Κεφ. 4 - Ανισώσεις›4.3 Ανισώσεις Γινόμενο & Ανισώσεις Πηλίκο

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 4 - Ανισώσεις

§4.3 Ανισώσεις γινόμενο & πηλίκο

🔗Πρόσημο γινομένου πολλών παραγόντων

•
Έστω γινόμενο $P (x) = A (x) \cdot B (x) \cdot$ … · Φ(x), όπου κάθε παράγοντας είναι πρωτοβάθμιος $(α x + β)$ ή τριώνυμο $(α x^{2} + β x + γ)$ .
•
Μέθοδος: βρίσκουμε χωριστά το πρόσημο κάθε παράγοντα, και μετά το πρόσημο του γινομένου με τον κανόνα των προσήμων.
❓ Γιατί:Κανόνας προσήμων: «+ · + = +», «− · − = +», «+ · − = −». Με μονούς αρνητικούς → αρνητικό. Με ζυγούς → θετικό.
•
Παράδειγμα από το βιβλίο: μελετάμε το γινόμενο $P (x) = (x - 1) (x^{2} + x - 6) (2 x^{2} + x + 1)$ .
•
1ος παράγοντας: $x - 1$ . Είναι θετικός όταν $x > 1$ , αρνητικός όταν $x < 1$ , μηδέν στο $x = 1$ .
•
2ος παράγοντας: $x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$ . Έχει ρίζες −3 και 2: θετικός εκτός των ριζών (x < −3 ή $x$ > 2), αρνητικός ανάμεσα $(- 3 < x < 2)$ .
•
3ος παράγοντας: $2 x^{2} + x + 1$ . Έχει $Δ = 1 - 8 = - 7 < 0$ και συντελεστή $α = 2 > 0$ , άρα είναι θετικός για κάθε $x$ .
•
Συνδυάζοντας τα πρόσημα με τον κανόνα γινομένου, βρίσκουμε: $P (x) > 0$ όταν $x$ ∈ (−3, 1) ∪ (2, +∞).
•
Αντίστοιχα: $P (x) < 0$ όταν $x$ ∈ (−∞, −3) ∪ (1, 2), και $P (x) = 0 στα x = - 3, 1, 2$ .

🎯Επίλυση ανισώσεων-γινόμενο A(x)·B(x)·…·Φ(x) > 0 (ή < 0)

•
Άμεση εφαρμογή: ψάχνουμε τα $x$ για τα οποία το γινόμενο έχει επιθυμητό πρόσημο.
•
Παράδειγμα: $(x - 1) (x^{2} + x - 6) (2 x^{2} + x + 1) < 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$Απ \overset{ο}{ˊ} τον π \overset{ι}{ˊ} νακα προσ \overset{η}{ˊ} μου (παραπ \overset{α}{ˊ} νω) : τ ο P (x) < 0 \overset{ο}{ˊ} ταν x < - 3 \overset{η}{ˊ} 1 < x < 2.$
$Άρα x \in (- \infty, - 3) \cup (1, 2) .$
•
Παράδειγμα 2: $(x - 1) (x^{2} + 2) (x^{2} - 9) > 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$x - 1 : + για x > 1.$
$x^{2} + 2 : π \overset{α}{ˊ} ντα θετικ \overset{ο}{ˊ} (Δ = - 8 < 0, α > 0) .$
$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3) : + για x < - 3 \overset{η}{ˊ} x > 3.$
$Π \overset{ι}{ˊ} νακας \to P (x) > 0 για x \in (- 3, 1) \cup (3, + \infty) .$

➗Πηλίκο: A(x)/B(x) > 0 ή < 0

•
Κλειδί: ΤΟ ΠΗΛΙΚΟ ΚΑΙ ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΕΙΝΑΙ ΟΜΟΣΗΜΑ. Επομένως:
$A \frac{x}{B} (x) > 0$ $⟺ A (x) \cdot B (x) > 0 A \frac{x}{B} (x) < 0$ $⟺ A (x) \cdot B (x) < 0$
❓ Γιατί:Καμία λύση των $A \cdot B > 0$ ή $A \cdot B < 0 δεν$ μηδενίζει το $B (x)$ — άρα δεν έχουμε ποτέ διαίρεση με μηδέν. Έτσι ο μετασχηματισμός είναι ασφαλής.
•
Παράδειγμα: λύση της $(x - 1) \frac{2 x ^{2} + x + 1}{x ^{2} + x - 6} > 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$Ε \overset{ι}{ˊ} ναι ισοδ \overset{υ}{ˊ} ναμη μ ε (x - 1) (x^{2} + x - 6) (2 x^{2} + x + 1) > 0.$
$Απ \overset{ο}{ˊ} τον π \overset{ι}{ˊ} νακα προσ \overset{η}{ˊ} μου παραπ \overset{α}{ˊ} νω : x \in (- 3, 1) \cup (2, + \infty) .$
•
Παράδειγμα 2: $\frac{x - 2}{x + 1} > 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$Ισοδ \overset{υ}{ˊ} ναμη μ ε (x - 2) (x + 1) > 0.$
$Απ \overset{ο}{ˊ} πρ \overset{ο}{ˊ} σημο : + \overset{ο}{ˊ} ταν x < - 1 \overset{η}{ˊ} x > 2.$
$Λ \overset{υ}{ˊ} σεις : x \in (- \infty, - 1) \cup (2, + \infty) .$
•
Παράδειγμα 3 (κλασματική με ≥): $\frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} + 3 x - 4} \geq 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$Σχ \overset{ο}{ˊ} λιο : για αν \overset{ι}{ˊ} σωση μ ε \geq, χρειαζ \overset{ο}{ˊ} μαστε A \cdot B \geq 0 ΚΑΙ B \neq = 0.$
Ρίζες αριθμητή: 1, 3.Ρίζες παρονομαστή: −4, 1.Πίνακας προσήμου του γινομένου $(x^{2} - 4 x + 3) (x^{2} + 3 x - 4)$ → $\geq 0$ για $x$ ∈ (−∞, −4) ∪ [3, +∞).
$Σημε \overset{ι}{ˊ} ωση : x = 1 αποκλε \overset{ι}{ˊ} εται (μηδεν \overset{ι}{ˊ} ζει τον παρονομαστ \overset{η}{ˊ}) .$
❓ Γιατί:Στην ανίσωση με ≥ ή ≤, πρόσεξε ΠΟΤΕ μπορείς να συμπεριλάβεις την ισότητα: ποτέ δεν επιτρέπεται για ρίζα του παρονομαστή (αλλιώς διαίρεση με 0).

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

↔️ Quiz · Ανισώσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

4.2 Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Επόμενο →

5.1 Ακολουθίες