Κεφ. 3 - Εξισώσεις›3.1 Εξισώσεις 1ου Βαθμού

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 3 - Εξισώσεις

§3.1 Εξισώσεις 1ου βαθμού

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

⚖️Η εξίσωση αx + β = 0 — αλγοριθμική επίλυση

•
Από το Γυμνάσιο γνωρίσαμε την επίλυση της $α x + β = 0$ για συγκεκριμένους α, β. Τώρα θα δούμε με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των πράξεων πώς επιλύεται για ΟΠΟΙΟΥΣΔΗΠΟΤΕ α, β.
•
Διαδικασία επίλυσης (βήματα):
$α x + β = 0$ $⟺ α x + β - β = - β$ $⟺ α x = - β$
❓ Γιατί:Πρώτο βήμα: «μεταφέρουμε» το β στο άλλο μέλος (στην ουσία προσθέτουμε −β και στα δύο μέλη — διατηρείται η ισότητα).
•
Δεύτερο βήμα: διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με την τιμή του α.

🔍Διερεύνηση — τρεις περιπτώσεις

•
Περίπτωση 1: $α \neq = 0$ . Διαιρούμε με α και έχουμε μοναδική λύση. $Αν α \neq = 0 : x = - \frac{β}{α}$
💡 Παράδειγμα:
$4 (x - 5) = x - 5$ $⟺ 4 x - 20 = x - 5$ $⟺ 3 x = 15$ $⟺ x = 5. (Μοναδικ \overset{η}{ˊ} λ \overset{υ}{ˊ} ση : x = 5.)$
•
Περίπτωση 2: $α = 0$ και $β \neq = 0$ . Η εξίσωση γίνεται $0 \cdot x = - β$ με $β \neq = 0$ → ΑΔΥΝΑΤΗ (καμία λύση).
💡 Παράδειγμα:
$3 x - x - 3 = 2 x$ $⟺ 3 x - x - 2 x = 3$ $⟺ 0 x = 3, αδ \overset{υ}{ˊ} νατη .$
•
Περίπτωση 3: $α = 0$ και $β = 0$ . Η εξίσωση γίνεται $0 \cdot x = 0$ → ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ (κάθε $x$ ∈ ℝ είναι λύση).
💡 Παράδειγμα:
$4 (x - 5) - x = 3 x - 20$ $⟺ 4 x - 20 - x = 3 x - 20$ $⟺ 0 x = 0, ταυτ \overset{ο}{ˊ} τητα .$
❓ Γιατί:Η λύση της εξίσωσης $α x + β = 0$ λέγεται και ρίζα αυτής. Οι όροι «λύση» και «ρίζα» χρησιμοποιούνται εναλλακτικά.

🔤Παραμετρικές εξισώσεις & διερεύνηση

•
Όταν οι συντελεστές α, β της $α x + β = 0$ εκφράζονται με γράμματα (όχι αριθμούς), τα γράμματα λέγονται παράμετροι και η εξίσωση παραμετρική.
•
Διερεύνηση παραμετρικής = η εργασία εύρεσης των τιμών της παραμέτρου για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση / είναι αδύνατη / είναι ταυτότητα.
❓ Γιατί:Πρώτη φορά συναντάμε αυστηρά αυτή την έννοια. Σημασία: σου δίνεται μια εξίσωση με «κρυφή» παράμετρο και πρέπει να βρεις πότε λύνεται και πώς — όχι μία απάντηση, πολλές ξεχωριστά ανά τιμή της παραμέτρου.
•
Μέθοδος: 1) Φέρνουμε σε μορφή $A \cdot x = B$ . 2) Διερεύνηση ανάλογα με το αν $A = 0$ ή ΟΧΙ.
•
Παράδειγμα: $(λ^{2} - 1) x - λ + 1 = 0, λ$ ∈ ℝ.
💡 Παράδειγμα:
$(λ^{2} - 1) x - λ + 1 = 0$ $⟺ (λ + 1) (λ - 1) x = λ - 1.$
•
Διερεύνηση: εξετάζουμε ΧΩΡΙΣΤΑ κάθε «κρίσιμη» τιμή της παραμέτρου που μηδενίζει τον συντελεστή Α.
💡 Παράδειγμα:
$Αν λ ≠ 1 και λ ≠ −1 → Α ≠ 0 → $x = \frac{λ - 1}{(λ+1)(λ-1)} = \frac{1}{λ + 1}$.$
$Αν λ = 1 \to εξ \overset{ι}{ˊ} σωση 0 x = 0 \to ταυτ \overset{ο}{ˊ} τητα .$
$Αν λ = - 1 \to 0 x = - 2 \to αδ \overset{υ}{ˊ} νατη .$
❓ Γιατί:ΠΡΟΣΟΧΗ: Ποτέ δεν διαιρούμε με παράσταση που περιέχει παράμετρο χωρίς να έχουμε ΕΛΕΓΞΕΙ ότι δεν είναι μηδέν.

🔄Εξισώσεις που ανάγονται σε 1ου βαθμού

•
Πολλές εξισώσεις δεν είναι 1ου βαθμού, αλλά ανάγονται σε 1ου βαθμού με κατάλληλη διαδικασία.
•
Παράδειγμα 1 — κλασματική: $\frac{x ^{2}}{x - 1} - 1 = \frac{1}{x - 1}$ .
💡 Παράδειγμα:
$Περιορισμ \overset{ο}{ˊ} ς : x \neq = 1. Πολλαπλασι \overset{α}{ˊ} ζω μ ε (x - 1) : x^{2} - (x - 1) = 1$ $⟺ x^{2} - x = 0$ $⟺ x (x - 1) = 0$ $⟺ x = 0 (αφο \overset{υ}{ˊ} x \neq = 1) . Μοναδικ \overset{η}{ˊ} λ \overset{υ}{ˊ} ση : x = 0.$
•
Παράδειγμα 2 — με απόλυτα: | $2 x - 1$ | = | $x + 3$ |.
💡 Παράδειγμα:
$∣2 x - 1∣ = ∣ x + 3∣$ $⟺ 2 x - 1 = x + 3 \overset{η}{ˊ} 2 x - 1 = - (x + 3)$ $⟺ x = 4 \overset{η}{ˊ} x = - \frac{2}{3} .$
•
Παράδειγμα 3 — μικτό: | $2 x - 3$ | $= 3 x - 2$ .
💡 Παράδειγμα:
$Περιορισμ \overset{ο}{ˊ} ς : 3 x - 2 \geq 0.∣2 x - 3∣ = 3 x - 2$ $⟺ 2 x - 3 = \pm (3 x - 2)$ $⟺ x = 1 \overset{η}{ˊ} x = - 1. Δεκτ \overset{η}{ˊ} μ \overset{ο}{ˊ} νο η x = 1 (η x = - 1 παραβι \overset{α}{ˊ} ζει 3 x - 2 \geq 0) .$
❓ Γιατί:Όταν η απόλυτη ισούται με παράσταση, ΘΕΛΟΥΜΕ το δεξί μέλος να είναι $\geq 0$ (η απόλυτη είναι πάντα μη αρνητική). Ελέγχουμε στο τέλος ποιες λύσεις είναι δεκτές.

💡Εφαρμογή — πρόβλημα

•
Ποδηλάτης πάει από πόλη Α σε πόλη Β με μέση ταχύτητα $25 km / h$ , ξεκουράζεται 1 ώρα, και επιστρέφει με $20 km / h$ . Συνολικός χρόνος 10 ώρες. Να βρεθεί το μήκος της ΑΒ.
💡 Παράδειγμα:
$Έστω x k m η απ \overset{ο}{ˊ} σταση . Χρ \overset{ο}{ˊ} νος μετ \overset{α}{ˊ} βασης \frac{x}{25} \overset{ω}{ˊ} ρες, χρ \overset{ο}{ˊ} νος επιστροφ \overset{η}{ˊ} ς \frac{x}{20} \overset{ω}{ˊ} ρες .M ε την \overset{ω}{ˊ} ρα ξεκο \overset{υ}{ˊ} ρασης : \frac{x}{25} + \frac{x}{20} + 1 = 10$ $⟺ 4 x + 5 x + 100 = 1000$ $⟺ 9 x = 900$ $⟺ x = 100 km .$

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοla-3.1-e1
Λύσε την εξίσωση $κ \cdot x = 3 - 2 x$ για $κ = 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $1 \cdot x + 2 x = 3$
2. 2
  $3 x = 3$
3. 3
  $x = 1$ .
2Εύκολοla-3.2-e1
Λύσε: | $2 x - 1$ | $= 3$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $2 x - 1 = 3$ ή $2 x - 1 = - 3$
2. 2
  $x = 2$ ή $x = - 1$ .
3Μεσαίοla-3.1-m2
Δίνεται $(α - 3) x = α^{2} - 9$ . Για ποιες α η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να βρεις τη λύση.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για $α \neq = 3$ : $x = \frac{α ^{2} - 9}{α - 3} = α + 3$ .
2. 2
  Για $α = 3$ : $0 \cdot x = 0$ , ταυτότητα (κάθε $x$ λύση).
4Εύκολοla-3.2-e2
Λύσε: | $x - 2$ | $= 4$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $x - 2 = 4$ ή $x - 2 = - 4$
2. 2
  $x = 6$ ή $x = - 2$ .
5Μεσαίοla-3.2-m1
Λύσε: | $2 x - 4$ | = | $x - 3$ | όταν $x$ ∈ [2, 3].
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Στο [2,3]: $2 x - 4 \geq 0, x - 3 \leq 0$ . Εξίσωση: $2 x - 4 = 3 - x$
2. 2
  $3 x = 7$
3. 3
  $x = \frac{7}{3}$ , ανήκει στο [2,3] ✓.
6Εύκολοla-3.1-e2
Λύσε την εξίσωση $(α - 3) x = α^{2} - 9$ για $α = 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για $α = 1$ : $(1 - 3) x = 1 - 9$
2. 2
  $- 2 x = - 8$
3. 3
  $x = 4$ .
7Μεσαίοla-3.1-m1
Δίνεται $κ \cdot x = 3 - 2 x$ με παράμετρο κ. Να εξετάσεις γιατί είναι αδύνατη για $κ = - 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $(κ + 2) x = 3$ .
2. 2
  Για $κ = - 2$ : $0 \cdot x = 3$ , αδύνατη.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοla-3.1-m2
Δίνεται $(α - 3) x = α^{2} - 9$ . Για ποιες α η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να βρεις τη λύση.
2Μεσαίοla-3.2-m1
Λύσε: | $2 x - 4$ | = | $x - 3$ | όταν $x$ ∈ [2, 3].
3Μεσαίοla-3.1-m1
Δίνεται $κ \cdot x = 3 - 2 x$ με παράμετρο κ. Να εξετάσεις γιατί είναι αδύνατη για $κ = - 2$ .
4Δύσκολοla-3.2-h1
Αν $3 \leq x \leq 5$ , εξέτασε αν έχει λύση η | $x - 5$ | + | $x - 2$ | $= 2$ .
5Δύσκολοla-3.1-h1
Δίνεται $(λ^{2} - 1) x = (λ - 1) (λ - 2)$ . Λύσε για $λ = 1, λ = - 1$ και βρες πότε έχει μοναδική λύση.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Εξισώσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

Επόμενο →

3.2 Η Εξίσωση x^ν = α