Κεφ. 2 - Ιδιότητες Συναρτήσεων›2.1 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες Συνάρτησης

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 2 - Ιδιότητες Συναρτήσεων

§2.1 Μονοτονία, ακρότατα & συμμετρίες

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

📈Γνησίως αύξουσα συνάρτηση

•
Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ ⊆ Α, όταν για οποιαδήποτε $x_{1}$ , $x_{2}$ ∈ Δ με $x_{1} < x_{2}$ ισχύει $f (x_{1}) < f (x_{2})$ . $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$
💡 Παράδειγμα:
Η $f (x) = 2 x + 3$ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ: αν π.χ. $x_{1} = 1 < 2 = x_{2}$ , τότε $f (1) = 5 < 7 = f (2)$ .
•
Γεωμετρικά: η γραφική παράσταση μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης «ανεβαίνει» καθώς κινούμαστε προς τα δεξιά στον άξονα $x$ .
▶️ Μονοτονία — σύρε x₁ < x₂ και δες αν η f «ανεβαίνει» ή «κατεβαίνει».
x₁ < x₂ και f(x₁) < f(x₂) → γνησίως αύξουσα ↗ εδώ.
Σύρε τα σημεία x₁, x₂ πάνω στην καμπύλη.
❓ Γιατί:Όσο μεγαλύτερο το $x$ , τόσο μεγαλύτερη και η τιμή $y = f (x)$ — άρα τα σημεία της C_f βρίσκονται όλο και ψηλότερα.

📉Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση

•
Μια συνάρτηση $f$ λέγεται γνησίως φθίνουσα σε διάστημα Δ ⊆ Α, όταν για οποιαδήποτε $x_{1}$ , $x_{2}$ ∈ Δ με $x_{1} < x_{2}$ ισχύει $f (x_{1}) > f (x_{2})$ . $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = - x + 5 ε \overset{ι}{ˊ} ναι γνησ \overset{ι}{ˊ} ως φθ \overset{ι}{ˊ} νουσα στο R .$
•
Γεωμετρικά: η γραφική παράσταση μιας γνησίως φθίνουσας συνάρτησης «κατεβαίνει» καθώς κινούμαστε προς τα δεξιά.
•
Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ.
❓ Γιατί:Πολλές συναρτήσεις δεν είναι μονότονες σε όλο το πεδίο τους, αλλά είναι μονότονες σε υποδιαστήματα. Π.χ. η $f (x) = x^{2}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(- \infty, 0]$ και γνησίως αύξουσα στο $[0, + \infty)$ .

🏔️Ολικό μέγιστο

•
Η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει στο $x_{0}$ ∈ Α (ολικό) μέγιστο, όταν για κάθε $x \in A$ ισχύει $f (x) \leq f (x_{0})$ . Ο αριθμός $f (x_{0})$ λέγεται ολικό μέγιστο της $f$ . $f (x) \leq f (x_{0}) για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in A$
•
Γεωμετρικά: το ολικό μέγιστο είναι η μεγαλύτερη τιμή που παίρνει η γραφική παράσταση — το «υψηλότερο» σημείο της C_f.
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = - (x - 1)^{2} + 4 \overset{ε}{ˊ} χει ολικ \overset{ο}{ˊ} μ \overset{ε}{ˊ} γιστο 4 στο x_{0} = 1.$
▶️ Ολικό μέγιστο/ελάχιστο πάνω στη γραφική παράσταση.
f(x) = 1.72 ≤ f(x₀) = 3.00 → το f(x₀) είναι ολικό μέγιστο.
Σύρε τον δοκιμαστικό x — η τιμή f(x) δεν περνά ποτέ το f(x₀).

⛰️Ολικό ελάχιστο

•
Η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει στο $x_{0}$ ∈ Α (ολικό) ελάχιστο, όταν για κάθε $x \in A$ ισχύει $f (x) \geq f (x_{0})$ . Ο αριθμός $f (x_{0})$ λέγεται ολικό ελάχιστο της $f$ . $f (x) \geq f (x_{0}) για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in A$
•
Γεωμετρικά: το ολικό ελάχιστο είναι η μικρότερη τιμή που παίρνει η γραφική παράσταση — το «χαμηλότερο» σημείο της C_f.
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 2)^{2} - 1 \overset{ε}{ˊ} χει ολικ \overset{ο}{ˊ} ελ \overset{α}{ˊ} χιστο - 1 στο x = 2.$
❓ Γιατί:Με τη συμπλήρωση τετραγώνου, ο όρος $(x - 2)^{2}$ είναι πάντα $\geq 0$ , άρα η μικρότερη τιμή της $f$ είναι $- 1, που$ επιτυγχάνεται όταν $(x - 2)^{2} = 0$ , δηλαδή $x = 2$ .
📎 Δες και:

🎯Ακρότατα — κοινός χαρακτηρισμός

•
Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται με κοινό όνομα ακρότατα της συνάρτησης.
•
Δεν παρουσιάζουν όλες οι συναρτήσεις ακρότατα. Π.χ. η $f (x) = x δεν$ έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο στο ℝ (παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές).
•
Για παραβολή $f (x) = α x^{2} + β x + γ$ : η κορυφή είναι ολικό ακρότατο. Είναι ολικό ελάχιστο όταν $α > 0$ και ολικό μέγιστο όταν $α < 0$ . $κορυφ \overset{η}{ˊ} K (- \frac{β}{2 α}, - \frac{Δ}{4 α})$

🔁Προϋπόθεση: συμμετρικό πεδίο ορισμού

•
Για να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση $f$ είναι άρτια ή περιττή, ΠΡΕΠΕΙ πρώτα το πεδίο ορισμού της Α να είναι συμμετρικό ως προς το 0 — δηλαδή, για κάθε $x \in A$ να ισχύει επίσης − $x \in A$ .
$x \in A$ $⟺ - x \in A$
💡 Παράδειγμα:
$T ο πεδ \overset{ι}{ˊ} ο A = [- 3, 3] ε \overset{ι}{ˊ} ναι συμμετρικ \overset{ο}{ˊ}, εν \overset{ω}{ˊ} τ ο A = [0, 5] ΔΕΝ ε \overset{ι}{ˊ} ναι .$
•
Αν αυτή η προϋπόθεση δεν ικανοποιείται, η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή — ανεξάρτητα από τον τύπο της.
❓ Γιατί:Δεν έχει νόημα να συγκρίνουμε $f (- x)$ με $f (x)$ ή − $f (x)$ , αν δεν είναι ορισμένα και τα δύο. Άρα το πεδίο ορισμού πρέπει να περιέχει το $x$ και το − $x$ μαζί.

🪞Άρτια συνάρτηση

•
Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α (συμμετρικό ως προς το 0) λέγεται άρτια, όταν για κάθε $x \in A$ ισχύει $f (- x) = f (x)$ . $f (- x) = f (x), για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in A$
•
Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα $y$ ′ $y$ .
💡 Παράδειγμα:
$Παραδε \overset{ι}{ˊ} γματα \overset{α}{ˊ} ρτιων : f (x) = x^{2}, f (x) = x^{4}, f (x) = ∣ x ∣, f (x) = συν x .$
▶️ Άρτια/περιττή — σύρε σημείο Μ και δες το κάτοπτρο Μ′ (άξονας y′y ή κέντρο Ο).
Μ(2,4, 0,42) → Μ′(-2,4, 0,42) · f(−x) = f(x) · συμμετρία ως προς τον άξονα y′y
Σύρε το Μ — δες πού πέφτει το κάτοπτρό του Μ′.
❓ Γιατί:Αν (x, $y$ ) ανήκει στη γραφική παράσταση, τότε και το (− $x$ , $y$ ) ανήκει — αφού $f (- x) = f (x) = y$ . Άρα κάθε σημείο έχει συμμετρικό ως προς τον $y$ ′ $y$ .
•
Σε πολυωνυμική συνάρτηση: αν όλοι οι εκθέτες είναι ΑΡΤΙΟΙ (ή ο σταθερός όρος είναι ο μόνος μη μηδενικός), η συνάρτηση είναι άρτια.
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5 ε \overset{ι}{ˊ} ναι \overset{α}{ˊ} ρτια (εκθ \overset{ε}{ˊ} τες 4, 2, 0) .$

🔄Περιττή συνάρτηση

•
Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α (συμμετρικό ως προς το 0) λέγεται περιττή, όταν για κάθε $x \in A$ ισχύει $f (- x) = - f (x)$ . $f (- x) = - f (x), για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in A$
•
Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.
💡 Παράδειγμα:
$Παραδε \overset{ι}{ˊ} γματα περιττ \overset{ω}{ˊ} ν : f (x) = x, f (x) = x^{3}, f (x) = \frac{1}{x}, f (x) = η μx, f (x) = εφ x .$
❓ Γιατί:Αν (x, $y$ ) ανήκει στη γραφική παράσταση, τότε και το (− $x$ , − $y$ ) — αφού $f (- x) = - f (x) = - y$ . Άρα κάθε σημείο έχει συμμετρικό ως προς το Ο.
•
Σε πολυωνυμική συνάρτηση: αν όλοι οι εκθέτες είναι ΠΕΡΙΤΤΟΙ και ΔΕΝ υπάρχει σταθερός όρος, η συνάρτηση είναι περιττή.
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = 2 x^{5} - x^{3} + 4 x ε \overset{ι}{ˊ} ναι περιττ \overset{η}{ˊ} (εκθ \overset{ε}{ˊ} τες 5, 3, 1) .$
•
Αν μια περιττή συνάρτηση ορίζεται στο 0, τότε αναγκαστικά $f (0) = 0$ .
📐 Απόδειξη:
$Στον ορισμ \overset{ο}{ˊ} β \overset{α}{ˊ} ζουμε x = 0 :$ $⟺ f (- 0) = - f (0)$ $⟺ f (0) = - f (0)$ $⟺ 2 f (0) = 0$ $⟺ f (0) = 0.$

🧪Πώς ελέγχουμε — μη άρτια, μη περιττή

•
Μεθοδολογία: (1) Ελέγχουμε ότι το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το 0. (2) Υπολογίζουμε το $f (- x)$ . (3) Συγκρίνουμε με $f (x)$ (άρτια) και με − $f (x)$ (περιττή).
•
Πολλές συναρτήσεις δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές.
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = x + 1 : f (- x) = - x + 1, f (x) = x + 1, - f (x) = - x - 1.$
$Δεν ισχ \overset{υ}{ˊ} ει ο \overset{υ}{ˊ} τε f (- x) = f (x) ο \overset{υ}{ˊ} τε f (- x) = - f (x) .$
•
Η σταθερή συνάρτηση $f (x) = c$ είναι άρτια. Αν επιπλέον $c = 0$ , είναι και περιττή (η μηδενική είναι η μοναδική που είναι ταυτόχρονα άρτια και περιττή).
❓ Γιατί:Για $c = 0$ ισχύει $0 = 0$ και $0 = - 0$ ταυτόχρονα.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Αν η

f

είναι γνησίως αύξουσα και

x_{1} < x_{2}

, τότε

f (x_{1}) < f (x_{2})

2Πολλαπλής επιλογής

Η συνάρτηση

f (x) = - 3 x + 5

στο ℝ είναι:

3Σωστό / Λάθος

Η συνάρτηση

f (x) = x^{2}

είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ℝ.

4Πολλαπλής επιλογής

Η παραβολή

f (x) = α x^{2} + β x + γ

με

α > 0

παρουσιάζει στην κορυφή:

5Πολλαπλής επιλογής

Η τετμημένη της κορυφής της παραβολής

f (x) = α x^{2} + β x + γ

είναι:

6Σωστό / Λάθος

Κάθε συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο.

7Πολλαπλής επιλογής

f

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

x_{0}

όταν για κάθε

x

του πεδίου ισχύει:

8Σωστό / Λάθος

Η συνάρτηση

f (x) = x^{3}

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

9Πολλαπλής επιλογής

f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1

παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση

x =

10Σωστό / Λάθος

Μια συνάρτηση γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε αυτό.

11Σωστό / Λάθος

Για να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή, το πεδίο ορισμού της πρέπει να είναι συμμετρικό ως προς το

0

12Σωστό / Λάθος

Η συνάρτηση

f (x) = x^{2}

είναι περιττή.

13Πολλαπλής επιλογής

Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττή;

14Πολλαπλής επιλογής

Αν η

f

είναι άρτια και

f (3) = 5

, τότε

f (- 3) =

15Σωστό / Λάθος

Αν μια περιττή συνάρτηση ορίζεται στο

0

, τότε αναγκαστικά

f (0) = 0

16Πολλαπλής επιλογής

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει:

17Σωστό / Λάθος

Η συνάρτηση

f (x) = x + 1

είναι άρτια.

18Πολλαπλής επιλογής

Αν η

f

είναι περιττή και

f (- 2) = 7

, τότε

f (2) =

19Σωστό / Λάθος

Η σταθερή συνάρτηση

f (x) = 4

είναι άρτια.

20Πολλαπλής επιλογής

Μια πολυωνυμική συνάρτηση με μόνο περιττούς εκθέτες και χωρίς σταθερό όρο είναι:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-2.2-m2
Συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ και διέρχεται από Α(1, 3). Μπορεί να διέρχεται και από Β(2, 5);
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Όχι. Από φθίνουσα: $1 < 2$
2. 2
  $f (1) > f (2)$
3. 3
  $3 > 5$ ψευδές.
2Εύκολοlb-2.2-e1
Εξέτασε τη μονοτονία της $f (x) = 3 x + 5$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Κλίση $α = 3 > 0$
2. 2
  γνησίως αύξουσα στο ℝ.
3Εύκολοlb-2.1-e2
Εξέτασε αν η $f (x) = x^{3} + 2 x$ είναι περιττή.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $f (- x) = - x^{3} - 2 x = - (x^{3} + 2 x) = - f (x)$ .
2. 2
  Ναι, περιττή.
4Εύκολοlb-2.1-e1
Εξέτασε αν η $f (x) = x^{2} + 1$ είναι άρτια.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $f (- x) = (- x)^{2} + 1 = x^{2} + 1 = f (x)$ .
2. 2
  Ναι, άρτια.
5Μεσαίοlb-2.1-m1
Δίνεται συνάρτηση $f$ με $f (- 1) = 2$ και $f (1) = 0$ . Αιτιολόγησε γιατί δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Άρτια: θα έπρεπε $f (- 1) = f (1)$
2. 2
  $2 \neq = 0$ . Περιττή: θα έπρεπε $f (- 1) = - f (1)$
3. 3
  $2 \neq = 0$ . Καμία από τις δύο.
6Μεσαίοlb-2.2-m1
Συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και διέρχεται από Α(1, 2). Μπορεί να διέρχεται και από Β(2, 9);
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ναι. Από γνησίως αύξουσα: $1 < 2$
2. 2
  $f (1) < f (2)$
3. 3
  $2 < 9$ ✓.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlb-2.2-m1
Συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και διέρχεται από Α(1, 2). Μπορεί να διέρχεται και από Β(2, 9);
2Μεσαίοlb-2.1-m1
Δίνεται συνάρτηση $f$ με $f (- 1) = 2$ και $f (1) = 0$ . Αιτιολόγησε γιατί δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
3Μεσαίοlb-2.2-m2
Συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ και διέρχεται από Α(1, 3). Μπορεί να διέρχεται και από Β(2, 5);

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται να αποδείξεις ότι η

f

είναι γνησίως αύξουσα/φθίνουσα σε διάστημα.

Βήματα

1Πάρε δύο τυχαία $x_{1}, x_{2}$ του διαστήματος με $x_{1} < x_{2}$ .
2Σχημάτισε τη διαφορά $f (x_{1}) - f (x_{2})$ και βρες το πρόσημό της.
3Αν $f (x_{1}) < f (x_{2})$ είναι γνησίως αύξουσα· αν $f (x_{1}) > f (x_{2})$ γνησίως φθίνουσα.

Παράδειγμα

Για

f (x) = 3 x + 2

: αν

x_{1} < x_{2}

τότε

3 x_{1} < 3 x_{2} \Rightarrow 3 x_{1} + 2 < 3 x_{2} + 2

, άρα

f (x_{1}) < f (x_{2})

— γνησίως αύξουσα.

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 20 ασκήσεις προς λύση

1
Να βρείτε τη μονοτονία της $f (x) = 5 x - 2$ στο ℝ.
2
Να βρείτε τη μονοτονία της $f (x) = - 2 x + 7$ στο ℝ.
3
Να βρείτε τη θέση του ελαχίστου της $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .
4
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .
5
Να βρείτε το είδος και τη θέση του ακρότατου της $f (x) = - x^{2} + 4 x - 1$ .
6
Η $f$ είναι άρτια και γνησίως φθίνουσα στο $[- 3, 0]$ . Ποια η μονοτονία της στο $[0, 3]$ ;
7
Να βρείτε τη θέση και την τιμή του ελαχίστου της $f (x) = x^{2}$ .
8
Για την $f (x) = 3 x + 1$ να συγκρίνετε τα $f (2)$ και $f (5)$ .
9
Να βρείτε τη θέση και την τιμή του ακρότατου της $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 1$ .
10
Για την $f (x) = - 3 x + 4$ να συγκρίνετε τα $f (1)$ και $f (2)$ .
11
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ είναι άρτια ή περιττή.
12
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{3} + x$ είναι άρτια ή περιττή.
13
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{2} + x$ είναι άρτια ή περιττή.
14
Η $f$ είναι άρτια και $f (5) = - 2$ . Να βρείτε το $f (- 5)$ .
15
Η $f$ είναι περιττή και $f (4) = 9$ . Να βρείτε το $f (- 4)$ .
16
Να εξετάσετε αν η $f (x) = 2 x^{5} - x^{3}$ είναι άρτια ή περιττή.
17
Να εξετάσετε αν η $f (x) = ∣ x ∣ + 1$ είναι άρτια ή περιττή.
18
Μια περιττή συνάρτηση ορίζεται στο $0$ . Πόσο είναι το $f (0)$ ;
19
Να εξετάσετε αν η σταθερή $f (x) = 5$ είναι άρτια ή περιττή.
20
Να εξετάσετε αν η $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ είναι άρτια ή περιττή.

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες8 ασκήσεις

Να αποδείξετε, με τον ορισμό, ότι η

f (x) = 3 x + 2

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

Δίνεται η

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

. Να βρείτε την κορυφή, το είδος του ακρότατου και τα διαστήματα μονοτονίας.

Μια συνάρτηση

f

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ με σύνολο τιμών το ℝ και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

A (1, 2)

. Θα μπορούσε να διέρχεται και από το

B (2, 9)

;

Μια συνάρτηση

f

είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το

A (1, 3)

. Θα μπορούσε να διέρχεται και από το

B (2, 5)

;

Να αποδείξετε ότι η

f (x) = x^{3} - 4 x

είναι περιττή.

Για μια συνάρτηση

f

ισχύει

f (- 1) = 2

και

f (1) = 0

. Να αποδείξετε ότι η

f

δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Να εξετάσετε αν η

f (x) = x^{2} - 2∣ x ∣ + 1

είναι άρτια ή περιττή.

Αν η

f

είναι άρτια και η

g

περιττή (με κοινό συμμετρικό πεδίο ορισμού), να αποδείξετε ότι το γινόμενο

h (x) = f (x) \cdot g (x)

είναι περιττή συνάρτηση.

💎Πολύ δύσκολες6 ασκήσεις

Να αποδείξετε ότι η

f (x) = x^{3}

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

Να αποδείξετε, με συμπλήρωση τετραγώνου, ότι η

f (x) = x^{2} - 4 x + 7

έχει ολικό ελάχιστο και να το βρείτε.

Να αποδείξετε ότι η

f (x) = \frac{1}{x}

είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

(0, + \infty)

Να εξετάσετε αν η

f (x) = \frac{x ^{3} - x}{x ^{2} + 2}

είναι άρτια ή περιττή.

Για μια συνάρτηση

f

με πεδίο ορισμού το ℝ ισχύει

f (x) + f (- x) = 0

για κάθε

x

. Να αποδείξετε ότι η

f

είναι περιττή και ότι

f (0) = 0

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = - 9 - x^{2}

. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι είναι άρτια.

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων2 θέματα

Θ1

Δίνεται συνάρτηση

f

με πεδίο ορισμού το

[- 3, 3]

, η οποία είναι άρτια, γνησίως φθίνουσα στο

[- 3, 0]

και γνησίως αύξουσα στο

[0, 3]

α) Να αποδείξετε ότι

f (- 1) < f (2)

β) Να αποδείξετε ότι

f (0) \leq f (x) \leq f (3)

για κάθε

x \in [- 3, 3]

γ) Να αποδείξετε ότι η

f

παρουσιάζει ελάχιστο και μέγιστο και να βρείτε τις θέσεις τους.

δ) Από τους τύπους

f (x) = 9 - x^{2}

και

f (x) = - 9 - x^{2}

, να επιλέξετε ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της

f

Θ2

Δίνεται περιττή συνάρτηση

f

με πεδίο ορισμού το ℝ, για την οποία ισχύει

f (1) = 3

και

f (2) = - 1

α) Να βρείτε το

f (- 1)

β) Να βρείτε το

f (- 2)

γ) Να υπολογίσετε το

f (0)

δ) Αν

g (x) = f (x) + x^{3}

, να αποδείξετε ότι η

g

είναι περιττή.

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §2.2 Μονοτονία & ακρότατα

Ύλη: §2.2Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε μια συνάρτηση

f

λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα

Δ

;

β) Πού βρίσκεται η τετμημένη της κορυφής της παραβολής

f (x) = α x^{2} + β x + γ

;

ΘΕΜΑ Β

α) Να βρείτε τη μονοτονία της

f (x) = - 4 x + 3

β) Να βρείτε τη θέση και την τιμή του ελαχίστου της

f (x) = x^{2} - 2 x

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

. Να βρείτε την κορυφή, το είδος του ακρότατου και τα διαστήματα μονοτονίας.

📝 Mini-test — §2.1 Άρτιες & περιττές συναρτήσεις

Ύλη: §2.1Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε μια συνάρτηση

f

λέγεται άρτια;

β) Σωστό ή Λάθος: αν μια περιττή συνάρτηση ορίζεται στο

0

, τότε

f (0) = 0

ΘΕΜΑ Β

α) Να εξετάσετε αν η

f (x) = x^{4} + 2 x^{2}

είναι άρτια ή περιττή.

β) Να εξετάσετε αν η

f (x) = x^{3} - x

είναι άρτια ή περιττή.

ΘΕΜΑ Γ

f

είναι άρτια και

f (2) = 5

. Να βρείτε το

f (- 2)

και να εξετάσετε αν η

g (x) = x^{2} + 1

είναι άρτια.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📊 Quiz · Συναρτήσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

1.2 Μη Γραμμικά Συστήματα

Επόμενο →

2.2 Κατακόρυφη - Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης