↔️Οι ανισώσεις αx + β > 0 και αx + β < 0

• •

  Από το Γυμνάσιο γνωρίσαμε τη διαδικασία επίλυσης ανισώσεων $\alpha x+\beta >0$ (ή < 0) με συγκεκριμένους α, β. Γενικότερα, με τη βοήθεια των ιδιοτήτων:

  $$\alpha x+\beta >0$$

  $$⟺\alpha x+\beta -\beta >-\beta$$

  $$⟺\alpha x>-\beta$$
• •

  Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:
• •

  Περίπτωση 1: $\alpha >0$. Διαιρούμε με α (θετικό, διατηρείται η φορά).$\text{Αν}\alpha >0:x>-\frac{\beta }{\alpha }$💡 Παράδειγμα ▾▶️ Κίνηση ▾
  💡 Παράδειγμα:

  $$4x>8$$

  $$⟺x>\frac{8}{4}$$

  $$⟺x>2.\text{Λυˊσεις}:x\in (2,+\infty ).$$
  ▶️ Επίλυση ανίσωσης με αντιστροφή φοράς στην αριθμογραμμή.

  🔍 Μεγέθυνση

  +1

  +1

  Πάτα ▶ για να δεις γιατί (−)·(−) = +. Ξεκινάμε με βέλος προς τα δεξιά (+1).

  ▶ Παίξε↺ Επανεκκίνηση

  Ταχύτητα🐢🟰🐇
• •

  Περίπτωση 2: $\alpha <0$. Διαιρούμε με α (αρνητικό, ΑΝΤΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ η φορά).$\text{Αν}\alpha <0:x<-\frac{\beta }{\alpha }$💡 Παράδειγμα ▾❓ Γιατί ▾
  💡 Παράδειγμα:

  $$-4x>8$$

  $$⟺x<\frac{8}{-4}$$

  $$⟺x<-2.\text{Λυˊσεις}:x\in (-\infty ,-2).$$
  ❓ Γιατί:Ο πιο ύπουλος κανόνας στις ανισώσεις: διαιρώντας με αρνητικό, η φορά αλλάζει. Πρώτη φορά τον είδαμε στη §2.2, εδώ τον εφαρμόζουμε.
• •

  Περίπτωση 3: $\alpha =0$. Η ανίσωση γίνεται $0\cdot x>-\beta$.$\text{Αν}\alpha =0:\text{αληθευˊει}\text{για}\text{καˊθε}x\text{αν}-\beta <0(\text{δηλ}.\beta >0)\cdot \text{αδυˊνατη}\text{αν}\beta \le 0$💡 Παράδειγμα ▾
  💡 Παράδειγμα:

  $0x>-2\text{αληθευˊει}\text{για}\text{καˊθε}x\in \mathbb{R}.$

  $0x>2\text{ειˊναι}\text{αδυˊνατη}.$