Αυτούσια θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων του ΙΕΠ · 9 λυμένα · 65 προς λύση
Τι θα τυπωθεί:74 από 74
Ονοματεπώνυμο
Τμήμα
Ημερομηνία
💡 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέματα ΙΕΠ με την πλήρη λύση τους — δες πώς γράφεται μια άρτια απάντηση.
4.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού
1.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36888Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λύσετε την ανίσωση 3x−1<x+9.
Λύση3x−1<x+9⇔3x−x<9+1⇔2x<10⇔x<5.
β)Να λύσετε την ανίσωση 2−2x≤x+21.
ΛύσηΠολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 2>0, οπότε η φορά δεν αλλάζει: 4−x≤2x+1⟺4−1≤2x+x⟺3≤3x⟺x≥1.
γ)Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) και να τις γράψετε σε μορφή διαστήματος.
ΛύσηΟι λύσεις της α) είναι x<5 και της β) x≥1. Κοινές είναι οι τιμές με 1≤x<5, δηλαδή το διάστημα [1, 5).
2.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35296Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λύσετε την ανίσωση ∣x−1∣≥5.
Λύση∣x−1∣≥5⟺x−1≥5 ή x−1≤−5⟺x≥6 ή x≤−4. Επομένως οι λύσεις είναι τα διαστήματα (−∞,−4] και [6,+∞).
β)Να βρείτε τους αριθμούς x που απέχουν από το 5 απόσταση μικρότερη του 3.
ΛύσηΖητάμε d(x,5)<3⇔∣x−5∣<3⇔−3<x−5<3⇔2<x<8.
γ)Να βρείτε τις κοινές λύσεις των α) και β).
ΛύσηΑπό το α) είναι x≤−4 ή x≥6 και από το β) 2<x<8. Το διάστημα (−∞,−4] δεν έχει κοινά σημεία με το (2, 8). Μένει x≥6 μαζί με x<8, δηλαδή 6≤x<8. Οι κοινές λύσεις είναι το διάστημα [6, 8).
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14753Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x για τους οποίους ισχύει 2∣x∣−2≤0. (1)
α)Να δείξετε ότι x∈[−1,1].
Λύση2∣x∣−2≤0⇔2∣x∣≤2⇔∣x∣≤1⇔−1≤x≤1, δηλαδή x∈[−1,1].
β)Να δείξετε ότι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν την (1) απέχουν από το −3 απόσταση το πολύ 4.
ΛύσηΑρκεί να δείξουμε ότι d(x,−3)≤4. Είναι d(x,−3)=∣x+3∣≤∣x∣+3, από την τριγωνική ανισότητα. Από το α) είναι ∣x∣≤1, οπότε ∣x∣+3≤1+3=4. Άρα d(x,−3)≤4.
γ)Για τους πραγματικούς αριθμούς x που ικανοποιούν την (1), να γράψετε την παράσταση A=∣2x−3∣−∣4−3x∣ χωρίς τις απόλυτες τιμές.
ΛύσηΑπό −1≤x≤1 προκύπτει −2≤2x≤2 και αφαιρώντας 3: −5≤2x−3≤−1<0, οπότε ∣2x−3∣=−2x+3. Επίσης από −1≤x≤1 προκύπτει −3≤3x≤3, δηλαδή −3≤−3x≤3, και προσθέτοντας 4: 1≤4−3x≤7>0, οπότε ∣4−3x∣=4−3x. Άρα A=(−2x+3)−(4−3x)=−2x+3−4+3x=x−1.
4.2 Ανισώσεις 2ου Βαθμού
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14474Δίνεται το τριώνυμο 2x2+3x−5.
α)Να εξετάσετε αν το 1 είναι ρίζα του τριωνύμου.
ΛύσηΑντικαθιστούμε το x με το 1 και βρίσκουμε 2⋅12+3⋅1−5=2+3−5=0. Επειδή η τιμή του τριωνύμου μηδενίζεται, το 1 είναι ρίζα του.
β)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο.
ΛύσηΗ διακρίνουσα είναι Δ=32−4⋅2⋅(−5)=9+40=49>0 και 49=7, οπότε το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες, τιςx1=4−3+7=1 και x2=4−3−7=−25. Με τον τύπο της παραγοντοποίησης είναι 2x2+3x−5=2(x−1)(x+25)=(x−1)(2x+5).
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12722Θεωρούμε το τριώνυμο f(x)=x2−x−3.
α)Να βρείτε τις ρίζες του f(x).
ΛύσηΗ διακρίνουσα είναι Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−3)=1+12=13>0, οπότε το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τιςx1=21+13 και x2=21−13.
β)Να επιλύσετε την ανίσωση −2f(x)<0.
ΛύσηΔιαιρούμε και τα δύο μέλη με το −2,που είναι αρνητικό, οπότε η φορά της ανισότητας αλλάζει: −2f(x)<0⟺f(x)>0. Ο συντελεστής του x2 είναι α=1>0, άρα το τριώνυμο είναι ομόσημο του α, δηλαδή θετικό, ακριβώς έξω από τις ρίζες του. Επομένως x<21−13 ή x>21+13.
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14653Δίνεται η ανίσωση ∣x−1∣≤3. (1)
α)Να λύσετε την ανίσωση (1).
ΛύσηΕίναι ∣x−1∣≤3⇔−3≤x−1≤3⇔−2≤x≤4, δηλαδή x∈[−2,4].
β)Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1).
ΛύσηΟι ακέραιοι που ανήκουν στο διάστημα [−2, 4] είναι οι −2, −1, 0, 1, 2, 3 και 4, δηλαδή επτά συνολικά.
γ)Να βρείτε μία ανίσωση 2ου βαθμού που να έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με την (1).
ΛύσηΧρειαζόμαστε τριώνυμο με ρίζες −2 και 4, που να είναι αρνητικό ή μηδέν ακριβώς στο [−2, 4], δηλαδή με θετικό συντελεστή του x2. Το άθροισμα των ριζών είναι S=−2+4=2 και το γινόμενο P=(−2)⋅4=−8, οπότε ένα τέτοιο τριώνυμο είναι x2−Sx+P=x2−2x−8. Άρα η ανίσωση x2−2x−8≤0 έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με την (1).
δ)Να δείξετε ότι αν το τετράγωνο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά 8 δεν ξεπερνάει το διπλάσιό του, τότε η απόσταση του αριθμού από το 1 δεν ξεπερνάει το 3.
ΛύσηΈστω x ο αριθμός. Η υπόθεση γράφεται x2−8≤2x⟺x2−2x−8≤0. Από το γ) η ανίσωση αυτή έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με την (1), δηλαδή ισοδυναμεί με ∣x−1∣≤3. Επειδή d(x,1)=∣x−1∣, η απόσταση του x από το 1 δεν ξεπερνάει το 3.
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33711Δίνεται το τριώνυμο x2−2x−8.
α)Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού x.
ΛύσηΗ διακρίνουσα είναι Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=4+32=36>0 και 36=6, οπότε οι ρίζες είναι x1=22−6=−2 και x2=22+6=4. Ο συντελεστής του x2 είναι 1>0, οπότε το τριώνυμο είναι θετικό για x<−2 ή x>4, μηδέν για x=−2 και x=4, και αρνητικό για −2<x<4.
β)Αν k=−44448889, είναι η τιμή της παράστασης k2−2k−8 μηδέν, θετικός ή αρνητικός αριθμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
ΛύσηΣυγκρίνουμε πρώτα τον k με το −2. Είναι −44448889<−2⟺44448889>2⟺8889>8888,που ισχύει. Άρα k<−2, οπότε από το α) η τιμή του τριωνύμου στο k είναι θετική, δηλαδή k2−2k−8>0.
γ)Αν ισχύει −4<μ<4,τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο της τιμής της παράστασης μ2−2∣μ∣−8; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
ΛύσηΕπειδή μ2=∣μ∣2, η παράσταση γράφεται ∣μ∣2−2∣μ∣−8, δηλαδή είναι η τιμή του τριωνύμου για x=∣μ∣. Από −4<μ<4 προκύπτει ∣μ∣<4,ενωˊ πάντα ∣μ∣≥0, άρα 0≤∣μ∣<4. Το διάστημα [0, 4) περιέχεται στο (−2, 4), όπου από το α) το τριώνυμο είναι αρνητικό. Επομένως η παράσταση μ2−2∣μ∣−8 είναι αρνητική.
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34185Στα παρακάτω ερωτήματα ο x και ο α είναι πραγματικοί αριθμοί.
α)Να λύσετε την ανίσωση x2−5x−6<0.
ΛύσηΗ διακρίνουσα είναι Δ=(−5)2−4⋅1⋅(−6)=25+24=49 και 49=7, οπότε οι ρίζες είναι x1=25+7=6 και x2=25−7=−1. Ο συντελεστής του x2 είναι 1>0, οπότε το τριώνυμο είναι αρνητικό ακριβώς ανάμεσα στις ρίζες του. Άρα −1<x<6, δηλαδή x∈(−1,6).
β)Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού K=(−4746)2+5⋅(4746)−6 και να αιτιολογήσετε τον συλλογισμό σας.
ΛύσηΠαρατηρούμε ότι ο K είναι η τιμή του τριωνύμου x2−5x−6 για x=−4746, αφού −5⋅(−4746)=5⋅(4746). Συγκρίνουμε τον−4746 με τις ρίζες: είναι −4746>−1⟺46<47,που ισχύει, και προφανώς −4746<6. Άρα −4746 ∈ (−1, 6), οπότε από το α) η τιμή του τριωνύμου εκεί είναι αρνητική, δηλαδή K<0.
γ)Αν α∈(−6,6), να βρείτε το πρόσημο της παράστασης Λ=α2−5∣α∣−6. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
ΛύσηΕπειδή α2=∣α∣2, η παράσταση γράφεται Λ=∣α∣2−5∣α∣−6, δηλαδή είναι η τιμή του τριωνύμου x2−5x−6 για x=∣α∣. Από α∈(−6,6) προκύπτει ∣α∣<6,ενωˊ πάντα ∣α∣≥0, άρα 0≤∣α∣<6. Το διάστημα [0, 6) περιέχεται στο (−1, 6), όπου από το α) το τριώνυμο είναι αρνητικό. Επομένως Λ<0.
9.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #34910Δίνεται η ανίσωση x2−4x+3<0. (1)
α)Να λύσετε την ανίσωση (1).
ΛύσηΗ διακρίνουσα του τριωνύμου x2−4x+3 είναι Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4 και 4=2, οπότε οι ρίζες είναι x1=24−2=1 και x2=24+2=3. Ο συντελεστής του x2 είναι 1>0, οπότε το τριώνυμο είναι αρνητικό ακριβώς ανάμεσα στις ρίζες του. Άρα 1<x<3, δηλαδή x∈(1,3).
β)Αν η (1) έχει λύσεις τους αριθμούς x για τους οποίους ισχύει 1<x<3 και οι αριθμοί α, β είναι λύσεις της ανίσωσης (1), να δείξετε ότι και ο αριθμός 2α+β είναι επίσης λύση της ανίσωσης (1).
ΛύσηΕπειδή οι α, β είναι λύσεις της (1), ισχύει 1<α<3 και 1<β<3. Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει 2<α+β<6 και, διαιρώντας με 2>0, είναι 1<2α+β<3. Άρα ο μέσος όρος τους ικανοποιεί την ίδια συνθήκη, δηλαδή είναι και αυτός λύση της ανίσωσης (1).
✏️ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Αυτούσια θέματα εξετάσεων, χωρίς λύσεις — όπως θα τα δεις στο διαγώνισμα.
4.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού
1.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13312Δίνεται η εξίσωση x2−6x+λ=0(1), όπου λ∈R.
α)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες.
β)Αν δύο πραγματικοί αριθμοί α και β έχουν σταθερό άθροισμα 6 και γινόμενο α⋅β=λ, τότε: i. Να δείξετε ότι α⋅β≤9. ii. Να δείξετε ότι α⋅β=9 αν και μόνο αν α=β.
γ)Να δείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με διαστάσεις α, β και περίμετρο 12, μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο.
2.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38816Το φετινό πανελλήνιο πρωτάθλημα ενός επιτραπέζιου παιχνιδιού διεξάγεται σε 10 φάσεις. Σε κάθε φάση όλοι οι συμμετέχοντες αντιμετωπίζουν άλλους συμμετέχοντες ύστερα από κλήρωση. Σε κάθε παρτίδα συμμετέχουν από 2 έως 12 παίκτες και υπάρχει 1 νικητής. Η βαθμολογία του νικητή κάθε παρτίδας προκύπτει από τον υπολογισμό (φάση πρωταθλήματος) · (ηττημένοι παρτίδας) +1.200. Για παράδειγμα, ο νικητής μιας παρτίδας 11 παικτών στη 2η φάση του πρωταθλήματος κερδίζει 1.220 βαθμούς.
α)Η Μαρία κέρδισε μια παρτίδα 9 παικτών στην 3η φάση του πρωταθλήματος και μια παρτίδα 7 παικτών στην 5η φάση του πρωταθλήματος. Πόσους βαθμούς κέρδισε συνολικά για αυτές τις νίκες της;
β)Στο προηγούμενο πανελλήνιο πρωτάθλημα η βαθμολογία του νικητή κάθε παρτίδας υπολογιζόταν ως εξής: Βαθμοί = (ηττημένοι παρτίδας) · (διάρκεια παρτίδας σε λεπτά − 100) + 800. Και πέρσι ίσχυε ότι σε κάθε παρτίδα συμμετέχουν μέχρι 12 παίκτες, αλλά ανακηρύσσεται ένας νικητής. Ο Θρασύβουλος στο προηγούμενο πρωτάθλημα κέρδισε 400 βαθμούς με μία μόνο νίκη. Αν t είναι η διάρκεια, σε λεπτά, της παρτίδας που κέρδισε ο Θρασύβουλος και x το πλήθος των ηττημένων της παρτίδας: i. Να αποδείξετε ότι t=100−x400. ii. Είναι αληθής η ανισότητα 100−x400>0; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. iii. Πόσοι μπορεί να ήταν οι αντίπαλοι που κέρδισε ο Θρασύβουλος; Να εξηγήσετε το συμπέρασμά σας. iv. Αν ο Θρασύβουλος ήταν ο νικητής της ίδιας ακριβώς παρτίδας αλλά στην τελευταία φάση του φετινού πρωταθλήματος, θα μπορούσε να κερδίσει 1.240 βαθμούς;
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38841Μια βιοτεχνία κατασκευής τετραδίων παράγει τετράδια που η κάθε σελίδα τους είναι γεμάτη με τετραγωνάκια (το λεγόμενο τετράδιο «καρέ»). Με x συμβολίζουμε το μήκος της πλευράς κάθε τετραγώνου. Οι διαστάσεις κάθε σελίδας του τετραδίου είναι 210 mm επί 297 mm. Στο τέλος της σελίδας του τετραδίου, κάτω και δεξιά, ενδέχεται τα τετράγωνα να εμφανίζονται κομμένα λόγω των διαστάσεών τους, δηλαδή να μη χωράνε ολόκληρα.
α)Αν κάθε τετραγωνάκι έχει πλευρά με μήκος x=8mm, πόσα ολόκληρα τετραγωνάκια χωράνε οριζόντια σε κάθε γραμμή της σελίδας;
β)Αν σε κάθε στήλη χωράνε 37 ολόκληρα τετραγωνάκια, να αποδείξετε ότι: i. 38x>297 ii. Το μήκος της πλευράς του κάθε τετραγώνου είναι το πολύ ίσο με 37297mm. iii. 38297<x≤37297
γ)Μεταξύ ποιων τιμών βρίσκεται το μήκος x της πλευράς κάθε τετραγώνου, αν κάθε γραμμή της σελίδας του τετραδίου χωράει 23 ολόκληρα τετραγωνάκια και η κάθε του στήλη χωράει 33 ολόκληρα τετραγωνάκια; Δίνονται 23210≈9,13 και 34297≈8,74.
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38848Η αιθανόλη, κοινώς οινόπνευμα ή αλκοόλ, είναι μία χημική ένωση που χρησιμοποιείται στην αντισηψία και στην αρωματοποιία. Ένα υγρό καθαριστικό χεριών μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αντισηπτικό όταν περιέχει αιθανόλη κατά περισσότερο από 30%. Στην αρωματοποιία η αιθανόλη χρησιμοποιείται ως βάση για τα αρώματα μαζί με αιθέρια έλαια, και το ποσοστό συμμετοχής της σε ένα άρωμα είναι συνήθως μεγαλύτερο του 70%.
α)Η Μαρία εργάζεται στην παραγωγή καθαριστικών χεριών. Σε ένα δοχείο περιέχονται 500 ml ενός υγρού καθαριστικού χεριών με 20% αιθανόλη. i. Πόσα ml αιθανόλης περιέχει το υγρό καθαριστικό; ii. Η Μαρία σκέφτεται ότι «εάν στο καθαριστικό χεριών προσθέσουμε αιθανόλη, ώστε να διπλασιαστεί η ποσότητά της, τότε θα διπλασιαστεί και το ποσοστό της αιθανόλης που περιέχει το καθαριστικό». Συμφωνείτε ή διαφωνείτε με τη σκέψη της Μαρίας; iii. Πόσα ml αιθανόλης πρέπει η Μαρία να προσθέσει στο παραπάνω υγρό καθαριστικό, ώστε το ποσοστό της αιθανόλης να είναι 45%; iv. Πόσα τουλάχιστον ml αιθανόλης πρέπει να προσθέσει, ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αντισηπτικό χεριών;
β)Η Σοφία έφτιαξε μόνη της ένα άρωμα 150 ml χρησιμοποιώντας 80% αιθανόλη και αιθέρια έλαια. Επειδή της φάνηκε βαρύ, αποφάσισε να αγοράσει επιπλέον αιθανόλη, για να το αραιώσει έτσι ώστε η περιεκτικότητα του αραιωμένου αρώματος σε αιθέρια έλαια να είναι 15%. Πόσα ml αιθανόλης πρέπει να αγοράσει επιπλέον;
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38871Από τη Φυσική γνωρίζουμε ότι σε μια κατακόρυφη βολή προς τα πάνω η σχέση που συνδέει το ύψος h σε m, την επιτάχυνση της βαρύτητας g, την αρχική ταχύτητα v0 και τον χρόνο t σε δευτερόλεπτα είναι h=v0⋅t−(21)g⋅t2. Σε ένα πείραμα για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας στην επιφάνεια του Άρη, ένα βλήμα βάλλεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα v0=10m/s. Από τα δεδομένα του πειράματος γίνεται γνωστό ότι το βλήμα χρειάζεται t=5,4 δευτερόλεπτα για να επιστρέψει στο επίπεδο από όπου ξεκίνησε. Στον Άρη η ατμόσφαιρα είναι εξαιρετικά αραιή και για αυτόν τον λόγο η αντίσταση θεωρείται αμελητέα.
α)Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πειράματος, να βρείτε ποια είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας στον πλανήτη Άρη.
β)i. Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι η τροχιά του βλήματος είναι συμμετρική, δηλαδή ο χρόνος ανόδου ισούται με τον χρόνο καθόδου, ποιο είναι το μεγαλύτερο ύψος στο οποίο θα φτάσει όταν βρίσκεται στον πλανήτη Άρη; ii. Να συγκρίνετε αυτό το ύψος με το μεγαλύτερο ύψος στο οποίο θα μπορούσε να φτάσει, αν το ίδιο βλήμα έκανε την ίδια ακριβώς κίνηση στη Γη, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10mαναˊ δευτερόλεπτο στο τετράγωνο.
γ)Η Αλεξάνδρα λέει στον συμμαθητή της τον Μάριο: «Αν έχουμε ένα drone στον Άρη, θα ζυγίζει 3 φορές λιγότερο, άρα είναι πιο εύκολο να απογειωθεί». Συμφωνείτε με την Αλεξάνδρα; Δίνεται ο τύπος υπολογισμού βάρους W=m⋅g, όπου m η μάζα του σώματος.
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38874Σε ένα γραπτό τεστ γνώσεων η μέγιστη βαθμολογία είναι 100 και η ελάχιστη είναι 0. Το τεστ αποτελείται από 20 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, καθεμία από τις οποίες έχει μοναδική σωστή απάντηση. Το τεστ βαθμολογείται ως εξής: κάθε σωστή απάντηση αντιστοιχεί σε 5 μονάδες και υπάρχει «αρνητική βαθμολογία» 0,5 μονάδας, δηλαδή αφαιρείται 0,5 μονάδα για κάθε λανθασμένη απάντηση. Αν σε κάποια ερώτηση δεν δοθεί καμία απάντηση, αυτή δεν βαθμολογείται. Πλήρως απαντημένο θεωρείται ένα τεστ του οποίου έχουν απαντηθεί όλες οι ερωτήσεις, είτε σωστά είτε λανθασμένα.
α)Πόσους βαθμούς θα πάρει ένα πλήρως απαντημένο τεστ με δύο σωστές απαντήσεις;
β)i. Ένα πλήρως απαντημένο τεστ πήρε 0. Να αποδείξετε ότι είχε το πολύ μία σωστή απάντηση. ii. Να αποδείξετε ότι η βαθμολογία ενός πλήρως απαντημένου τεστ, με περισσότερες από μία σωστές απαντήσεις, είναι 5,5x−10, όπου x το πλήθος των σωστών απαντήσεων. iii. Ένα τεστ βαθμολογήθηκε με 84. Ήταν το τεστ πλήρως απαντημένο; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38875Σε ένα τηλεπαιχνίδι ερωτήσεων κάθε παίκτης ή παίκτρια απαντάει ερωτήσεις τη μία μετά την άλλη και συγκεντρώνει βαθμούς. Σύμφωνα με τους κανόνες του παιχνιδιού: κερδίζει 10 βαθμούς για κάθε σωστή απάντηση · χάνει 3 βαθμούς για κάθε λανθασμένη απάντηση · αν δεν απαντήσει καθόλου σε κάποια ερώτηση, δεν κερδίζει ούτε χάνει βαθμούς · σταματάει να παίζει και χάνει, όταν η βαθμολογία του γίνει αρνητική · ο μέγιστος αριθμός ερωτήσεων που μπορεί να απαντήσει είναι 30.
α)Μια παίκτρια έχει απαντήσει μέχρι στιγμής σε 5 ερωτήσεις, σωστά σε 3 και λάθος σε 2. i. Ποια είναι η μεγαλύτερη βαθμολογία στην οποία μπορεί να φτάσει μέχρι το τέλος; ii. Αν απαντήσει σωστά σε x ακόμα ερωτήσεις και λάθος στις υπόλοιπες, χωρίς να χάσει, να αποδείξετε ότι η τελική βαθμολογία της δίνεται από τη σχέση 13x−51. iii. Αν απαντήσει σε όλες τις υπόλοιπες ερωτήσεις είτε σωστά είτε λάθος, χωρίς να χάσει, να αποδείξετε ότι δεν μπορεί να πάρει λιγότερο από 1 βαθμό.
β)Ένας παίκτης σκέφτηκε να ακολουθήσει μία από δύο στρατηγικές. 1η: να απαντάει μόνο τις ερωτήσεις των οποίων γνωρίζει με βεβαιότητα τις σωστές απαντήσεις. 2η: να απαντάει όλες τις ερωτήσεις ανεξάρτητα από το αν γνωρίζει τις σωστές απαντήσεις ή όχι. Τελικά επέλεξε τη 2η στρατηγική και απάντησε σε όλες τις ερωτήσεις, χωρίς να χάσει. i. Αν σ είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων για τις οποίες ήταν σίγουρος και x το πλήθος των σωστών απαντήσεων που έδωσε χωρίς να είναι σίγουρος, να αποδείξετε ότι η βαθμολογία του δίνεται από τον τύπο 13x+13σ−90, με 0≤x≤30. ii. Αν γνώριζε τις σωστές απαντήσεις σε 4 από τις 30 ερωτήσεις και ακολούθησε τη δεύτερη στρατηγική, σε πόσες από τις τυχαία απαντημένες ερωτήσεις θα πρέπει να πέτυχε τη σωστή απάντηση, ώστε να θεωρήσουμε επιτυχή την επιλογή στρατηγικής;
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38927Το ενεχυροδανειστήριο είναι γραφείο το οποίο, κυρίως, είτε χορηγεί έντοκα δάνεια που εξασφαλίζονται με ενέχυρο πολύτιμα αντικείμενα, είτε αγοράζει τέτοια αντικείμενα. Τα κοσμήματα είναι ανάμεσα στα αντικείμενα που ενδιαφέρουν ένα ενεχυροδανειστήριο. Τα κύρια κριτήρια για την εκτίμηση της αξίας ενός χρυσού κοσμήματος είναι η καθαρότητα του χρυσού και το βάρος του κοσμήματος.
α)Η καθαρότητα του χρυσού μετριέται σε καράτια, που δείχνουν τι μέρος σε εικοστά τέταρτα είναι ο καθαρός χρυσός σε ένα μείγμα μετάλλων. Για παράδειγμα, σε ένα χρυσό κόσμημα 24 καρατίων τα 2424, ή αλλιώς το 100%, είναι καθαρός χρυσός. Να βρείτε το ποσοστό του καθαρού χρυσού σε ένα χρυσό κόσμημα 18 καρατίων, σε ένα 14 καρατίων και σε ένα 9 καρατίων.
β)Το ενεχυροδανειστήριο «Golden Market» προσφέρει δάνειο, με ενέχυρο χρυσά κοσμήματα. Το δάνειο είναι ίσο με το μισό της αξίας των κοσμημάτων με ετήσιο επιτόκιο 6%, ενώ τα έξοδα φύλαξης είναι 100 ευρώ και τα έξοδα φακέλου 80 ευρώ. Η Ρέα έχει χρυσά κοσμήματα αξίας 5.000 ευρώ και τα αφήνει ως ενέχυρο για δάνειο ενός μήνα. Τι ποσό θα πρέπει να επιστρέψει η Ρέα στο «Golden Market» στο τέλος του μήνα;
γ)Το «Golden Market» αγοράζει κοσμήματα με την τρέχουσα τιμή χρυσού, αφαιρώντας για τόκους και προμήθειες 24% από την τιμή αγοράς. Η τρέχουσα τιμή χρυσού ανά γραμμάριο ενός κοσμήματος καθορίζεται με βάση το ποσοστό του χρυσού στο κόσμημα: για ένα κόσμημα 9 καρατίων είναι 35 ευρώ ανά γραμμάριο και για ένα κόσμημα 14 καρατίων είναι 55 ευρώ ανά γραμμάριο. Η Αθηνά μπορεί να διαθέσει στο ενεχυροδανειστήριο ένα κόσμημα 9 καρατίων ή ένα κόσμημα 14 καρατίων, προκειμένου να πάρει από την πώληση τουλάχιστον 2.660 ευρώ. Πόσο πρέπει να ζυγίζει το κάθε κόσμημα, για να πάρει η Αθηνά το ποσό που χρειάζεται διαθέτοντας μόνο ένα από αυτά;
9.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13025Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λύσετε την ανίσωση −73−2x≥5.
β)Να λύσετε την ανίσωση ∣−x−1∣≤23.
γ)Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις.
10.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14295Δίνεται η ανίσωση ∣x−1∣≥6, όπου x πραγματικός αριθμός.
α)Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της ανίσωσης ∣x−1∣≥6 και στη συνέχεια να βρείτε τη θέση του πραγματικού αριθμού x πάνω στον άξονα, επιλέγοντας μία από τις παρακάτω αναπαραστάσεις: 1. Το κλειστό διάστημα από −5εˊως7. 2. Το ανοιχτό διάστημα από −5εˊως7. 3. Τα δύο τμήματα του άξονα εκτός των −5 και 7, με ανοιχτά άκρα. 4. Τα δύο τμήματα του άξονα εκτός των −5 και 7, με κλειστά άκρα.
β)Να αποδείξετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο α) ερώτημα.
11.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14319Δίνεται η ανίσωση ∣2x−5∣<3.
α)Να λύσετε την ανίσωση.
β)Αν ο αριθμός α είναι μια λύση της ανίσωσης, να βρείτε το πρόσημο του γινομένου A=(α−1)(α−5).
12.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34148Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών: i. ∣2x−3∣≤5 ii. ∣2x−3∣≥1
β)Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις.
13.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34149Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λύσετε την εξίσωση 2x2−x−6=0. (1)
β)Να λύσετε την ανίσωση ∣x−1∣<2. (2)
γ)Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις (1) και (2).
14.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36886Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λύσετε την ανίσωση ∣x−5∣<2.
β)Να λύσετε την ανίσωση ∣2−3x∣>5.
γ)Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών και να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων ως διάστημα ή ένωση διαστημάτων.
15.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36893Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λύσετε την ανίσωση ∣2x−1∣≤7.
β)Να λύσετε την ανίσωση ∣x−1∣>2.
γ)Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) και να τις γράψετε σε μορφή διαστήματος.
16.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36895Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λύσετε την εξίσωση ∣2x+4∣=10.
β)Να λύσετε την ανίσωση ∣x−5∣>1.
γ)Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης του β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
17.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37191Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών: i. ∣1−2x∣<5 ii. ∣1−2x∣≥1
β)Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις.
18.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13474Δίνονται οι ανισώσεις ∣x−1∣≤3(1) και 3−2x+4<0(2).
α)Να λύσετε την ανίσωση (1).
β)Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη λύση της (1).
γ)Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων (1) και (2).
δ)Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί α, β είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων (1) και (2), τότε και ο αριθμός 73α+4β είναι επίσης κοινή λύση τους.
19.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14650Δίνεται η ανίσωση ∣x−1∣≤3. (1)
α)Να λύσετε την ανίσωση (1).
β)Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα, με βάση τη γεωμετρική σημασία της παράστασης ∣x−1∣.
γ)Να βρείτε όλους τους ακεραίους x που ικανοποιούν την ανίσωση ∣x−1∣≤3.
δ)Να βρείτε τους ακεραίους x που ικανοποιούν την ανίσωση ∣∣x∣−1∣≤3. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
20.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33893Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει ∣x−4∣<2.
β)Θεωρούμε πραγματικό αριθμό x που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι μικρότερη από 2. i. Να δείξετε ότι 3x−4>0. ii. Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλάσιου του αριθμού αυτού από το 4 είναι μεγαλύτερη του 2 και μικρότερη του 14. iii. Να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η τιμή της απόστασης του 3x από το 19.
21.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38809Δύο μοτοσυκλέτες κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις στην Εγνατία οδό. Η μία ξεκινά από την Καβάλα με σταθερή ταχύτητα 120 χιλιόμετρα την ώρα και η άλλη ξεκινά ταυτόχρονα από τα Ιωάννινα με σταθερή ταχύτητα 100 χιλιόμετρα την ώρα. Η Καβάλα απέχει 407 χιλιόμετρα από τα Ιωάννινα. Οι αναβάτες θέλουν να μπορούν να συνεννοηθούν, γι αυτό είναι εξοπλισμένοι με ασυρμάτους ενδοεπικοινωνίας, αλλά πρέπει να είναι σε απόσταση το πολύ 10 χιλιομέτρων η μια μοτοσυκλέτα από την άλλη για να μπορούν να έρθουν σε επαφή. Ο t είναι ο χρόνος σε ώρες μετά την αρχή του ταξιδιού. Δίνονται 417 : 220≈1,9 και 397 : 220≈1,8.
α)Πώς εκφράζεται η απόσταση που έχει διανύσει κάθε μοτοσυκλέτα από την Καβάλα ως συνάρτηση του χρόνου t;
β)Πότε θα μπορέσουν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους οι αναβάτες;
γ)Πότε θα διασταυρωθούν και πόσα χιλιόμετρα θα έχει διανύσει κάθε μοτοσυκλέτα;
δ)Μετά τη διασταύρωσή τους και καθώς θα απομακρύνεται η μια μοτοσυκλέτα από την άλλη, για πόσο χρόνο ακόμα θα μπορούν να επικοινωνούν οι αναβάτες χρησιμοποιώντας τους ασυρμάτους;
22.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38843Για να γίνει ένα πείραμα πρέπει να χρησιμοποιηθούν δύο συγκοινωνούντα δοχεία, τα οποία συνδέονται μέσω ενός μικρού σωλήνα που περιέχει υγρό αμελητέου όγκου. Το δοχείο Β αποτελείται από δύο μέρη: το κάτω μέρος έχει συνολικό όγκο 100 κυβικά εκατοστά, ενώ στη συνέχεια είναι κυλινδρικό με εμβαδόν βάσης 20 τετραγωνικά εκατοστά. Το δοχείο Α έχει κυλινδρικό σχήμα και εμβαδόν βάσης α τετραγωνικά εκατοστά, και είναι τοποθετημένο πιο ψηλά, ώστε το υγρό του να ξεκινά από το ύψος όπου αρχίζει και το κυλινδρικό μέρος του Β. Με h συμβολίζουμε τη στάθμη του υγρού, μετρημένη από εκεί και πάνω. Δίνεται ότι σε ένα κυλινδρικό δοχείο ισχύει Όγκος = Εμβαδόν βάσης επί Ύψος.
α)i. Να υπολογίσετε τον όγκο του υγρού στο δοχείο Β, αν h=5 εκατοστά. ii. Να γράψετε μια σχέση που να εκφράζει τον όγκο V_Β του υγρού στο δοχείο Β ως συνάρτηση του ύψους h. Να κάνετε το ίδιο για τον όγκο V_Α του υγρού στο δοχείο Α.
β)Ιδανικά, για να πετύχει το πείραμα, πρέπει τα δύο δοχεία να γεμίσουν τόσο ώστε να περιέχουν τον ίδιο όγκο υγρού. Για το δοχείο Α έχουμε στη διάθεσή μας διάφορες επιλογές όσον αφορά το εμβαδόν της βάσης του. Τρεις από αυτές είναι: Α. α=10 τετραγωνικά εκατοστά, Β. α=20 τετραγωνικά εκατοστά, Γ. α=40 τετραγωνικά εκατοστά. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί κάποια από αυτές; Να εξηγήσετε γιατί.
γ)Τελικά για δοχείο Α επιλέχθηκε ένα με εμβαδόν βάσης 30 τετραγωνικά εκατοστά. i. Αν και το ιδανικό είναι τα δύο δοχεία να περιέχουν τον ίδιο όγκο, το πείραμα μπορεί να γίνει με σχετική επιτυχία όσο η διαφορά ανάμεσα στους όγκους των δύο δοχείων είναι το πολύ 10 κυβικά εκατοστά. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το ύψος h; ii. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το ύψος h, αν επιπλέον ο συνολικός όγκος στα δύο δοχεία δεν μπορεί να ξεπερνά τα 600 κυβικά εκατοστά;
23.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38847Ο τρόπος με τον οποίο λειτουργούν ηλεκτρικά μέρη συσκευών, όπως οι αντιστάτες και οι πυκνωτές, περιγράφεται από τιμές που αναφέρονται από τον κατασκευαστή, δηλαδή το εργοστάσιο. Στην πράξη όμως οι τιμές αυτές μπορεί να διαφέρουν, λόγω μικροδιαφορών κατά την κατασκευή.
α)Ένας κατασκευαστής που παράγει ένα είδος αντιστάτη καθορίζει την τιμή της αντίστασής του στα 680 Ohm και εγγυάται ότι οι οποιεσδήποτε διαφοροποιήσεις στην κατασκευή δεν υπερβαίνουν το 5% της τιμής αυτής. i. Αν R είναι η πραγματική τιμή της αντίστασης, να αιτιολογήσετε ότι η σχέση που αποδίδει μαθηματικά την παραπάνω κατάσταση είναι d(R,680)≤34 ή αλλιώς ∣R−680∣≤34. ii. Μπορεί η πραγματική τιμή R να είναι 715 Ohm; iii. Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη πραγματική τιμή R της αντίστασης.
β)Ο ίδιος κατασκευαστής, ύστερα από μια αλλαγή στον τρόπο παραγωγής, παρατηρεί ότι οι πραγματικές τιμές των αντιστατών που τώρα παράγει κυμαίνονται μεταξύ 650 και 670 Ohm. Έτσι χρειάζεται να καθορίσει νέα τιμή για την αντίσταση αυτού του είδους. i. Να προτείνετε μία νέα τιμή που μπορεί να καθορίσει ο κατασκευαστής. ii. Με βάση την τιμή που προτείνατε, να βρείτε το ποσοστό της τιμής για το οποίο ο κατασκευαστής μπορεί να εγγυηθεί ότι οι οποιεσδήποτε διαφοροποιήσεις δεν θα υπερβαίνουν αυτό το ποσοστό.
24.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38864Μια εταιρεία κατασκευάζει μετρητές αποστάσεων με χρήση Laser. Για να ξεκινήσει την παραγωγή ενός νέου μετρητή, πρέπει το σφάλμα μέτρησης |x − α|, όπου α είναι η πραγματική απόσταση και x το αποτέλεσμα της μέτρησης με τη νέα συσκευή, να είναι το πολύ μέχρι το 1% της πραγματικής απόστασης α. Δίνονται 150 : 1,01≈148,51 και 150 : 0,99≈151,51.
α)Αν στις δοκιμές που έκανε η εταιρεία η πραγματική απόσταση ήταν α=200 μέτρα, ποιες τιμές της μέτρησης x είναι αποδεκτές;
β)i. Να δείξετε ότι γενικότερα οι τιμές x της μέτρησης μπορεί να είναι από 0,99⋅α μέχρι και 1,01⋅α. ii. Να αποδείξετε ότι δύο μετρήσεις της ίδιας πραγματικής απόστασης α μπορεί να διαφέρουν μεταξύ τους το πολύ κατά 0,02⋅α. iii. Μέχρι ποια απόσταση α οι διάφορες μετρήσεις x που μπορεί να δώσει ο μετρητής για αυτήν δεν μπορεί να διαφέρουν μεταξύ τους περισσότερο από 0,5 μέτρα;
γ)Αν η τιμή που δίνει ο μετρητής είναι x=150 μέτρα, ποιες είναι οι πιθανές τιμές α της πραγματικής απόστασης;
25.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38920Ένας μηχανικός έχει αναλάβει να σχεδιάσει μια υπόγεια δεξαμενή αποθήκευσης νερού σε ορθογώνιο σχήμα. Η χωρητικότητα της δεξαμενής δίνεται από τον τύπο V=L⋅W⋅H, όπου L είναι το μήκος, W το πλάτος και H το βάθος της δεξαμενής. Για λόγους σχετικούς με την πίεση ο μηχανικός θέλει το ιδανικό βάθος H να είναι 3 μέτρα και να ικανοποιεί ταυτόχρονα τη σχέση ∣H−3∣≤1.
α)Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λανθασμένη; 1. Το ιδανικό βάθος της δεξαμενής μπορεί να είναι 3 μέτρα, αλλά επιτρέπεται και μία απόκλιση ενός μέτρου προς τα πάνω ή προς τα κάτω. 2. Το βάθος της δεξαμενής δεν μπορεί να είναι περισσότερο από 4 μέτρα. 3. Το βάθος της δεξαμενής μπορεί να είναι από 1 έως 3 μέτρα. 4. Το βάθος της δεξαμενής δεν μπορεί να διαφέρει από το ιδανικό βάθος των 3 μέτρων περισσότερο από 1 μέτρο.
β)Ποιο είναι το διάστημα τιμών τις οποίες μπορεί να πάρει το βάθος της δεξαμενής H σύμφωνα με την παραπάνω σχέση;
γ)Ο μηχανικός δεν θέλει το βάθος της δεξαμενής να φτάσει πολύ κοντά στον υδροφόρο ορίζοντα, που βρίσκεται στα 3,5 μέτρα βάθος. Γι αυτό υπάρχει ο περιορισμός ότι το κάτω μέρος της δεξαμενής πρέπει να απέχει τουλάχιστον 0,5 μέτρα από τον υδροφόρο ορίζοντα. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του βάθους H που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη;
δ)Να υπολογίσετε τις δυνατές τιμές του βάθους H της δεξαμενής, οι οποίες ικανοποιούν ταυτόχρονα και τις δύο παραπάνω συνθήκες που θέτει ο μηχανικός.
ε)Αν για τις διαστάσεις L, H και W ισχύουν οι περιορισμοί 4≤L≤6,2≤H≤3 και 6≤W≤7, ποιες είναι οι δυνατές τιμές της χωρητικότητας της δεξαμενής;
26.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14601Για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει ∣2x−1∣<1.
α)Να αποδείξετε ότι 0<x<1.
β)Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς 1, x, x2.
4.2 Ανισώσεις 2ου Βαθμού
27.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35382Δίνεται η παράσταση K=2x2−3x−2x2−4x+4.
α)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2x2−3x−2.
β)Για ποιες τιμές του x∈R ορίζεται η παράσταση K; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ)Να απλοποιήσετε την παράσταση K.
28.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37169Δίνεται το τριώνυμο −x2+(3−1)x+3.
α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι Δ=(3+1)2.
β)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο.
29.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12976Δίνεται το τριώνυμο 2x2−x−1.
α)Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2x2−x−1.
β)Να λύσετε την ανίσωση x(1−2x)≤−1.
30.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13321Δίνονται η εξίσωση x4−16=0(1) και η ανίσωση x2+3x≤0(2).
α)Να λύσετε την εξίσωση (1).
β)Να λύσετε την ανίσωση (2).
γ)Να εξετάσετε εάν οι λύσεις της εξίσωσης (1) είναι και λύσεις της ανίσωσης (2).
31.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14189Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Αν x2−3x−4<0, να δείξετε ότι −1<x<4.
β)Δίνεται η παράσταση A=∣2x+2∣+∣x−5∣, με τις τιμές του x να επαληθεύουν την ανίσωση του ερωτήματος α). Να αποδείξετε ότι A=x+7.
32.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34162Δίνονται οι ανισώσεις ∣2x−5∣≤3(1) και 2x2−x−1≥0(2).
α)Να λύσετε την ανίσωση (1).
β)Να λύσετε την ανίσωση (2).
γ)Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων (1) και (2).
33.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34919Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λύσετε την ανίσωση x2−10x+21<0. (1)
β)Αν 3<x<7, να δείξετε ότι η παράσταση A=∣x2−10x+21∣+x2−10x+22 είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x.
34.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35030Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να αποδείξετε ότι x2+4x+5>0, για κάθε x∈R.
β)Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση B=∣x2+4x+5∣−∣x2+4x+4∣.
35.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35035Δίνεται το τριώνυμο f(x)=3x2+9x−12, με x∈R.
α)Να λύσετε την ανίσωση f(x)≤0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της στον άξονα των πραγματικών αριθμών.
β)Να ελέγξετε αν ο αριθμός 32 είναι λύση της ανίσωσης του ερωτήματος α). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
36.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36887Δίνεται το τριώνυμο 2x2−3x+1.
α)Να βρείτε τις ρίζες του.
β)Να βρείτε τις τιμές του x∈R για τις οποίες 2x2−3x+1<0.
γ)Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 23 και 23 είναι λύσεις της ανίσωσης του ερωτήματος β).
37.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36892Δίνονται η εξίσωση 3∣x∣−5∣x∣+4=32(1) και η ανίσωση −x2+2x+3≤0(2).
α)Να λύσετε την εξίσωση (1).
β)Να λύσετε την ανίσωση (2).
γ)Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του β) ερωτήματος. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
38.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37168Δίνονται οι ανισώσεις −x2+5x−6<0(1) και x2−16≤0(2).
α)Να βρεθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και (2).
β)Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων.
39.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37182Στα παρακάτω ερωτήματα ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να λυθεί η εξίσωση x2−x−2=0.
β)Να λυθεί η ανίσωση x2−x−2>0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της στον άξονα των πραγματικών αριθμών.
γ)Να τοποθετήσετε το −34 στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Είναι το −34 λύση της ανίσωσης του ερωτήματος β); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
40.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #38203Δίνονται η εξίσωση x2−25=0(1) και η ανίσωση x2−36≤0(2).
α)Να λύσετε την εξίσωση (1).
β)Να λύσετε την ανίσωση (2).
γ)Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του β) ερωτήματος.
41.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13174Δίνονται οι παραστάσεις A=∣x∣−1−x2+4∣x∣−3 και B=∣x∣−2x2−4∣x∣+4.
α)Για ποιες τιμές του x∈R ορίζονται οι παραστάσεις Α και Β;
β)Να δείξετε ότι A=3−∣x∣ και B=∣x∣−2.
γ)Να λύσετε την ανίσωση B−A<2d(x,4)−5.
42.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13176Δίνονται οι ανισώσεις ∣x−1∣<2 και x2−3x+2≥0.
α)Να βρείτε τις λύσεις τους.
β)Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ∈ (−1,1]∪[2,3).
γ)i. Αν οι αριθμοί ρ1 και ρ2 με ρ1<ρ2 είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων με ρ1, ρ2 ∈ (−1, 1], είναι και ο αριθμός 4ρ1+3ρ2 κοινή τους λύση; ii. Αν οι αριθμοί ρ1 και ρ2 με ρ1<ρ2 είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων με ρ1 ∈ (−1, 1] και ρ2 ∈ [2, 3), είναι και ο αριθμός 4ρ1+3ρ2 κοινή τους λύση;
43.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13368Στο παρακάτω σχήμα οι κορυφές του τετραγώνου ΕΖΗΘ βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Η πλευρά του ΑΒΓΔ είναι α και η απόσταση κάθε κορυφής του ΕΖΗΘ από την αντίστοιχη κορυφή του ΑΒΓΔ είναι x.
α)Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ΕΖΗΘ δίνεται από τη σχέση (ΕΖΗΘ) =x2+(α−x)2, με 0≤x≤α.
β)Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ΕΖΗΘ δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το μισό του εμβαδού του ΑΒΓΔ.
γ)Να βρείτε την πλευρά α του τετραγώνου ΑΒΓΔ αν για x=1 το εμβαδόν του ΕΖΗΘ είναι τα δύο τρίτα του εμβαδού του ΑΒΓΔ, δηλαδή (ΕΖΗΘ) = (32)·(ΑΒΓΔ). Δίνεται 3≈1,73.
44.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14123Δίνεται το τριώνυμο f(x)=x2−αx−(α+1),x ∈ ℝ, με παράμετρο α∈R.
α)Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου α να βρείτε το πλήθος των ριζών του τριωνύμου.
β)Αν είναι α>−2, τότε: i. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι αριθμοί −1 και α+1. ii. Να βρείτε την τιμή του α για την οποία το μήκος του διαστήματος λύσεων της ανίσωσης x2−αx−(α+1)≤0 είναι ίσο με 2024. iii. Να βρείτε το πρόσημο του f(2α).
45.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14615Δίνεται η εξίσωση x2−2λx+λ2−1=0, με παράμετρο λ∈R. Έστω ρ1, ρ2 οι ρίζες της με ρ1<ρ2.
α)Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση έχει, για οποιαδήποτε τιμή του λ, πραγματικές και άνισες ρίζες.
β)Να λύσετε την εξίσωση.
γ)Να βρείτε για ποιες τιμές της παραμέτρου λ η απόσταση των αριθμών ρ2 και −ρ1 πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι τουλάχιστον 8.
δ)Θεωρούμε έναν αριθμό k ώστε ρ1<k<ρ2. Να βρείτε, με απόδειξη, το πρόσημο του αριθμού k2−2λk+λ2−1.
46.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14652Στα παρακάτω ερωτήματα ο x και ο α είναι πραγματικοί αριθμοί.
α)Να λύσετε την ανίσωση x2>x στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
β)Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός α με α>1. i. Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, τους αριθμούς 0, 1, α, α2, α, αιτιολογώντας την απάντησή σας. ii. Να κάνετε το ίδιο για τους αριθμούς α,α2,2α+α2.
47.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14654Στα παρακάτω ερωτήματα οι α, β είναι πραγματικοί αριθμοί.
α)Δίνεται το τριώνυμο x2−3x+2,x ∈ ℝ. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου.
β)Θεωρούμε πραγματικούς αριθμούς α, β διαφορετικούς από το 0 με α<β, για τους οποίους ισχύει (α2−3α+2)(β2−3β+2)<0. i. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α−1 και β−2 είναι ομόσημοι. ii. Να δείξετε ότι ∣(α−1)(β−2)∣=(α−1)(β−2).
48.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14924Στα παρακάτω ερωτήματα ο x και ο α είναι πραγματικοί αριθμοί.
α)Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου x2−x−12 για τις διάφορες τιμές του x∈R.
β)Να δείξετε ότι (3π+9)2−3π+9−12>0, όπου π=3,1415…
γ)Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει ότι (∣α∣+3)2−(∣α∣+3)−12<0, να δείξετε ότι α∈(−1,1).
49.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14963Δίνεται η εξίσωση ∣x−4∣−∣x−2∣=2.
α)Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της παραπάνω εξίσωσης.
β)Να αιτιολογήσετε γεωμετρικά ότι οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί που ανήκουν στο (−∞,2] και μόνο αυτοί.
γ)Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει ότι ∣x−4∣−∣x−2∣=2, τότε να δείξετε ότι x2−6x+8≥0.
50.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #32682Δίνεται το τριώνυμο x2+9x+18.
α)i. Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου x2+9x+18. ii. Να λύσετε την εξίσωση ∣x+3∣+∣x2+9x+18∣=0.
β)i. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου x2+9x+18 για τις διάφορες τιμές του αριθμού x. ii. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει ∣x2+9x+18∣=−x2−9x−18.
51.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33587Δίνεται το τριώνυμο f(x)=−x2+2x+3.
α)Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου f για τις διάφορες τιμές του x.
β)Να προσδιορίσετε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του γινομένου f(2,999)⋅f(−1,002).
γ)Αν −3<α<3, να βρείτε το πρόσημο του αριθμού −α2+2∣α∣+3.
52.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33712Δίνεται το τριώνυμο x2+βx+β2, όπου β∈R.
α)Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα του τριωνύμου.
β)i. Αν β=0,τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο του τριωνύμου; ii. Πώς αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτημα i, όταν β=0;
γ)Με τη βοήθεια της απάντησης στο ερώτημα β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα α2+αβ+β2>0 για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0.
53.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33698Δίνεται το τριώνυμο f(x)=x2−6x+λ−3, με λ∈R.
α)Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου.
β)Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες.
γ)Αν 3<λ<12, τότε: i. Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες. ii. Αν x1, x2 με x1<x2 είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου και κ, μ είναι δύο αριθμοί με κ<0 και x1<μ<x2, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου κ·f(κ)·μ·f(μ). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
54.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33890Στα παρακάτω ερωτήματα οι αριθμοί είναι πραγματικοί.
α)Να λύσετε την ανίσωση x2+1≥(25)x. (1)
β)Δίνονται δύο αριθμοί κ, λ οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης (1) και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση (λ−1)(κ−1)<0. i. Να δείξετε ότι το 1 είναι μεταξύ των κ, λ. ii. Να δείξετε ότι ∣κ−λ∣≥23.
55.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33892Στα παρακάτω ερωτήματα ο x και ο α είναι πραγματικοί αριθμοί.
α)Να λύσετε την ανίσωση x2+x−6<0.
β)Να λύσετε την ανίσωση ∣x−21∣>1.
γ)Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές α και α+1, όπου ο αριθμός α ικανοποιεί τη σχέση ∣α−21∣>1. Αν για το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ισχύει E<6, τότε: i. Να δείξετε ότι 23<α<2. ii. Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών κυμαίνεται η περίμετρος του ορθογωνίου.
56.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34319Θεωρούμε το τριώνυμο f(x)=3x2+κx−4, με παράμετρο κ∈R.
α)Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του κ, το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.
β)Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ)Αν x1 και x2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου και α, β δύο πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει α<x1<x2<β, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου α·f(α)·β·f(β). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
57.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34323Δίνεται το τριώνυμο f(x)=x2−x+(λ−λ2), με λ∈R.
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∈R.
β)Για ποια τιμή του λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες;
γ)Αν λ=21 και x1, x2 είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με x1<x2, τότε: i. να αποδείξετε ότι x1<2x1+x2<x2. ii. να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς f(x2),f(2x1+x2) και f(x2+1).
58.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34325Δίνεται η εξίσωση x2−x+λ−λ2=0, με παράμετρο λ∈R. (1)
α)Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ∈R.
β)Για ποια τιμή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες;
γ)Αν x1, x2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει 0<d(x1,x2)<2.
59.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34186Οι πλευρές x1 και x2 ενός ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης x2−2x+λ(2−λ)=0, με λ∈(0,2).
α)Να βρείτε: i. την περίμετρο Π του ορθογωνίου. ii. το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ.
β)Να δείξετε ότι E≤1, για κάθε λ∈(0,2).
γ)Να βρείτε την τιμή του λ∈(0,2) για την οποία το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με 1. Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
60.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36658Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος y, σε μέτρα, στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγμή t, σε δευτερόλεπτα, μετά την εκτόξευση δίνεται από τη σχέση y=60t−5t2.
α)Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος;
β)Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί στο ύψος y=175m;
γ)Να βρεθεί το χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από 100 m.
61.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36669Δίνονται οι ανισώσεις 2≤∣x∣≤3 και x2−4x<0.
α)Να βρείτε τις λύσεις τους.
β)Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x∈[2,3].
γ)Αν οι αριθμοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός 2ρ1+ρ2 είναι κοινή τους λύση.
62.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36670Δίνονται οι ανισώσεις ∣x+1∣≤2 και x2−x−2>0.
α)Να λύσετε τις ανισώσεις.
β)Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x∈[−3,−1).
γ)Αν οι αριθμοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώσεων, να δείξετε ότι ρ1−ρ2 ∈ (−2, 2).
63.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36678Στα παρακάτω ερωτήματα ο x και ο α είναι πραγματικοί αριθμοί.
α)Να λύσετε την ανίσωση x2<x στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
β)Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός α με 0<α<1. i. Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς 0, 1, α, α2, α. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια και του ερωτήματος α). ii. Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α<1+α.
64.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38825Οι ερευνητές στο πεδίο της ασφάλειας τροφίμων αναπτύσσουν μαθηματικά μοντέλα που προβλέπουν την ανάπτυξη βακτηρίων στις τροφές. Τα μοντέλα αυτά βοηθούν τους Εθνικούς Οργανισμούς Υγείας να εκδώσουν οδηγίες προς τους καταναλωτές αναφορικά με την ασφαλή διαχείριση και συντήρηση των τροφών.
α)Βρέθηκε ότι ο αριθμός N των βακτηρίων ενός συγκεκριμένου είδους που αναπτύσσεται σε μία τροφή μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο N=−T2+72T−396, όπου T είναι η θερμοκρασία της τροφής σε βαθμούς Κελσίου για την οποία ο αριθμός N των βακτηρίων είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το μηδέν. Να υπολογίσετε τη θερμοκρασία της τροφής για την οποία ο αριθμός των βακτηρίων που αναπτύσσεται σε αυτή είναι αμελητέος, θεωρώντας τον ίσο με το μηδέν.
β)Για μια διαφορετική τροφή, ο τύπος που δίνει τον αριθμό των βακτηρίων σε συνάρτηση με τη θερμοκρασία της τροφής βρέθηκε ότι είναι ο εξής: N=−(T−2)(T−57). Να βρείτε το εύρος των τιμών της θερμοκρασίας για τις οποίες αναπτύσσονται βακτήρια στην τροφή αυτή.
γ)Να βρείτε το εύρος των τιμών της θερμοκρασίας για τις οποίες, αν αποθηκεύσουμε μαζί τις τροφές που αναφέρονται στα α) και β), αναπτύσσονται μικρόβια και στις δύο τροφές.
65.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38859Ένας επιχειρηματίας θέλει να επενδύσει στη διαμόρφωση ενός εξωτερικού χώρου για τη διοργάνωση δεξιώσεων. Στο κέντρο του χώρου σχεδιάζει να υπάρχει πισίνα σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου με μήκος 12 m και πλάτος 6 m. Περιμετρικά της πισίνας θα διαμορφωθεί χώρος σταθερού πλάτους xm, στον οποίο θα τοποθετήσει τραπέζια. Δίνεται ότι 281≈16,8.
α)i. Να αποδείξετε ότι η επιφάνεια Ε του χώρου περιμετρικά της πισίνας δίνεται από τη σχέση E=4x2+36xm2. ii. Για να μην έχει ζημιά ο επιχειρηματίας πρέπει να μπορεί να τοποθετήσει τουλάχιστον 20 τραπέζια. Αν για κάθε τραπέζι απαιτείται χώρος 10 m2, να βρείτε για ποιες τιμές του πλάτους x ο επιχειρηματίας μπορεί να τοποθετήσει αρκετά τραπέζια.
β)Προκειμένου να διαμορφώσει κατάλληλα τον χώρο, ο επιχειρηματίας μπορεί να διαθέσει μέχρι 10.000 ευρώ για την κατασκευή της περίφραξης. i. Να αποδείξετε ότι το μήκος Π της περίφραξης δίνεται από τη σχέση Π=8x+36m. ii. Αν η κατασκευή της περίφραξης κοστίζει 100 ευρώ το μέτρο, να βρείτε τις τιμές του πλάτους x για τις οποίες επαρκούν τα 10.000 ευρώ που διαθέτει ο επιχειρηματίας για την κατασκευή της.
γ)Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα α) και β), να υπολογίσετε τις τιμές του πλάτους x για τις οποίες είναι δυνατόν, αλλά και συμφέρει, να πραγματοποιηθεί η επένδυση.