Μαθηματικά Β΄ Λυκείου — Θεωρία & Ασκήσεις

Κεφ. 2 - Ιδιότητες Συναρτήσεων›2.2 Κατακόρυφη - Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

📚

Η θεωρία αυτής της παραγράφου έρχεται σύντομα

Στο μεταξύ μπορείς να δοκιμάσεις τις ασκήσεις παρακάτω.

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα (8)

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται

1Εύκολοlb-2.2-met-e2
Πώς προκύπτουν οι καμπύλες των συναρτήσεων $h (x) = ∣ x + 3∣$ και $q (x) = ∣ x - 1∣$ από την καμπύλη της $φ (x) = ∣ x ∣$ ; Να βρείτε την κορυφή καθεμιάς και να τις σχεδιάσετε μαζί με τη φ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Επειδή $h (x) = φ (x + 3)$ , η γραφική παράσταση της $h$ προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και έχει κορυφή το σημείο (−3, 0).
2. 2
  Επειδή $q (x) = φ (x - 1)$ , η γραφική παράσταση της $q$ προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και έχει κορυφή το σημείο (1, 0).
3. 3
  Και στις δύο περιπτώσεις, η τετμημένη της κορυφής είναι ο αριθμός που μηδενίζει την παράσταση μέσα στην απόλυτη τιμή.
2Εύκολοlb-2.2-met-e1
Ξεκινώντας από την καμπύλη της $φ (x) = ∣ x ∣$ , να εξηγήσετε πώς σχεδιάζονται οι καμπύλες των συναρτήσεων $f (x) = ∣ x ∣ + 3$ και $g (x) = ∣ x ∣ - 1$ και να τις σχεδιάσετε σε κοινό σύστημα αξόνων με τη φ.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Η γραφική παράσταση της φ αποτελείται από τις ημιευθείες $y = - x$ με $x \leq 0$ και $y = x$ με $x \geq 0$ , με κορυφή την αρχή $O (0, 0)$ .
2. 2
  Επειδή $f (x) = φ (x) + 3$ , η γραφική παράσταση της $f$ προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά 3 μονάδες προς τα πάνω και έχει κορυφή το σημείο (0, 3).
3. 3
  Επειδή $g (x) = φ (x) - 1$ , η γραφική παράσταση της $g$ προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά 1 μονάδα προς τα κάτω και έχει κορυφή το σημείο (0, −1).
4. 4
  Οι τρεις καμπύλες είναι ίσες: καθεμία προκύπτει από οποιαδήποτε άλλη με μετατόπιση.
3Μεσαίοlb-2.2-met-m2
Με συμπλήρωση τετραγώνου, να φέρετε τον τύπο $f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 7$ στη μορφή $α (x - p)^{2} + q$ . Ποιες δύο μετατοπίσεις πρέπει να υποστεί η παραβολή της συνάρτησης $g (x) = 3 x^{2}$ για να συμπέσει με την παραβολή της $f$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 3 από τους δύο πρώτους όρους: $f (x) = 3 (x^{2} - 4 x) + 7$ .
2. 2
  Για να γίνει τέλειο τετράγωνο, προσθέτουμε 4 μέσα στην παρένθεση και ο τύπος γίνεται $3 (x^{2} - 4 x + 4) - 12 + 7$ , δηλαδή $f (x) = 3 (x - 2)^{2} - 5$ .
3. 3
  Το 4 που προσθέσαμε μέσα στην παρένθεση πολλαπλασιάζεται με το 3, άρα προσθέσαμε συνολικά 12 και γι᾽ αυτό αφαιρούμε 12.
4. 4
  Δηλαδή $α = 3$ , $p = 2$ και $q = - 5$ .
5. 5
  Επομένως $f (x) = g (x - 2) - 5$ : η γραφική παράσταση της $g$ μετατοπίζεται οριζόντια κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατακόρυφα κατά 5 μονάδες προς τα κάτω.
6. 6
  Η κορυφή της παραβολής είναι το σημείο (2, −5).
4Μεσαίοlb-2.2-met-m4
Η παραβολή της συνάρτησης $φ (x) = 3 x^{2} - 2$ μετατοπίζεται πρώτα οριζόντια και μετά κατακόρυφα. Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης $f$ που έχει ως γραφική παράσταση τη νέα παραβολή, όταν οι δύο μετατοπίσεις είναι: α) κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα πάνω. β) κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 1 μονάδα προς τα κάτω. γ) κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 4 μονάδες προς τα πάνω. δ) κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  α) $f (x) = φ (x - 1) + 2$ , άρα $f (x) = 3 (x - 1)^{2}$ .
2. 2
  β) $f (x) = φ (x - 2) - 1$ , άρα $f (x) = 3 (x - 2)^{2} - 3$ .
3. 3
  γ) $f (x) = φ (x + 3) + 4$ , άρα $f (x) = 3 (x + 3)^{2} + 2$ .
4. 4
  δ) $f (x) = φ (x + 1) - 2$ , άρα $f (x) = 3 (x + 1)^{2} - 4$ .
5Μεσαίοlb-2.2-met-m5
Να σχεδιάσετε την καμπύλη της συνάρτησης $f (x) = ∣ x + 2∣ - 3$ με τη βοήθεια μετατοπίσεων της καμπύλης της $y = ∣ x ∣$ , και να βρείτε σε ποια σημεία τέμνει τους άξονες.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Είναι $f (x) = φ (x + 2) - 3$ με $φ (x) = ∣ x ∣$ .
2. 2
  Άρα σχεδιάζουμε πρώτα την $y = ∣ x + 2∣$ , που προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά, και στη συνέχεια τη μετατοπίζουμε κατακόρυφα κατά 3 μονάδες προς τα κάτω.
3. 3
  Η κορυφή $O (0, 0)$ της φ καταλήγει στο σημείο (−2, −3).
4. 4
  Για τον άξονα $y$ ΄ $y$ : $f (0) = ∣2∣ - 3 = - 1$ , άρα τον τέμνει στο (0, −1).
5. 5
  Για τον άξονα $x$ ΄ $x$ λύνουμε $∣ x + 2∣ - 3 = 0$ , δηλαδή $∣ x + 2∣ = 3$ , οπότε $x + 2 = 3$ ή $x + 2 = - 3$ , δηλαδή $x = 1$ ή $x = - 5$ .
6. 6
  Άρα τον τέμνει στα (1, 0) και (−5, 0).
6Μεσαίοlb-2.2-met-m3
Με συμπλήρωση τετραγώνου, να φέρετε τον τύπο $f (x) = - 2 x^{2} - 4 x + 1$ στη μορφή $α (x - p)^{2} + q$ . Ποιες δύο μετατοπίσεις πρέπει να υποστεί η παραβολή της συνάρτησης $g (x) = - 2 x^{2}$ για να συμπέσει με την παραβολή της $f$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Βγάζουμε κοινό παράγοντα το −2 από τους δύο πρώτους όρους: $f (x) = - 2 (x^{2} + 2 x) + 1$ .
2. 2
  Για να γίνει τέλειο τετράγωνο, προσθέτουμε 1 μέσα στην παρένθεση και ο τύπος γίνεται $- 2 (x^{2} + 2 x + 1) + 2 + 1$ , δηλαδή $f (x) = - 2 (x + 1)^{2} + 3$ .
3. 3
  Το 1 που προσθέσαμε μέσα στην παρένθεση πολλαπλασιάζεται με το −2, άρα αφαιρέσαμε συνολικά 2 και γι᾽ αυτό προσθέτουμε 2.
4. 4
  Δηλαδή $α = - 2$ , $p = - 1$ και $q = 3$ , αφού $x + 1 = x - (- 1)$ .
5. 5
  Επομένως $f (x) = g (x + 1) + 3$ : η γραφική παράσταση της $g$ μετατοπίζεται οριζόντια κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά και κατακόρυφα κατά 3 μονάδες προς τα πάνω.
6. 6
  Η κορυφή της παραβολής είναι το σημείο (−1, 3).
7Μεσαίοlb-2.2-met-m1
Να περιγράψετε με ποιες μετατοπίσεις της καμπύλης της $φ (x) = ∣ x ∣$ προκύπτουν οι καμπύλες των συναρτήσεων $F (x) = ∣ x + 1∣ + 2$ και $G (x) = ∣ x - 3∣ - 1$ , να βρείτε τις κορυφές τους και να τις σχεδιάσετε.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Επειδή $F (x) = φ (x + 1) + 2$ , η γραφική παράσταση της $F$ προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της φ: μιας οριζόντιας κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.
2. 2
  Έχει κορυφή το σημείο (−1, 2).
3. 3
  Επειδή $G (x) = φ (x - 3) - 1$ , η γραφική παράσταση της $G$ προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά και κατακόρυφη κατά 1 μονάδα προς τα κάτω.
4. 4
  Έχει κορυφή το σημείο (3, −1).
8Εύκολοlb-2.2-met-e3
Μετατοπίζουμε την καμπύλη της $φ (x) = 2 x^{4}$ κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και στη συνέχεια κατά 1 μονάδα προς τα κάτω. Ποια συνάρτηση $f$ έχει ως γραφική παράσταση τη νέα καμπύλη; Α) $f (x) = 2 (x + 2)^{4} - 1$ . Β) $f (x) = 2 (x - 2)^{4} + 1$ . Γ) $f (x) = 2 (x - 2)^{4} - 1$ . Δ) $f (x) = 2 (x + 2)^{4} + 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σωστό είναι το Γ.
2. 2
  Η οριζόντια μετατόπιση κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά δίνει $φ (x - 2) = 2 (x - 2)^{4}$ και η κατακόρυφη κατά 1 μονάδα προς τα κάτω αφαιρεί 1, άρα $f (x) = 2 (x - 2)^{4} - 1$ .
3. 3
  Οι άλλες επιλογές είναι λάθος: το $x + 2$ στις Α και Δ σημαίνει μετατόπιση προς τα αριστερά, και το $+ 1$ στις Β και Δ σημαίνει μετατόπιση προς τα πάνω.

✏️Προτεινόμενες προς λύση (5)

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις

1Μεσαίοlb-2.2-met-m5
Να σχεδιάσετε την καμπύλη της συνάρτησης $f (x) = ∣ x + 2∣ - 3$ με τη βοήθεια μετατοπίσεων της καμπύλης της $y = ∣ x ∣$ , και να βρείτε σε ποια σημεία τέμνει τους άξονες.
2Μεσαίοlb-2.2-met-m4
Η παραβολή της συνάρτησης $φ (x) = 3 x^{2} - 2$ μετατοπίζεται πρώτα οριζόντια και μετά κατακόρυφα. Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης $f$ που έχει ως γραφική παράσταση τη νέα παραβολή, όταν οι δύο μετατοπίσεις είναι: α) κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα πάνω. β) κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 1 μονάδα προς τα κάτω. γ) κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 4 μονάδες προς τα πάνω. δ) κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω.
3Μεσαίοlb-2.2-met-m2
Με συμπλήρωση τετραγώνου, να φέρετε τον τύπο $f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 7$ στη μορφή $α (x - p)^{2} + q$ . Ποιες δύο μετατοπίσεις πρέπει να υποστεί η παραβολή της συνάρτησης $g (x) = 3 x^{2}$ για να συμπέσει με την παραβολή της $f$ ;
4Μεσαίοlb-2.2-met-m1
Να περιγράψετε με ποιες μετατοπίσεις της καμπύλης της $φ (x) = ∣ x ∣$ προκύπτουν οι καμπύλες των συναρτήσεων $F (x) = ∣ x + 1∣ + 2$ και $G (x) = ∣ x - 3∣ - 1$ , να βρείτε τις κορυφές τους και να τις σχεδιάσετε.
5Μεσαίοlb-2.2-met-m3
Με συμπλήρωση τετραγώνου, να φέρετε τον τύπο $f (x) = - 2 x^{2} - 4 x + 1$ στη μορφή $α (x - p)^{2} + q$ . Ποιες δύο μετατοπίσεις πρέπει να υποστεί η παραβολή της συνάρτησης $g (x) = - 2 x^{2}$ για να συμπέσει με την παραβολή της $f$ ;

← Προηγούμενο

2.1 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες Συνάρτησης

Επόμενο →

3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας