1.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13056Οι αριθμοί 1, 3, 6, 10, ... και γενικά αυτοί που είναι δυνατόν, αν παρασταθούν με τελείες, να τοποθετηθούν σε τριγωνική διάταξη, λέγονται τριγωνικοί. Αποδεικνύεται ότι ο νιοστός τριγωνικός αριθμός δίνεται από τον τύπο Τ_ν $= ν \frac{ν + 1}{2}$ , όπου ν θετικός ακέραιος.
α)Να βρείτε τον 10ο τριγωνικό αριθμό.
ΛύσηΕφαρμόζουμε τον τύπο για $ν = 10$ : $T_{10} = 10 \cdot \frac{10 + 1}{2} = \frac{110}{2} = 55$ . Άρα ο 10ος τριγωνικός αριθμός είναι το 55.
β)Να εξετάσετε αν ο αριθμός 120 είναι τριγωνικός.
ΛύσηΟ 120 είναι τριγωνικός αν και μόνο αν η εξίσωση Τ_ν $= 120$ έχει λύση θετικό ακέραιο. Είναι $ν \frac{ν + 1}{2} = 120 ⟺ ν^{2} + ν = 240 ⟺ ν^{2} + ν - 240 = 0$ . Η διακρίνουσα είναι $Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 240)$ . Δηλαδή $Δ = 1 + 960 = 961$ και $961 = 31$ . Οι ρίζες είναι $ν = \frac{- 1 + 31}{2} = 15$ και $ν = \frac{- 1 - 31}{2} = - 16$ . Η δεύτερη τιμή απορρίπτεται, αφού ο ν είναι θετικός ακέραιος. Μένει $ν = 15$ , άρα ο 120 είναι τριγωνικός αριθμός, ο 15ος στη σειρά.
γ)Να αποδείξετε ότι το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο θετικού ακεραίου.
ΛύσηΈστω ο ν-οστός τριγωνικός αριθμός $ν \frac{ν + 1}{2}$ και ο επόμενός του $(ν + 1) \frac{ν + 2}{2}$ , με ν θετικό ακέραιο. Οι δύο κλασματικές παραστάσεις έχουν τον ίδιο παρονομαστή και κοινό παράγοντα στον αριθμητή $τον ν + 1$ , οπότε το άθροισμά τους γράφεται $(ν + 1) \frac{ν + ν + 2}{2}$ . Αυτό ισούται με $(ν + 1) \frac{2 ν + 2}{2}$ . Επειδή $2 ν + 2 = 2 (ν + 1)$ , το 2 απλοποιείται και μένει $(ν + 1) (ν + 1) = (ν + 1)^{2}$ . Ο ν είναι θετικός ακέραιος, άρα και ο $ν + 1$ είναι θετικός ακέραιος. Επομένως το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών είναι τετράγωνο θετικού ακεραίου.

5.2 Αριθμητική Πρόοδος

2.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14597Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε σειρά έχει 4 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη. Η 7η σειρά έχει 36 καθίσματα.
α)Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε τον συλλογισμό σας.
ΛύσηΘεωρούμε την ακολουθία (α_ν), όπου $α_{1}$ είναι το πλήθος των καθισμάτων της πρώτης σειράς, $α_{2}$ της δεύτερης και ούτω καθεξής. Κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση του σταθερού αριθμού 4. Επειδή η διαφορά δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερή, τα πλήθη των καθισμάτων αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά $ω = 4$ .
β)Να βρείτε το πλήθος των καθισμάτων της πρώτης σειράς.
ΛύσηΗ 7η σειρά έχει $α_{7} = 36$ καθίσματα. Από τον τύπο του νιοστού όρου είναι $α_{7} = α_{1} + 6 ω$ , δηλαδή $36 = α_{1} + 6 \cdot 4 ⟺ α_{1} = 36 - 24 = 12$ . Άρα η πρώτη σειρά έχει 12 καθίσματα.
γ)Πόσα καθίσματα έχει το γήπεδο συνολικά;
ΛύσηΤο γήπεδο έχει δέκα σειρές, οπότε το συνολικό πλήθος των καθισμάτων είναι το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της προόδου: $S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 α_{1} + 9 ω)$ . Με $α_{1} = 12$ και $ω = 4$ προκύπτει $S_{10} = 5 \cdot (24 + 36)$ . Άρα $S_{10} = 5 \cdot 60 = 300$ καθίσματα.
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12694Ένα παιχνίδι στον υπολογιστή έχει επίπεδα δυσκολίας. Ένας παίκτης έχει καθορισμένο χρόνο για να ολοκληρώσει κάθε επίπεδο. Στο επίπεδο 1, το πιο εύκολο επίπεδο, ο παίκτης έχει χρονικό όριο 300 δευτερολέπτων για να το ολοκληρώσει. Στο επίπεδο 4 το χρονικό όριο είναι 255 δευτερόλεπτα. Οι μέγιστοι επιτρεπόμενοι χρόνοι σε κάθε επίπεδο αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου.
α)Να υπολογίσετε τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου. Τι δηλώνει η διαφορά ω στο πλαίσιο του προβλήματος;
ΛύσηΟ πρώτος όρος είναι $α_{1} = 300$ και ο τέταρτος $α_{4} = 255$ . Από τον τύπο $α_{4} = α_{1} + 3 ω$ προκύπτει $255 = 300 + 3 ω ⟺ 3 ω = - 45 ⟺ ω = - 15$ . Η διαφορά είναι αρνητική, που σημαίνει ότι κάθε φορά που ανεβαίνει το επίπεδο δυσκολίας το χρονικό όριο μειώνεται σταθερά κατά 15 δευτερόλεπτα.
β)Το τελευταίο επίπεδο έχει χρονικό όριο 45 δευτερολέπτων. Να βρείτε τον αριθμό των επιπέδων στο παιχνίδι.
ΛύσηΑν τα επίπεδα είναι ν, τότε το τελευταίο χρονικό όριο είναι ο όρος α_ν $= 45$ . Είναι $α_{1} + (ν - 1) ω = 45 ⟺ 300 - 15 (ν - 1) = 45 ⟺ 300 - 15 ν + 15 = 45 ⟺ 15 ν = 270 ⟺ ν = 18$ . Άρα το παιχνίδι έχει 18 επίπεδα.
γ)Να βρείτε τον μέγιστο επιτρεπόμενο χρόνο που θα χρειαστεί ένας παίκτης για να ολοκληρώσει το παιχνίδι.
ΛύσηΟ συνολικός χρόνος είναι το άθροισμα των χρονικών ορίων και των 18 επιπέδων: $S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (α_{1} + α_{18})$ . Με $α_{1} = 300$ και $α_{18} = 45$ προκύπτει $S_{18} = 9 \cdot 345 = 3.105$ δευτερόλεπτα, δηλαδή 51 λεπτά και 45 δευτερόλεπτα.
δ)Ένας παίκτης ολοκληρώνει το επίπεδο 1 σε 147 δευτερόλεπτα, το επίπεδο 2 σε 150 δευτερόλεπτα, το επίπεδο 3 σε 153 και κάθε φορά που ανεβαίνει επίπεδο χρειάζεται 3 επιπλέον δευτερόλεπτα. Μέχρι ποιο επίπεδο θα προλάβει να παίξει; Θα ολοκληρώσει το παιχνίδι;
ΛύσηΟι χρόνοι του παίκτη αποτελούν αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο 147 και διαφορά 3, οπότε ο χρόνος του στο επίπεδο ν είναι $147 + (ν - 1) \cdot 3 = 3 ν + 144$ . Το χρονικό όριο του επιπέδου ν είναι α_ν $= 300 - 15 (ν - 1)$ . Κάνοντας τις πράξεις, α_ν $= 315 - 15 ν$ . Ο παίκτης προλαβαίνει όσο ο χρόνος του δεν ξεπερνά το όριο: $3 ν + 144 \leq 315 - 15 ν ⟺ 18 ν \leq 171 ⟺ ν \leq 9, 5$ . Η μεγαλύτερη ακέραια τιμή είναι $ν = 9$ , άρα ο παίκτης προλαβαίνει ως και το επίπεδο 9. Έλεγχος: στο επίπεδο 9 το όριο είναι 180 δευτερόλεπτα και ο παίκτης χρειάζεται 171, ενώ στο επίπεδο 10 το όριο πέφτει στα 165 και αυτός χρειάζεται 174. Επειδή τα επίπεδα του παιχνιδιού είναι 18, ο παίκτης δεν θα ολοκληρώσει το παιχνίδι.
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13173Δίνεται η ακολουθία (α_ν) με γενικό τύπο α_ν $= 10 + 3 ν$ .
α)i. Να δείξετε ότι η ακολουθία (α_ν) είναι αριθμητική πρόοδος. ii. Να βρείτε τον πρώτο όρο της $α_{1}$ και τη διαφορά ω της παραπάνω αριθμητικής προόδου.
Λύσηi. Ο επόμενος όρος είναι $α_{ν + 1} = 10 + 3 (ν + 1)$ , δηλαδή $13 + 3 ν$ . Η διαφορά τους ισούται με $13 + 3 ν - 10 - 3 ν = 3$ , δηλαδή είναι σταθερή για κάθε ν. Άρα η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. ii. Η διαφορά είναι $ω = 3$ και ο πρώτος όρος $α_{1} = 10 + 3 \cdot 1 = 13$ .
β)Να βρείτε ποιοι όροι της (α_ν) βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς 14 και 401. Πόσοι είναι οι όροι αυτοί;
ΛύσηΖητάμε τα ν για τα οποία $14 <$ α_ν $< 401$ , δηλαδή $14 < 10 + 3 ν < 401 ⟺ 4 < 3 ν < 391 ⟺ \frac{4}{3} < ν < \frac{391}{3}$ . Επειδή $\frac{4}{3} \approx 1, 33$ και $\frac{391}{3} \approx 130, 33$ , οι δεκτές τιμές του ν είναι οι ακέραιοι από 2 ως 130. Άρα οι όροι είναι οι $α_{2}$ , $α_{3}$ , ..., $α_{130}$ και το πλήθος τους είναι $130 - 1 = 129$ .
γ)Να υπολογίσετε το άθροισμα των όρων που βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς 14 και 401.
ΛύσηΖητάμε το άθροισμα $α_{2} + α_{3} +$ ... $+ α_{130}$ . Αυτό ισούται με το άθροισμα των 130 πρώτων όρων μείον τον πρώτο, δηλαδή $S_{130} - α_{1}$ . Είναι $S_{130} = \frac{130}{2} \cdot (2 α_{1} + 129 ω)$ . Με $α_{1} = 13$ και $ω = 3$ η παρένθεση δίνει $26 + 387 = 413$ , οπότε $S_{130} = 65 \cdot 413 = 26.845$ . Αφαιρούμε τον πρώτο όρο: $26.845 - 13 = 26.832$ . Επαλήθευση με δεύτερο δρόμο: πρόκειται για 129 όρους, από $α_{2} = 16$ ως $α_{130} = 400$ . Το άθροισμά τους είναι $\frac{129}{2} \cdot (16 + 400) = 129 \cdot 208$ , δηλαδή πάλι 26.832.
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33583Δίνεται αριθμητική πρόοδος (α_ν) με $α_{3} = 10$ και $α_{20} = 61$ .
α)Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδου.
ΛύσηΕίναι $α_{3} = α_{1} + 2 ω = 10 (1)$ και $α_{20} = α_{1} + 19 ω = 61 (2)$ . Αφαιρώντας κατά μέλη την (1) από τη (2) προκύπτει $17 ω = 51 ⟺ ω = 3$ . Αντικαθιστώντας στην (1): $α_{1} + 6 = 10 ⟺ α_{1} = 4$ . Έλεγχος: $α_{20} = 4 + 19 \cdot 3 = 61$ .
β)Να εξετάσετε αν ο αριθμός 333 είναι όρος της προόδου.
ΛύσηΟ γενικός όρος είναι α_ν $= 4 + (ν - 1) \cdot 3 = 3 ν + 1$ . Ζητάμε αν υπάρχει θετικός ακέραιος ν με $3 ν + 1 = 333 ⟺ 3 ν = 332 ⟺ ν = \frac{332}{3}$ . Επειδή το $\frac{332}{3} δεν$ είναι ακέραιος, δεν υπάρχει όρος της προόδου ίσος με 333. Το ίδιο φαίνεται και αλλιώς: κάθε όρος αφήνει υπόλοιπο 1 στη διαίρεση με το 3, ενώ ο 333 διαιρείται ακριβώς με το 3.
γ)Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι $x$ και $y$ της παραπάνω προόδου (α_ν), τέτοιοι ώστε να ισχύει: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ .
ΛύσηΑν οι $x$ και $y$ είναι διαδοχικοί όροι, τότε $y = x + ω = x + 3$ . Η συνθήκη $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ γράφεται $3 x = 2 y$ , δηλαδή $3 x = 2 (x + 3) ⟺ 3 x = 2 x + 6 ⟺ x = 6$ , οπότε $y = 9$ . Μένει να ελέγξουμε αν ο 6 είναι όρος της προόδου: $3 ν + 1 = 6 ⟺ 3 ν = 5 ⟺ ν = \frac{5}{3}, που δεν$ είναι ακέραιος. Άρα ο 6 δεν είναι όρος της προόδου και επομένως δεν υπάρχουν διαδοχικοί όροι $x$ , $y$ της (α_ν) με $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ .
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 1ο Θέμα · #14935Θεωρία και έλεγχος προτάσεων.
α)Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ). i. Για οποιουσδήποτε μη αρνητικούς αριθμούς α, β ισχύει: $α + β = α + β$ . ii. Αν $ρ > 0$ , τότε ισχύει η ισοδυναμία $∣ x ∣ < ρ ⟺ - ρ < x < ρ$ . iii. Η εξίσωση $x^{ν} = α$ , με ν περιττό φυσικό και $α < 0$ , έχει λύση $την x =$ ᵛ√|α|. iv. Για οποιαδήποτε συνάρτηση $f$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(3, 5) ισχύει $f (5) = 3$ . v. Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει $β^{2} = α γ$ .
Λύσηi. Λάθος. Για παράδειγμα, με $α = β = 1$ το αριστερό μέλος δίνει $2 \approx 1, 41 εν \overset{ω}{ˊ}$ το δεξί δίνει $1 + 1 = 2$ . ii. Σωστό. Είναι ο ορισμός της απόλυτης τιμής ως απόσταση από το μηδέν: $∣ x ∣ < ρ$ σημαίνει ότι ο $x$ απέχει από το 0 λιγότερο από ρ, δηλαδή $- ρ < x < ρ$ . iii. Λάθος. Επειδή ο ν είναι περιττός και $α < 0$ , η λύση είναι αρνητική, δηλαδή $x = -$ ᵛ√|α| και $\overset{ο}{ˊ} χι +$ ᵛ√|α|. iv. Λάθος. Το σημείο Μ(3, 5) σημαίνει ότι για $x = 3$ η τιμή της συνάρτησης είναι 5, δηλαδή $f (3) = 5$ και $\overset{ο}{ˊ} χι f (5) = 3$ . v. Σωστό. Αν οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε $β = α λ$ και $γ = α λ^{2}$ , οπότε $α γ = α^{2} λ^{2} = β^{2}$ . Αντίστροφα, αν $β^{2} = α γ$ με τους αριθμούς μη μηδενικούς, τότε $\frac{β}{α} = \frac{γ}{β}$ , δηλαδή ο λόγος διαδοχικών όρων είναι σταθερός.
β)Να αποδείξετε ότι ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο $α_{1}$ και διαφορά ω είναι: α_ν $= α_{1} + (ν - 1) ω$ .
ΛύσηΑπό τον ορισμό της αριθμητικής προόδου, κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ω. Γράφουμε διαδοχικά: $α_{2} = α_{1} + ω$ . Έπειτα $α_{3} = α_{2} + ω = α_{1} + 2 ω$ . Ομοίως $α_{4} = α_{3} + ω = α_{1} + 3 ω$ , και ούτω καθεξής. Παρατηρούμε ότι στον ν-οστό όρο το ω έχει προστεθεί τόσες φορές όσες τα βήματα από τον πρώτο ως $τον ν -$ οστό όρο, δηλαδή $ν - 1$ φορές. Άρα α_ν $= α_{1} + (ν - 1) ω$ .

5.3 Γεωμετρική Πρόοδος

7.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12763Δίνεται μια πρόοδος (α_ν) με πρώτους όρους 2, 2 $2$ , 4, 4 $2$ , ...
α)Να εξετάσετε αν η (α_ν) είναι αριθμητική πρόοδος.
ΛύσηΤρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ο μεσαίος είναι ο μέσος όρος των άκρων, δηλαδή $β = \frac{α + γ}{2}$ . Για τους τρεις πρώτους όρους θα έπρεπε $22 = \frac{2 + 4}{2} = 3$ . Όμως $22 \approx 2, 83 \neq = 3$ , άτοπο. Άρα η (α_ν) δεν είναι αριθμητική πρόοδος.
β)Να αποδείξετε ότι η (α_ν) είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε το ν-οστό της όρο.
ΛύσηΥπολογίζουμε τον λόγο κάθε όρου προς τον προηγούμενό του. Είναι $\frac{α _{2}}{α _{1}} = 2 \frac{2}{2} = 2$ . Επίσης $\frac{α _{3}}{α _{2}} = \frac{4}{2 2} = \frac{2}{2} = 2$ και $\frac{α _{4}}{α _{3}} = 4 \frac{2}{4} = 2$ . Επειδή ο λόγος διαδοχικών όρων είναι σταθερός, η (α_ν) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο $λ = 2$ και πρώτο $\overset{ο}{ˊ} ρο α_{1} = 2$ . Ο ν-οστός όρος είναι $α_{ν} = α_{1} \cdot λ^{ν - 1} = 2 \cdot (2)^{ν - 1}$ .
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35037Οι αριθμοί $κ - 2, 2 κ$ και $7 κ + 4$ , με κ φυσικό αριθμό, είναι με τη σειρά που δίνονται διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου (α_ν).
α)Να αποδείξετε ότι $κ = 4$ και να βρείτε τον λόγο της προόδου.
ΛύσηΕπειδή είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, το τετράγωνο του μεσαίου ισούται με το γινόμενο των άκρων: $(2 κ)^{2} = (κ - 2) (7 κ + 4) ⟺ 4 κ^{2} = 7 κ^{2} + 4 κ - 14 κ - 8 ⟺ 3 κ^{2} - 10 κ - 8 = 0$ . Η διακρίνουσα είναι $Δ = 100 + 96 = 196$ και $196 = 14$ , οπότε $κ = \frac{10 + 14}{6} = 4$ ή $κ = \frac{10 - 14}{6} = - \frac{2}{3}$ . Η δεύτερη τιμή απορρίπτεται, αφού ο κ είναι φυσικός. Άρα $κ = 4$ και οι τρεις όροι γίνονται 2, 8, 32, με λόγο $λ = \frac{8}{2} = 4$ .
β)i) Να εκφράσετε τον 2ο όρο, τον 5ο και τον 4ο όρο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση του $α_{1}$ . ii) Να αποδείξετε ότι $α_{2} + α_{5} = 4 (α_{1} + α_{4})$ .
Λύσηi. Με λόγο $λ = 4$ είναι $α_{2} = α_{1} λ = 4 α_{1}$ . Ομοίως $α_{4} = α_{1} λ^{3} = 64 α_{1}$ . Τέλος $α_{5} = α_{1} λ^{4} = 256 α_{1}$ . ii. Το αριστερό μέλος είναι $α_{2} + α_{5} = 4 α_{1} + 256 α_{1}$ , δηλαδή 260 $α_{1}$ . Κοινός παράγοντας βγαίνει ο λόγος 4, οπότε γράφεται $4 \cdot (α_{1} + 64 α_{1})$ . Επειδή $α_{4} = 64 α_{1}$ , αυτό ισούται με $4 (α_{1} + α_{4}), που$ είναι το δεξιό μέλος.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

Αυτούσια θέματα εξετάσεων, χωρίς λύσεις — όπως θα τα δεις στο διαγώνισμα.