Αυτούσια θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων του ΙΕΠ · 0 λυμένα · 29 προς λύση
Τι θα τυπωθεί:29 από 29
Ονοματεπώνυμο
Τμήμα
Ημερομηνία
✏️ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Αυτούσια θέματα εξετάσεων, χωρίς λύσεις — όπως θα τα δεις στο διαγώνισμα.
2.1 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες Συνάρτησης
1.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15019Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι f(−1)=2 και f(1)=0. Να αιτιολογήσετε (αλγεβρικά ή γραφικά):
α)γιατί η συνάρτηση f δεν είναι άρτια.
β)γιατί η συνάρτηση f δεν είναι περιττή.
γ)γιατί η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως αύξουσα.
2.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15022Θεωρούμε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [−3, 3]. Η συνάρτηση f είναι άρτια, γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [−3, 0] και γνησίως αύξουσα στο [0, 3].
α)Να αποδείξετε ότι f(−1)<f(2).
β)Να αποδείξετε ότι f(3)≥f(x)≥f(0) για κάθε x∈[−3,3].
γ)Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο και μέγιστο και να βρείτε τις θέσεις μεγίστου και ελαχίστου.
δ)Παρακάτω δίνονται 4 τύποι, από τους οποίους ένας μόνο μπορεί να είναι ο τύπος της συνάρτησης f. Να επιλέξετε τον σωστό τύπο αιτιολογώντας την απάντησή σας. Α) f(x) = 9−x2 · Β) f(x) = −9−x2 · Γ) f(x) = x2−9 · Δ) f(x) = −x2−9.
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14973Δίνονται οι συναρτήσεις φ(x)=3x2,x ∈ ℝ και f(x)=3x2−6x+8,x ∈ ℝ.
α)Να ελέγξετε αν η συνάρτηση φ(x) είναι άρτια ή περιττή και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
β)Να αποδείξετε ότι f(x)=3(x−1)2+5,x ∈ ℝ. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f, αιτιολογώντας την απάντησή σας.
γ)Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, να βρείτε: i. Τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνήσια μονότονη και τον άξονα συμμετρίας της συνάρτησης f. ii. Το ολικό ακρότατο της f και τη θέση του. Τι είδους ακρότατο είναι; iii. Το πλήθος των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας με εξίσωση y=λ,λ ∈ ℝ, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ.
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15017Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα (α, 3) είναι άρτια και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο (2, 2).
α)Να βρείτε την τιμή του α.
β)Να βρείτε το f(−2).
γ)Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο διάστημα [0, 3). Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο πεδίο ορισμού της.
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15018Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα (α, 6) είναι περιττή και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο (4, 2).
α)Να βρείτε την τιμή του α.
β)Να βρείτε το f(−4).
γ)Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο διάστημα [0, 6). Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο πεδίο ορισμού της.
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14972Δίνεται η συνάρτηση φ(x)=∣x∣,x ∈ ℝ, με γραφική παράσταση που φαίνεται στο σχήμα. Επιπλέον οι συναρτήσεις g(x)=∣x−2∣,x ∈ ℝ και f(x)=∣x−2∣+1,x ∈ ℝ.
α)Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις συναρτήσεις g, f και να εξηγήσετε πώς προκύπτουν μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της φ.
β)Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της f, η οποία δίνεται παρακάτω, να βρείτε: i. Τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνήσια αύξουσα και γνήσια φθίνουσα. ii. Το ολικό ακρότατο της f και τη θέση του. Τι είδους ακρότατο είναι;
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14983Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=(31)x2,x ∈ ℝ και η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x), η οποία προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της g(x) κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά και μετά κατά μία μονάδα προς τα πάνω.
α)Να επιλέξετε την σωστή απάντηση όσον αφορά τον τύπο της f(x). i. f(x)=g(x+3)+1⋅ ii. f(x)=g(x+3)−1⋅ iii. f(x)=g(x−3)+1⋅ iv. f(x)=g(x−3)−1
β)Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f(x) και την θέση ελαχίστου.
γ)Να γράψετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15811Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=x2−2,x ∈ ℝ.
α)Με βάση τη γραφική της παράσταση: i. να αιτιολογήσετε γιατί η g είναι άρτια. ii. να βρείτε το ελάχιστο της g και τη θέση αυτού.
β)Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f(x)=x2 μετατοπίζοντας κατάλληλα την γραφική παράσταση της g που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.
9.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #20671Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x2+1 και η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g(x) με x∈R.
α)i. Είναι η f άρτια ή περιττή συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii. Έχει η f μέγιστη τιμή ή ελάχιστη; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)i. Με ποια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f προέκυψε η γραφική παράσταση της g; ii. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g.
10.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21673Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f(x)=x2,x ∈ ℝ.
α)Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης φ(x) της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από την Cf αν την μετατοπίσουμε μια μονάδα προς τα πάνω.
β)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φ(x).
γ)Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατα της φ(x).
11.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #32674Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2−4x+5,x ∈ ℝ.
α)Να δείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x)=(x−2)2+1.
β)Να αναφέρετε με ποιες μετατοπίσεις της y(x)=x2 προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την οποία και να χαράξετε στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί.
12.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14294Στο σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας παραβολής f(x)=αx2+βx+γ και της ευθείας g(x)=−x+2.
α)Δεδομένου ότι η παραβολή διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ.
β)Αν α=21,β=0 και γ=−2, να βρείτε αλγεβρικά τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας και της παραβολής.
γ)Αν μετατοπίσουμε την παραβολή κατά 4,5 μονάδες προς τα πάνω, να δείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή θα έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
13.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #16129Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x).
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β)Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή.
γ)Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f και τις θέσεις των ακροτάτων.
14.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15349Δίνεται η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το ℝ, όπως φαίνεται στο σχήμα.
α)Να αιτιολογήσετε γιατί η συνάρτηση είναι άρτια.
β)Αν γνωρίζετε ότι τα σημεία A(−2,−1) και B(2,−1) ανήκουν στη γραφική παράσταση της f να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f.
γ)Να λύσετε γραφικά την εξίσωση f(x)=0.
15.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15437Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x−2x−3, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
β)Να προσδιορίσετε το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης, καθώς και τη θέση αυτού.
γ)Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι: i. γνησίως φθίνουσα ii. γνησίως αύξουσα
16.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #32677Δίνονται οι συναρτήσεις φ(x)=−x2,x ∈ ℝ και f(x)=−x2+2x+1,x ∈ ℝ.
α)Να αποδείξετε ότι f(x)=−(x−1)2+2 για κάθε x∈R και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f.
β)Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f να βρείτε: i. Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη. ii. Το ολικό ακρότατο της f καθώς και τη θέση του. iii. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=κ,κ<2. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
17.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20713Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος με πλευρά 2 cm, παίρνουμε τα εσωτερικά σημεία Ε, Ζ, Η, Θ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα, ώστε EB=ZΓ=HΔ=ΘA=x και σχηματίζεται το τετράγωνο ΕΖΗΘ.
α)Να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ ως συνάρτηση του x και να βρείτε τις δυνατές τιμές του x.
β)Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ συναρτήσει της πλευράς x δίνεται από τη συνάρτηση E(x)=2(x−1)2+2 και να βρείτε το πεδίο ορισμού της στο πλαίσιο του προβλήματος.
γ)Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=2x2. Μετατοπίζοντας την κατάλληλα, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Ε(x) και με βάση αυτή, να βρείτε το x έτσι ώστε το εμβαδόν Ε(x) του ΕΖΗΘ να γίνεται ελάχιστο.
δ)Τι συμπέρασμα προκύπτει για τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ στην περίπτωση που το εμβαδόν του ΕΖΗΘ γίνεται ελάχιστο;
18.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #20715Με συρματόπλεγμα μήκους 20 m θέλουμε να περιφράξουμε οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις x και y, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
α)Να εκφράσετε την πλευρά y ως συνάρτηση της πλευράς x και να βρείτε τις δυνατές τιμές της πλευράς x.
β)Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε(x) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του x δίνεται από τη συνάρτηση E(x)=−(x−5)2+25 και να βρείτε το πεδίο ορισμού της στο πλαίσιο του προβλήματος.
γ)Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=−x2. Μετατοπίζοντάς τη κατάλληλα, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Ε(x) και με βάση αυτή, να βρείτε το x έτσι ώστε το εμβαδόν Ε(x) του ορθογωνίου να γίνεται μέγιστο.
δ)Για την τιμή του x που βρήκατε στο γ) ερώτημα, να βρείτε την πλευρά y και να προσδιορίσετε το είδος του ορθογωνίου.
19.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14971Δίνονται τα σημεία του επιπέδου Α(1, 1) και Β(3, 3).
α)Να αιτιολογήσετε ποιες από τις επόμενες ιδιότητες θα μπορούσε και ποιες δε θα μπορούσε να έχει μία συνάρτηση f, που ορίζεται σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς και της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα Α και Β. i. είναι σταθερή συνάρτηση ii. είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση
β)Να συμπληρώσετε την παρακάτω γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f, η οποία διέρχεται από τα Α, Β και είναι περιττή.
20.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14976Δίνονται τα παρακάτω σχήματα:
α)Να αιτιολογήσετε ποιες από τις γραφικές παραστάσεις C1, C2, C3, C4 αναπαριστούν άρτιες ή περιττές συναρτήσεις, ποιες όχι και γιατί. Δίνεται ότι τουλάχιστον μία είναι άρτια και τουλάχιστον μία είναι περιττή.
β)Για τις συναρτήσεις C2, C4 να βρείτε την τεταγμένη του σημείου τους B(−2,k), αιτιολογώντας την τιμή που βρήκατε από την ιδιότητα συμμετρίας καθεμίας συνάρτησης.
21.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15116Στο παρακάτω σχήμα δίνονται ορισμένα τμήματα της γραφικής παράστασης μιας άρτιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το διάστημα [−4, 4].
α)Να μεταφέρετε το σχήμα στην κόλλα σας και να χαράξετε τα υπόλοιπα τμήματα της γραφικής παράστασης της f.
β)Να βρείτε: i. τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii. τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών.
22.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21164Δίνεται το σημείο A(−2,8) το οποίο ανήκει στη γραφική παράσταση μίας περιττής και γνησίως μονότονης συνάρτησης f.
α)Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός ακόμα σημείου, το οποίο να ανήκει στη γραφική παράσταση της f.
β)Να βρείτε αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.
γ)Αν μία από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αντιστοιχεί στη συνάρτηση f να αιτιολογήσετε ποια μπορεί να είναι.
23.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15024Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [−4, 4] φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
α)Να αιτιολογήσετε γιατί η συνάρτηση είναι άρτια.
β)Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.
γ)Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f καθώς και για ποιες τιμές του x τις παρουσιάζει.
24.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15112Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το διάστημα (−2, 2).
α)Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Να γράψετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα.
γ)Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών.
25.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15114Δίνεται μια συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο ℝ με σύνολο τιμών το ℝ, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).
α)Θα μπορούσε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται και από το σημείο Β(2, 9); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις θα μπορούσε να είναι η γραφική παράσταση της f; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
26.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15115Δίνεται μια συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο ℝ με σύνολο τιμών το ℝ, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(−1,3).
α)Θα μπορούσε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται και από το σημείο Β(2, 5); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις θα μπορούσε να είναι η γραφική παράσταση της f; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
27.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15372Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένα τμήμα της γραφικής παράστασης μιας άρτιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το ℝ.
α)Να μεταφέρετε το σχήμα στην κόλλα σας και να συμπληρώσετε τη γραφική παράσταση με το κομμάτι της καμπύλης που λείπει. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Να βρείτε: i. Τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f. ii. Το είδος του ακροτάτου και τη θέση που το παρουσιάζει.
28.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15645Αντικείμενο κινείται κατακόρυφα. Το παρακάτω σχήμα αναπαριστά το ύψος h του αντικειμένου από το έδαφος για κάθε χρονική στιγμή t. Να βρείτε:
α)Ποιες χρονικές στιγμές το αντικείμενο απέχει 1 m από το έδαφος.
β)Ποια είναι η μέγιστη απόσταση του αντικειμένου από το έδαφος και ποια χρονική στιγμή την επιτυγχάνει.
γ)Ποιο χρονικό διάστημα το αντικείμενο απομακρύνεται από το έδαφος.
29.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15787Προκειμένου να ελεγχθεί μηχανισμός εκτόξευσης πυραύλων δημιουργήσαμε το παρακάτω σχήμα στο οποίο φαίνεται η απόσταση του πυραύλου από το έδαφος σε συνάρτηση με τον χρόνο.
α)Να βρείτε: i. Τον συνολικό χρόνο κίνησης του πυραύλου. ii. Το μέγιστο ύψος που έφτασε ο πύραυλος και ποια χρονική στιγμή συνέβη αυτό.
β)Σε επανάληψη του ελέγχου η εκτόξευση πραγματοποιείται από ύψος 1 km. i. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας την αποτύπωση της πρώτης εκτόξευσης και να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη δεύτερη. ii. Το νέο μέγιστο ύψος που έφτασε ο πύραυλος και ποια χρονική στιγμή συνέβη αυτό.