Κεφ. 1 - Συστήματα›1.1 Γραμμικά Συστήματα

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Συστήματα

§1.1 Γραμμικά συστήματα & προβλήματα

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔀Μορφή συστήματος

•
Γραμμικό σύστημα $2 \times 2$ : ${α_{1} x + β_{1} y = γ_{1}, α_{2} x + β_{2} y = γ_{2}}$
•
Λύση: ζεύγος (x, $y$ ) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Γραφικά: σημείο τομής των δύο ευθειών.
❓ Γιατί:Κάθε εξίσωση παριστάνει μια ευθεία στο επίπεδο. Το σύστημα ζητάει σημείο που ανήκει σε ΚΑΙ τις δύο.
📎 Δες και:

🔧Μέθοδοι επίλυσης

•
Μέθοδος αντικατάστασης: λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη.
💡 Παράδειγμα:
${x + y = 5, 2 x - y = 1} : y = 5 - x \to 2 x - (5 - x) = 1 \to 3 x = 6 \to x = 2, y = 3.$
•
Μέθοδος αντίθετων συντελεστών: πολλαπλασιάζουμε εξισώσεις ώστε ένας άγνωστος να έχει αντίθετους συντελεστές και προσθέτουμε κατά μέλη.
💡 Παράδειγμα:
${2 x + 3 y = 8, 3 x - 2 y = - 1} : \times 2 και \times 3 \to {4 x + 6 y = 16, 9 x - 6 y = - 3} \to πρ \overset{ο}{ˊ} σθεση \to 13 x = 13 \to x = 1, y = 2.$
•
Μέθοδος Cramer (ορίζουσες). Για σύστημα $α_{1} x + β_{1} y = γ_{1}, α_{2} x + β_{2} y = γ_{2}$ , η ορίζουσα του συστήματος είναι: $D = α_{1} β_{2} - α_{2} β_{1}$
•
Η ορίζουσα ως προς $x$ (αντικαθιστούμε τη στήλη των $x$ με τους σταθερούς όρους): $D_{x} = γ_{1} β_{2} - γ_{2} β_{1}$
•
Η ορίζουσα ως προς $y$ (αντικαθιστούμε τη στήλη των $y$ με τους σταθερούς όρους): $D_{y} = α_{1} γ_{2} - α_{2} γ_{1}$
•
Αν $D \neq = 0$ , το σύστημα έχει μοναδική λύση — η τιμή του $x$ δίνεται από: $x = \frac{D _{x}}{D}$
•
Αντίστοιχα, η τιμή του $y$ : $y = \frac{D _{y}}{D}$

🔍Διερεύνηση

•
$D \neq = 0$ : το σύστημα έχει μοναδική λύση (οι ευθείες τέμνονται).
•
$D = 0$ και D_ $x = D$ _ $y = 0$ : το σύστημα είναι αόριστο (άπειρες λύσεις — οι ευθείες συμπίπτουν).
•
$D = 0$ και (D_ $x \neq = 0$ ή D_ $y \neq = 0$ ): το σύστημα είναι αδύνατο (οι ευθείες παράλληλες, ποτέ δεν τέμνονται).
❓ Γιατί:Τα τρία σενάρια — μοναδική λύση, αδύνατο, αόριστο — αντιστοιχούν στις τρεις γεωμετρικές θέσεις δύο ευθειών (τέμνονται, παράλληλες, συμπίπτουν).

🪜Στρατηγική επίλυσης

•
Βήμα 1 — Κατανόηση: Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα και εντοπίζουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα. Σημειώνουμε ποια μεγέθη είναι γνωστά και ποια ζητάμε να βρούμε.
•
Βήμα 2 — Επιλογή αγνώστων: Διαλέγουμε ως άγνωστους $x$ και $y$ (ή άλλα γράμματα) δύο από τα μεγέθη που ζητούνται. Σημαντικό: ορίζουμε ξεκάθαρα τι παριστάνει κάθε άγνωστος, με τη μονάδα μέτρησης (έτη, km, kg, …).
•
Βήμα 3 — Διατύπωση εξισώσεων: Μεταφράζουμε τις λεκτικές σχέσεις του προβλήματος σε δύο μαθηματικές εξισώσεις με τους δύο αγνώστους.
•
Βήμα 4 — Επίλυση: Επιλύουμε το σύστημα με όποια μέθοδο μας βολεύει (αντικατάσταση, αντίθετοι συντελεστές, Cramer).
•
Βήμα 5 — Έλεγχος: Επιστρέφουμε στις συνθήκες του προβλήματος και ελέγχουμε αν οι τιμές που βρήκαμε είναι λογικές και αποδεκτές (π.χ. ηλικία $> 0$ , ταχύτητα $> 0$ , ακέραιο πλήθος).
❓ Γιατί:Μερικές φορές το σύστημα έχει λύση μαθηματικά, αλλά η λύση δεν ταιριάζει με τη φύση του προβλήματος (π.χ. αρνητική ηλικία). Ο έλεγχος είναι απαραίτητος.

👨‍👦Προβλήματα ηλικιών

•
Στα προβλήματα ηλικιών συνήθως δίνονται σχέσεις μεταξύ ηλικιών διαφορετικών προσώπων είτε σήμερα είτε σε άλλη χρονική στιγμή (πριν ή μετά από κάποια χρόνια).
•
Παράδειγμα: «Ο πατέρας έχει σήμερα τριπλάσια ηλικία από τον γιο. Σε 10 χρόνια θα έχει διπλάσια. Να βρεθούν οι σημερινές ηλικίες».
💡 Παράδειγμα:
$x = ηλικ \overset{ι}{ˊ} α πατ \overset{ε}{ˊ} ρα σ \overset{η}{ˊ} μερα, y = ηλικ \overset{ι}{ˊ} α γιου σ \overset{η}{ˊ} μερα . Σ \overset{υ}{ˊ} στημα : {x = 3 y, x + 10 = 2 (y + 10)}$ $⟺ {x = 3 y, x = 2 y + 10} . Άρα 3 y = 2 y + 10 \to y = 10, x = 30.$
•
Προσοχή: όταν αναφερόμαστε σε ηλικίες πριν ή μετά, ΟΛΕΣ οι ηλικίες αλλάζουν κατά τον ίδιο αριθμό ετών.

🧪Προβλήματα μιγμάτων

•
Στα προβλήματα μιγμάτων αναμειγνύουμε δύο συστατικά διαφορετικής συγκέντρωσης (ή τιμής) για να φτιάξουμε μίγμα με δεδομένη συγκέντρωση. Συνήθως γράφουμε ΔΥΟ εξισώσεις: μία για τη συνολική ποσότητα και μία για τη συνολική «δραστική ουσία» (ή αξία).
•
Παράδειγμα: «Έχουμε διάλυμα 30% και διάλυμα 50%. Πόσα λίτρα από το καθένα χρειαζόμαστε για να φτιάξουμε 10 λίτρα διαλύματος 42%;».
💡 Παράδειγμα:
$x = λ \overset{ι}{ˊ} τρα του 30$ $⟺ {x + y = 10, 30 x + 50 y = 420} . Λ \overset{υ}{ˊ} ση : x = 4 λ \overset{ι}{ˊ} τρα, y = 6 λ \overset{ι}{ˊ} τρα .$

🚣Προβλήματα κίνησης (ταχύτητες, ρεύμα)

•
Σε κίνηση μέσα σε ρευστό (ποτάμι, αέρας): η ταχύτητα ΚΑΤΑ ρεύμα ισούται με την ταχύτητα του σκάφους ΣΥΝ την ταχύτητα του ρεύματος. Η ταχύτητα ΑΝΤΙ ρεύμα ισούται με του σκάφους ΜΕΙΟΝ το ρεύμα. $u_{κατ \overset{α}{ˊ}} = u_{σκ \overset{α}{ˊ} φους} + u_{ρε \overset{υ}{ˊ} ματος}$
•
Αντί ρεύμα: $u_{αντ \overset{ι}{ˊ}} = u_{σκ \overset{α}{ˊ} φους} - u_{ρε \overset{υ}{ˊ} ματος}$
•
Παράδειγμα: «Σκάφος διανύει 30 km κατά ρεύμα σε 2 ώρες και 30 km αντί ρεύμα σε 3 ώρες. Να βρεθούν οι ταχύτητες σκάφους και ρεύματος».
💡 Παράδειγμα:
$x = ταχ \overset{υ}{ˊ} τητα σκ \overset{α}{ˊ} φους, y = ταχ \overset{υ}{ˊ} τητα ρε \overset{υ}{ˊ} ματος . Σ \overset{υ}{ˊ} στημα : {(x + y) \cdot 2 = 30, (x - y) \cdot 3 = 30}$ $⟺ {x + y = 15, x - y = 10} . Λ \overset{υ}{ˊ} ση : x = 12, 5 km / h, y = 2, 5 km / h .$

🧠Άλλοι τύποι προβλημάτων

•
Δύο αριθμοί με γνωστό άθροισμα και διαφορά: το πιο απλό σύστημα. Άθροισμα $= S$ , διαφορά $= D$ → $x = \frac{S + D}{2}, y = \frac{S - D}{2}$ .
💡 Παράδειγμα:
$« Δ \overset{υ}{ˊ} ο αριθμο \overset{ι}{ˊ} \overset{ε}{ˊ} χουν \overset{α}{ˊ} θροισμα 30 και διαφορ \overset{α}{ˊ} 8» : {x + y = 30, x - y = 8} \to x = 19, y = 11.$
•
Προβλήματα γεωμετρίας: συχνά οι άγνωστοι είναι μήκη πλευρών ή γωνιών. Χρησιμοποιούμε γεωμετρικές σχέσεις (περίμετρος, εμβαδόν, Πυθαγόρειο θεώρημα, άθροισμα γωνιών τριγώνου $= 180$ °).
•
Προβλήματα με ψηφία ακέραιου: αν ένας διψήφιος έχει ψηφία α και β, γράφεται ως $10 α + β$ . Αν αντιστραφούν, γίνεται $10 β + α$ .

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Λύση ενός γραμμικού συστήματος

2 \times 2

είναι κάθε ζεύγος

(x, y)

που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις.

2Σωστό / Λάθος

Η ορίζουσα του συστήματος

α_{1} x + β_{1} y = γ_{1}

α_{2} x + β_{2} y = γ_{2}

είναι

D = α_{1} β_{2} - α_{2} β_{1}

3Πολλαπλής επιλογής

Αν για ένα γραμμικό σύστημα

2 \times 2

ισχύει

D \neq = 0

, τότε το σύστημα:

4Πολλαπλής επιλογής

Αν

D = 0

και

D_{x} = D_{y} = 0

, το σύστημα είναι:

5Πολλαπλής επιλογής

Αν

D = 0

αλλά

D_{x} \neq = 0

, το σύστημα είναι:

6Σωστό / Λάθος

Όταν

D \neq = 0

, η λύση δίνεται από τους τύπους

x = \frac{D _{x}}{D}

και

y = \frac{D _{y}}{D}

(κανόνας του Cramer).

7Πολλαπλής επιλογής

Γεωμετρικά, η μοναδική λύση ενός συστήματος

2 \times 2

αντιστοιχεί σε:

8Σωστό / Λάθος

Αν οι δύο ευθείες ενός συστήματος είναι παράλληλες και διαφορετικές, το σύστημα είναι αδύνατο.

9Πολλαπλής επιλογής

Στη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις ώστε:

10Σωστό / Λάθος

Το ζεύγος

(0, 4)

είναι λύση του συστήματος

3 x + 2 y = 8

2 x - y = 3

11Σωστό / Λάθος

Στα προβλήματα με συστήματα ορίζουμε πρώτα με σαφήνεια τι παριστάνει κάθε άγνωστος, μαζί με τη μονάδα μέτρησης.

12Σωστό / Λάθος

Σε προβλήματα ηλικιών, μετά από

κ

χρόνια κάθε ηλικία αυξάνεται κατά

κ

13Πολλαπλής επιλογής

Ένας διψήφιος με ψηφίο δεκάδων

α

και ψηφίο μονάδων

β

γράφεται:

14Πολλαπλής επιλογής

Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα

S

και διαφορά

D

. Ο μεγαλύτερος είναι:

15Σωστό / Λάθος

Σε κίνηση κατά ρεύμα, η ταχύτητα του σκάφους ως προς την όχθη ισούται με την ταχύτητα του σκάφους συν την ταχύτητα του ρεύματος.

16Πολλαπλής επιλογής

Σε 10 λίτρα διαλύματος περιεκτικότητας 42% η ποσότητα της δραστικής ουσίας είναι:

17Σωστό / Λάθος

Αν το σύστημα ενός προβλήματος δώσει αρνητική ηλικία, η λύση απορρίπτεται.

18Πολλαπλής επιλογής

Σε ένα τραπέζι τα παιδιά είναι 5 περισσότερα από τους γονείς. Αν

x

οι γονείς και

y

τα παιδιά, ισχύει:

19Πολλαπλής επιλογής

Ο Κώστας έχει 15 χαρτονομίσματα των 20 € και 50 € συνολικής αξίας 480 €. Αν

x

y

τα πλήθη τους, το σύστημα είναι:

20Σωστό / Λάθος

Το τελευταίο βήμα κάθε προβλήματος είναι ο έλεγχος αν οι τιμές που βρήκαμε είναι λογικά αποδεκτές.

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-1.2-m1
Ο Κώστας έχει 15 χαρτονομίσματα των 20€ και 50€ συνολικής αξίας 480€. Βρες το πλήθος κάθε είδους.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σύστημα: $x + y = 15, 20 x + 50 y = 480$ . Από 1η: $x = 15 - y$ . Στη 2η: $300 - 20 y + 50 y = 480$
2. 2
  $30 y = 180$
3. 3
  $y = 6, x = 9$ .
2Μεσαίοlb-1.1-m1
Λύσε το σύστημα: $5 x + y = 5, 5 x - y = 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πρόσθεση: $10 x = 7$
2. 2
  $x = \frac{7}{10}$ . Αφαίρεση: $2 y = 3$
3. 3
  $y = \frac{3}{2}$ .
3Μεσαίοlb-1.1-m2
Δίνεται το σύστημα: $3 x - y = 11, 6 x - k y = 8$ . Λύσε όταν $k = 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Από 1η: $y = 3 x - 11$ . Στη 2η: $6 x - 2 (3 x - 11) = 8$
2. 2
  $22 = 8$ αδύνατο. Σύστημα αδύνατο.
4Εύκολοlb-1.1-e2
Εξέτασε γιατί το (0, 4) δεν αποτελεί λύση του συστήματος: $3 x - 2 y = 8, 2 x + y = 3$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Στην 1η: $3 \cdot 0 - 2 \cdot 4 = - 8 \neq = 8$ .
2. 2
  Άρα δεν είναι λύση.
5Εύκολοlb-1.1-e1
Λύσε το σύστημα: $3 x - 2 y = 8, 2 x + y = 3$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Από 2η: $y = 3 - 2 x$ . Στην 1η: $3 x - 2 (3 - 2 x) = 8$
2. 2
  $7 x = 14$
3. 3
  $x = 2, y = - 1$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοlb-1.2-h1
Σε συνεστίαση είναι γονείς και τα παιδιά τους. Τα παιδιά είναι 5 περισσότερα από τους γονείς. Κάθε γονιός πλήρωσε 12€ και κάθε παιδί τα μισά. Συνολικός λογαριασμός 300€. Βρες πόσοι γονείς και παιδιά υπήρχαν.
2Μεσαίοlb-1.2-m1
Ο Κώστας έχει 15 χαρτονομίσματα των 20€ και 50€ συνολικής αξίας 480€. Βρες το πλήθος κάθε είδους.
3Μεσαίοlb-1.1-m2
Δίνεται το σύστημα: $3 x - y = 11, 6 x - k y = 8$ . Λύσε όταν $k = 2$ .
4Μεσαίοlb-1.1-m1
Λύσε το σύστημα: $5 x + y = 5, 5 x - y = 2$ .
5Δύσκολοlb-1.1-h1
Δίνονται ευθείες $ε_{1}$ : $2 x - y = 6$ και $ε_{2}$ : $x - 2 y = 2$ . Βρες το κοινό σημείο τους.

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν σε μια εξίσωση ένας άγνωστος έχει συντελεστή

1

(ή

- 1

) και λύνεται εύκολα ως προς αυτόν.

Βήματα

1Λύσε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (π.χ. $y = \dots$ ).
2Αντικατέστησε την έκφραση αυτή στην άλλη εξίσωση — προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο.
3Λύσε ως προς τον άγνωστο και αντικατέστησε για να βρεις τον δεύτερο.

Παράδειγμα

x + y = 5

2 x - y = 1

: από την πρώτη

y = 5 - x

, οπότε

2 x - (5 - x) = 1

, άρα

3 x = 6

x = 2

και

y = 3

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 20 ασκήσεις προς λύση

1
Να λύσετε με πρόσθεση κατά μέλη το σύστημα $x + y = 5$ , $x - y = 1$ .
2
Να λύσετε με αντικατάσταση το σύστημα $2 x + y = 7$ , $x - y = 2$ .
3
Να λύσετε το σύστημα $x + y = 10$ , $x - y = 4$ .
4
Να λύσετε το σύστημα $2 x + 3 y = 8$ , $3 x - 2 y = - 1$ .
5
Να βρείτε την ορίζουσα $D$ του συστήματος $2 x + 3 y = 5$ , $4 x - y = 1$ .
6
Να λύσετε το σύστημα $x + 2 y = 4$ , $3 x - 2 y = 4$ .
7
Να λύσετε (ή να δικαιολογήσετε ότι δεν λύνεται) το σύστημα $5 x + y = 5$ , $5 x + y = - 2$ .
8
Τι είδους είναι το σύστημα $3 x + y = 11$ , $6 x + 2 y = 22$ ;
9
Να λύσετε το σύστημα $3 x - y = 5$ , $x + y = 3$ .
10
Να βρείτε το κοινό σημείο των ευθειών $x + y = 4$ και $x - y = 2$ .
11
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα $30$ και διαφορά $8$ . Να τους βρείτε.
12
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα $50$ και διαφορά $12$ . Να τους βρείτε.
13
Ο πατέρας έχει σήμερα τριπλάσια ηλικία από τον γιο. Σε $10$ χρόνια θα έχει διπλάσια. Να βρείτε τις σημερινές ηλικίες.
14
Πόσα λίτρα διαλύματος 30% και πόσα 50% χρειάζονται για 10 λίτρα διαλύματος 42%;
15
Σκάφος διανύει $30$ km κατά ρεύμα σε $2$ ώρες και $30$ km αντί ρεύμα σε $3$ ώρες. Να βρείτε τις ταχύτητες.
16
Ο Κώστας έχει $15$ χαρτονομίσματα των 20 € και 50 €, συνολικής αξίας 480 €. Πόσα από κάθε είδος;
17
Σε συνεστίαση τα παιδιά είναι $5$ περισσότερα από τους γονείς· κάθε γονιός πληρώνει 12 € και κάθε παιδί 6 €, σύνολο 300 €. Πόσοι ήταν;
18
Διψήφιος με άθροισμα ψηφίων $9$ · αν αντιστραφούν τα ψηφία, ο αριθμός μεγαλώνει κατά $27$ . Ποιος είναι;
19
Δύο καφέδες και τρία τσάι κοστίζουν 7 €· τρεις καφέδες και δύο τσάι 8 €. Πόσο κοστίζει το καθένα;
20
Ορθογώνιο έχει περίμετρο $20$ και μήκος κατά $4$ μεγαλύτερο από το πλάτος. Να βρείτε τις διαστάσεις.

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες8 ασκήσεις

Να λύσετε το γραμμικό σύστημα

3 x + 2 y = 8

2 x - y = 3

και να επαληθεύσετε τη λύση.

Να λύσετε το σύστημα

3 x + 2 y = 12

x - y = - 1

Δίνονται οι ευθείες

ε_{1} : 2 x + y = 6

και

ε_{2} : x - 2 y = - 2

. Να βρείτε το κοινό τους σημείο

M

και να δείξετε ότι η ευθεία

ε_{3} : 3 x + y = 8

διέρχεται από το

M

Να λύσετε με τη μέθοδο των οριζουσών (Cramer) το σύστημα

2 x + 3 y = 7

3 x - y = 5

Ο Κώστας καταθέτει

15

χαρτονομίσματα των 20 € και 50 €, συνολικής αξίας 480 €. Αν

x

y

τα πλήθη των χαρτονομισμάτων των 20 € και 50 € αντίστοιχα, να βρείτε πόσα είναι από κάθε είδος.

Σε συνεστίαση τα παιδιά είναι

5

περισσότερα από τους γονείς. Κάθε γονιός πλήρωσε 12 € και κάθε παιδί 6 €, με συνολικό λογαριασμό 300 €. Αν

x

οι γονείς και

y

τα παιδιά, να βρείτε πόσοι ήταν.

Πόσα λίτρα διαλύματος 20% και πόσα 60% χρειάζονται για να φτιάξουμε

8

λίτρα διαλύματος 45%;

Βάρκα διανύει

24

km κατά ρεύμα σε

2

ώρες και

24

km αντί ρεύμα σε

4

ώρες. Να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας και του ρεύματος.

💎Πολύ δύσκολες6 ασκήσεις

Δίνεται το σύστημα

3 x + y = 11

6 x + k y = 8

με παράμετρο

k

. Να το λύσετε όταν

k = 2

και όταν

k = 1

Να λύσετε το σύστημα

5 x + y = 5

5 x + y = - 2

και να ερμηνεύσετε γραφικά το αποτέλεσμα.

Για ποιες τιμές της παραμέτρου

λ

το σύστημα

λ x + y = 1

x + λ y = 1

έχει μοναδική λύση; Τι συμβαίνει στις υπόλοιπες τιμές;

Η μητέρα έχει σήμερα τετραπλάσια ηλικία από την κόρη. Πριν από

5

χρόνια είχε επταπλάσια. Να βρείτε τις σημερινές ηλικίες.

Σε έναν διψήφιο αριθμό το ψηφίο των δεκάδων είναι κατά

2

μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων. Ο αριθμός είναι

7

φορές το άθροισμα των ψηφίων του. Να τον βρείτε.

Κεφάλαιο 10000 € μοιράζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο τοκίζεται με 3% και το δεύτερο με 5% ετησίως, αποφέροντας συνολικό τόκο 380 € σε έναν χρόνο. Να βρείτε τα δύο μέρη.

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων2 θέματα

Θ1

Δίνονται οι ευθείες

ε_{1} : x + 2 y = 4

και

ε_{2} : 2 x - y = 3

α) Να βρείτε το σημείο τομής

A

των

ε_{1}

ε_{2}

β) Να εξετάσετε αν η ευθεία

ε_{3} : 3 x + y = 7

διέρχεται από το

A

γ) Να λύσετε το σύστημα

x + 2 y = 4

2 x + 4 y = 9

Θ2

Σε ένα θέατρο τα εισιτήρια ενηλίκων κοστίζουν 8 € και τα παιδικά 5 €. Μια παράσταση είχε

200

θεατές και έσοδα 1330 €.

α) Αν

x

οι ενήλικες και

y

τα παιδιά, να σχηματίσετε το σύστημα.

β) Να βρείτε πόσα εισιτήρια κάθε είδους πουλήθηκαν.

γ) Να βρείτε τα έσοδα αν την επόμενη μέρα πουληθούν

120

εισιτήρια ενηλίκων και

70

παιδικά.

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.1 Γραμμικά συστήματα 2×2

Ύλη: §1.1Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος: αν η ορίζουσα

D

ενός γραμμικού συστήματος

2 \times 2

είναι διάφορη του μηδενός, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση.

β) Πότε ένα γραμμικό σύστημα

2 \times 2

είναι αδύνατο;

ΘΕΜΑ Β

α) Να λύσετε το σύστημα

x + y = 7

x - y = 3

β) Να βρείτε την ορίζουσα

D

του συστήματος

2 x - y = 4

3 x + 2 y = 1

ΘΕΜΑ Γ

Να λύσετε με τη μέθοδο των οριζουσών (Cramer) το σύστημα

2 x + 3 y = 8

x - y = - 1

📝 Mini-test — §1.2 Προβλήματα με συστήματα

Ύλη: §1.2Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος: σε προβλήματα ηλικιών, μετά από

κ

χρόνια κάθε ηλικία αυξάνεται κατά

κ

β) Πώς γράφεται ένας διψήφιος με ψηφίο δεκάδων

α

και ψηφίο μονάδων

β

;

ΘΕΜΑ Β

Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα

24

και διαφορά

6

. Να τους βρείτε.

ΘΕΜΑ Γ

Τρία μολύβια και δύο στυλό κοστίζουν 1,30 €, ενώ δύο μολύβια και πέντε στυλό κοστίζουν 1,60 €. Πόσο κοστίζει το καθένα;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⫝ Quiz · Συστήματα εξισώσεων

Επόμενο →

1.2 Μη Γραμμικά Συστήματα