Κεφ. 1 - Συστήματα εξισώσεων›1.1 Γραμμικά Συστήματα 2×2

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Συστήματα εξισώσεων

§1.1 Γραμμικά συστήματα 2×2

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔀Μορφή συστήματος

•
Γραμμικό σύστημα 2×2: ${α_{1} x + β_{1} y = γ_{1}, α_{2} x + β_{2} y = γ_{2}}$
•
Λύση: ζεύγος (x, $y$ ) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Γραφικά: σημείο τομής των δύο ευθειών.
❓ Γιατί:Κάθε εξίσωση παριστάνει μια ευθεία στο επίπεδο. Το σύστημα ζητάει σημείο που ανήκει σε ΚΑΙ τις δύο.
📎 Δες και:

🔧Μέθοδοι επίλυσης

•
Μέθοδος αντικατάστασης: λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη.
💡 Παράδειγμα:
${x + y = 5, 2 x - y = 1} : y = 5 - x \to 2 x - (5 - x) = 1 \to 3 x = 6 \to x = 2, y = 3.$
•
Μέθοδος αντίθετων συντελεστών: πολλαπλασιάζουμε εξισώσεις ώστε ένας άγνωστος να έχει αντίθετους συντελεστές και προσθέτουμε κατά μέλη.
💡 Παράδειγμα:
${2 x + 3 y = 8, 3 x - 2 y = - 1} : \times 2 και \times 3 \to {4 x + 6 y = 16, 9 x - 6 y = - 3} \to πρ \overset{ο}{ˊ} σθεση \to 13 x = 13 \to x = 1, y = 2.$
•
Μέθοδος Cramer (ορίζουσες). Για σύστημα $α_{1} x + β_{1} y = γ_{1}, α_{2} x + β_{2} y = γ_{2}$ , η ορίζουσα του συστήματος είναι: $D = α_{1} β_{2} - α_{2} β_{1}$
•
Η ορίζουσα ως προς $x$ (αντικαθιστούμε τη στήλη των $x$ με τους σταθερούς όρους): $D_{x} = γ_{1} β_{2} - γ_{2} β_{1}$
•
Η ορίζουσα ως προς $y$ (αντικαθιστούμε τη στήλη των $y$ με τους σταθερούς όρους): $D_{y} = α_{1} γ_{2} - α_{2} γ_{1}$
•
Αν $D \neq = 0$ , το σύστημα έχει μοναδική λύση — η τιμή του $x$ δίνεται από: $x = D_{x} / D$
•
Αντίστοιχα, η τιμή του $y$ : $y = D_{y} / D$

🔍Διερεύνηση

•
$D \neq = 0$ : το σύστημα έχει μοναδική λύση (οι ευθείες τέμνονται).
•
$D = 0$ και D_ $x = D$ _ $y = 0$ : το σύστημα είναι αόριστο (άπειρες λύσεις — οι ευθείες συμπίπτουν).
•
$D = 0$ και (D_ $x \neq = 0$ ή D_y ≠ 0): το σύστημα είναι αδύνατο (οι ευθείες παράλληλες, ποτέ δεν τέμνονται).
❓ Γιατί:Τα τρία σενάρια — μοναδική λύση, αδύνατο, αόριστο — αντιστοιχούν στις τρεις γεωμετρικές θέσεις δύο ευθειών (τέμνονται, παράλληλες, συμπίπτουν).

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Λύση ενός γραμμικού συστήματος

2 \times 2

είναι κάθε ζεύγος

(x, y)

που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις.

2Σωστό / Λάθος

Η ορίζουσα του συστήματος

α_{1} x + β_{1} y = γ_{1}

α_{2} x + β_{2} y = γ_{2}

είναι

D = α_{1} β_{2} - α_{2} β_{1}

3Πολλαπλής επιλογής

Αν για ένα γραμμικό σύστημα

2 \times 2

ισχύει

D \neq = 0

, τότε το σύστημα:

4Πολλαπλής επιλογής

Αν

D = 0

και

D_{x} = D_{y} = 0

, το σύστημα είναι:

5Πολλαπλής επιλογής

Αν

D = 0

αλλά

D_{x} \neq = 0

, το σύστημα είναι:

6Σωστό / Λάθος

Όταν

D \neq = 0

, η λύση δίνεται από τους τύπους

x = \frac{D _{x}}{D}

και

y = \frac{D _{y}}{D}

(κανόνας του Cramer).

7Πολλαπλής επιλογής

Γεωμετρικά, η μοναδική λύση ενός συστήματος

2 \times 2

αντιστοιχεί σε:

8Σωστό / Λάθος

Αν οι δύο ευθείες ενός συστήματος είναι παράλληλες και διαφορετικές, το σύστημα είναι αδύνατο.

9Πολλαπλής επιλογής

Στη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις ώστε:

10Σωστό / Λάθος

Το ζεύγος

(0, 4)

είναι λύση του συστήματος

3 x + 2 y = 8

2 x - y = 3

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-1.1-m1
Λύσε το σύστημα: $5 x + y = 5, 5 x - y = 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πρόσθεση: $10 x = 7$
2. 2
  $x = \frac{7}{10}$ . Αφαίρεση: $2 y = 3$
3. 3
  $y = \frac{3}{2}$ .
2Μεσαίοlb-1.1-m2
Δίνεται το σύστημα: $3 x - y = 11, 6 x - k y = 8$ . Λύσε όταν $k = 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Από 1η: $y = 3 x - 11$ . Στη 2η: $6 x - 2 (3 x - 11) = 8$
2. 2
  $22 = 8$ αδύνατο. Σύστημα αδύνατο.
3Εύκολοlb-1.1-e2
Εξέτασε γιατί το (0, 4) δεν αποτελεί λύση του συστήματος: $3 x - 2 y = 8, 2 x + y = 3$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Στην 1η: $3 \cdot 0 - 2 \cdot 4 = - 8 \neq = 8$ .
2. 2
  Άρα δεν είναι λύση.
4Εύκολοlb-1.1-e1
Λύσε το σύστημα: $3 x - 2 y = 8, 2 x + y = 3$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Από 2η: $y = 3 - 2 x$ . Στην 1η: $3 x - 2 (3 - 2 x) = 8$
2. 2
  $7 x = 14$
3. 3
  $x = 2, y = - 1$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοlb-1.1-h1
Δίνονται ευθείες $ε_{1}$ : $2 x - y = 6$ και $ε_{2}$ : $x - 2 y = 2$ . Βρες το κοινό σημείο τους.
2Μεσαίοlb-1.1-m1
Λύσε το σύστημα: $5 x + y = 5, 5 x - y = 2$ .
3Μεσαίοlb-1.1-m2
Δίνεται το σύστημα: $3 x - y = 11, 6 x - k y = 8$ . Λύσε όταν $k = 2$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν σε μια εξίσωση ένας άγνωστος έχει συντελεστή

1

(ή

- 1

) και λύνεται εύκολα ως προς αυτόν.

Βήματα

1Λύσε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (π.χ. $y = \dots$ ).
2Αντικατέστησε την έκφραση αυτή στην άλλη εξίσωση — προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο.
3Λύσε ως προς τον άγνωστο και αντικατέστησε για να βρεις τον δεύτερο.

Παράδειγμα

x + y = 5

2 x - y = 1

: από την πρώτη

y = 5 - x

, οπότε

2 x - (5 - x) = 1

, άρα

3 x = 6

x = 2

και

y = 3

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Να λύσετε με πρόσθεση κατά μέλη το σύστημα $x + y = 5$ , $x - y = 1$ .
2
Να λύσετε με αντικατάσταση το σύστημα $2 x + y = 7$ , $x - y = 2$ .
3
Να λύσετε το σύστημα $x + y = 10$ , $x - y = 4$ .
4
Να λύσετε το σύστημα $2 x + 3 y = 8$ , $3 x - 2 y = - 1$ .
5
Να βρείτε την ορίζουσα $D$ του συστήματος $2 x + 3 y = 5$ , $4 x - y = 1$ .
6
Να λύσετε το σύστημα $x + 2 y = 4$ , $3 x - 2 y = 4$ .
7
Να λύσετε (ή να δικαιολογήσετε ότι δεν λύνεται) το σύστημα $5 x + y = 5$ , $5 x + y = - 2$ .
8
Τι είδους είναι το σύστημα $3 x + y = 11$ , $6 x + 2 y = 22$ ;
9
Να λύσετε το σύστημα $3 x - y = 5$ , $x + y = 3$ .
10
Να βρείτε το κοινό σημείο των ευθειών $x + y = 4$ και $x - y = 2$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες4 ασκήσεις

Να λύσετε το γραμμικό σύστημα

3 x + 2 y = 8

2 x - y = 3

και να επαληθεύσετε τη λύση.

Να λύσετε το σύστημα

3 x + 2 y = 12

x - y = - 1

Δίνονται οι ευθείες

ε_{1} : 2 x + y = 6

και

ε_{2} : x - 2 y = - 2

. Να βρείτε το κοινό τους σημείο

M

και να δείξετε ότι η ευθεία

ε_{3} : 3 x + y = 8

διέρχεται από το

M

Να λύσετε με τη μέθοδο των οριζουσών (Cramer) το σύστημα

2 x + 3 y = 7

3 x - y = 5

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Δίνεται το σύστημα

3 x + y = 11

6 x + k y = 8

με παράμετρο

k

. Να το λύσετε όταν

k = 2

και όταν

k = 1

Να λύσετε το σύστημα

5 x + y = 5

5 x + y = - 2

και να ερμηνεύσετε γραφικά το αποτέλεσμα.

Για ποιες τιμές της παραμέτρου

λ

το σύστημα

λ x + y = 1

x + λ y = 1

έχει μοναδική λύση; Τι συμβαίνει στις υπόλοιπες τιμές;

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνονται οι ευθείες

ε_{1} : x + 2 y = 4

και

ε_{2} : 2 x - y = 3

α) Να βρείτε το σημείο τομής

A

των

ε_{1}

ε_{2}

β) Να εξετάσετε αν η ευθεία

ε_{3} : 3 x + y = 7

διέρχεται από το

A

γ) Να λύσετε το σύστημα

x + 2 y = 4

2 x + 4 y = 9

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.1 Γραμμικά συστήματα 2×2

Ύλη: §1.1Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος: αν η ορίζουσα

D

ενός γραμμικού συστήματος

2 \times 2

είναι διάφορη του μηδενός, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση.

β) Πότε ένα γραμμικό σύστημα

2 \times 2

είναι αδύνατο;

ΘΕΜΑ Β

α) Να λύσετε το σύστημα

x + y = 7

x - y = 3

β) Να βρείτε την ορίζουσα

D

του συστήματος

2 x - y = 4

3 x + 2 y = 1

ΘΕΜΑ Γ

Να λύσετε με τη μέθοδο των οριζουσών (Cramer) το σύστημα

2 x + 3 y = 8

x - y = - 1

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⫝ Quiz · Συστήματα εξισώσεων

Επόμενο →

1.2 Επίλυση Προβλημάτων με Συστήματα