Κεφ. 3 - Εξισώσεις›3.3 Εξισώσεις 2ου Βαθμού

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 3 - Εξισώσεις

§3.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🟰Η εξίσωση αx² + βx + γ = 0 και η διακρίνουσά της

•
Η λύση πολλών προβλημάτων Γεωμετρίας, Φυσικής, κλπ. ανάγεται σε εξίσωση μορφής: $α x^{2} + β x + γ = 0, μ ε α \neq = 0$
💡 Παράδειγμα:
$Π. χ . απ \overset{ο}{ˊ} τ η Φυσικ \overset{η}{ˊ}, ο τ \overset{υ}{ˊ} πος S = v_{0} t + ½ γ t^{2} δ \overset{ι}{ˊ} νει εξ \overset{ι}{ˊ} σωση 2 ο υ βαθμο \overset{υ}{ˊ} ω ς προς τ ο t .$
•
Διακρίνουσα της εξίσωσης: $Δ = β^{2} - 4 α γ$
▶️ Slider β, γ · live διακρίνουσα Δ, ρίζες και γραφική παραβολής.
f(x) = x² − 4x + 3
Διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ4
Κορυφή Κ(−β/2α, −Δ/4α)(2, -1)
Ρίζες1, 3
Δ > 0 → 2 ρίζες
α = 1
β = -4
γ = 3
Άλλαξε α, β, γ — δες πώς το πρόσημο της Δ καθορίζει τον αριθμό των ριζών.
•
Όνομα «διακρίνουσα»: επειδή από την τιμή της εξαρτάται το πλήθος (και η φύση) των ριζών της εξίσωσης.

🎯Τύπος επίλυσης — με συμπλήρωση τετραγώνου

•
Όταν $Δ \geq 0$ , οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τον τύπο: $x = \frac{- β \pm Δ}{2 α}$
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη μ ε « συμπλ \overset{η}{ˊ} ρωση τετραγ \overset{ω}{ˊ} νου » : α x^{2} + β x + γ = 0$ $⟺ x^{2} + (\frac{β}{α}) x + \frac{γ}{α} = 0 (διαιρο \overset{υ}{ˊ} με μ ε α)$ $⟺ x^{2} + 2 \cdot x \cdot (\frac{β}{2 α}) = - \frac{γ}{α}$ $⟺ x^{2} + 2 x (\frac{β}{2 α}) + (\frac{β}{2 α})^{2} = - \frac{γ}{α} + (\frac{β}{2 α})^{2}$ $⟺ (x + \frac{β}{2 α})^{2} = \frac{β ^{2} - 4 α γ}{4 α ^{2}}$ $⟺ (x + \frac{β}{2 α})^{2} = \frac{Δ}{4 α ^{2}} . Αν Δ \geq 0 : x + \frac{β}{2 α} = \pm \frac{Δ}{2 α}$ $⟺ x = \frac{- β \pm Δ}{2 α} .$
❓ Γιατί:«Συμπλήρωση τετραγώνου» = η τεχνική με την οποία μετατρέπουμε μια έκφραση σε τετράγωνο διωνύμου. Είναι η αρχέγονη μέθοδος επίλυσης 2ου βαθμού — από Ινδούς και Άραβες, και ισχύει για κάθε εξίσωση 2ου βαθμού.

🔍Διερεύνηση ριζών — οι τρεις περιπτώσεις

•
$Δ > 0$ : Η εξίσωση έχει ΔΥΟ ρίζες πραγματικές και άνισες. $x_{1, 2} = \frac{- β \pm Δ}{2 α}$
💡 Παράδειγμα:
$2 x^{2} - 3 x + 1 = 0 : Δ = 9 - 8 = 1 > 0.$
$x = \frac{3 \pm 1}{4} \to x_{1} = 1, x_{2} = \frac{1}{2} .$
•
$Δ = 0$ : Η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα. $x_{1} = x_{2} = - \frac{β}{2 α}$
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} - 4 x + 4 = 0 : Δ = 0. x = \frac{4}{2} = 2 (διπλ \overset{η}{ˊ}) . Σ \overset{υ}{ˊ} ντομα : (x - 2)^{2} = 0$ $⟺ x = 2.$
•
$Δ < 0$ : Η εξίσωση είναι ΑΔΥΝΑΤΗ στους πραγματικούς (δεν έχει πραγματικές ρίζες).
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : Απ \overset{ο}{ˊ} (x + \frac{β}{2 α})^{2} = \frac{Δ}{4 α ^{2}} .$
Αν $Δ < 0$ , το δεξί μέλος είναι αρνητικό, αλλά το αριστερό (τετράγωνο) είναι μη αρνητικό — άτοπο.Άρα καμία πραγματική λύση.
💡 Παράδειγμα:
$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0 : Δ = 9 - 32 = - 23 < 0 \to αδ \overset{υ}{ˊ} νατη στο R .$
•
Συνοπτικός πίνακας: $Δ > 0 : 2 ρ \overset{ι}{ˊ} ζες \overset{α}{ˊ} νισες Δ = 0 : 1 διπλ \overset{η}{ˊ} ρ \overset{ι}{ˊ} ζα = - \frac{β}{2 α} Δ < 0 : αδ \overset{υ}{ˊ} νατη στο R$

➕Τύποι Vieta (άθροισμα & γινόμενο ριζών)

•
Άθροισμα ριζών $S$ — αν $x_{1}$ , $x_{2}$ είναι ρίζες της $α x^{2} + β x + γ = 0 (α \neq = 0, Δ \geq 0)$ : $S = x_{1} + x_{2} = - \frac{β}{α}$
📐 Απόδειξη:
$Προσθ \overset{ε}{ˊ} τουμε τους τ \overset{υ}{ˊ} πους των ριζ \overset{ω}{ˊ} ν :$ $⟺ x_{1} + x_{2} = \frac{- β + Δ}{2 α} + \frac{- β - Δ}{2 α}$ $⟺ = \frac{( - β + Δ ) + ( - β - Δ )}{2 α}$ $⟺ = - \frac{2 β}{2 α}$ $⟺ = - \frac{β}{α} .$
▶️ Sliders r₁, r₂ · live S, P και ανακατασκευή εξίσωσης x² − Sx + P = 0.
S = r₁ + r₂5
P = r₁ · r₂6
x² − 5x + 6 = 0
Ομόσημες θετικές (S>0, P>0)
r₁ = 2
r₂ = 3
Άλλαξε τις ρίζες — δες πώς προκύπτουν τα S, P και η εξίσωση x² − Sx + P = 0.
•
Γινόμενο ριζών $P$ — με τις ίδιες υποθέσεις: $P = x_{1} \cdot x_{2} = \frac{γ}{α}$
📐 Απόδειξη:
$Πολλαπλασι \overset{α}{ˊ} ζουμε τους τ \overset{υ}{ˊ} πους των ριζ \overset{ω}{ˊ} ν (διαφορ \overset{α}{ˊ} τετραγ \overset{ω}{ˊ} νων) :$ $⟺ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{( - β + Δ ) ( - β - Δ )}{4 α ^{2}}$ $⟺ = \frac{( - β ) ^{2} - ( Δ ) ^{2}}{4 α ^{2}}$ $⟺ = \frac{β ^{2} - ( β ^{2} - 4 α γ )}{4 α ^{2}}$ $⟺ = \frac{4 α γ}{4 α ^{2}}$ $⟺ = \frac{γ}{α} .$
•
Συνέπεια: Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως $x^{2} - S x + P = 0$ . Χρήσιμη μορφή όταν ξέρουμε άθροισμα και γινόμενο των ριζών.
$α x^{2} + β x + γ = 0$ $⟺ x^{2} - S x + P = 0$
💡 Παράδειγμα:
$Εξ \overset{ι}{ˊ} σωση μ ε \overset{α}{ˊ} θροισμα ριζ \overset{ω}{ˊ} ν 3 και γιν \overset{ο}{ˊ} μενο 2 : x^{2} - 3 x + 2 = 0 (που \overset{ε}{ˊ} χει ρ \overset{ι}{ˊ} ζες 1 και 2) .$

🔄Εξισώσεις που ανάγονται σε 2ου βαθμού

•
Παράδειγμα 1 — με απόλυτο: $x^{2} - 2$ | $x$ | $- 3 = 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$Αφο \overset{υ}{ˊ} x^{2} = ∣ x ∣^{2}, θ \overset{ε}{ˊ} τω ω = ∣ x ∣ : ω^{2} - 2 ω - 3 = 0$ $⟺ ω = 3 \overset{η}{ˊ} ω = - 1. Δεκτ \overset{η}{ˊ} μ \overset{ο}{ˊ} νο ω = 3 (αφο \overset{υ}{ˊ} ω = ∣ x ∣ \geq 0) . Άρα ∣ x ∣ = 3$ $⟺ x = \pm 3.$
•
Παράδειγμα 2 — κλασματική: $\frac{3 x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x} = \frac{2 x ^{2} + x - 1}{x ^{2} - x}$ .
💡 Παράδειγμα:
$Περιορισμο \overset{ι}{ˊ} x \neq = 0, x \neq = 1. Πολλαπλασι \overset{α}{ˊ} ζω μ ε x (x - 1) : x (3 x - 1) - (x - 1) \cdot 2 = 2 x^{2} + x - 1$ $⟺ 3 x^{2} - x - 2 x + 2 = 2 x^{2} + x - 1$ $⟺ x^{2} - 4 x + 3 = 0. Ρ \overset{ι}{ˊ} ζες : x = 1 και x = 3. Δεκτ \overset{η}{ˊ} μ \overset{ο}{ˊ} νο x = 3.$
•
Παράδειγμα 3 — διτετράγωνη: $2 x^{4} - 7 x^{2} - 4 = 0$ . $α x^{4} + β x^{2} + γ = 0, α \neq = 0 (διτετρ \overset{α}{ˊ} γωνη)$
💡 Παράδειγμα:
$Θ \overset{ε}{ˊ} τω y = x^{2} : 2 y^{2} - 7 y - 4 = 0$ $⟺ y = 4 \overset{η}{ˊ} y = - \frac{1}{2} . Δεκτ \overset{η}{ˊ} μ \overset{ο}{ˊ} νο y = 4 (γιατ \overset{ι}{ˊ} y = x^{2} \geq 0) . Άρα x^{2} = 4$ $⟺ x = \pm 2.$
❓ Γιατί:Διτετράγωνη = εξίσωση 4ου βαθμού όπου ο άγνωστος εμφανίζεται ΜΟΝΟ σε άρτιους εκθέτες (4 και 2). Η αντικατάσταση $y = x^{2} τ η$ μετατρέπει σε 2ου βαθμού.
📎 Δες και:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοla-3.4-m2
Κατασκεύασε δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες $x = 1 \pm 3$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $S = 2, P = 1 - 3 = - 2$ .
2. 2
  Εξίσωση: $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ .
2Εύκολοla-3.4-e1
Δίνεται $2 x^{2} + x - 1 = 0$ με ρίζες $x_{1}$ , $x_{2}$ . Βρες $x_{1} + x_{2}$ και $x_{1} \cdot x_{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $S = - \frac{β}{α} = - \frac{1}{2}$ .
2. 2
  $P = \frac{γ}{α} = - \frac{1}{2}$ .
3Μεσαίοla-3.3-m1
Δίνεται $x^{2} + (λ - 1) x - 6 = 0$ . Αν έχει ρίζα το 1, βρες το λ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $1 + (λ - 1) - 6 = 0$
2. 2
  $λ = 6$ .
4Μεσαίοla-3.4-m1
Αν $α + β = 4$ και $α^{2} β + α β^{2} = 20$ , να δείξεις ότι $α β = 5$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $α^{2} β + α β^{2} = α β (α + β) = α β \cdot 4 = 20$
2. 2
  $α β = 5$ .
5Μεσαίοla-3.3-m2
Λύσε για $λ = 2 την x^{2} + (λ - 1) x - 6 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $x^{2} + x - 6 = 0$
2. 2
  $(x + 3) (x - 2) = 0$
3. 3
  $x = - 3$ ή $x = 2$ .
6Μεσαίοla-3.5-m1
Λύσε τη διτετράγωνη: $x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Θέτω $y = x^{2}$ . $y^{2} - 8 y - 9 = 0$
2. 2
  $(y - 9) (y + 1) = 0$ . $y = 9$
3. 3
  $x = \pm 3$ . $y = - 1$ απορρίπτεται. Λύσεις: $x = \pm 3$ .
7Εύκολοla-3.3-e2
Λύσε: $3 x^{2} - 14 x + 8 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $Δ = 196 - 96 = 100$ . $x = \frac{14 \pm 10}{6}$
2. 2
  $x = 4$ ή $x = \frac{2}{3}$ .
8Εύκολοla-3.3-e1
Λύσε: $2 x^{2} - 10 x - 12 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Διαιρούμε με 2: $x^{2} - 5 x - 6 = 0$
2. 2
  $(x - 6) (x + 1) = 0$
3. 3
  $x = 6$ ή $x = - 1$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοla-3.3-m1
Δίνεται $x^{2} + (λ - 1) x - 6 = 0$ . Αν έχει ρίζα το 1, βρες το λ.
2Δύσκολοla-3.3-h1
Δίνεται $x^{2} - 2 λ x + 4 (λ - 1) = 0$ . Δείξε ότι η διακρίνουσα είναι $Δ = (2 λ - 4)^{2}$ και ότι ο $x = 2$ είναι λύση για κάθε λ.
3Μεσαίοla-3.3-m2
Λύσε για $λ = 2 την x^{2} + (λ - 1) x - 6 = 0$ .
4Δύσκολοla-3.4-h1
Δίνεται $x^{2} - 2 x + λ = 0$ με ρίζες $x_{1}$ , $x_{2}$ . Δείξε ότι $x_{1} \cdot x_{2} \leq 1$ . Πότε ισχύει ισότητα;
5Μεσαίοla-3.4-m2
Κατασκεύασε δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες $x = 1 \pm 3$ .
6Δύσκολοla-3.5-h1
Λύσε: $x^{4} - 7 x^{2} + 12 = 0$ .
7Μεσαίοla-3.5-m1
Λύσε τη διτετράγωνη: $x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$ .
8Μεσαίοla-3.4-m1
Αν $α + β = 4$ και $α^{2} β + α β^{2} = 20$ , να δείξεις ότι $α β = 5$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Εξισώσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

3.2 Η Εξίσωση x^ν = α

Επόμενο →

4.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού