset{ι}{ˊ} ναι γνησ \overset{ι}{ˊ} ως φθ \overset{ι}{ˊ} νουσα στο R .$
•
Γεωμετρικά: η γραφική παράσταση μιας γνησίως φθίνουσας συνάρτησης «κατεβαίνει» καθώς κινούμαστε προς τα δεξιά.
•
Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ.
❓ Γιατί:Πολλές συναρτήσεις δεν είναι μονότονες σε όλο το πεδίο τους, αλλά είναι μονότονες σε υποδιαστήματα. Π.χ. η $f (x) = x^{2}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο (−∞, 0] και γνησίως αύξουσα στο [0, +∞).

🏔️Ολικό μέγιστο

•
Η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει στο $x_{0}$ ∈ Α (ολικό) μέγιστο, όταν για κάθε $x$ ∈ Α ισχύει $f (x) \leq f (x_{0})$ . Ο αριθμός $f (x_{0})$ λέγεται ολικό μέγιστο της $f$ . $f (x) \leq f (x_{0}) για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in A$
•
Γεωμετρικά: το ολικό μέγιστο είναι η μεγαλύτερη τιμή που παίρνει η γραφική παράσταση — το «υψηλότερο» σημείο της C_f.
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = - (x - 1)^{2} + 4 \overset{ε}{ˊ} χει ολικ \overset{ο}{ˊ} μ \overset{ε}{ˊ} γιστο 4 στο x_{0} = 1.$
▶️ Ολικό μέγιστο/ελάχιστο πάνω στη γραφική παράσταση.
f(x) = 1.72 ≤ f(x₀) = 3.00 → το f(x₀) είναι ολικό μέγιστο.
Σύρε τον δοκιμαστικό x — η τιμή f(x) δεν περνά ποτέ το f(x₀).

⛰️Ολικό ελάχιστο

•
Η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει στο $x_{0}$ ∈ Α (ολικό) ελάχιστο, όταν για κάθε $x$ ∈ Α ισχύει $f (x) \geq f (x_{0})$ . Ο αριθμός $f (x_{0})$ λέγεται ολικό ελάχιστο της $f$ . $f (x) \geq f (x_{0}) για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in A$
•
Γεωμετρικά: το ολικό ελάχιστο είναι η μικρότερη τιμή που παίρνει η γραφική παράσταση — το «χαμηλότερο» σημείο της C_f.
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 2)^{2} - 1 \overset{ε}{ˊ} χει ολικ \overset{ο}{ˊ} ελ \overset{α}{ˊ} χιστο - 1 στο x = 2.$
❓ Γιατί:Με τη συμπλήρωση τετραγώνου, ο όρος $(x - 2)^{2}$ είναι πάντα $\geq 0$ , άρα η μικρότερη τιμή της $f$ είναι $- 1, που$ επιτυγχάνεται όταν $(x - 2)^{2} = 0$ , δηλαδή $x = 2$ .
📎 Δες και:

🎯Ακρότατα — κοινός χαρακτηρισμός

•
Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται με κοινό όνομα ακρότατα της συνάρτησης.
•
Δεν παρουσιάζουν όλες οι συναρτήσεις ακρότατα. Π.χ. η $f (x) = x δεν$ έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο στο ℝ (παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές).
•
Για παραβολή $f (x) = α x^{2} + β x + γ$ : η κορυφή είναι ολικό ακρότατο. Είναι ολικό ελάχιστο όταν $α > 0$ και ολικό μέγιστο όταν $α < 0$ . $κορυφ \overset{η}{ˊ} K (- \frac{β}{2 α}, - \frac{Δ}{4 α})$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Αν η

f

είναι γνησίως αύξουσα και

x_{1} < x_{2}

, τότε

f (x_{1}) < f (x_{2})

2Πολλαπλής επιλογής

Η συνάρτηση

f (x) = - 3 x + 5

στο ℝ είναι:

3Σωστό / Λάθος

Η συνάρτηση

f (x) = x^{2}

είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ℝ.

4Πολλαπλής επιλογής

Η παραβολή

f (x) = α x^{2} + β x + γ

με

α > 0

παρουσιάζει στην κορυφή:

5Πολλαπλής επιλογής

Η τετμημένη της κορυφής της παραβολής

f (x) = α x^{2} + β x + γ

είναι:

6Σωστό / Λάθος

Κάθε συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο.

7Πολλαπλής επιλογής

f

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

x_{0}

όταν για κάθε

x

του πεδίου ισχύει:

8Σωστό / Λάθος

Η συνάρτηση

f (x) = x^{3}

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

9Πολλαπλής επιλογής

f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1

παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση

x =

10Σωστό / Λάθος

Μια συνάρτηση γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε αυτό.

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-2.2-m2
Συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ και διέρχεται από Α(1, 3). Μπορεί να διέρχεται και από Β(2, 5);
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Όχι. Από φθίνουσα: $1 < 2$
2. 2
  $f (1) > f (2)$
3. 3
  $3 > 5$ ψευδές.
2Μεσαίοlb-2.2-m1
Συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και διέρχεται από Α(1, 2). Μπορεί να διέρχεται και από Β(2, 9);
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ναι. Από γνησίως αύξουσα: $1 < 2$
2. 2
  $f (1) < f (2)$
3. 3
  $2 < 9$ ✓.
3Εύκολοlb-2.2-e1
Εξέτασε τη μονοτονία της $f (x) = 3 x + 5$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Κλίση $α = 3 > 0$
2. 2
  γνησίως αύξουσα στο ℝ.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlb-2.2-m1
Συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και διέρχεται από Α(1, 2). Μπορεί να διέρχεται και από Β(2, 9);
2Μεσαίοlb-2.2-m2
Συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ και διέρχεται από Α(1, 3). Μπορεί να διέρχεται και από Β(2, 5);

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται να αποδείξεις ότι η

f

είναι γνησίως αύξουσα/φθίνουσα σε διάστημα.

Βήματα

1Πάρε δύο τυχαία $x_{1}, x_{2}$ του διαστήματος με $x_{1} < x_{2}$ .
2Σχημάτισε τη διαφορά $f (x_{1}) - f (x_{2})$ και βρες το πρόσημό της.
3Αν $f (x_{1}) < f (x_{2})$ είναι γνησίως αύξουσα· αν $f (x_{1}) > f (x_{2})$ γνησίως φθίνουσα.

Παράδειγμα

Για

f (x) = 3 x + 2

: αν

x_{1} < x_{2}

τότε

3 x_{1} < 3 x_{2} \Rightarrow 3 x_{1} + 2 < 3 x_{2} + 2

, άρα

f (x_{1}) < f (x_{2})

— γνησίως αύξουσα.

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Να βρείτε τη μονοτονία της $f (x) = 5 x - 2$ στο ℝ.
2
Να βρείτε τη μονοτονία της $f (x) = - 2 x + 7$ στο ℝ.
3
Να βρείτε τη θέση του ελαχίστου της $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .
4
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .
5
Να βρείτε το είδος και τη θέση του ακρότατου της $f (x) = - x^{2} + 4 x - 1$ .
6
Η $f$ είναι άρτια και γνησίως φθίνουσα στο $[- 3, 0]$ . Ποια η μονοτονία της στο $[0, 3]$ ;
7
Να βρείτε τη θέση και την τιμή του ελαχίστου της $f (x) = x^{2}$ .
8
Για την $f (x) = 3 x + 1$ να συγκρίνετε τα $f (2)$ και $f (5)$ .
9
Να βρείτε τη θέση και την τιμή του ακρότατου της $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 1$ .
10
Για την $f (x) = - 3 x + 4$ να συγκρίνετε τα $f (1)$ και $f (2)$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες4 ασκήσεις

Να αποδείξετε, με τον ορισμό, ότι η

f (x) = 3 x + 2

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

Δίνεται η

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

. Να βρείτε την κορυφή, το είδος του ακρότατου και τα διαστήματα μονοτονίας.

Μια συνάρτηση

f

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ με σύνολο τιμών το ℝ και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

A (1, 2)

. Θα μπορούσε να διέρχεται και από το

B (2, 9)

;

Μια συνάρτηση

f

είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

A (1, 3)

. Θα μπορούσε να διέρχεται και από το

B (2, 5)

;

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Να αποδείξετε ότι η

f (x) = x^{3}

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

Να αποδείξετε, με συμπλήρωση τετραγώνου, ότι η

f (x) = x^{2} - 4 x + 7

έχει ολικό ελάχιστο και να το βρείτε.

Να αποδείξετε ότι η

f (x) = \frac{1}{x}

είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

(0, + \infty)

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται συνάρτηση

f

με πεδίο ορισμού το

[- 3, 3]

, η οποία είναι άρτια, γνησίως φθίνουσα στο

[- 3, 0]

και γνησίως αύξουσα στο

[0, 3]

α) Να αποδείξετε ότι

f (- 1) < f (2)

β) Να αποδείξετε ότι

f (0) \leq f (x) \leq f (3)

για κάθε

x \in [- 3, 3]

γ) Να αποδείξετε ότι η

f

παρουσιάζει ελάχιστο και μέγιστο και να βρείτε τις θέσεις τους.

δ) Από τους τύπους

f (x) = 9 - x^{2}

και

f (x) = - 9 - x^{2}

, να επιλέξετε ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της

f

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §2.2 Μονοτονία & ακρότατα

Ύλη: §2.2Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε μια συνάρτηση

f

λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα

Δ

;

β) Πού βρίσκεται η τετμημένη της κορυφής της παραβολής

f (x) = α x^{2} + β x + γ

;

ΘΕΜΑ Β

α) Να βρείτε τη μονοτονία της

f (x) = - 4 x + 3

β) Να βρείτε τη θέση και την τιμή του ελαχίστου της

f (x) = x^{2} - 2 x

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

. Να βρείτε την κορυφή, το είδος του ακρότατου και τα διαστήματα μονοτονίας.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📊 Quiz · Συναρτήσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

2.1 Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις

Επόμενο →

3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας