← Όλες οι τάξεις·····

Μελέτη

Α΄ Λυκείου

🧠 Γενική εξάσκηση

Εισαγωγικό Κεφάλαιο Κεφ. 1 - Πιθανότητες Κεφ. 2 - Οι Πραγματικοί Αριθμοί Κεφ. 3 - Εξισώσεις Κεφ. 4 - Ανισώσεις Κεφ. 5 - Πρόοδοι Κεφ. 6 - Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων Κεφ. 7 - Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων

✨Premium Modules — Α΄ Λυκείου

Διαδραστικά, αυτόνομα

Άλγεβρα — Αναβαθμισμένα Κεφάλαια

Κεφ. 2 · Πραγματικοί

Πράξεις, διάταξη, ρίζες

Κεφ. 3 · Εξισώσεις

1ου & 2ου βαθμού · x^ν=α

Κεφ. 4 · Ανισώσεις

Απόλυτες · πρόσημα

Κεφ. 5 · Πρόοδοι

Ακολουθίες · αριθμ./γεωμ.

Κεφ. 6 · Συναρτήσεις

Πεδίο ορισμού · γραφική

Ειδικά Εργαλεία

Τυπολόγιο Γεωμετρίας

Θεωρήματα, σχήματα, dark mode

Αποδείξεις

Πτυσσόμενες, βήμα-βήμα

Quiz Άλγεβρας

35 ερωτήσεις · Σωστό/Λάθος + MCQ

Κεφ. 6 - Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

📖 Θεωρία 🏛️ Ασκήσεις Τράπεζας175

🏛️

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ

Αυτούσια θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων του ΙΕΠ · 0 λυμένα · 175 προς λύση

Τι θα τυπωθεί:Κενό για λύση:175 από 175

Ονοματεπώνυμο	Τμήμα	Ημερομηνία

✏️ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

Αυτούσια θέματα εξετάσεων, χωρίς λύσεις — όπως θα τα δεις στο διαγώνισμα.

6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης

1.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12765Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = x - 2$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
β)Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης $f$ για όποιους από τους αριθμούς $- 1, \frac{2}{2}, 6$ είναι αυτό δυνατό.
2.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12908Στα παρακάτω σχήματα δίνονται 3 αντιστοιχίσεις από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β.
α)Να αιτιολογήσετε γιατί οι αντιστοιχίσεις των σχημάτων 1 και 2 δεν παριστάνουν συνάρτηση από το Α στο Β, ενώ αυτή του σχήματος 3 παριστάνει συνάρτηση από το Α στο Β.
β)Αν η αντιστοίχιση του σχήματος 3 είναι η συνάρτηση $f$ : i. Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων του το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης $f$ . ii. Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο τιμών $f (A)$ της συνάρτησης $f$ . iii. Να βρείτε τις τιμές $f (1)$ και $f (2)$ .
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12997Έχουμε μπροστά μας τη λίστα με τα ονοματεπώνυμα των μαθητών ενός τμήματος της Α΄ Λυκείου ενός Γενικού Λυκείου. Σχηματίζουμε το σύνολο Α με στοιχεία τα μικρά ονόματα των μαθητών της Α΄ τάξης και το σύνολο Β με στοιχεία τα επώνυμα των μαθητών της ίδιας τάξης. Ορίζουμε την αντιστοίχιση $f$ από το Α στο Β, με την οποία αντιστοιχούμε κάθε μικρό όνομα μαθητή στο επώνυμό του, και την αντιστοίχιση $g$ από το Β στο Α, με την οποία αντιστοιχούμε σε κάθε επώνυμο μαθητή το μικρό του όνομα.
α)Να εξετάσετε αν η αντιστοίχιση $f$ ορίζει πάντα συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β.
β)Να προσδιορίσετε υπό ποιες προϋποθέσεις η αντιστοίχιση $g$ αποτελεί συνάρτηση από το σύνολο Β στο σύνολο Α και να προσδιορίσετε ποια είναι η εξαρτημένη και ποια η ανεξάρτητη μεταβλητή.
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13026Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με $f (x) = x^{2}$ , αν ο $x$ είναι άρρητος, και $f (x) = 2 x$ , αν ο $x$ είναι ρητός.
α)Να υπολογίσετε τις τιμές $f (2)$ και $f (\frac{1}{2})$ .
β)Αν ο $x$ είναι ρητός, να λύσετε την εξίσωση $[f (x)]^{2} = 4 x - 1$ .
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13031Δίνεται η συνάρτηση $G$ με $G (x) = \frac{2 x + 3}{x - 4}$ .
α)Να βρείτε τις τιμές της $G$ για $x = 2, x = 0$ και $x = - \frac{1}{2}$ .
β)Να βρείτε την τιμή του $x$ για την οποία δεν ορίζεται η συνάρτηση $G$ .
γ)Να βρείτε την τιμή του $x$ που αντιστοιχίζεται, μέσω της $G$ , στο 3.
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13032Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ με $f (x) = 1 - 3 x$ και $g$ με $g (x) = x + 5$ .
α)Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των παραπάνω συναρτήσεων $f$ και $g$ .
β)Να δείξετε ότι $f (- 1) = g (11)$ .
γ)Να βρείτε την τιμή του $x$ ώστε $f (x) = g (4)$ .
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14681Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = x^{2} - 1$ , όταν $x < 0$ , και $f (x) = 2 x + 2$ , όταν $x \geq 0$ .
α)Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης $f (3)$ και $f (- 3)$ .
β)Να βρείτε τις τιμές του $x \in R$ για τις οποίες ισχύει $f (x) = 8$ .
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14728Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = 2 x - 1$ , όταν $x < 0$ , και $f (x) = x^{2} + 1$ , όταν $x \geq 0$ .
α)Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης $f (- 1)$ και $f (1)$ .
β)Για $x \geq 0$ να λύσετε την ανίσωση $f (x) \geq 2$ .
9.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14781Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών μιας αντιστοίχισης, με την οποία σε κάθε τιμή του $x$ αντιστοιχίζεται μια τιμή του $y$ , και με το $x$ να παίρνει μόνο τις τιμές $- 2, - 1, 0, \frac{1}{2}, 1$ και 3. Στις τιμές αυτές του $x$ αντιστοιχούν, με τη σειρά, οι τιμές $0, - 4, - 6, - \frac{25}{4}, - 6$ και 0 του $y$ .
α)i. Να αιτιολογήσετε γιατί η παραπάνω αντιστοίχιση, από το $x$ στο $y$ , είναι συνάρτηση. ii. Είναι η αντίστροφη αντιστοίχιση, από το $y$ στο $x$ , συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Να γράψετε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης από το $x$ στο $y$ .
10.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34446Η απόσταση $y$ , σε χιλιόμετρα, ενός αυτοκινήτου από μια πόλη Α, μετά από $x$ λεπτά, δίνεται από τη σχέση $y = 35 + 0, 8 x$ .
α)Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη Α μετά από 25 λεπτά;
β)Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει 75 χιλιόμετρα από την πόλη Α;
11.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35298Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = 2 x + 4$ , όταν $x < 0$ , και $f (x) = x - 1$ , όταν $x \geq 0$ .
α)Να δείξετε ότι $f (- 1) = f (3)$ .
β)Να προσδιορίσετε τις τιμές του $x \in R$ ώστε $f (x) = 0$ .
12.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35405Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = \frac{x + 2}{x ^{2} - x - 6}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ .
β)Να δείξετε ότι $f (2) + f (4) = 0$ .
13.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37170Η θερμοκρασία Τ, σε βαθμούς Κελσίου, σε βάθος $x$ χιλιομέτρων κάτω από την επιφάνεια της Γης, δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση $T = 15 + 25 \cdot x$ , όταν $0 \leq x \leq 200$ .
α)Να βρείτε τη θερμοκρασία ενός σημείου που βρίσκεται 30 χιλιόμετρα κάτω από την επιφάνεια της Γης. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Να βρείτε το βάθος στο οποίο η θερμοκρασία είναι ίση με 290 βαθμούς Κελσίου.
γ)Σε ποιο βάθος μπορεί να βρίσκεται ένα σημείο, στο οποίο η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη από 440 βαθμούς Κελσίου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
14.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37175Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = 8 - x$ , όταν $x < 0$ , και $f (x) = 2 x + 5$ , όταν $x \geq 0$ .
α)Να δείξετε ότι $f (- 5) = f (4)$ .
β)Να βρείτε τις τιμές του $x \in R$ , ώστε $f (x) = 9$ .
15.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37185Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = \frac{x ^{3} - 16 x}{x - 4}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ και να αποδείξετε ότι, για τα $x$ που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, ισχύει $f (x) = x^{2} + 4 x$ .
β)Να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες ισχύει $f (x) = 32$ .
16.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37189Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = x + \frac{1}{x}$ , με $x \neq = 0$ .
α)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $A = f (\frac{1}{2}) + f (1) - f (2)$ .
β)Να λύσετε την εξίσωση $f (x) = \frac{5}{2}$ .
17.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37202Δίνεται το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 6$ και η συνάρτηση $f$ με $f (x) = \frac{x - 2}{x ^{2} - 5 x + 6}$ .
α)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο $x^{2} - 5 x + 6$ .
β)i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης $f$ . ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in A$ ισχύει $f (x) = \frac{1}{x - 3}$ .
18.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12689Ένα ελικόπτερο απογειώνεται από το ελικοδρόμιο και το ύψος του $Υ_{1}$ (t), σε μέτρα, από την επιφάνεια της θάλασσας τα πρώτα 5 λεπτά της κίνησής του δίνεται από τη συνάρτηση $Υ_{1} (t) = 150 + 50 t$ , με $t \in [0, 5]$ . Τα επόμενα πέντε λεπτά κινείται σε σταθερό ύψος και στη συνέχεια κατεβαίνει αργά για δέκα λεπτά ακόμα, μέχρι να επιστρέψει στο ελικοδρόμιο. Το ύψος του από την επιφάνεια της θάλασσας τα τελευταία δέκα λεπτά της κίνησής του δίνεται από τη συνάρτηση $Υ_{2} (t) = 650 - 25 t$ .
α)Σε ποιο ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας βρίσκεται το ελικοδρόμιο;
β)Σε ποιο ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας πετάει το ελικόπτερο από το 5ο μέχρι το 10ο λεπτό της κίνησής του;
γ)Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $Υ_{2}$ (t) και να προσδιορίσετε τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η απόσταση του ελικοπτέρου από τη θάλασσα είναι 250 μέτρα.
δ)i. Στα πρώτα 5 λεπτά της κίνησής του, πόσα μέτρα ανεβαίνει το ελικόπτερο κάθε λεπτό που περνάει; ii. Στα τελευταία δέκα λεπτά της κίνησής του, πόσα μέτρα κατεβαίνει κάθε λεπτό που περνάει;
19.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12911Ένα δημοτικό κολυμβητήριο έχει σχήμα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με διαστάσεις 15 $m$ και 25 $m$ . Ο δήμος, για λόγους ασφάλειας, θέλει να κατασκευάσει γύρω από το κολυμβητήριο μια πλακοστρωμένη ζώνη με σταθερό πλάτος $x$ $m$ , με $x > 0$ , όπως φαίνεται στο σχήμα.
α)Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της ζώνης δίνεται από τη σχέση $E (x) = 4 x^{2} + 80 x$ , με $x > 0$ .
β)Να βρεθεί το πλάτος $x$ της ζώνης, αν αυτή έχει εμβαδόν $E = 500 m^{2}$ .
γ)Ποιο μπορεί να είναι το πλάτος της ζώνης, αν αυτή έχει εμβαδόν μικρότερο από 500 $m^{2}$ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
20.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13114Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = \frac{∣ x - 1∣ - ∣3 - 3 x ∣ + ∣2 x - 4∣}{2}$ . Θυμίζουμε ότι $d (x, α)$ συμβολίζει την απόσταση των αριθμών $x$ και α, δηλαδή $d (x, α) = ∣ x - α ∣$ .
α)Να δείξετε ότι $f (x) = d (x, 2) - d (x, 1)$ .
β)Αν τα σημεία Α και Β παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς 1 και 2, να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της εξίσωσης $f (x) = 0$ και να προσδιορίσετε τη λύση της.
γ)Να λύσετε την εξίσωση $f (x) = 0$ .
21.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14122Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ορθογώνιο με μήκος $y$ cm και περίμετρο 10 cm. Μέσα σε αυτό δίνεται κύκλος με ακτίνα $x$ cm, ο οποίος εφάπτεται στις τρεις πλευρές του ορθογωνίου.
α)i. Να αποδείξετε ότι η σχέση που εκφράζει το μήκος $y$ του ορθογωνίου ως συνάρτηση της ακτίνας $x$ του κύκλου είναι $y = 5 - 2 x$ , με $x \in (0, \frac{5}{2})$ . ii. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση $E_{1} = 10 x - 4 x^{2}$ , με $x \in (0, \frac{5}{2})$ .
β)Να αποδείξετε ότι το μέρος του εμβαδού του ορθογωνίου που βρίσκεται έξω από τον κύκλο δίνεται από τη σχέση $E = 10 x - (π + 4) x^{2}$ , με $x \in (0, \frac{5}{2})$ .
γ)Αν το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου που βρίσκεται έξω από τον κύκλο είναι ίσο με $(6 - π) c m^{2}$ και ο $x$ είναι ρητός αριθμός, να βρείτε: i. την ακτίνα $x$ του κύκλου. ii. τις διαστάσεις του ορθογωνίου.
22.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14375Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = x^{2} - μx - 2$ , όπου $μ \in R$ .
α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f (x) = 0$ έχει δύο ρίζες πραγματικές άνισες για κάθε $μ \in R$ .
β)Να βρείτε τις τιμές του $μ \in R$ για τις οποίες οι αριθμοί $x = - 2$ και $x = 3$ βρίσκονται εκτός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης $f (x) = 0, εν \overset{ω}{ˊ}$ ο $x = 1$ βρίσκεται εντός του διαστήματος των ριζών.
γ)Αν επιπλέον οι τιμές $f (- 2), f (1), f (3)$ με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, τότε: i. Να βρείτε τις τιμές του μ. ii. Για $μ = \frac{13}{7}$ να βρείτε τον λόγο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου.
23.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14562Δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο $f (x) = \frac{x ^{2} - x}{x ^{2} - 3 x + 2}$ .
α)i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης $f$ . ii. Να δείξετε ότι $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ για κάθε $x \in A$ .
β)Να εξετάσετε αν η ευθεία $y = 1$ έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της | $f (x)$ |.
24.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14629Σε μια γραπτή εξέταση 100 ερωτήσεων Σωστού - Λάθους σε κάποιο Πανεπιστήμιο, κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με 1 μονάδα και κάθε λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται με $- \frac{1}{3}$ της μονάδας, δηλαδή για κάθε τριάδα λανθασμένων απαντήσεων αφαιρείται μια μονάδα.
α)Να αποδείξετε ότι αν ένας φοιτητής απαντήσει σωστά σε $x$ από τις 100 ερωτήσεις, τότε η βαθμολογία του Ε(x) δίνεται από τον τύπο $E (x) = (\frac{4}{3}) (x - 25)$ .
β)Ένας φοιτητής βαθμολογήθηκε με 88. Πόσες ήταν οι σωστές και πόσες οι λανθασμένες απαντήσεις που έδωσε;
γ)Να αποδείξετε ότι η βαθμολογία ενός φοιτητή δεν μπορεί να είναι ίση με 50. Πόσες σωστές απαντήσεις πρέπει να δώσει ένας φοιτητής για να πάρει βαθμολογία μεγαλύτερη από τη βάση, που είναι 50;
δ)Το άθροισμα των επιδόσεων δύο φοιτητών ήταν 140. Πόσες ήταν οι λανθασμένες απαντήσεις και των δύο μαζί;
25.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14655Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με ορθή τη γωνία Α, του οποίου οι κάθετες πλευρές έχουν μήκη $x$ και $y$ τέτοια ώστε $x + y = 10$ .
α)Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου τριγώνου, ως συνάρτηση του $x$ , δίνεται από τον τύπο $E (x) = (\frac{1}{2}) (10 x - x^{2})$ , με $x \in (0, 10)$ .
β)i. Να αποδείξετε ότι $E (x) \leq \frac{25}{2}$ για κάθε $x \in (0, 10)$ . ii. Για ποια τιμή του $x$ το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με $\frac{25}{2}$ ;
γ)Αν $x = 5$ , ποιο συμπέρασμα προκύπτει για το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του;
26.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14702Για τις ανάγκες ενός αρχιτεκτονικού σχεδίου ενός κτηρίου, απαιτείται η κατασκευή μιας μακέτας ενός πάρκου, σχήματος ορθογωνίου ΑΒΓΔ, με διαστάσεις $x$ και $2 x - 1$ , όπου $x > \frac{1}{2}$ .
α)Να εκφράσετε την περίμετρο Π και το εμβαδόν Ε της μακέτας σε συνάρτηση του $x$ .
β)Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνονται οι διαστάσεις της μακέτας, ώστε η περίφραξη του πάρκου στη μακέτα να μην ξεπερνά τα 8 μέτρα.
γ)Να βρείτε τις τιμές του $x$ , ώστε το εμβαδόν της μακέτας να είναι το πολύ 1 τετραγωνικό μέτρο.
27.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #32753Οι ανθρωπολόγοι, για να προσεγγίσουν το ύψος ενός ενήλικα, χρησιμοποιούν τις παρακάτω εξισώσεις που παριστάνουν τη σχέση μεταξύ του μήκους $y$ , σε cm, του οστού του μηρού και του ύψους $x$ , σε cm, του ενήλικα, ανάλογα με το φύλο του: για γυναίκα $y = 0, 43 x - 26$ και για άνδρα $y = 0, 45 x - 31$ .
α)Ένας ανθρωπολόγος ανακαλύπτει ένα μηριαίο οστό μήκους 38,5 cm που ανήκει σε γυναίκα. Να υπολογίσετε το ύψος της γυναίκας.
β)Ο ανθρωπολόγος βρίσκει μεμονωμένα οστά χεριού, τα οποία εκτιμά ότι ανήκουν σε άντρα ύψους περίπου 164 cm. Λίγα μέτρα πιο κάτω ανακαλύπτει ένα μηριαίο οστό μήκους 42,8 cm που ανήκει σε άντρα. Είναι πιθανόν το μηριαίο οστό και τα οστά χεριού να προέρχονται από το ίδιο άτομο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ)Να εξετάσετε αν μπορεί ένας άνδρας και μια γυναίκα ίδιου ύψους να έχουν μηριαίο οστό ίδιου μήκους.
28.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33582Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο $Π = 40 cm$ . Αν $x$ cm είναι το μήκος του ορθογωνίου, να δείξετε τα παρακάτω.
α)Ισχύει $0 < x < 20$ .
β)Το εμβαδόν Ε(x) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση $E (x) = 20 x - x^{2}$ .
γ)Για το εμβαδόν ισχύει $E (x) \leq 100$ , για κάθε $x \in (0, 20)$ .
δ)Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 40 cm, εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 10 cm.
29.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33586Δύο φίλοι αποφασίζουν να συνεταιριστούν και ανοίγουν μια επιχείρηση που γεμίζει τόνερ για φωτοτυπικά μηχανήματα. Τα πάγια μηνιαία έξοδα της εταιρείας ανέρχονται στο ποσό των 6.500 ευρώ, για ενοίκιο, παροχές, μισθούς, φόρους και άλλα. Το κόστος γεμίσματος ενός τόνερ είναι 15 ευρώ, ενώ η τιμή πώλησης του ενός τόνερ καθορίζεται σε 25 ευρώ.
α)Να γράψετε μια σχέση που να περιγράφει το μηνιαίο κόστος Κ(ν) της επιχείρησης, αν γεμίζει ν τόνερ τον μήνα.
β)Να γράψετε μια σχέση που να εκφράζει τα μηνιαία έσοδα Ε(ν) της επιχείρησης από την πώληση ν τόνερ τον μήνα.
γ)Να βρείτε πόσα τόνερ πρέπει να πωλούνται κάθε μήνα ώστε η επιχείρηση: i. να μην έχει ζημιά. ii. να έχει μηνιαίο κέρδος τουλάχιστον 500 ευρώ.
30.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33855Θεωρούμε την εξίσωση $x^{2} + 2 x + 3 = α$ , με παράμετρο $α \in R$ , και τη συνάρτηση $f$ με $f (x) = x^{2} + 2 x + 3$ , όπου $x \in R$ .
α)i. Να βρείτε για ποιες τιμές του α η εξίσωση $x^{2} + 2 x + 3 = α$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες. ii. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εξίσωση να έχει μια διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε.
β)i. Να αποδείξετε ότι $f (x) \geq 2$ για κάθε $x \in R$ . ii. Να λύσετε την ανίσωση $f (x) - 2 \leq 2$ .
31.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34184Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία στην κορυφή Α και κάθετες πλευρές $AB = x$ και $AΓ = y$ , έτσι ώστε $x + y = 10$ .
α)Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε του τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση του $x$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε(x).
β)Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι $E (x) = \frac{10 x - x ^{2}}{2}$ , να δείξετε ότι $E (x) \leq \frac{25}{2}$ για κάθε $x \in (0, 10)$ .
γ)Να βρείτε την τιμή του $x \in (0, 10)$ ώστε το εμβαδόν Ε(x) να γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με $\frac{25}{2}$ . Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ;
32.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34182Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς $AB = 3 cm$ και τυχαίο σημείο Μ που κινείται στη διαγώνιο ΒΔ (δηλαδή το Μ δεν θα ταυτιστεί με τα άκρα της διαγωνίου). Τα σχήματα ΗΒΖΜ και ΘΜΕΔ είναι τετράγωνα και $ΔE = x$ .
α)Να εκφράσετε το συνολικό εμβαδόν Ε των τετραγώνων ΗΒΖΜ και ΘΜΕΔ ως συνάρτηση του $x$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε(x).
β)Αν το εμβαδόν των τετραγώνων είναι $E (x) = 2 x^{2} - 6 x + 9$ , να αποδείξετε ότι $E \geq \frac{9}{2}$ για κάθε $x \in (0, 3)$ .
γ)Για ποια θέση του Μ πάνω στη ΒΔ το εμβαδόν Ε(x) γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο με $\frac{9}{2}$ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
33.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34317Αν ένας κάτοικος μιας πόλης Α καταναλώσει $x$ κυβικά νερού σε ένα χρόνο, το ποσό που θα πρέπει να πληρώσει δίνεται, σε ευρώ, από τη συνάρτηση $f$ με $f (x) = 12 + 0, 5 x$ όταν $0 \leq x \leq 30$ , και $f (x) = 0, 7 x + 6$ όταν $x > 30$ .
α)Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει όποιος: i. έλειπε από το σπίτι του και δεν είχε καταναλώσει νερό. ii. έχει καταναλώσει 10 κυβικά μέτρα νερού. iii. έχει καταναλώσει 50 κυβικά μέτρα νερού.
β)Σε μια άλλη πόλη Β το ποσό, σε ευρώ, που αντιστοιχεί σε κατανάλωση $x$ κυβικών μέτρων δίνεται από τον τύπο $g (x) = 12 + 0, 6 x$ , για $x \geq 0$ . Ένας κάτοικος της πόλης Α και ένας κάτοικος της πόλης Β κατανάλωσαν τα ίδια κυβικά νερού για το 2013. Αν ο κάτοικος της πόλης Α πλήρωσε μεγαλύτερο ποσό στον λογαριασμό του από τον κάτοικο της πόλης Β, να αποδείξετε ότι ο καθένας από τους δύο κατανάλωσε περισσότερα από 60 κυβικά μέτρα νερού.
34.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #35724Για την τύπωση επαγγελματικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς $x$ cm, με $5 \leq x \leq 10$ , στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια 2 cm στο πάνω και στο κάτω μέρος της και 1 cm δεξιά και αριστερά, όπως στο σχήμα.
α)Να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση $E (x) = (x - 2) (x - 4)$ , με $5 \leq x \leq 10$ .
β)Να βρεθεί η τιμή του $x$ ώστε το εμβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων να είναι 35 c $m^{2}$ .
γ)Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά $x$ του τετραγώνου, αν η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον 24 c $m^{2}$ .
35.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36654Δύο φίλοι αποφάσισαν να κάνουν το χόμπι τους δουλειά. Τους άρεσε να ζωγραφίζουν μπλουζάκια και έστησαν μια μικρή επιχείρηση για να τα πουλήσουν μέσω διαδικτύου. Τα έξοδα κατασκευής, σε ευρώ, για $x$ μπλουζάκια δίνονται από τη συνάρτηση $K (x) = 12, 5 x + 120$ και τα έσοδα από την πώλησή τους, σε ευρώ, σε διάστημα ενός μηνός, από τη συνάρτηση $E (x) = 15, 5 x$ .
α)Αν η επιχείρηση κάποιο μήνα δεν κατασκευάσει μπλουζάκια, έχει έξοδα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Τι εκφράζει ο αριθμός 12,5 και τι ο αριθμός 15,5 στο πλαίσιο του προβλήματος;
γ)Να βρείτε πόσα μπλουζάκια πρέπει να πουλήσουν ώστε να έχουν έσοδα όσα και έξοδα, δηλαδή να μην μπαίνει μέσα η επιχείρηση.
δ)Αν πουλήσουν 60 μπλουζάκια θα έχουν κέρδος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
36.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36668Για τη μέτρηση θερμοκρασιών χρησιμοποιούνται οι κλίμακες βαθμών Κελσίου, Φαρενάιτ και Κέλβιν. Οι μετατροπές της θερμοκρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν περιγράφονται από δύο προτάσεις. Πρώτη πρόταση: για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου σε βαθμούς Φαρενάιτ, πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς Κελσίου με 1,8 και προσθέτουμε 32. Δεύτερη πρόταση: για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου σε βαθμούς Κέλβιν, προσθέτουμε στους βαθμούς Κελσίου το 273.
α)Να εκφράσετε συμβολικά τη σχέση που περιγράφει η κάθε πρόταση.
β)Να δείξετε ότι η εξίσωση που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας σε βαθμούς Κέλβιν και της θερμοκρασίας σε βαθμούς Φαρενάιτ είναι $K = \frac{F - 32}{1}, 8 + 273$ .
γ)Στη διάρκεια μιας νύχτας η θερμοκρασία σε μια πόλη κυμάνθηκε από 278 βαθμούς Κέλβιν μέχρι 283 βαθμούς Κέλβιν. Να βρείτε το διάστημα μεταβολής της θερμοκρασίας σε βαθμούς Φαρενάιτ.
37.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36679Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = \frac{x ^{2} - 5∣ x ∣ + 6}{∣ x ∣ - 3}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης $f$ .
β)Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in A$ ισχύει $f (x) = ∣ x ∣ - 2$ .
γ)Για $x \in A$ , να λύσετε την εξίσωση $(f (x) + 2)^{2} - 4 f (x) - 5 = 0$ .
38.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36680Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ με $f (x) = x^{2} - 4 x + α$ και $g$ με $g (x) = α x - 5$ , όπου $α \in R$ .
α)Αν ισχύει $f (2) = g (2)$ , να βρείτε την τιμή του α.
β)Για $α = 1$ : i. να λύσετε την εξίσωση $f (x) = g (x)$ . ii. να λύσετε την ανίσωση $f (x) \geq g (x)$ και, με τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την εξίσωση $∣ f (x) - g (x) ∣ = f (x) - g (x)$ .
39.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38852Ένα από τα επακόλουθα της υπερθέρμανσης του πλανήτη μας είναι το λιώσιμο των πάγων. Δώδεκα χρόνια μετά το λιώσιμο των πάγων αρχίζουν να αναπτύσσονται στους βράχους μικροσκοπικά φυτά, που ονομάζονται λειχήνες. Κάθε λειχήνα αναπτύσσεται σε σχήμα περίπου κυκλικό. Για να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η διάμετρος δ μιας λειχήνας σε σχέση με την ηλικία της χρησιμοποιείται ο τύπος $δ (t) = 7 \cdot t - 12$ , όπου δ η διάμετρος της λειχήνας σε mm και $t$ ο αριθμός των χρόνων που έχουν περάσει μετά το λιώσιμο των πάγων. Δίνεται ότι η επιφάνεια κύκλου με διάμετρο δ είναι $E = π \cdot \frac{δ ^{2}}{4}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
β)Ποια είναι η διάμετρος που θα έχει μια λειχήνα 16 χρόνια μετά το λιώσιμο των πάγων;
γ)Η Άννα μέτρησε τη διάμετρο μιας λειχήνας που βρήκε σε κάποιο μέρος και είδε ότι ήταν 35 mm. Πόσα χρόνια έχουν περάσει από το λιώσιμο των πάγων σε αυτό το μέρος;
δ)Αν μια λειχήνα διπλασίασε την επιφάνειά της τα τελευταία 6 χρόνια, πριν από πόσα χρόνια δημιουργήθηκε;
40.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38853Το μέσο μήκος βήματος του ανθρώπου, δηλαδή η απόσταση από το ένα πόδι στο άλλο σε ένα βήμα, εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, όπως το ύψος, το φύλο, ο τρόπος βαδίσματος και το έδαφος. Μια γενική εκτίμηση για το μήκος βήματος σε έδαφος που είναι περίπου επίπεδο είναι, για τις γυναίκες, περίπου 0,42 φορές το ύψος του ατόμου, ενώ για τους άνδρες είναι περίπου 0,44 του ύψους του ατόμου.
α)Να υπολογίσετε το μέσο μήκος βήματος: i. ενός άνδρα ύψους 1,85 $m$ . ii. μιας γυναίκας ύψους 1,80 $m$ .
β)Να γράψετε: i. μια συνάρτηση που να εκφράζει το μέσο μήκος βήματος $p$ μιας γυναίκας ανάλογα με το ύψος της σε $m$ . ii. μια συνάρτηση που να δίνει την απόσταση $S$ που έχει διανύσει μια γυναίκα ύψους 1,80 $m$ σε σχέση με τον αριθμό β των βημάτων που κάνει.
γ)Να βρείτε το ύψος του άνδρα που έχει μέσο μήκος βήματος όσο το μέσο μήκος βήματος μιας γυναίκας ύψους 1,80 $m$ .
δ)Η Μαρία έχει ύψος 1,75 $m$ και κάθε μέρα κάνει βόλτα 2 km με τον σκύλο της, που έχει μήκος βήματος περίπου 0,6 $m$ . Η Μαρία κάνει περισσότερα βήματα ή ο σκύλος της; Πόσα περισσότερα και γιατί;
41.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38855Η Χριστίνα σκέφτεται να αγοράσει ένα εξοχικό διαμέρισμα, για να το ενοικιάζει σε ταξιδιώτες που επισκέπτονται την περιοχή. Ψάχνοντας στο διαδίκτυο, βρήκε να πωλείται ένα διαμέρισμα με τα εξής στοιχεία: μία τραπεζαρία και σαλόνι, ένα υπνοδωμάτιο και ένα μπάνιο, επιφάνεια 60 τετραγωνικά μέτρα, θέση πάρκινγκ ναι, χρόνος διαδρομής μέχρι το κέντρο της πόλης 10 λεπτά, απόσταση από την παραλία 350 μέτρα σε ευθεία, μέση διάρκεια ενοικίασης τα τελευταία 10 χρόνια 315 ημέρες τον χρόνο, τιμή 200.000 ευρώ. Για να αποφασίσει αν η τιμή πώλησης είναι συμφέρουσα, η Χριστίνα απευθύνθηκε σε έναν ειδικό, ο οποίος εκτιμά την αξία ενός διαμερίσματος με βάση τα παρακάτω κριτήρια. Βασική τιμή: 2.500 ευρώ ανά τετραγωνικό μέτρο. Χρόνος διαδρομής μέχρι το κέντρο της πόλης: περισσότερο από 15 λεπτά, καμία προσαύξηση· από 5 έως 15 λεπτά, προσαύξηση 10.000 ευρώ· λιγότερο από 5 λεπτά, προσαύξηση 20.000 ευρώ. Απόσταση από την παραλία σε ευθεία: περισσότερο από 2 km, καμία προσαύξηση· από 1 έως 2 km, προσαύξηση 5.000 ευρώ· από 0,5 έως 1 km, προσαύξηση 10.000 ευρώ· λιγότερο από 0,5 km, προσαύξηση 15.000 ευρώ. Θέση πάρκινγκ: όχι, καμία προσαύξηση $\cdot ναι$ , προσαύξηση 35.000 ευρώ. Αν η αξία του διαμερίσματος που υπολόγισε ο ειδικός είναι μεγαλύτερη από την τιμή πώλησης που έχει δοθεί στην αγγελία, η τιμή πώλησης θεωρείται πολύ καλή για τον υποψήφιο αγοραστή, δηλαδή για τη Χριστίνα.
α)Να εξηγήσετε γιατί, με βάση τα κριτήρια του ειδικού, η τιμή πώλησης που προτείνεται είναι πολύ καλή για τη Χριστίνα.
β)Ο ειδικός στις πωλήσεις θέλει να κρατήσει τα χαρακτηριστικά του διαμερίσματος που βρήκε η Χριστίνα, δηλαδή θέση πάρκινγκ, 10 λεπτά από το κέντρο και 350 $m$ από την παραλία, αλλά όχι μόνο για διαμερίσματα 60 τετραγωνικών. Αν λοιπόν ένα διαμέρισμα είναι $x$ τετραγωνικά, να βρείτε πόσο θα εκτιμήσει την τιμή πώλησης ενός τέτοιου διαμερίσματος ως συνάρτηση του $x$ .
γ)i. Αν υποθέσουμε ότι το διαμέρισμα που σκέφτεται να αγοράσει η Χριστίνα νοικιάζεται περίπου 315 μέρες τον χρόνο σε μέση τιμή 100 ευρώ την ημέρα και έχει κόστος συντήρησης και λειτουργίας 8.000 ευρώ τον χρόνο, πόσα χρόνια χρειάζονται ώστε τα κέρδη να καλύψουν το κόστος αγοράς; ii. Οι ίδιοι όροι ενοικίασης ισχύουν για κάποια διαμερίσματα με εμβαδά από 50 έως και 70 τετραγωνικά μέτρα. Η Αθηνά θέλει να αγοράσει ένα από αυτά τα διαμερίσματα, για να το ενοικιάσει, ώστε να καλύψει το κόστος αγοράς του σε 5 χρόνια. Τα διαμερίσματα έχουν ίδια χαρακτηριστικά με το διαμέρισμα που βρήκε η Χριστίνα και πωλούνται στην τιμή που έχει εκτιμήσει ο ειδικός στο ερώτημα β. Θα μπορούσε η Αθηνά να καλύψει, με τα κέρδη ενοικίασης, το κόστος αγοράς ενός τέτοιου διαμερίσματος σε 5 χρόνια;
42.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38929Μια εταιρεία, για να κατασκευάσει χαρτόκουτα ανοιχτά από πάνω, χρησιμοποιεί ένα ορθογώνιο χαρτόνι, κόβει στις τέσσερις γωνίες του τετράγωνα πλευράς $x$ dm και στη συνέχεια διπλώνει τα πλαϊνά μέρη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνεται ότι $441 = 21$ και ότι ο όγκος $V$ ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις α, β και γ είναι $V = α \cdot β \cdot γ$ .
α)Αν η βάση του κουτιού έχει διαστάσεις 2 dm και 3 dm, να εκφράσετε το εμβαδόν Ε της επιφάνειας του αρχικού χαρτονιού ως συνάρτηση του ύψους $x$ του κουτιού.
β)Η εταιρεία θέλει να κατασκευάσει κουτιά με χωρητικότητα $V = 12 d m^{3}$ . i. Αν θεωρήσουμε το πάχος του χαρτιού αμελητέο, ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του αρχικού χαρτονιού; ii. Η εταιρεία διαθέτει ένα μηχάνημα για να μετράει το μήκος $x$ των πλευρών των τετραγώνων που πρέπει να κοπούν στις γωνίες του αρχικού χαρτονιού. Το μηχάνημα έχει ακρίβεια 0,01 dm, δηλαδή το μήκος που μετράει απέχει το πολύ 0,01 dm από το επιθυμητό. Ποιες τιμές μπορεί να έχει η χωρητικότητα των κουτιών που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο;
γ)Η εταιρεία πρέπει να κατασκευάσει κουτιά διαφόρων μεγεθών, όλα όμως πρέπει να έχουν την ίδια βάση διαστάσεων $2 \times 3 d m^{2}$ . Επίσης, το κόστος του χαρτονιού ανά κουτί δεν πρέπει να ξεπερνά τα 2,2 ευρώ. Αν το χαρτόνι κοστίζει 0,02 ευρώ ανά d $m^{2}$ , ποιες μπορεί να είναι οι διαστάσεις του αρχικού χαρτονιού;

6.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

43.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12680Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x - 1}{x - 1}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ .
β)Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(4, 3) ανήκει στη γραφική παράσταση της $f$ .
γ)Να εξετάσετε αν το σημείο $N (- 1, - 2)$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $f$ .
44.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12686Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ .
β)Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(2, 4) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ .
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τους άξονες.
45.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12729Ένα σώμα εκτελεί κατακόρυφη βολή. Η απόστασή του από το έδαφος, σε μέτρα, σε σχέση με τον χρόνο, σε δευτερόλεπτα, φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: στον οριζόντιο άξονα είναι ο χρόνος και στον κατακόρυφο το ύψος. Από τις πληροφορίες του διαγράμματος να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.
α)Από ποιο ύψος εκτελείται η κατακόρυφη βολή;
β)Ποιο είναι το μέγιστο ύψος που φτάνει το σώμα και ποια χρονική στιγμή συμβαίνει αυτό;
γ)Να βρείτε τις χρονικές στιγμές που το σώμα βρίσκεται σε ύψος 8 μέτρα από το έδαφος.
δ)Να βρείτε τις χρονικές στιγμές που το σώμα συναντά το έδαφος.
46.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12910Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης και το σύνολο τιμών $f (A)$ .
β)Να βρείτε τις τιμές $f (- 2), f (0)$ και $f (3)$ .
γ)Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες ισχύει $f (x) = 0$ .
δ)Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες ισχύει $f (x) < 0$ .
47.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13322Δίνεται η συνάρτηση $g$ , με $g (x) = \frac{x}{x ^{2} + 2} + x - 1$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $g$ .
β)Να βρείτε, εφόσον ορίζονται, τις τιμές της συνάρτησης $g$ για $x = 1, x = - 2$ και $x = 2$ .
γ)Τέμνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ τον άξονα $y$ ΄ $y$ ;
48.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14072Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης $f$ .
β)Ανήκει το σημείο Μ(1, 3) στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ ;
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ .
49.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14596Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{x + 1}$ , όπου $x \neq = - 1$ .
α)Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης και να δείξετε ότι $f (x) = x - 3$ για κάθε $x \neq = - 1$ .
β)Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ διέρχεται από το σημείο $A (1, - 4)$ .
50.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14603Δίνεται η συνάρτηση $f$ που ορίζεται κατά κλάδους. Για $x \leq 3$ είναι $f (x) = 2 x - 5$ . Για $3 < x < 10$ είναι $f (x) = x^{2}$ .
α)Να υπολογίσετε τις τιμές $f (- 1), f (3)$ και $f (5)$ .
β)Διέρχεται η γραφική παράσταση της $f$ από την αρχή των αξόνων; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ)Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τον άξονα $y$ ΄ $y$ .
51.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14628Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x}$ , όπου $x \neq = 0$ .
α)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης $f$ διέρχεται από το σημείο Α(4, 3).
β)Να εξετάσετε αν το σημείο $B (- 4, - 3)$ είναι σημείο της Cf.
γ)Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf της $f$ με την ευθεία $y = 3$ .
52.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15000Δίνεται η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης $f$ , η οποία είναι ορισμένη σε όλο το ℝ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Με τη βοήθεια του σχήματος να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα.
α)Να βρείτε τις τιμές της $f$ για $x = 0, 1, 3$ και 5.
β)Να λύσετε γραφικά την εξίσωση $f (x) = 0$ .
γ)Να λύσετε γραφικά την ανίσωση $f (x) < 0$ .
53.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35034Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ .
α)Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
β)Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών: για $x = - 3, - 1, 0$ και 3 να βρείτε την τιμή του $y$ , και για $y = - 2$ και −4 να βρείτε την τιμή του $x$ .
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες.
δ)Να προσδιορίσετε το διάστημα του πεδίου ορισμού στο οποίο η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές.
54.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34159Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ .
β)Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης $f$ .
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ .
55.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35413Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 1}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
β)Να βρείτε τις δυνατές τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το σημείο Μ με τετμημένη α και τεταγμένη $\frac{1}{8}$ να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ .
56.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36885Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 2}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f$ .
β)i. Να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες ισχύει $f (x) = 0$ . ii. Να βρείτε τις τιμές $f (0)$ και $f (3)$ .
γ)Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες.
57.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36889Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = x^{2} + 2 x - 15$ , για κάθε $x \in R$ .
α)Να υπολογίσετε το άθροισμα $f (- 5) + f (0) + f (3)$ .
β)Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες.
58.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12628Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f$ και $g$ , με $f (x) = x^{2} - x - 1$ και $g (x) = 3 - x$ , των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στο παρακάτω σχήμα.
α)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ και Ζ.
β)Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της $f$ που βρίσκονται πάνω από τη γραφική παράσταση της $g$ .
γ)Να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό α, η απόσταση των αριθμών $f (α)$ και − $g (α)$ πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι τουλάχιστον 1.
59.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12788Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = (x - 1)^{2}$ , για κάθε $x \in R$ .
α)Να αποδείξετε ότι $f (3) + f (- 3) = 8$ .
β)Να βρείτε όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ , με συντεταγμένες ακέραιους αριθμούς, τα οποία βρίσκονται κάτω από την ευθεία $y = 4$ .
γ)Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί με $α \neq = β$ , ώστε να ισχύει $f (α) = f (β)$ . Να αποδείξετε ότι $α + β = 2$ .
60.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12941Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{9 - x ^{2}}{3 - ∣ x ∣}$ .
α)Να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ ορίζεται η συνάρτηση $f$ .
β)Για τις τιμές του $x$ που ορίζεται η συνάρτηση $f$ , να δείξετε ότι $f (x) = 3 + ∣ x ∣$ .
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης Cf με τους άξονες.
δ)Αν $g (x) = 3 - x^{2}$ , να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις Cf και Cg έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
61.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12944Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ και $g$ , με $f (x) = x + \frac{1}{x}$ και $g (x) = x - \frac{1}{x}$ , για κάθε $x \neq = 0$ .
α)Θεωρούμε την παράσταση Α που προκύπτει αν από το άθροισμα $f (2) + g (2)$ αφαιρέσουμε το άθροισμα $f (\frac{1}{2}) + g (\frac{1}{2})$ . Να βρείτε την τιμή της.
β)Να αποδείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων $(f (x))^{2} - (g (x))^{2}$ ισούται με 4, για οποιονδήποτε αριθμό $x \neq = 0$ .
γ)Θεωρούμε την ευθεία $y = α$ , με $α \in R$ . Αν η ευθεία έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ , να αποδείξετε ότι $∣ α ∣ \geq 2$ .
62.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12999Ένα όχημα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και έχει ταχύτητα που δίνεται από τη σχέση $u = u_{0} + α \cdot t$ , όπου $u$ είναι η ταχύτητα του οχήματος τη χρονική στιγμή $t$ , α η σταθερή επιτάχυνσή του στη διάρκεια της κίνησης και $u_{0}$ η αρχική ταχύτητα της κίνησής του.
α)Αν η παραπάνω σχέση αποτελεί συνάρτηση της ταχύτητας του οχήματος ως προς τον χρόνο, να προσδιορίσετε ποια είναι η εξαρτημένη και ποια η ανεξάρτητη μεταβλητή, και ποιο το ευρύτερο δυνατό πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής.
β)Ένα όχημα Α, που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, ξεκινά από θέση ηρεμίας και τη χρονική στιγμή 4 δευτερόλεπτα έχει ταχύτητα 4 μέτρα το δευτερόλεπτο. Ένα άλλο όχημα Β, που εκτελεί επίσης ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, έχει αρχική ταχύτητα 2 μέτρα το δευτερόλεπτο. Οι ευθείες (I) και (II) του παρακάτω διαγράμματος ταχύτητας-χρόνου περιγράφουν τις ταχύτητες των δύο οχημάτων: στον οριζόντιο άξονα είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα και στον κατακόρυφο η ταχύτητα σε μέτρα το δευτερόλεπτο. i. Ποια από τις δύο ευθείες περιγράφει την ταχύτητα του οχήματος Α και ποια την ταχύτητα του οχήματος Β; ii. Να προσδιορίσετε ποιο από τα δύο οχήματα κινείται ταχύτερα, για κάθε χρονική στιγμή $t$ με $3 < t < 5$ . iii. Αν ένα όχημα Γ εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα 2 μέτρα το δευτερόλεπτο και επιτάχυνση μεγαλύτερη από την επιτάχυνση του οχήματος Α, να περιγράψετε πώς θα σχεδιάζατε στο ίδιο διάγραμμα μια ευθεία που θα μπορούσε να περιγράφει την κίνησή του.
63.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13030Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ και $g$ , με $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$ και $g (x) = ∣ x + 3∣$ .
α)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων $f$ και $g$ .
β)Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων Cf και Cg.
γ)Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της Cf που βρίσκονται κάτω από την Cg.
64.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13090Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ , με $f (x) = \frac{16}{x}$ και $x > 0$ . Ένα σημείο Μ(x, $y$ ) κινείται στη γραφική παράσταση της $f$ , και έστω Α και Β οι προβολές του Μ στους άξονες $y$ ΄ $y$ και $x$ ΄ $x$ αντίστοιχα.
α)Να δείξετε ότι όλα τα ορθογώνια ΟΑΜΒ που προκύπτουν για τις διάφορες θέσεις του σημείου Μ έχουν εμβαδόν 16 τετραγωνικές μονάδες, ενώ η περίμετρός τους δίνεται, σε μονάδες μήκους, από τη συνάρτηση $Π (x) = 2 x + \frac{32}{x}$ , με $x > 0$ , όπου $x$ η τετμημένη του Μ.
β)Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ ώστε το ορθογώνιο ΟΑΜΒ να έχει περίμετρο 20 μονάδες μήκους.
γ)Αν Μ΄ είναι το σημείο της γραφικής παράστασης της $f$ ώστε το ορθογώνιο ΟΑΜ΄Β να είναι τετράγωνο, τότε: i. Να δείξετε ότι το Μ΄ έχει τετμημένη 4. ii. Να δείξετε ότι το τετράγωνο ΟΑΜ΄Β έχει τη μικρότερη περίμετρο από όλα τα ορθογώνια ΟΑΜΒ, δηλαδή ότι $Π (x) \geq Π (4)$ για κάθε $x > 0$ .
65.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13120Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = x^{2} - (λ - 1) x - 4 λ^{2}$ , όπου $λ \in R$ .
α)Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ τέμνει τον άξονα $x$ ΄ $x$ σε δύο σημεία, για κάθε $λ \in R$ .
β)Για $λ \neq = 0$ να βρείτε το πρόσημο των ριζών της εξίσωσης $f (x) = 0$ .
γ)Να βρείτε τις τιμές του $λ \in R$ ώστε το συμμετρικό του σημείου Α(4, 4) ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ να ανήκει στη γραφική παράσταση της $f$ .
δ)Για $λ = - 1$ να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
66.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13168Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ , με $f (x) = x^{2} + 2 λ x + γ$ και $x \in R$ , όπου $λ \in R$ είναι παράμετρος. Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα $y$ ΄ $y$ στο σημείο (0, −1) για κάθε $λ \in R$ .
α)Να αποδείξετε ότι: i. $γ = - 1$ . ii. Η γραφική παράσταση της $f$ δεν βρίσκεται κάτω από την ευθεία $y = - λ^{2} - 1$ , για κάθε $λ \in R$ .
β)Να αποδείξετε ότι για κάθε $λ \in R$ η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x$ ΄ $x$ σε δύο σημεία Α και Β. Το Α έχει τετμημένη $- λ - λ^{2} + 1$ . Το Β έχει τετμημένη $- λ + λ^{2} + 1$ .
γ)Να αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων Α και Β είναι μεγαλύτερη ή ίση του 2, για κάθε $λ \in R$ .
67.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13313Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x ^{7} - x}{x ^{3} - x}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της $f$ .
β)Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της $f$ έχει κοινά σημεία με τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ .
γ)Να δείξετε ότι $f (x) = x^{4} + x^{2} + 1$ για κάθε $x \in A$ .
δ)Να εξετάσετε αν η εξίσωση $f (x) = 3$ έχει λύση στο Α.
68.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13479Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = ∣3 x - 12∣ - ∣2 x - 8∣ - 3∣ x^{2} - 16∣$ . Αν $∣ x ∣ \leq 4$ , τότε:
α)Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης $f$ χωρίς τις απόλυτες τιμές.
β)Αν $f (x) = 3 x^{2} - x - 44$ , τότε: i. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες. ii. Αν το σημείο $M (μ + 1, - 20)$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $f$ , να βρείτε την ακέραια τιμή του μ.
69.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13454Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ , με $f (x) = α x^{4} - 4 x^{2} + γ$ , η οποία είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y$ ΄ $y$ .
α)Να δείξετε ότι $γ = 3$ .
β)Αν $A (α^{2} - 3, 3)$ και $B (5 - 3 α, 3)$ είναι σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ , όπως φαίνεται στο σχήμα, να δείξετε ότι $α = 1$ και να γράψετε τον τύπο της $f$ .
γ)Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
δ)Με τη βοήθεια του σχήματος και της απάντησης του ερωτήματος γ), να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της $f$ που βρίσκονται κάτω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
70.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13557Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , με $f (x) = x^{2}$ , και $g$ , με $g (x) = x, που$ τέμνονται στα σημεία Α και Β.
α)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β.
β)Αν Α(0, 0) και Β(1, 1), τότε: i. Με βάση το σχήμα να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της $g$ . ii. Να επαληθεύσετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο ερώτημα $i$ .
γ)Αν $(\frac{α}{β})^{2} < \frac{α}{β}$ για τυχαίους πραγματικούς αριθμούς α, β με $β \neq = 0$ , να δείξετε, με βάση τα παραπάνω ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο θέλετε, ότι $∣ α ∣ < ∣ β ∣$ .
71.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14185Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x}{x ^{3} - 2 x ^{2} + x}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της $f$ .
β)Να αποδείξετε ότι $f (x) = \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ για κάθε $x \in A$ .
γ)Να λύσετε την εξίσωση $f (x) = 1$ .
δ)Να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ η γραφική παράσταση της $f$ είναι πάνω από την ευθεία $y = 1$ .
72.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14190Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = x^{2} + x + 1, x$ ∈ ℝ.
α)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
β)Να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό $α \neq = - \frac{1}{2}$ τα σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ με τετμημένες α και $- α - 1$ έχουν την ίδια τεταγμένη.
γ)Θεωρούμε μεταβλητό σημείο Μ της γραφικής παράστασης της $f$ με τετμημένη $β > 0$ . Από το Μ φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ , και έστω Α και Δ τα σημεία τομής τους με τους άξονες, όπου το Α ανήκει στον $x$ ΄ $x$ και το Δ στον $y$ ΄ $y$ . Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΑΜΔ είναι $[2 (β + 1)]^{2}$ .
73.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14225Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} - 5 x + 4 )}{x - 1}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της $f$ .
β)Να δείξετε ότι $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ για κάθε $x \in A$ .
γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ η γραφική παράσταση της $f$ δεν είναι πάνω από την ευθεία $y = 3$ .
δ)Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ , με $g (x) = x^{4} - 6 x - 4$ , τέμνει τη γραφική παράσταση της $f$ .
74.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14307Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , με $f (x) = x^{4}$ , και $g$ , με $g (x) = 2 - x^{2}$ . Τα Α, Β είναι τα σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων, ενώ Γ είναι το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της $g$ με τον άξονα $y$ ΄ $y$ .
α)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ.
β)Αν $A (- 1, 1), B (1, 1)$ και Γ(0, 2), να βρείτε με βάση το σχήμα για ποιες τιμές του $x$ η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της $g$ .
γ)Να επαληθεύσετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο ερώτημα β).
75.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14459Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ , και η ευθεία $y = α$ , με $α \in R$ .
α)Να αιτιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
β)Να αποδείξετε ότι αν $0 < α < 1$ , τότε η γραφική παράσταση της $f$ έχει με την ευθεία δύο κοινά σημεία, των οποίων να βρείτε τις τετμημένες.
γ)Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό $x$ ισχύει $∣ x \cdot f (x) ∣ \leq \frac{1}{2}$ .
76.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14665Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , με $f (x) = x^{2}$ , και $g$ , με $g (x) = x^{3}, που$ τέμνονται στα σημεία Α και Β.
α)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β.
β)Με βάση το σχήμα ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο θέλετε, να δείξετε ότι για κάθε $x \in (0, 1)$ ισχύει $x^{3} < x^{2}$ .
γ)Είναι ο κύβος οποιουδήποτε αριθμού μεγαλύτερος από το τετράγωνό του; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
δ)Για τον πραγματικό αριθμό $π = 3, 1415$ … να δείξετε ότι: i. $(π - 3)^{3} < (π - 3)^{2}$ . ii. $π^{3} - 10 π^{2} + 33 π - 36 < 0$ .
77.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14744Στο παρακάτω σχήμα έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση (ε) της συνάρτησης $f$ , με $f (x) = 1 - x, x$ ∈ ℝ, η οποία τέμνει τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ στα σημεία Ε και Δ αντίστοιχα.
α)Να αποδείξετε ότι $x - x^{2} \leq \frac{1}{4}$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ . Πότε ισχύει η ισότητα;
β)Ένα μεταβλητό σημείο Α, με τετμημένη α, κινείται πάνω στην (ε) και ανάμεσα στα σημεία Δ και Ε. Από το Α φέρνουμε καθέτους στους άξονες και έστω Β και Γ τα σημεία τομής τους με τον $y$ ΄ $y$ και τον $x$ ΄ $x$ αντίστοιχα. i. Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΟΓ. ii. Να αποδείξετε ότι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του εμβαδού του μεταβλητού ορθογωνίου ΑΒΟΓ είναι $\frac{1}{4}$ . Για ποια θέση του σημείου Α επιτυγχάνεται αυτή η τιμή;
78.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14745Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $g$ . Κάποια σημεία της γραφικής παράστασης που έχουν ακέραιες συντεταγμένες έχουν σημειωθεί με έντονο τρόπο.
α)Να λύσετε την ανίσωση $- 2 \leq g (x) \leq 0$ .
β)Να λύσετε την ανίσωση $∣ g (x) ∣ \leq 2$ .
γ)i. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων $g (x) = \frac{4}{5}$ και $g (x) = - 1$ . ii. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $g (x) = k$ για τις διάφορες πραγματικές τιμές της παραμέτρου $k$ .
79.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14760Δίνεται η συνάρτηση $g$ , με $g (x) = \frac{x ^{2} - 16}{( 3 x ^{2} - x - 12 ) ^{3}}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $g$ .
β)Να δείξετε ότι $g (x) = \frac{x + 4}{x + 3}$ για κάθε $x$ στο πεδίο ορισμού της.
γ)Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $g$ με τους άξονες.
80.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14763Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{3 x ^{2} - 8 x + λ}{x - 4} + 2$ , για $x \neq = 4$ και $λ \geq 16$ .
α)Να βρείτε το $λ \geq 16$ ώστε η γραφική παράσταση της $f$ να διέρχεται από το σημείο $M (0, - 1)$ .
β)Αν $λ = 16$ , τότε: i. Να αποδείξετε ότι $f (x) = - 1$ για $x < 4$ και $f (x) = 5$ για $x > 4$ . ii. Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της $f$ . iii. Για $x < 4$ , να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ των οποίων η απόσταση από το σημείο $A (- 1, - 1)$ είναι 10 μονάδες μήκους.
81.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14771Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ , με $f (x) = x - α$ , όπου $α \in R$ .
α)Με βάση το σχήμα, να δείξετε ότι $α = 1$ .
β)Αν $α = 1$ , να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f$ .
γ)i. Να δείξετε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Γ και Δ είναι (2, 1) και (3, $2$ ) αντίστοιχα. ii. Να βρείτε το μήκος του τμήματος ΒΓ. iii. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές.
82.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14786Δίνονται τα σημεία Α(λ, 1) και $B (2 - λ^{2}, μ)$ , με λ, $μ \in R$ .
α)Αν τα σημεία Α, Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ , να βρείτε τις τιμές των λ, μ.
β)Αν επιπλέον το σημείο Α βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος, να βρείτε την τιμή του λ.
γ)Για $λ = - 2$ και $μ = - 1$ : i. Να βρείτε την απόσταση των σημείων Α, Β. ii. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων.
83.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14810Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = x^{2} - 7 x + κ$ , όπου $κ \in R$ , της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα $y$ ΄ $y$ στο σημείο με τεταγμένη 10.
α)Να αποδείξετε ότι $κ = 10$ .
β)Να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
γ)Έστω Α(α, $f (α)$ ) και Β(β, $f (β)$ ), με $α < β, δ \overset{υ}{ˊ} ο$ σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ που βρίσκονται κάτω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ . i. Να αποδείξετε ότι $α < \frac{2 α + 3 β}{5} < β$ . ii. Να εξετάσετε αν το σημείο της γραφικής παράστασης της $f$ με τετμημένη $x_{0} = \frac{2 α + 3 β}{5}$ βρίσκεται πάνω ή κάτω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
84.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14925Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ , με $f (x) = \frac{1}{x}$ , και η ευθεία ΑΒ με εξίσωση $y = x$ .
α)Να βρείτε τις συντεταγμένες των Α, Β και να δείξετε ότι το Ο είναι το μέσο του ΑΒ.
β)Έστω Μ(x, $y$ ) τυχαίο σημείο της γραφικής παράστασης της $f$ . Να δείξετε ότι το συμμετρικό Μ΄ του Μ ως προς το Ο(0, 0) ανήκει στη γραφική παράσταση της $f$ .
γ)Αν $A (1, 1), B (- 1, - 1)$ και Μ΄(− $x$ , − $y$ ), να δείξετε ότι $(AB) \leq$ (ΜΜ΄) για κάθε $x \in R$ − {0}, και να εξετάσετε πότε ισχύει $(AB) =$ (ΜΜ΄).
85.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14926Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , με $f (x) = ∣ x ∣$ , και $g$ , με $g (x) = 2 - x^{2}$ . Τα Α, Β είναι τα σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων.
α)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β.
β)Αν $A (- 1, 1)$ και Β(1, 1): i. Με βάση το σχήμα, να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ ισχύει $f (x) < g (x)$ . ii. Να λύσετε αλγεβρικά την ανίσωση $f (x) < g (x)$ , επαληθεύοντας την απάντηση του ερωτήματος $i$ .
86.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14961Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ , με $f (x) = x^{2} - x - 1$ . Τα σημεία τομής της με τον άξονα $x$ ΄ $x$ είναι τα Α(ω, 0) και Β(φ, 0).
α)Να δείξετε ότι: i. $ω + φ = 1$ . ii. $ω \cdot φ = - 1$ .
β)Να δείξετε ότι $(OB) > (OA)$ .
γ)Αν ένας θετικός αριθμός β είναι μεγαλύτερος από τον αντίστροφό του και η διαφορά τους ξεπερνάει τη μία μονάδα, να δείξετε ότι $β > φ$ .
δ)Να δείξετε ότι $φ < \frac{5}{3}$ .
87.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #16153Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ , με $f (x) = 1 + \frac{4}{x ^{2}}$ . Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράστασή της για $x > 0$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ δεν τέμνει τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ .
γ)Έστω $α > 0$ η τετμημένη ενός τυχαίου σημείου Μ της γραφικής παράστασης της $f$ . Αν ονομάσουμε Ε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΓΜΔ του σχήματος, να αποδείξετε ότι: i. $E = α + \frac{4}{α}$ . ii. $E \geq 4$ .
88.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #32742Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ , με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών, και η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ , με $g (x) = - 2 x + 2$ . Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε:
α)τις τιμές του $x$ για τις οποίες ισχύει $f (x) = - 2 x + 2$ .
β)τις τιμές $f (- 1), f (0), f (1)$ .
γ)τις τιμές του $x$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της $g$ .
δ)τις τιμές του $x$ για τις οποίες η παράσταση $A = f (x) + 2 x - 2$ ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς.
89.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33597Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , με $f (x) = ∣ x - 2∣$ , και $g$ , με $g (x) = 1, x$ ∈ ℝ.
α)Με τη βοήθεια του παραπάνω σχήματος, να βρείτε: i. τα σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων. ii. τις τιμές του $x$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της $g$ .
β)Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στο προηγούμενο ερώτημα.
γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση $A = \frac{1 - f ( x )}{f ( x )}$ .
90.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33701Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ , με $f (x) = (x - 1)^{2} - 4$ , και $g$ , με $g (x) = ∣ x - 1∣ + 2$ , με $x \in R$ .
α)Να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
β)Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του $x$ η γραφική παράσταση της $g$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
γ)Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ .
91.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33894Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{∣2 - x ∣}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f$ .
β)Να αποδείξετε ότι $f (x) = x - 3$ για $x > 2$ και $f (x) = 3 - x$ για $x < 2$ .
γ)i. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της $f$ . ii. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ .
δ)Να λύσετε την ανίσωση $f (x) \leq 0$ .
92.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33895Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) =$ $\frac{4 x ^{2} - 2 ( α + 3 ) x + 3 α}{2 x - 3}$ , όπου $α \in R$ .
α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $f$ .
β)Να αποδειχθεί ότι $f (x) = 2 x - α$ , για κάθε $x$ που ανήκει στο πεδίο ορισμού της $f$ .
γ)Να βρεθεί η τιμή του α, αν η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο (1, −1).
δ)Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ .
93.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34309Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f$ , $g$ με $f (x) = x^{2} + 1$ και $g (x) = x + α$ , με $x \in R$ και $α \in R$ .
α)Για $α = 1$ , να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ .
β)Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$ τέμνονται σε δυο σημεία.
γ)Για $α > 1$ , να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ είναι ομόσημες ή ετερόσημες.
94.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #35385Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ , $g$ με $f (x) = x^{2} + β$ και $g (x) = x + β$ , όπου $x \in R$ και β σταθερός πραγματικός αριθμός. Είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της $g$ διέρχεται από το σημείο $M (\frac{3 β}{2}, - 3 - \frac{β}{2})$ .
α)Να αποδείξετε ότι $β = - 1$ .
β)Για $β = - 1$ : i. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τους άξονες $x$ ΄ $x$ , $y$ ΄ $y$ . ii. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της $g$ . iii. Να λύσετε την εξίσωση $\frac{f ( x )}{g ( x )} + \frac{g ( x )}{f ( x )} = 3$ .
95.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #35409Δίνεται το τριώνυμο $x^{2} - λ x + 1$ , με παράμετρο $λ \in R$ .
α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $Δ = λ^{2} - 4$ .
β)Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f$ , $g$ που είναι ορισμένες στο ℝ με $f (x) = λ x - λ + 2$ και $g (x) = x^{2} - λ + 3, λ$ ∈ ℝ. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση από την οποία μπορούμε να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$ είναι ισοδύναμη με την εξίσωση $x^{2} - λ x + 1 = 0$ . ii. Στο καθένα από τα σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των δυο συναρτήσεων για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου λ. Με δεδομένο ότι $λ \in {1, 2, 4}$ , να βρείτε την τιμή της παραμέτρου λ σε καθένα από τα σχήματα, δικαιολογώντας την απάντησή σας.
96.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #35410Δίνεται το τριώνυμο $x^{2} - 2 λ x + 4 λ + 5$ , με παράμετρο $λ \in R$ .
α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $Δ = 4 λ^{2} - 16 λ - 20$ .
β)Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ , που είναι ορισμένη στο ℝ με τύπο $f (x) = x^{2} - 2 λ x + 4 λ + 5$ . Στο καθένα από τα σχήματα δίνεται η γραφική παράσταση της $f$ για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου λ. i. Για τα δυο πρώτα σχήματα δίνεται ότι $λ \in {- 2, 4}$ . Να βρείτε σε ποια τιμή του λ αντιστοιχεί το καθένα από τα σχήματα αυτά, δικαιολογώντας την απάντησή σας. ii. Για το Σχήμα 3 να βρείτε τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η παράμετρος $λ \in R$ , δικαιολογώντας την απάντησή σας.
97.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36657Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ , $g$ με $f (x) = x^{2}$ και $g (x) = λ x + (1 - λ), x$ ∈ ℝ, και λ παράμετρος με $λ \neq = 0$ .
α)Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ έχουν για κάθε τιμή της παραμέτρου λ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.
β)Για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το σημείο αυτό;
γ)Αν $λ \neq = 2$ και $x_{1}$ , $x_{2}$ είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$ , να βρεθεί η παράμετρος λ ώστε να ισχύει $(x_{1} + x_{2})^{2} = ∣ x_{1} + x_{2} ∣ + 2$ .
98.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36676Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ , $g$ με $f (x) = α x - α + 2$ και $g (x) = x^{2} - α + 3$ , με $α \in R$ .
α)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σημείο (1, 2) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α.
β)Αν οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ τέμνονται σε σημείο με τετμημένη 1, τότε: i. Να αποδείξετε ότι $α = 2$ . ii. Για $α = 2$ , υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$ ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
γ)Να αποδείξετε ότι το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$ είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $x^{2} - α x + 1 = 0$ και στη συνέχεια ότι για $α = 3, α = - 2, α = 1$ έχουν αντίστοιχα δύο, ένα, κανένα σημείο τομής.
99.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #37206Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ , $g$ με $f (x) = x^{2} + 3 x + 2$ και $g (x) = x + 1, x$ ∈ ℝ.
α)Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , $g$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε.
β)Δίνεται η συνάρτηση $h$ με $h (x) = x + α$ . Να δείξετε ότι: i. Αν $α > 1$ , τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , $h$ έχουν δύο κοινά σημεία. ii. Αν $α < 1$ , τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ , $h$ δεν έχουν κοινά σημεία.
100.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38827Έρευνα που έγινε το 2023 από το Εργαστήριο Ραδιενέργειας Περιβάλλοντος του ΕΚΠΑ αποκαλύπτει ότι ραδιενεργά ίχνη τα οποία συνδέονται με το πυρηνικό ατύχημα του Τσερνόμπιλ το 1986 εντοπίζονται ακόμη στην Αττική. Σύμφωνα με την έρευνα, σε 23 πάρκα του Λεκανοπεδίου διαπιστώθηκε η παρουσία Καισίου 137, ενός από τα συνηθέστερα προϊόντα σχάσης του ουρανίου, που συγκεντρώνεται συνήθως στα πρώτα 10 εκατοστά του εδάφους. Γνωρίζουμε ότι η μάζα του Καισίου 137 μειώνεται λόγω διάσπασης κατά 2,5% κάθε χρόνο. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της ποσότητας του Καισίου 137 σε σχέση με τον χρόνο, όταν η αρχική ποσότητα είναι 30 γραμμάρια ανά τετραγωνικό μέτρο.
α)Να υποθέσετε ότι τον 1ο χρόνο μετά από μια έκρηξη η ποσότητα του Καισίου 137 είναι $α_{1}$ και να δείξετε ότι οι αριθμοί που εκφράζουν την ποσότητά του τα επόμενα χρόνια είναι όροι γεωμετρικής προόδου, της οποίας να προσδιορίσετε τον λόγο.
β)Αν η ζητούμενη γεωμετρική πρόοδος έχει γενικό όρο $α_{ν} = α_{1} \cdot 0, 97 5^{ν - 1}$ και τον 1ο χρόνο μετά από μια έκρηξη ανιχνεύονται σε μια περιοχή 10 γραμμάρια ανά τετραγωνικό μέτρο Καισίου 137, να υπολογίσετε πόση μάζα θα έχει απομείνει μετά από: i. 10 χρόνια ii. 100 χρόνια. Δίνονται οι τιμές $0, 97 5^{9} = 0, 769$ και $0, 97 5^{99} = 0, 079$ .
γ)i. Στην πυρηνική καταστροφή στο Τσερνόμπιλ το 1986 η απελευθέρωση Καισίου 137 εκτιμήθηκε για τη γύρω περιοχή στα περίπου 30 γραμμάρια ανά τετραγωνικό μέτρο. Αν τα όρια ασφαλείας για την καλλιέργεια των εδαφών απαιτούν η συγκέντρωση του Καισίου 137, σε βάθος εδάφους περίπου 10 εκατοστών, να είναι κάτω από 5 γραμμάρια ανά τετραγωνικό μέτρο, είναι το 2025 ασφαλής η γύρω περιοχή για καλλιέργεια; Δίνεται $0, 97 5^{38} = 0, 382$ . ii. Η ποσότητα ενός υλικού μειώνεται κατά το ήμισυ όταν αυτό υποβάλλεται σε διαδικασίες όπως η ραδιενεργός αποσύνθεση. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να εκτιμήσετε πόσο χρόνο χρειάζεται η αρχική ποσότητα των 30 γραμμαρίων ανά τετραγωνικό μέτρο Καισίου 137 για να μειωθεί στο μισό.
101.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38845Μια εταιρεία πουλάει φανέλες προς 25 ευρώ τη μία. Το κόστος παραγωγής κάθε φανέλας είναι 5 ευρώ. Οι πωλήσεις της εταιρείας με αυτή την τιμή είναι κατά μέσο όρο 100 φανέλες την ημέρα. Η έρευνα δείχνει ότι για κάθε μείωση της τιμής κατά 1 ευρώ, η εταιρεία πουλάει 10 επιπλέον φανέλες.
α)Πόσο κέρδος την ημέρα έχει η εταιρεία, όταν πουλάει την κάθε φανέλα με 25 ευρώ;
β)Πόσο κέρδος την ημέρα θα έχει η εταιρεία, αν μειώσει την τιμή κάθε φανέλας κατά 2 ευρώ, δηλαδή από τα 25 ευρώ στα 23 ευρώ;
γ)Αν η εταιρεία μειώσει την τιμή του προϊόντος κατά $x$ ευρώ, να γράψετε μια σχέση που να εκφράζει το ημερήσιο κέρδος Ρ της εταιρείας ως συνάρτηση του $x$ .
δ)Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η καμπύλη της συνάρτησης του κέρδους Ρ σε σχέση με τη μείωση της τιμής $x$ . i. Μέχρι πόσο μπορεί να μειώσει η εταιρεία την τιμή κάθε φανέλας, ώστε να μην έχει ζημιά, δηλαδή τα έσοδα να είναι περισσότερα από το κόστος; ii. Να εκτιμήσετε τη μικρότερη τιμή με την οποία μπορεί να πουλάει η εταιρεία την κάθε φανέλα, ώστε το κέρδος της να μην είναι μικρότερο από αυτό που έχει τώρα.
102.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38846Μια αθλήτρια καταδύσεων προπονείται εκτελώντας βουτιές από έναν βράχο. Οι θέσεις της αθλήτριας κατά τη διάρκεια μιας βουτιάς μπορούν να θεωρηθούν σημεία πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ με $f (x) = x^{6} + x^{4} - 2$ , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου ο οριζόντιος άξονας παριστάνει την επιφάνεια της θάλασσας. Η αθλήτρια βουτά από ύψος 3 μέτρων, πέφτει στο νερό στο σημείο Α και, κινούμενη όπως το διάγραμμα, βγαίνει από το νερό στο σημείο Β.
α)Να αιτιολογήσετε με βάση τον τύπο της συνάρτησης $f$ ότι η αθλήτρια δεν μπορεί να φτάσει σε βάθος μεγαλύτερο των 2 μέτρων κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας.
β)i. Να βρείτε αν η αθλήτρια περνά από τις θέσεις $(- \frac{1}{2}, - \frac{123}{64})$ και $(\frac{1}{4}, \frac{251}{16})$ . Να εξηγήσετε τη σκέψη σας. ii. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων για τις οποίες η αθλήτρια βρίσκεται έξω από το νερό. Δίνεται ότι $f (- 1, 19) = f (1, 19) \approx 3$ . iii. Σε μια βουτιά της η αθλήτρια κολύμπησε από το σημείο Γ ως το σημείο Β ευθύγραμμα. Να βρείτε την απόσταση ΓΒ που διήνυσε η αθλήτρια σε αυτή τη βουτιά.
103.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38922Ένα πλοίο εκτελεί δρομολόγια από το λιμάνι Α προς το λιμάνι Β ενός ποταμού και αντίστροφα. Γνωρίζουμε ότι η απόσταση που διανύει το πλοίο για να πάει από το ένα λιμάνι στο άλλο είναι 40 km. Επίσης, ο ποταμός κυλάει από το λιμάνι Α προς το λιμάνι Β με ταχύτητα $5 km / h$ . Επομένως, για να υπολογίσουμε την ταχύτητα του πλοίου ως προς τη στεριά, στην ταχύτητα υ με την οποία κινείται από τις μηχανές του προσθέτουμε ή αφαιρούμε $5 km / h$ , ανάλογα με το αν αυτό κινείται μαζί με το ρεύμα του ποταμού ή κόντρα σε αυτό. Στο Σχήμα 1 φαίνεται η απόσταση του πλοίου από το λιμάνι Α, καθώς κινείται προς το λιμάνι Β, σε σχέση με τον χρόνο.
α)i. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ που προσδίδουν οι μηχανές στο πλοίο. ii. Να υπολογίσετε πόσο χρόνο θα χρειαστεί το πλοίο για να επιστρέψει από το λιμάνι Β στο λιμάνι Α. Δίνεται ότι ένα κινητό που κινείται με σταθερή ταχύτητα $u$ για χρόνο $t$ διανύει διάστημα $S = u t$ .
β)i. Αν το πλοίο αναχώρησε σχεδόν αμέσως από το λιμάνι Β προς το λιμάνι Α, να μεταφέρετε στο γραπτό σας το Σχήμα 1 και να συμπληρώσετε σε αυτό τη γραφική παράσταση της απόστασης του πλοίου από το λιμάνι Α σε σχέση με τον χρόνο, καθώς επιστρέφει από το λιμάνι Β. ii. Κατά τη διάρκεια της διαδρομής του από το λιμάνι Α στο Β και πίσω, ποια χρονικά διαστήματα η απόσταση του πλοίου από το λιμάνι Α ήταν μικρότερη από την απόστασή του από το λιμάνι Β;
104.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38924Μια εταιρεία κατασκευής κεριών έχει ένα είδος κεριού, το οποίο καίγεται κατά $0, 1 \cdot t^{2}$ εκατοστά, όπου $t$ είναι ο χρόνος σε λεπτά από τη στιγμή που ανάβουμε το κερί.
α)Ανάβουμε ένα τέτοιο κερί ύψους 12 εκατοστών στις 12:00 π.μ. i. Στις 12:05 π.μ. τι μέρος του κεριού θα έχει καεί; ii. Να αποδείξετε ότι στις 12:11 π.μ. θα έχει καεί ολόκληρο το κερί.
β)Αν ℓ είναι το ύψος ενός κεριού από το παραπάνω είδος, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση του ύψους του κεριού που δεν έχει καεί ακόμα μετά από $t$ λεπτά που είναι αναμμένο, δίνεται από τον τύπο ℓ $- 0, 1 \cdot t^{2}$ .
γ)i. Να βρείτε τη συνάρτηση της οποίας οι τιμές εκφράζουν το ύψος ενός αναμμένου κεριού με αρχικό ύψος 15 εκατοστά μετά από $t$ λεπτά που είναι αναμμένο. ii. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης του ύψους ενός αναμμένου κεριού με ύψος 15 εκατοστά και ενός δεύτερου αναμμένου κεριού του ίδιου είδους αλλά διαφορετικού αρχικού ύψους. Ποιο θα είναι το ύψος του κάθε κεριού μετά από 10 λεπτά που είναι αναμμένα;
105.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38930Οι κάψουλες με απορρυπαντικό μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε όλους τους τύπους πλυντηρίων ρούχων. Βοηθούν ώστε η πλύση να έχει καλύτερα αποτελέσματα, χωρίς χρήση μαλακτικού και πρόπλυσης. Δίνεται ο όγκος του κυλίνδρου $V = π ρ^{2} \cdot h$ , όπου ρ η ακτίνα και $h$ το ύψος του κυλίνδρου, ο όγκος της σφαίρας $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ , όπου $r$ η ακτίνα της σφαίρας, και ο όγκος ενός σφαιρικού τμήματος $V = \frac{1}{3} π h^{2} (3 r - h)$ , όπου $h$ το ύψος του τμήματος και $r$ η ακτίνα της σφαίρας.
α)Μια εταιρεία παράγει σφαιρικές κάψουλες ακτίνας $r = 2 cm$ με το εξής χαρακτηριστικό: ο όγκος του σφαιρικού τμήματος ύψους $h$ , που περιέχει το απορρυπαντικό, είναι ίσος με το $\frac{1}{3}$ του όγκου της κάψουλας. i. Να δείξετε ότι το ύψος $h$ είναι λύση της εξίσωσης $3 h^{3} - 18 h^{2} + 32 = 0$ . ii. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + \frac{32}{3}$ , για $- 1, 5 < x < 6$ . Να αξιοποιήσετε την παραπάνω γραφική παράσταση, για να εκτιμήσετε το ύψος $h$ του σφαιρικού τμήματος που περιέχει το απορρυπαντικό, εξηγώντας τη σκέψη σας.
β)Μια άλλη εταιρεία ισχυρίζεται ότι μπορεί να εξασφαλίσει τον ίδιο όγκο απορρυπαντικού γεμίζοντας τα $\frac{2}{9}$ μιας κυλινδρικής κάψουλας ίδιας ακτίνας και ύψους ίσου με τη διάμετρο της σφαιρικής. Να εξηγήσετε γιατί ισχύει ο ισχυρισμός αυτός.
106.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14604Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = 2 x - 5$ , όταν $x \leq 3$ , και $f (x) = x^{2}$ , όταν $3 < x < 10$ .
α)Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ σε μορφή διαστήματος.
β)Να υπολογίσετε τις τιμές $f (- 1), f (3)$ και $f (5)$ .
γ)Διέρχεται η γραφική παράσταση της $f$ από την αρχή των αξόνων; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
δ)Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της $f$ που έχει τεταγμένη $y = 21$ .
107.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14752Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 2}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης $f$ .
β)Να δείξετε ότι το σημείο $M (1, - 2)$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $f$ .
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ .
108.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14754Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f (x) = \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}$ .
α)Να δείξετε ότι $x^{2} + 2 x + 4 > 0$ για κάθε $x \in R$ .
β)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης $f$ .
γ)Να δείξετε ότι $f (x) = x^{2} + 2 x + 4$ για κάθε $x \in A$ .
δ)Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της $f$ έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της $g$ , όπου $g (x) = 6 x$ .
109.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14673Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ με $f (x) = x^{2} - 2$ και $g$ με $g (x) = x$ .
α)Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β είναι $A (- 1, - 1)$ και Β(2, 2).
β)Να λύσετε την ανίσωση $x^{2} - x - 2 < 0$ .
γ)Να λύσετε την ανίσωση $ω^{2} - ∣ ω ∣ - 2 < 0$ .
110.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #37190
α)Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση $A = x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ .
β)Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ με $f (x) = \frac{3}{x}$ και $g$ με $g (x) = x^{2} - x + 3$ έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το Α(1, 3).
111.
Τράπεζα Θεμάτων · 1ο Θέμα · #14782
α)Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. i. Τα σημεία Α(x, $y$ ) και Β(− $x$ , $y$ ) είναι για κάθε τιμή των $x$ , $y$ συμμετρικά ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ . ii. Η εξίσωση $x^{ν} = α$ , με $α < 0$ και ν περιττό, έχει ακριβώς μία λύση, $την -$ ᵛ√|α|. iii. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει $∣ α ∣ + ∣ β ∣ = ∣ α + β ∣$ . iv. Η εξίσωση $α x^{2} + β x + γ = 0$ , με $α \neq = 0$ , έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν $β^{2} - 4 α γ \geq 0$ . v. Για κάθε γεωμετρική πρόοδο (α_ν) με λόγο $λ = 1$ , το άθροισμα των ν πρώτων όρων της δίνεται από τον τύπο S_ν $= ν \cdot α_{1}$ .
β)Αν $x_{1}$ , $x_{2}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $α x^{2} + β x + γ = 0$ , με $α \neq = 0$ , να δείξετε ότι $P = x_{1} \cdot x_{2} = \frac{γ}{α}$ .
112.
Τράπεζα Θεμάτων · 1ο Θέμα · #14813
Α1)Στις τέσσερις πρώτες ερωτήσεις να γράψετε το γράμμα Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή το γράμμα Λ αν η πρόταση είναι λάθος. Στην πέμπτη ερώτηση να γράψετε το γράμμα της σωστής απάντησης. i. Αν $α \leq 0$ και ν άρτιος, τότε ισχύει ᵛ $α^{ν} = ∣ α ∣$ . ii. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ μπορεί να τέμνει τον άξονα $y$ ΄ $y$ σε ακριβώς δύο σημεία. iii. Θεωρούμε την αριθμητική πρόοδο (α_ν) με πρώτο όρο $α_{1}$ και διαφορά ω. Το άθροισμα S_ν των ν πρώτων διαδοχικών όρων της δίνεται από τη σχέση $S_{ν} = \frac{ν}{2} [α_{1} + (ν - 1) ω]$ . iv. Η εξίσωση $α \cdot x + β = 0$ είναι αδύνατη ως προς $x$ , όταν $α = 0$ και $β \neq = 0$ . v. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται μια αντιστοιχία στοιχείων ενός συνόλου Α σε στοιχεία ενός συνόλου Β. Ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό; Α) η αντιστοιχία αυτή παριστάνει συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β. Β) η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει συνάρτηση διότι στο 3 και στο 6 δεν αντιστοιχεί κανένα στοιχείο του Α. Γ) η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει συνάρτηση διότι τα διαφορετικά στοιχεία α και δ του συνόλου Α αντιστοιχούν στο ίδιο στοιχείο του συνόλου Β, το 7. Δ) η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει συνάρτηση διότι το στοιχείο ε δεν αντιστοιχεί σε κανένα στοιχείο του Β.
Α2)Έστω $x_{1}$ , $x_{2}$ με $x_{1} < x_{2}$ οι δύο πραγματικές ρίζες του τριωνύμου $f (x) = α x^{2} + β x + γ, x$ ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι, αν για τη μεταβλητή $x$ ισχύει $x < x_{1}$ ή $x > x_{2}$ , τότε το τριώνυμο $f (x)$ γίνεται ομόσημο του α.

6.3 Η Συνάρτηση f(x) = αx + β

113.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12631Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων έχουμε χαράξει δύο ευθείες: την ( $ε_{1}$ ) με εξίσωση $y = (\frac{3}{4}) x + 1$ και την ( $ε_{2}$ ), που διέρχεται από το σημείο Α(4, 1) και είναι παράλληλη στην ( $ε_{1}$ ).
α)Να βρείτε την κλίση της ευθείας ( $ε_{2}$ ).
β)Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( $ε_{2}$ ).
γ)Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας ( $ε_{2}$ ) με τους άξονες.
114.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12630Δίνεται η ευθεία $y = α x + β$ , η οποία έχει κλίση −2 και διέρχεται από το σημείο (1, 1).
α)Να βρείτε τις τιμές των α και β.
β)Να βρείτε το σημείο τομής της παραπάνω ευθείας με τον άξονα $y$ ΄ $y$ .
γ)Να χαράξετε σε σύστημα συντεταγμένων την παραπάνω ευθεία.
115.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12684Η ευθεία ( $ε_{1}$ ) έχει εξίσωση $y = - \frac{x}{2} - 2$ και μια ευθεία ( $ε_{2}$ ) διέρχεται από το σημείο $A (- 4, 1)$ και είναι παράλληλη στην ( $ε_{1}$ ).
α)Να γράψετε την κλίση της ευθείας ( $ε_{1}$ ) και το σημείο τομής της ευθείας αυτής με τον άξονα $y$ ΄ $y$ .
β)Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία ( $ε_{2}$ ) με τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
γ)Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( $ε_{2}$ ). Ποια είναι τα σημεία τομής της ευθείας αυτής με τους άξονες;
116.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12730Δίνεται η ευθεία $y = α x + β$ . Δίνεται ότι εφ45° $= 1$ .
α)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β, αν η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα $x$ ΄ $x$ γωνία 45° και διέρχεται από το σημείο Α(0, 3).
β)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και κ, αν η ευθεία $y = λ x + κ$ είναι παράλληλη με την ευθεία $y = x + 3$ και τέμνει τον άξονα $x$ ΄ $x$ στο σημείο με τετμημένη 2.
117.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12856Δίνεται η ευθεία ε: $y = α x + 5$ . Η ευθεία δ: $y = - 3 x - 6$ είναι παράλληλη στην ε.
α)i. Να βρείτε την κλίση της ευθείας ε. ii. Να βρείτε το είδος της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
β)Να βρείτε σε ποια σημεία η ευθεία ε τέμνει τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ .
118.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12913Δίνεται το τριώνυμο $x^{2} + 2 x - 3$ και η συνάρτηση $f (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$ .
α)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο $x^{2} + 2 x - 3$ .
β)i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης $f$ . ii. Να δείξετε ότι $f (x) = x + 3$ για κάθε $x \in A$ . iii. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση $f$ .
119.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12939Έστω η ευθεία $ε_{1}$ : $y = α x + β$ , η οποία τέμνει τον άξονα $y$ ΄ $y$ στο $A (0, - 6)$ και τον άξονα $x$ ΄ $x$ στο σημείο $B (- 3, 0)$ .
α)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β.
β)Να βρείτε την ευθεία $ε_{2}$ που είναι παράλληλη με την $ε_{1}$ και διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
γ)Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των δύο ευθειών στο ίδιο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.
120.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13033Δίνεται η ευθεία (ε): $y = - \frac{x}{2} + 4$ .
α)i. Να βρείτε την κλίση της ευθείας (ε). ii. Είναι οξεία ή αμβλεία η γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα $x$ ΄ $x$ ;
β)Να εξετάσετε ποια από τα σημεία $A (6, 1), B (- 2, 3)$ και Γ(8, 0) είναι σημεία της ευθείας (ε).
γ)Να βρείτε την τιμή του $k \in R$ ώστε το σημείο (k, 5) να είναι σημείο της ευθείας (ε).
121.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13054Δίνονται οι ευθείες $ε_{1}$ : $y = (3 α + 4) x - 4$ και $ε_{2}$ : $y = (3 - 4 α) x + 4$ , με $α \in R$ .
α)Αν $α = 1$ , να βρείτε: i. τις εξισώσεις των ευθειών. ii. το είδος της γωνίας που σχηματίζει καθεμιά από τις ευθείες με τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
β)Να βρείτε για ποιες τιμές του α οι ευθείες $ε_{1}$ , $ε_{2}$ είναι παράλληλες.
122.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13178Δίνεται το σημείο Μ(3, 4).
α)Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και από το Ο(0, 0).
β)Δίνεται το σημείο $N (- 3, λ)$ με $λ \in R$ , το οποίο ανήκει στην ευθεία ΟΜ. i. Να βρείτε την τιμή του λ. ii. Αν $N (- 3, - 4)$ , να εξετάσετε αν τα σημεία Μ, Ν είναι συμμετρικά ως προς το Ο.
123.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13318Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ : ℝ → ℝ με τύπο $f (x) = - x + 2, x$ ∈ ℝ.
α)Να υπολογίσετε τις τιμές $f (0), f (2), f (- 2)$ και $[f (- 2)]^{2}$ .
β)Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $f$ .
124.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13400Δίνεται η ευθεία ε: $y = - x + 2$ .
α)Να βρείτε το είδος της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
β)Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες.
γ)Να σχεδιάσετε την ευθεία ε.
125.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13471Θεωρούμε τα σημεία $A (2, 1), B (- 1, - 5), Γ (27, 50)$ και την ευθεία ε: $y = λ x - 3$ . Το σημείο Α είναι πάνω στην ευθεία.
α)Να αποδείξετε ότι $λ = 2$ .
β)Να αποδείξετε ότι το σημείο Β είναι πάνω στην ευθεία. Κατόπιν να εξετάσετε αν και το σημείο Γ είναι πάνω στην ίδια ευθεία.
126.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14575Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x ^{2} - 3 x}{x - 3}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης $f$ .
β)Να αποδείξετε ότι $f (x) = x$ , για κάθε $x \in A$ .
γ)Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ .
127.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14641Η παρακάτω ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα $x$ ΄ $x$ γωνία 45°. Δίνεται ότι εφ45° $= 1$ .
α)Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ε.
β)Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας ε.
γ)Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας ε με τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
128.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #21239Η ευθεία $y = α x + β$ , με α, $β \in R$ , τέμνει τον άξονα $y$ ΄ $y$ στο σημείο $A (0, - 2)$ και διέρχεται από το σημείο $B (- 2, - 4)$ .
α)Να βρείτε τους αριθμούς α, β.
β)Για $α = 1$ και $β = - 2$ , να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ η ευθεία βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
129.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35201Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = α x + β$ , όπου α, β πραγματικοί αριθμοί.
α)Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ διέρχεται από τα σημεία Α(1, 6) και $B (- 1, 4)$ , να βρείτε τις τιμές των α, β.
β)Αν $α = 1$ και $β = 5$ , να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ .
130.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37183Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = α x + β$ , με α, $β \in R$ , για την οποία ισχύει $f (0) = 5$ και $f (1) = 3$ .
α)Να δείξετε ότι $α = - 2$ και $β = 5$ .
β)Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ .
γ)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $f$ .
131.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12681Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = ∣ x - 3∣ + 4 - (∣6 - 2 x ∣ + 2)$ , με $x \in R$ .
α)Να δείξετε ότι $f (x) = 2 - ∣ x - 3∣$ .
β)Αφού δείξετε ότι $f (x) = x - 1$ όταν $x < 3$ και $f (x) = 5 - x$ όταν $x \geq 3$ , να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $f$ .
γ)i. Στο σχήμα με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ να σχεδιάσετε την ευθεία $y = - 1$ και με τη βοήθειά της να λύσετε την ανίσωση $2 - ∣ x - 3∣ > - 1$ . ii. Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο προηγούμενο ερώτημα.
132.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12682Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = 1 - (x - 1)^{2}$ και $g (x) = ∣ x - 1∣ + 2$ , με $x \in R$ .
α)Να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
β)Να αποδείξετε ότι $g (x) = x + 1$ όταν $x \geq 1$ και $g (x) = - x + 3$ όταν $x < 1$ , και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $g$ .
γ)Να αποδείξετε ότι, για κάθε $x \in R$ , η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της $g$ .
133.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12728Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων, το Δ είναι σημείο του άξονα $y$ ΄ $y$ , το Ε σημείο του άξονα $x$ ΄ $x$ και το Ο η αρχή των αξόνων. Η ευθεία ΔΕ έχει εξίσωση $y + \frac{x}{2} = 4$ .
α)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Ε και Δ.
β)Ένα σημείο Γ κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ και έχει τετμημένη $t$ , ενώ το Β είναι σημείο του άξονα $x$ ΄ $x$ τέτοιο ώστε η ΒΓ να είναι παράλληλη στον άξονα $y$ ΄ $y$ . Να προσδιορίσετε το διάστημα στο οποίο παίρνει τιμές η τετμημένη $t$ του σημείου Γ και να δείξετε ότι η τεταγμένη του Γ είναι $4 - \frac{t}{2}$ .
γ)Να δείξετε ότι η συνάρτηση $E (t) = 4 t - \frac{t ^{2}}{4}$ εκφράζει το εμβαδόν του τραπεζίου ΟΒΓΔ και να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής στο πλαίσιο του προβλήματος.
δ)Αν το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με 9,75 τετραγωνικές μονάδες, να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου Γ.
134.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12834Στο παρακάτω σχήμα έχουμε το τραπέζιο ΑΒΓΔ με $AB = 2, AΔ = 4$ και $ΓΔ = 6, εν \overset{ω}{ˊ}$ η ΑΔ είναι κάθετη στην ΑΒ και επίσης κάθετη στη ΓΔ. Το σημείο Ε μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θέση επί του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ και ονομάζουμε $x$ την απόσταση του Ε από τη ΓΔ.
α)Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΕΔ δίνεται από τη συνάρτηση $f (x) = - 2 x + 12$ . Ποιο είναι το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης;
β)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ .
γ)Να υπολογίσετε το άθροισμα $Σ = f (\frac{1}{16}) + f (\frac{2}{16}) +$ … $+ f (\frac{64}{16})$ .
135.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12914Έστω η ευθεία ε: $y = c$ , με παράμετρο $c \in R$ , και η συνάρτηση $f (x) = ∣ x - 2∣ + 1$ , της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο παρακάτω σχήμα.
α)i. Με βάση το σχήμα, για ποιες τιμές του $c \in R$ η ευθεία ε και η γραφική παράσταση της $f$ έχουν κοινά σημεία; ii. Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντηση του ερωτήματος α) $i$ .
β)Έστω ότι η ευθεία ε έχει με τη γραφική παράσταση της $f$ δύο κοινά σημεία Α, Β. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες των κοινών σημείων είναι $A (3 - c, c)$ και $B (c + 1, c)$ .
γ)i. Αν Α, Β τα σημεία του ερωτήματος β), με βάση το σχήμα, για ποιες τιμές του $c$ το μήκος του τμήματος ΑΒ είναι $(AB) \leq 2$ ; ii. Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντηση του ερωτήματος γ) $i$ .
136.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12921Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = x^{2} - 2∣ κ ∣ x - 2$ και η ευθεία ε: $y = 2 x - κ^{2}$ , με $κ \in R$ .
α)Να δείξετε ότι η εξίσωση $f (x) = 0$ έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε $κ \in R$ .
β)Να δείξετε ότι η ευθεία ε τέμνει τη γραφική παράσταση της $f$ σε δύο σημεία για κάθε τιμή της παραμέτρου κ.
γ)Για $κ = - 3$ να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας ε με τη γραφική παράσταση της $f$ .
δ)Αν Α και Β τα σημεία τομής του ερωτήματος γ), να βρείτε την απόσταση (ΑΒ).
137.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12942Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f (x) = α x^{2}$ , με $x \in R$ και παράμετρο α.
α)Αν το σημείο Α(1, 2) ανήκει στη γραφική παράσταση της $f$ , να δείξετε ότι η τιμή της παραμέτρου είναι $α = 2$ .
β)i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο (1, 6) και έχει κλίση $λ = 2$ . ii. Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες και στη συνέχεια να τη σχεδιάσετε.
γ)i. Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε τις λύσεις της ανίσωσης $f (x) < 2 x + 4$ . ii. Να λύσετε αλγεβρικά την ανίσωση του προηγούμενου ερωτήματος.
138.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13055Δίνεται η συνάρτηση $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ , με $x \in R$ , και η ευθεία $y = 2 x + β$ , με $β \in R$ .
α)Να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό $x$ ισχύει $f (2 + x) = f (2 - x)$ .
β)Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α, που είναι το άθροισμα της διαφοράς $f (3, 52) - f (0, 52)$ και της διαφοράς $f (3, 48) - f (0, 48)$ .
γ)Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της $f$ έχει κοινά σημεία με την ευθεία, όταν $β = - 5$ .
δ)Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του β, ώστε η γραφική παράσταση της $f$ να έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την ευθεία.
139.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13298Τα σημεία Α και Β είναι σημεία του 1ου τεταρτημορίου και είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο $y = x$ της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
α)Αν Α( $x_{1}$ , $y_{1}$ ) και Β( $x_{2}$ , $y_{2}$ ), να γράψετε τη σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες του σημείου Α με τις συντεταγμένες του σημείου Β.
β)Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε που διέρχεται από τα Α και Β έχει κλίση $α = - 1$ .
γ)Αν επιπλέον τα σημεία Α και Β έχουν συντεταγμένες $(4, κ^{2} - 3 κ + 1)$ και $(κ - 2, 4)$ αντίστοιχα, τότε: i. Να δείξετε ότι $κ = 3$ και να προσδιορίσετε τα σημεία Α και Β. ii. Για $κ = 3$ , να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε.
140.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13091Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .
α)Με βάση το σχήμα να βρείτε το πλήθος των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της $f$ με την ευθεία $y = 7$ και στη συνέχεια να αποδείξετε αλγεβρικά την απάντησή σας.
β)i. Με βάση το σχήμα να βρείτε το πλήθος των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της $f$ με την ευθεία $y = λ$ για τις διάφορες τιμές του $λ \in R$ . ii. Να αποδείξετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο β) $i$ .
γ)Έστω ότι μια ευθεία $y = λ$ τέμνει τη γραφική παράσταση της $f$ σε δύο σημεία με τετμημένες $x_{1}$ , $x_{2}$ , με $x_{1} < x_{2}$ . Να δείξετε ότι $x_{1} + x_{2} = 4$ .
141.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13314Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f (x) = x^{2} - x - 3$ . Τα Α(α, 0), Β(β, 0) και Γ(γ, δ) είναι σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ όπως φαίνεται στο σχήμα, και η παράλληλη από το Γ στον άξονα $x$ ΄ $x$ έχει με τη γραφική παράσταση της $f$ ένα μόνο κοινό σημείο.
α)Να δείξετε ότι $α = \frac{1 - 13}{2}$ και $β = \frac{1 + 13}{2}$ .
β)Να δείξετε ότι $f (2) < 0$ .
γ)Να δείξετε ότι $\frac{1 - 13}{2} < 2 < \frac{1 + 13}{2}$ .
δ)Να βρείτε τις τιμές των γ και δ.
142.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13367Δίνεται η ευθεία ε: $y = (ω^{2} - 6 ω + 8) x + 2$ , όπου $ω \in R$ .
α)Για τις διάφορες τιμές του $ω \in R$ να βρείτε το είδος της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
β)Αν ο αριθμός ω είναι ακέραιος και η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα $x$ ΄ $x$ είναι αμβλεία, τότε: i. Να αποδείξετε ότι $ω = 3$ . ii. Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες. iii. Να σχεδιάσετε την ευθεία ε.
143.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13473Δίνεται η παράσταση Α, που είναι το άθροισμα της ρίζας $x^{2} - 6 x + 9$ και της ρίζας $1 - 2 x + x^{2}$ .
α)Να απλοποιήσετε την παράσταση Α.
β)Δίνεται επιπλέον ότι $1 \leq x \leq 3$ . i. Να δείξετε ότι $A = 2$ . ii. Να λύσετε την εξίσωση $∣ x - 3∣ - ∣ x - 1∣ = 2$ .
γ)i. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f (x) = 3 - x$ και $g (x) = x - 1$ , για $1 \leq x \leq 3$ . ii. Για ποιες τιμές του $x$ είναι $∣ f (x) - g (x) ∣ = 2$ ;
144.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14184Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{( x + 2 ) ( x + 1 ) ^{2}}{1 + ( x + 2 ) x}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β)Να απλοποιήσετε τον τύπο της και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
γ)Αν είναι $f (x) = x + 2$ , με $x \neq = - 1$ , τότε: i. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τη γραφική παράσταση της $g (x) = x^{2}$ . ii. Να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της $g$ .
145.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14320Σε κάποιον τόπο, μια χειμωνιάτικη μέρα, ξεκινάμε να μετράμε τη θερμοκρασία από τις 6 το πρωί και μετά. Ο τύπος που δίνει τη θερμοκρασία, $x$ ώρες μετά τις 6 το πρωί, είναι $f (x) = 2 x + 4$ όταν $0 \leq x \leq 6, f (x) = 16$ όταν $6 < x \leq 9$ και $f (x) = 25 - x$ όταν $9 < x \leq 12$ , και μετριέται σε βαθμούς Κελσίου.
α)Να βρείτε τη θερμοκρασία στον τόπο αυτό στις 6 το πρωί, στις 12 το μεσημέρι και στις 5 το απόγευμα.
β)Να βρείτε σε ποιο χρονικό διάστημα της ημέρας η θερμοκρασία: i. Διατηρείται σταθερή. ii. Είναι μεγαλύτερη από 14 βαθμούς Κελσίου.
γ)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ .
146.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14477Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων η ευθεία ΑΒ με Α(0, 100) και Β(10, 50) παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης δ(x) των ετήσιων δαπανών μιας εταιρείας, σε χιλιάδες ευρώ, στα $x$ χρόνια της λειτουργίας της. Η ευθεία ΓΔ με Γ(0, 50) και Δ(10, 150) παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης των ετήσιων εσόδων ε(x) της εταιρείας, σε χιλιάδες ευρώ, στα $x$ χρόνια της λειτουργίας της. Οι γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στα δέκα πρώτα χρόνια λειτουργίας της εταιρείας.
α)Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων να εκτιμήσετε τα έσοδα και τις δαπάνες τον πέμπτο χρόνο λειτουργίας της εταιρείας.
β)i. Να προσδιορίσετε τους τύπους των συναρτήσεων δ(x) και ε(x) και να ελέγξετε αν οι εκτιμήσεις σας στο α) ερώτημα ήταν σωστές. ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ και να τις ερμηνεύσετε στο πλαίσιο του προβλήματος.
147.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14556Στο παρακάτω σχήμα έχει σχεδιαστεί σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = f (x) = α x + β$ , όπου α, β σταθεροί μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί και $x \in R$ . Θεωρούμε τα σημεία Α και Β της γραφικής παράστασης της $f$ , των οποίων οι προβολές στους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ είναι τα σημεία Η, Δ και Κ, Ε αντίστοιχα. Γνωρίζουμε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΗΚ και ΔΕ έχουν μήκη 6 και 9 αντίστοιχα.
α)Να αποδείξετε ότι $α = - \frac{3}{2}$ .
β)Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το σημείο Μ έχει τετμημένη 6, να αποδείξετε ότι $β = 9$ .
γ)Υποθέτουμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΟΚ έχει μήκος 4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (δ) η οποία διέρχεται από το σημείο Ε και είναι παράλληλη προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ .
148.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33754Για την ενοικίαση ενός συγκεκριμένου τύπου αυτοκινήτου για μία ημέρα, η εταιρεία Α χρεώνει τους πελάτες της σύμφωνα με τον τύπο $y = 60 + 0, 20 x$ , όπου $x$ είναι η απόσταση που διανύθηκε σε km και $y$ το ποσό της χρέωσης σε ευρώ.
α)Τι ποσό θα πληρώσει ένας πελάτης της εταιρείας Α, ο οποίος σε μία ημέρα ταξίδεψε 400 km;
β)Πόσα χιλιόμετρα οδήγησε ένας πελάτης ο οποίος, για μία ημέρα, πλήρωσε 150 ευρώ;
γ)Μία άλλη εταιρεία, η Β, χρεώνει τους πελάτες της ανά ημέρα σύμφωνα με τον τύπο $y = 80 + 0, 10 x$ , όπου, όπως προηγουμένως, $x$ είναι η απόσταση που διανύθηκε σε km και $y$ το ποσό της χρέωσης σε ευρώ. Να εξετάσετε ποια από τις δύο εταιρείες μας συμφέρει να επιλέξουμε, ανάλογα με την απόσταση που σκοπεύουμε να διανύσουμε.
δ)Αν $f (x) = 60 + 0, 20 x$ και $g (x) = 80 + 0, 10 x$ είναι οι συναρτήσεις που εκφράζουν τον τρόπο χρέωσης των εταιρειών Α και Β αντίστοιχα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$ και να εξηγήσετε τι εκφράζει η τιμή καθεμιάς από αυτές τις συντεταγμένες σε σχέση με το πρόβλημα του ερωτήματος γ).
149.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34183Σε μια πόλη της Ευρώπης μια εταιρεία ταξί με το όνομα «RED» χρεώνει 1 ευρώ με την είσοδο στο ταξί και 0,6 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο που διανύει ο πελάτης. Μια άλλη εταιρεία ταξί, με το όνομα «YELLOW», χρεώνει 2 ευρώ με την είσοδο στο ταξί και 0,4 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο που διανύει ο πελάτης. Οι παραπάνω τιμές ισχύουν για αποστάσεις μικρότερες από 15 χιλιόμετρα.
α)i. Αν $f (x)$ είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία «RED» για μια διαδρομή $x$ χιλιομέτρων, να βρείτε πόσο χρεώνει για διαδρομή 0, 2 και 8 χιλιομέτρων. ii. Αν $g (x)$ είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία «YELLOW» για μια διαδρομή $x$ χιλιομέτρων, να βρείτε για ποιες διαδρομές η χρέωσή της είναι 2, 3,2 και 4,8 ευρώ.
β)Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων $f$ και $g$ και τους τύπους τους.
γ)Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$ και να βρείτε για ποιες αποστάσεις η επιλογή της εταιρείας «RED» είναι πιο οικονομική, αιτιολογώντας την απάντησή σας.
δ)Αν δύο πελάτες Α και Β μετακινηθούν με την εταιρεία «RED» και ο πελάτης Α διανύσει 3 χιλιόμετρα παραπάνω από τον Β, να βρείτε πόσα παραπάνω θα πληρώσει ο Α σε σχέση με τον Β.
150.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34312Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις Cf και Cg των συναρτήσεων $f$ και $g$ αντίστοιχα, με $f (x) = ∣ x - 2∣$ και $g (x) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}, x$ ∈ ℝ.
α)Με βάση το σχήμα, να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των Cf και Cg.
β)Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο ερώτημα α).
γ)Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ η Cf βρίσκεται πάνω από τη Cg.
δ)Με τη βοήθεια του ερωτήματος γ), να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση $K = 3∣2 - x ∣ - x - 2$ .
151.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36652Δίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = 4 x + 2$ και $g (x) = 4 x^{2} - 9$ , με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
α)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $g$ με τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
β)Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία (3, 0) και (−3, 0).
γ)Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$ δεν έχουν κοινό σημείο πάνω σε κάποιον από τους άξονες.
δ)Να βρείτε συνάρτηση $h$ της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία, διέρχεται από το Α(0, 3) και τέμνει τη γραφική παράσταση της $g$ σε σημείο του ημιάξονα Οx.
152.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36655Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{x + 2}{9 - x ^{2}}$ .
α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ .
β)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τους άξονες.
γ)Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τους άξονες $x$ ΄ $x$ και $y$ ΄ $y$ αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα Α και Β.
153.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36659Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει 9 θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυμπάει πεταλούδα καίει 12 θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει 360 θερμίδες.
α)Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει ύπτιο 32 λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά 360 θερμίδες;
β)Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυμπήσει ύπτιο και στη συνέχεια υπολογίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει 360 θερμίδες. i. Αν $x$ είναι ο χρόνος σε λεπτά που κολυμπάει ύπτιο, να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει τον χρόνο που πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα είναι $f (x) = 30 - \frac{3 x}{4}$ . ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του ερωτήματος β) $i$ , στο πλαίσιο του συγκεκριμένου προβλήματος.
γ)Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος β), να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες και να ερμηνεύσετε τη σημασία τους στο πλαίσιο του προβλήματος.
154.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36681Για δεδομένο $λ \in R$ , θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με τύπο $f (x) = (λ + 1) (x^{2} - x) + 2$ , όπου $x$ πραγματικός αριθμός.
α)Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ διέρχεται από το σημείο Α(0, 2).
β)Για $λ = - 1$ , να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $f$ .
γ)Αν η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x$ ΄ $x$ στο σημείο Β(2, 0), να βρείτε την τιμή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα $x$ ΄ $x$ και σε άλλο σημείο.
δ)Για $λ = 1$ , να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
155.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36682Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = x^{2} + x + 1, x$ ∈ ℝ.
α)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης $f$ δεν τέμνει τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
β)Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της Cf που βρίσκονται κάτω από την ευθεία $y = 2 x + 3$ .
γ)Έστω Μ(x, $y$ ) σημείο της Cf. Αν για την τετμημένη $x$ του σημείου Μ ισχύει $∣2 x - 1∣ < 3$ , τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία $y = 2 x + 3$ .
156.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36683Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = - x + 2$ όταν $x < 0$ και $f (x) = x + 2$ όταν $x \geq 0$ .
α)Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης Cf της $f$ με τον άξονα $y$ ΄ $y$ .
β)i. Να χαράξετε τη Cf και την ευθεία $y = 3$ , και στη συνέχεια να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους. ii. Να εξετάσετε αν τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $y$ ΄ $y$ . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ)i. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α η ευθεία $y = α$ τέμνει τη Cf σε δύο σημεία; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii. Για τις τιμές του α που βρήκατε στο ερώτημα γ) $i$ , να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα σημεία τομής της Cf με την ευθεία $y = α$ και να εξετάσετε αν ισχύουν τα συμπεράσματα του ερωτήματος β)ii, αιτιολογώντας τον ισχυρισμό σας.
157.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36684Δίνονται οι συναρτήσεις $f$ και $g$ , με $f (x) = x^{2} - 2 x$ και $g (x) = 3 x - 4, x$ ∈ ℝ.
α)Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ .
β)Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της $f$ είναι κάτω από εκείνη της $g$ .
γ)Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της μορφής $y = α$ , με $α < - 1$ , βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της $f$ .
158.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #37203Μια μικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο στο διαδίκτυο. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που περιγράφουν τα έξοδα Κ(x) και τα έσοδα Ε(x), σε ευρώ, από την πώληση $x$ λίτρων λαδιού σε έναν μήνα.
α)Να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών και να ερμηνεύσετε τη σημασία του.
β)Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας;
γ)Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να μην έχει ζημιά;
δ)Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων Κ(x) και Ε(x) και να επαληθεύσετε αλγεβρικά την απάντηση του ερωτήματος γ).
159.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38844Ένας φωτογράφος αθλητικών γεγονότων, που έχει ρυθμίσει την κάμερά του να παίρνει αυτόματα διαδοχικές φωτογραφίες σε σταθερά χρονικά διαστήματα (λήψη ριπής), φωτογράφισε δύο αθλητές που έτρεχαν σε έναν αγώνα 60 $m$ κλειστού στίβου. Ο αθλητής Α είχε παραπατήσει στην εκκίνηση και είχε μείνει αρκετά πίσω. Οι δύο αθλητές, από τα 10 $m$ και μετά, έτρεχαν με σταθερή ταχύτητα, τη μεγαλύτερη που μπορούσε ο καθένας. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι θέσεις τους, σε μέτρα από την αφετηρία, στις τρεις πρώτες λήψεις.
α)Σε ποια απόσταση από την αφετηρία θα απεικονίζει τον αθλητή Α η τέταρτη κατά σειρά λήψη και σε ποια τον αθλητή Β;
β)Πόση θα είναι η απόσταση από την αφετηρία του αθλητή Α στη ν-οστή κατά σειρά λήψη και πόση του αθλητή Β;
γ)Να εξηγήσετε γιατί δεν υπάρχει φωτογραφία στην οποία απεικονίζονται και οι δύο αθλητές ακριβώς στην ίδια θέση.
δ)Γνωρίζουμε ότι η φωτογραφική μηχανή παίρνει μία φωτογραφία ανά δευτερόλεπτο. Θεωρούμε ως χρονική στιγμή $t = 0 τ η$ στιγμή που έγινε η πρώτη λήψη. i. Να σχεδιάσετε σε ένα σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις της απόστασης κάθε αθλητή από την αφετηρία σε σχέση με τον χρόνο $t$ . ii. Με βάση τις δύο γραφικές παραστάσεις, περίπου πόσο χρόνο μετά τη λήψη της πρώτης φωτογραφίας θα φτάσει ο αθλητής Α τον αθλητή Β; iii. Να εξηγήσετε γιατί η απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα δεν μπορεί να είναι 3 sec ή 4 sec.
160.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38791Ένας μαραγκός έχει μια μικρή επιχείρηση που φτιάχνει και πουλάει ξύλινα τραπέζια. Επιθυμώντας να αυξήσει τα κέρδη του, αποφάσισε αρχικά να μελετήσει την παραγωγή και τις πωλήσεις του. Υπολόγισε ότι, όταν πωλούνται $x$ τραπέζια, η τιμή πώλησης σε ευρώ ενός τραπεζιού είναι $p (x) = 120 - x$ , με $0 \leq x \leq 100$ . Στη συνέχεια βρήκε ότι το μηνιαίο κόστος παραγωγής Κ(x) σε ευρώ, όταν παράγει $x$ τραπέζια, προκύπτει από τη σχέση $K (x) = 20 x + 475$ . Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των εσόδων Ε(x) και του μηνιαίου κόστους παραγωγής Κ(x), ως συνάρτηση των $x$ τραπεζιών που πωλούνται.
α)Ποιος είναι ο τύπος που εκφράζει τα έσοδα της επιχείρησης από την πώληση $x$ τραπεζιών;
β)Να δώσετε μια ερμηνεία για το τι εκφράζει ο αριθμός 20 και τι ο αριθμός 475 στον τύπο του Κ(x).
γ)i. Να παρατηρήσετε τις γραφικές παραστάσεις και να δώσετε μια λεκτική ερμηνεία για το τι παριστάνουν τα σημεία Α(5, 575) και Β(95, 2375) στο πλαίσιο του προβλήματος. ii. Πότε η επιχείρηση έχει κέρδος και πότε έχει ζημιά; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας. iii. Να εξηγήσετε γιατί δεν μπορεί η επιχείρηση να παράγει και να πουλήσει 110 τραπέζια.
161.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38805Το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο υλικό για τη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας στις μέρες μας είναι ο χαλκός, ο οποίος όχι μόνο είναι εξαιρετικός αγωγός του ηλεκτρισμού, αλλά και ένα φθηνό υλικό με υψηλή ολκιμότητα. Η αντίσταση $R$ του χαλκού αλλάζει όταν μεταβάλλεται η θερμοκρασία Τ και συγκεκριμένα αυξάνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας. Μέσα σε ένα ευρύ φάσμα θερμοκρασιών, περίπου από $- 200 \overset{ε}{ˊ} ως 500$ βαθμούς Κελσίου, η σχέση αυτή είναι γραμμική, δηλαδή της μορφής $R = α T + β$ . Για ένα συγκεκριμένο κομμάτι χάλκινου σύρματος η αντίσταση είναι 12,56 ohm σε θερμοκρασία 0 βαθμών Κελσίου, ενώ όταν η θερμοκρασία αυξάνεται στους 27 βαθμούς Κελσίου η αντίσταση αυξάνεται στα 13,8 ohm. Δίνεται ότι 1,24 : $27 \approx 0, 046$ .
α)Να βρείτε την εξίσωση που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της αντίστασης $R$ του σύρματος σε σχέση με τη θερμοκρασία του Τ.
β)Να προσδιορίσετε την κλίση της ευθείας $R = α T + β που$ βρήκατε στο ερώτημα α) και να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις περιγράφει τι αντιπροσωπεύει αυτή η κλίση, αιτιολογώντας την απάντησή σας. i. Τη μεταβολή της αντίστασης, όταν η θερμοκρασία αυξάνεται κατά έναν βαθμό Κελσίου. ii. Την αντίσταση, όταν η θερμοκρασία είναι 0 βαθμοί Κελσίου. iii. Τη θερμοκρασία στην οποία η αντίσταση θα ήταν 0 ohm. iv. Τη μεταβολή της θερμοκρασίας, όταν η αντίσταση αυξάνεται κατά 1 ohm.
γ)Γενικά, όσο μικρότερη είναι η αντίσταση στο σύρμα, τόσο μειώνονται οι απώλειες ισχύος όταν περνάει ρεύμα, γι᾽ αυτό θέλουμε όσο το δυνατόν μικρότερη αντίσταση. Με δεδομένο ότι η σχέση μεταξύ αντίστασης και θερμοκρασίας είναι $R = 0, 046T + 12, 56$ , να βρείτε: i. Σε ποια θερμοκρασία η αντίσταση θα μειωνόταν στα 10,26 ohm. ii. Μεταξύ ποιων τιμών θα κυμαίνεται η αντίσταση του σύρματος, αν η απόσταση της θερμοκρασίας Τ από τους −50 βαθμούς Κελσίου είναι το πολύ 50 βαθμοί.
162.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38790Το σύστημα θέρμανσης και ψύξης στο σπίτι της Ελένης έχει σχεδιαστεί ώστε να διατηρείται η θερμοκρασία στο εσωτερικό του όσο το δυνατόν πιο κοντά στους 23 βαθμούς Κελσίου. Η Ελένη, σε μια ανοιξιάτικη ημέρα, σημείωσε τη θερμοκρασία Τ μέσα στο σπίτι της σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές και παρατήρησε ότι η θερμοκρασία Τ είχε απόσταση 2 βαθμούς από την επιθυμητή θερμοκρασία των 23 βαθμών. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η θερμοκρασία Τ μέσα στο σπίτι όταν λειτουργεί το σύστημα θέρμανσης, καθώς η εξωτερική θερμοκρασία $x$ κυμαίνεται μεταξύ −10 και 18 βαθμών Κελσίου.
α)Να γράψετε μία εξίσωση για τη θερμοκρασία Τ, που να αποτυπώνει αυτό που παρατήρησε η Ελένη.
β)Το σύστημα θέρμανσης και ψύξης του σπιτιού έχει επίσης ρυθμιστεί ώστε να διατηρεί την εσωτερική θερμοκρασία Τ σε ένα εύρος «άνετων» θερμοκρασιών, που προκύπτει από τη σχέση $∣T - 23∣ \leq 5$ . Ποιο είναι αυτό το εύρος των θερμοκρασιών Τ;
γ)Το σύστημα ψύξης έχει ρυθμιστεί ώστε να δροσίζει τον χώρο. Όταν η εξωτερική θερμοκρασία είναι $x$ , η θερμοκρασία μέσα στο σπίτι δίνεται από τον τύπο $T_{1} (x) = \frac{x}{3} + 17$ , όπου $28 \leq x \leq 40$ . Για ποιο εύρος εξωτερικών θερμοκρασιών το σπίτι θα διατηρείται σε μια άνετη θερμοκρασία μεταξύ 18 και 28 βαθμών Κελσίου;
δ)Το σύστημα θέρμανσης, από την άλλη, είναι αυτό που κρατάει ζεστό το σπίτι. Με βάση τη γραφική παράσταση του σχήματος, ποια από τις παρακάτω προτάσεις θα μπορούσε να περιγράψει λεκτικά τη συνάρτηση της γραφικής παράστασης; 1. Για κάθε έναν βαθμό Κελσίου που αυξάνεται η εξωτερική θερμοκρασία, η εσωτερική θερμοκρασία αυξάνεται κατά το $\frac{1}{10}$ του βαθμού. 2. Η εξωτερική θερμοκρασία αυξάνεται κατά 0,1 βαθμούς Κελσίου για κάθε έναν βαθμό που αυξάνεται η εσωτερική. 3. Η εσωτερική θερμοκρασία είναι το $\frac{1}{10}$ της εξωτερικής. 4. Η εξωτερική θερμοκρασία είναι αυξημένη κατά 17 βαθμούς περισσότερο από την εξωτερική αυξημένη κατά το $\frac{1}{10}$ της εσωτερικής.
163.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38808Οι σεισμοί μπορούν να προκαλέσουν τεράστιες ζημιές και έτσι είναι ένας σημαντικός τομέας μελέτης. Ο προσδιορισμός της θέσης του επίκεντρου ενός σεισμού, δηλαδή του σημείου της επιφάνειας της γης που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το πραγματικό κέντρο του σεισμού, είναι χρήσιμος για την πρόβλεψη ζημιών. Μια τεχνική για να προσδιοριστεί το επίκεντρο περιλαμβάνει τον υπολογισμό της απόστασής του από έναν σεισμογράφο, με τη μελέτη των διαφορετικών κυμάτων που παράγονται από τον σεισμό. Αυτοί οι τύποι κυμάτων περιλαμβάνουν τα κύματα $P$ , τα πρωτεύοντα, και τα κύματα $S$ , τα δευτερεύοντα. Από μια σεισμική δόνηση ξεκινούν ταυτόχρονα τόσο τα κύματα $P$ όσο και τα κύματα $S$ , και τα κύματα $P$ ταξιδεύουν πιο γρήγορα κοντά στην επιφάνεια της γης από τα κύματα $S$ . Στο παρακάτω σχήμα δίνονται δύο γραφήματα, το Α και το Β, όπου ο οριζόντιος άξονας δείχνει τον χρόνο σε δευτερόλεπτα και ο κατακόρυφος τη διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα.
α)Ποιο από τα δύο γραφήματα περιγράφει τις πληροφορίες που αφορούν τα κύματα $P$ και $S$ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Κοντά σε έναν σεισμογράφο τα κύματα $P$ ταξιδεύουν με ταχύτητα $7, 6 km / s$ και τα κύματα $S$ με ταχύτητα $4, 5 km / s$ . Το κύμα $P$ φτάνει στον σεισμογράφο 19 δευτερόλεπτα πριν από το κύμα $S$ . Ο σεισμογράφος απέχει από το επίκεντρο του σεισμού απόσταση $d$ . i. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών (P) και (S) που αναπαριστούν την κίνηση των κυμάτων $P$ και $S$ αντίστοιχα. ii. Να βρείτε τον χρόνο που χρειάζεται το κάθε κύμα για να φτάσει από το επίκεντρο του σεισμού στον σεισμογράφο, και την απόσταση $d$ του σεισμογράφου από το επίκεντρο.
164.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38810Η Νεφέλη και ο Ιάσωνας θέλουν να ανοίξουν ένα μικρό καφέ στη γειτονιά τους και, για να πραγματοποιήσουν το σχέδιό τους, σκέφτονται να επενδύσουν ένα αρχικό κεφάλαιο μαζί. Αφού συζήτησαν τα οικονομικά τους, η Νεφέλη αποφάσισε να επενδύσει 4.000 ευρώ περισσότερα από τον Ιάσωνα.
α)Αν $x$ είναι το ποσό που θα επενδύσει ο Ιάσωνας, να γράψετε μία σχέση που να εκφράζει το συνολικό ποσό που θα επενδύσουν μαζί ως συνάρτηση του $x$ .
β)Ο λογιστής τους τούς ενημέρωσε ότι, για να έχουν μια πιο ασφαλή επένδυση, θα πρέπει το συνολικό ποσό που θα επενδύσουν να είναι από 16.000 ευρώ έως 30.000 ευρώ. i. Πόσο είναι το μικρότερο και πόσο το μεγαλύτερο ποσό που μπορεί να επενδύσει ο Ιάσωνας; ii. Οι οικονομίες της Νεφέλης είναι 20.000 ευρώ. Με βάση τα παραπάνω, θα μπορούσε να επενδύσει όλο αυτό το ποσό; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας. iii. Ποιο είναι το διάστημα των ποσών που μπορεί να επενδύσει η Νεφέλη;
γ)Η Νεφέλη σκέφτεται να επενδύσει 17.000 ευρώ και να δανείσει 3.000 ευρώ στον Ιάσωνα, ώστε να συμπεριλάβει τα χρήματα αυτά στο δικό του αρχικό κεφάλαιο. Αν $x$ είναι τα χρήματα που έχει στην άκρη ο Ιάσωνας, να γράψετε και να λύσετε μία ανίσωση, η οποία να προσδιορίζει τα χρήματα που έχει ήδη αποταμιεύσει, ώστε το συνολικό ποσό επένδυσης και των δύο φίλων να μην υπερβαίνει τις 30.000 ευρώ.
165.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38811Δύο ξαδέρφια, ο Γιώργος και ο Νίκος, ζουν στο Αγρίνιο και στην Καβάλα αντίστοιχα. Αποφάσισαν μία ημέρα του Μαρτίου να καταγράψουν ταυτόχρονα τις θερμοκρασίες στις πόλεις τους ανά τρίωρο, κατά τη διάρκεια ενός ολόκληρου 24ώρου, και έφτιαξαν έναν πίνακα. Για τις ώρες $x = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21$ και 24, οι θερμοκρασίες σε βαθμούς Κελσίου ήταν: στο Αγρίνιο 10, 12,5, 15, 17,5, 20, 22,5, 19, 15,5 και 12 · στην Καβάλα 7, 9,5, 12, 14,5, 17, 19,5, 16, 12,5 και 9.
α)Ποια είναι η διαφορά της θερμοκρασίας για κάθε ένα από τα διαδοχικά τρίωρα σε κάθε μία από τις δύο πόλεις το συγκεκριμένο 24ωρο που καταγράφηκαν οι θερμοκρασίες; Τι παρατηρείτε;
β)Με βάση τις τιμές από τα διαδοχικά τρίωρα, τα δύο ξαδέρφια σκέφτηκαν να χρησιμοποιήσουν από μία σχέση της μορφής $T (x) = α x + β$ , για να εκφράσουν τη θερμοκρασία ως συνάρτηση της ώρας $x$ . i. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις που παριστάνουν τις θερμοκρασίες των δύο πόλεων αυτό το 24ωρο, ακολουθώντας τη σκέψη των δύο παιδιών. ii. Ποιος από τους παρακάτω τύπους θα μπορούσε να αναπαριστά τη θερμοκρασία $T_{1}$ στην πόλη του Αγρινίου ως συνάρτηση της ώρας $x$ ; 1. $T_{1} (x) = - \frac{5 x}{6} + 40$ για $0 \leq x \leq 12$ και $T_{1} (x) = \frac{7 x}{6} + 10$ για $15 \leq x \leq 24$ . 2. $T_{1} (x) = \frac{5 x}{6} + 10$ για $0 \leq x \leq 15$ και $T_{1} (x) = - \frac{7 x}{6} + 40$ για $15 \leq x \leq 24$ . 3. $T_{1} (x) = \frac{5 x}{6} - 10$ για $0 \leq x \leq 12$ και $T_{1} (x) = \frac{7 x}{6} - 40$ για $15 \leq x \leq 24$ . 4. $T_{1} (x) = - \frac{5 x}{6} + 10$ για $0 \leq x \leq 15$ και $T_{1} (x) = - \frac{7 x}{6} + 40$ για $15 \leq x \leq 24$ . iii. Να κατασκευάσετε αντίστοιχα και τον τύπο της θερμοκρασίας $T_{2}$ στην Καβάλα ως συνάρτηση της ώρας $x$ , ακολουθώντας και πάλι τη σκέψη των παιδιών.
γ)Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή του συγκεκριμένου 24ώρου στην οποία οι δύο πόλεις να έχουν την ίδια θερμοκρασία;
166.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38826Ο Μανώλης είναι σερβιτόρος σε ένα εστιατόριο και πληρώνεται 50 ευρώ την ημέρα συν τα φιλοδωρήματα, τα οποία είναι το 10% των χρημάτων που πληρώνουν οι πελάτες για φαγητό και ποτό.
α)Αν $x$ είναι τα χρήματα που πληρώνουν οι πελάτες του εστιατορίου για φαγητό και ποτό, να εκφράσετε τα χρήματα $y$ που εισπράττει ο σερβιτόρος κάθε ημέρα ως συνάρτηση του $x$ .
β)Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που βρήκατε στο α) ερώτημα, αν οι πελάτες πληρώνουν για φαγητό και ποτό από 0 έως και 400 ευρώ την ημέρα.
γ)Να βρείτε: i. Πόσα χρήματα θα εισπράξει ο Μανώλης, αν μια ημέρα οι πελάτες πληρώσουν 312 ευρώ σε φαγητό και ποτό. ii. Πόσα χρήματα πρέπει να πληρώσουν οι πελάτες μια ημέρα, ώστε να εισπράξει ο Μανώλης από 105 ευρώ μέχρι και 120 ευρώ.
δ)Ο Μανώλης, για να αυξηθούν οι αποδοχές του την επόμενη χρονιά, προσπαθεί να βρει πόσο πρέπει να ζητήσει να είναι το ποσοστό του επί των φιλοδωρημάτων, ώστε, αν οι πελάτες ξοδέψουν 500 ευρώ, εκείνος να εισπράξει 15 ευρώ περισσότερα από όσα εισπράττει φέτος. Μπορείτε να τον βοηθήσετε; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
167.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38828Ο Κώστας χρησιμοποιεί το κινητό του για διάφορες δραστηριότητες, οι οποίες καταναλώνουν δεδομένα με διαφορετικούς ρυθμούς, και θέλει να βρει το καλύτερο πακέτο δεδομένων ώστε να μην ξεπερνά το όριό του. Η πλοήγηση στο διαδίκτυο καταναλώνει 250 MB την ώρα, με μέση ημερήσια χρήση 1,5 ώρα. Τα social media καταναλώνουν 150 MB την ώρα, με μέση ημερήσια χρήση 2 ώρες. Το streaming βίντεο καταναλώνει 700 MB την ώρα, με μέση ημερήσια χρήση $x$ ώρες. Το online gaming καταναλώνει 200 MB την ώρα, με μέση ημερήσια χρήση 1 ώρα. Μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας του προσφέρει τα εξής πακέτα: πακέτο Α με 20 GB τον μήνα, πακέτο Β με 40 GB τον μήνα και πακέτο Γ με 60 GB τον μήνα.
α)Να εκφράσετε τη συνολική μέση ημερήσια κατανάλωση δεδομένων σε MB ως συνάρτηση των ωρών streaming βίντεο $x$ , όπως προκύπτει από τα παραπάνω δεδομένα.
β)Να εκφράσετε τη συνολική μέση μηνιαία κατανάλωση δεδομένων σε GB ως συνάρτηση των ωρών streaming βίντεο $x$ . Θεωρούμε ότι ο μήνας έχει περίπου 30 ημέρες και ότι το 1 GB είναι 1.000 MB.
γ)Πόσες ώρες streaming βίντεο μπορεί να έχει ο Κώστας, αν επιλέξει το πακέτο Α, και πόσες αν επιλέξει το πακέτο Β;
δ)Αν θέλει να βλέπει τουλάχιστον 2 ώρες βίντεο την ημέρα, πόσα GB θα καταναλώνει τον μήνα; Υπάρχει κάποιο πακέτο από αυτά που προσφέρει η εταιρεία που τον καλύπτει;
ε)Αν επιλέξει τελικά το πακέτο Α, θα μπορούσε, αν περιορίσει με κάποιον τρόπο τις υπόλοιπες δραστηριότητές του, να εξοικονομήσει κάποιον χρόνο για να παρακολουθεί βίντεο κάθε μέρα; Αν ναι, προτείνετε πιθανούς τρόπους στον Κώστα.
168.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38832Στο αεροδρόμιο μιας πόλης έχει εγκατασταθεί ένας σταθμός με στατικά ποδήλατα γυμναστικής. Οι επιβάτες μπορούν να χρησιμοποιούν τα ποδήλατα για να φορτίζουν τις ηλεκτρικές τους συσκευές, παράγοντας ηλεκτρική ενέργεια με τη δική τους δύναμη. Κάθε ποδήλατο παράγει περίπου β βατώρες (Wh) για κάθε 20 λεπτά συνεχούς χρήσης. Το 80% της παραγόμενης ενέργειας μετατρέπεται σε ηλεκτρική ενέργεια, χρήσιμη για τη φόρτιση των συσκευών, ενώ το υπόλοιπο χάνεται ως θερμότητα. Μια τυπική ηλεκτρική συσκευή χρειάζεται περίπου 10 Wh για μία πλήρη φόρτιση.
α)Αν ένα ποδήλατο χρησιμοποιείται για 20 λεπτά συνεχώς, πόση ενέργεια φτάνει τελικά στη συσκευή για φόρτιση;
β)i. Αν υποθέσουμε ότι η ενέργεια που φτάνει τελικά στις συσκευές είναι ανάλογη με το πόσα εικοσάλεπτα ποδηλατούν οι επιβάτες, ποια σχέση εκφράζει την ενέργεια Ε σε Wh που φτάνει στις συσκευές με το πλήθος ν των εικοσαλέπτων; ii. Να επιχειρηματολογήσετε υπέρ της δήλωσης: «η σχέση που συνδέει τον συνολικό αριθμό $D$ των συσκευών που μπορούν να φορτιστούν με την ενέργεια Ε, η οποία φτάνει σε αυτές, είναι της μορφής $D =$ αΕ». Να προσδιορίσετε τη σχέση αυτή.
γ)i. Η επιβατική κίνηση του αεροδρομίου για το 2024 ήταν 31.854.761 επιβάτες. Αν οι συσκευές που φορτίζονται κάθε μήνα είναι $D = 780.000$ και τα εικοσάλεπτα που ποδηλάτησαν επιβάτες είναι $ν = 195.000$ , πόσα Wh παρήγαγε κάθε ποδήλατο για 20 λεπτά συνεχούς χρήσης; Να εξηγήσετε την απάντησή σας. ii. Το αεροδρόμιο πληρώνει στο δίκτυο ηλεκτρισμού 0,20 ευρώ ανά κιλοβατώρα (kWh). Πόσα χρήματα εξοικονομεί κάθε μήνα χρησιμοποιώντας τον σταθμό με τα στατικά ποδήλατα;
169.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38854Μια ομάδα τουριστών θέλει να επισκεφτεί την Ελλάδα για μια εκδρομή 6 ημερών και 5 διανυκτερεύσεων. Ένα τουριστικό γραφείο τούς κάνει την εξής προσφορά: το κόστος του ξενοδοχείου είναι 80 ευρώ ανά άτομο για κάθε διανυκτέρευση · τα αεροπορικά εισιτήρια, μαζί με την επιστροφή, κοστίζουν 320 ευρώ το άτομο αν ταξιδέψουν μέχρι 20 άτομα και 290 ευρώ το άτομο αν ταξιδέψουν περισσότερα από 20 άτομα · το πούλμαν που θα χρησιμοποιήσουν για να περιηγηθούν στην Ελλάδα κατά τις ημέρες διαμονής τους κοστίζει 1.500 ευρώ για μέχρι 30 άτομα και 2.400 ευρώ για περισσότερα από 30 άτομα. Η εκδρομή μπορεί να πραγματοποιηθεί αν η ομάδα των τουριστών αποτελείται από 15 έως 50 άτομα. Στο παρακάτω σχήμα, στο Σχήμα 1 παριστάνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος β), ενώ στο Σχήμα 2 μια αντίστοιχη γραφική παράσταση για το κόστος της εκδρομής με ένα άλλο τουριστικό γραφείο. Στον οριζόντιο άξονα είναι το πλήθος των τουριστών και στον κατακόρυφο το συνολικό κόστος σε χιλιάδες ευρώ, δηλαδή το 20 αντιστοιχεί σε 20.000 ευρώ.
α)Να υπολογίσετε το συνολικό κόστος της εκδρομής για 18, για 25 και για 40 τουρίστες.
β)Αν $x$ είναι το πλήθος των τουριστών, να γράψετε μια συνάρτηση με την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε το κόστος της εκδρομής: i. Αν $15 \leq x \leq 20$ . ii. Αν $20 < x \leq 30$ . iii. Για άλλες τιμές του $x$ .
γ)Με βάση τα δύο σχήματα, να εξετάσετε αν κάποια από τις δύο προσφορές είναι φθηνότερη, ανεξάρτητα από το πλήθος των τουριστών. Να εξηγήσετε την απάντησή σας.
170.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38856Ο Στέφανος μετακομίζει σε μια νέα πόλη για σπουδές και σκέφτεται να χρησιμοποιεί ποδήλατο για τις καθημερινές του μετακινήσεις. Προβληματίζεται όμως αν τον συμφέρει να αγοράσει καινούριο ποδήλατο ή να νοικιάσει ποδήλατο με τον μήνα. Το ποδήλατο που του αρέσει κοστίζει καινούριο 400 ευρώ και υπολογίζει επίσης ότι θα έχει μηνιαία έξοδα για τη συντήρησή του κατά μέσο όρο 10 ευρώ. Ταυτόχρονα ρώτησε σε ένα μαγαζί όπου νοικιάζουν ποδήλατα και η ενοικίαση ποδηλάτου κοστίζει 35 ευρώ τον μήνα, αλλά χωρίς να έχει έξτρα έξοδα συντήρησης.
α)Ο Στέφανος θα χρησιμοποιήσει το ποδήλατο για 5 μήνες στις μετακινήσεις του. Πόσο θα πληρώσει συνολικά: i. Αν αγοράσει ποδήλατο; ii. Αν νοικιάσει ποδήλατο;
β)Να γράψετε μία σχέση που να εκφράζει τα συνολικά έξοδα του Στέφανου, αν αγοράσει και χρησιμοποιήσει το ποδήλατο για $x$ μήνες, και μία σχέση για τα έξοδά του, αν νοικιάσει και χρησιμοποιήσει ποδήλατο για $x$ μήνες.
γ)Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα σε μήνες, για το οποίο η αγορά καινούριου ποδηλάτου συμφέρει τον Στέφανο οικονομικά περισσότερο από τη μηνιαία ενοικίαση.
δ)Σύμφωνα με έναν οικονομικό προϋπολογισμό που έκανε ο Στέφανος, τα έξοδά του για τη μετακίνησή του με το ποδήλατο δεν θέλει να ξεπεράσουν τα 600 ευρώ συνολικά τον πρώτο χρόνο των σπουδών του. i. Ποια είναι η μεγαλύτερη χρονική διάρκεια, σε μήνες, που μπορεί να χρησιμοποιήσει το ποδήλατο, αν το αγοράσει, και ποια, αν το νοικιάσει; ii. Σε ποια ή ποιες από τις δύο επιλογές, αγορά ή ενοικίαση, τα ετήσια έξοδα για τη μετακίνησή του θα είναι εντός του προϋπολογισμού του;
171.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38921Ένας σημαντικός παράγοντας που καθορίζει την κατανάλωση καυσίμου ενός αυτοκινήτου κατά την κίνησή του είναι οι δυνάμεις αντίστασης που ασκούνται σε αυτό. Μια δύναμη αντίστασης είναι η αντίσταση κύλισης Fκ, η οποία οφείλεται στα ελαστικά και δίνεται από μια σχέση της μορφής $F κ = A \cdot υ + B$ , όπου υ είναι η ταχύτητα σε μέτρα το δευτερόλεπτο, Fκ η αντίσταση κύλισης σε Νιούτον και οι συντελεστές Α και Β εξαρτώνται από το είδος των ελαστικών και το βάρος του αυτοκινήτου. Στο παρακάτω διάγραμμα, μια εταιρεία μέτρησε την αντίσταση κύλισης Fκ ενός αυτοκινήτου. Δίνεται ότι τα 12 μέτρα το δευτερόλεπτο είναι περίπου $43 km / h$ .
α)Με βάση το παρακάτω διάγραμμα: i. Πόση είναι η αντίσταση κύλισης, όταν το αυτοκίνητο κινείται με 25 μέτρα το δευτερόλεπτο; ii. Να υπολογίσετε τους συντελεστές Α και Β της σχέσης που δίνει την αντίσταση κύλισης Fκ.
β)Η αντίσταση κύλισης για ένα μοντέλο αυτοκινήτου, για δύο διαφορετικούς τύπους ελαστικών, δίνεται από τις σχέσεις $F_{1} = 2 υ + 150$ για τον 1ο τύπο και $F_{2} = 2, 25 υ + 147$ για τον 2ο τύπο, με $υ > 0$ . i. Δύο οδηγοί με το συγκεκριμένο μοντέλο αυτοκινήτου κινούνται με ταχύτητα περίπου 20 μέτρα το δευτερόλεπτο, δηλαδή με $72 km / h \cdot$ ο ένας χρησιμοποιεί τον 1ο τύπο ελαστικών και ο άλλος τον 2ο. Ποιο αυτοκίνητο έχει τη μικρότερη κατανάλωση καυσίμου; ii. Ένας τρίτος οδηγός, που κινείται κυρίως μέσα στην πόλη με το ίδιο μοντέλο αυτοκινήτου, επέλεξε τον 1ο τύπο ελαστικών. Με δεδομένο ότι η ταχύτητα στην πόλη είναι συνήθως μικρότερη από $40 km / h$ , ήταν σωστή η επιλογή του; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
172.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38862Οι επιστήμονες παρακολουθούν το λιώσιμο ενός παγετώνα λόγω της κλιματικής αλλαγής. Η συνάρτηση που εκφράζει τον όγκο του παγετώνα $V (t)$ , σε κυβικά μέτρα, ως συνάρτηση του χρόνου $t$ δίνεται από τον τύπο $V (t) = 4.500 - 15 t$ , όπου $t$ είναι τα έτη μετά το 2020: για παράδειγμα, το $t = 5$ δηλώνει το 2025.
α)Να περιγράψετε τι εκφράζουν, στο πλαίσιο του προβλήματος, οι αριθμοί 4.500 και 15 στον τύπο της συνάρτησης $V (t)$ .
β)Να υπολογίσετε ποιος περίπου θα είναι ο όγκος του παγετώνα το έτος 2040.
γ)Να υπολογίσετε σε ποιο έτος ο όγκος του παγετώνα θα πέσει κάτω από 500 κυβικά μέτρα, αν συνεχιστεί ο ίδιος ρυθμός λιωσίματος που παρατήρησαν οι επιστήμονες.
δ)i. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας ένα σύστημα αξόνων και να σχεδιάσετε σε αυτό τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $V (t)$ ως συνάρτηση του $t$ . ii. Να ελέγξετε αν το σημείο (300, 0) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. iii. Αν ναι, να ερμηνεύσετε το σημείο αυτό στο πλαίσιο του προβλήματος που αφορά τον όγκο του παγετώνα και το λιώσιμο των πάγων.
173.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14576Δίνεται η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{2 x ^{2} - 6∣ x ∣}{2∣ x ∣ - 6}$ .
α)Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης $f$ .
β)Να αποδείξετε ότι $f (x) = ∣ x ∣$ , για κάθε $x \in A$ .
γ)Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ για $x > 0$ .
174.
Τράπεζα Θεμάτων · 1ο Θέμα · #14829Θεωρία και σωστό-λάθος από όλη την ύλη της Άλγεβρας Α΄ Λυκείου.
α)Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστή ή Λανθασμένη. i. Αν $α + β = γ + δ$ , τότε $α = γ$ και $β = δ$ . ii. Για κάθε $α \in R$ ισχύει $∣ - α ∣ = α$ . iii. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τον άξονα $y$ ΄ $y$ . iv. Αν το τριώνυμο $α x^{2} + β x + γ$ διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε $x \in R$ , τότε $β^{2} - 4 α γ > 0$ . v. Αν οι ευθείες $ε_{1}$ : $y = α_{1} x + β_{1}$ και $ε_{2}$ : $y = α_{2} x + β_{2} δεν$ έχουν κανένα κοινό σημείο, τότε $α_{1} = α_{2}$ και $β_{1} \neq = β_{2}$ .
β)Να αποδείξετε ότι τρεις αριθμοί α, β και γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν $β = \frac{α + γ}{2}$ .
175.
Τράπεζα Θεμάτων · 1ο Θέμα · #14731Θεωρία και σωστό-λάθος από όλη την ύλη της Άλγεβρας Α΄ Λυκείου.
Α)Σε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε Σωστό, αν η πρόταση που διατυπώνεται είναι σωστή, και Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $α, β \geq 0$ ισχύει ότι $α + β = α + β$ . β) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ότι $∣ α + β ∣ \leq ∣ - α ∣ + ∣ β ∣$ . γ) Κάθε ευθεία η οποία έχει θετική κλίση σχηματίζει με τον άξονα $x$ ΄ $x$ οξεία γωνία. δ) Η εξίσωση $x^{3} = - 8$ είναι αδύνατη στους πραγματικούς αριθμούς. ε) Αν είναι $α β > 1$ , τότε θα ισχύει αναγκαστικά $α > 1$ και $β > 1$ .
Β)Δίνεται η εξίσωση $α x^{2} + β x + γ = 0$ , με $α \neq = 0$ . Αν έχει δύο πραγματικές ρίζες $x_{1}$ και $x_{2}$ , τότε να αποδείξετε ότι το άθροισμά τους είναι ίσο με − $\frac{β}{α}$ .

← Άλλη τάξη

MathHub.gr

Φτιάχτηκε δωρεάν με MathHub.gr