Α΄ Λυκείου

3.3 Εξισώσεις 2ου Βαθμού

1. 16.
   Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34161Δίνονται τα παρακάτω ερωτήματα με άγνωστο τον πραγματικό αριθμό $x$.

   α)Να λύσετε την εξίσωση $|2x-1|=3$.

   β)Αν α, β με $\alpha <\beta$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος α), τότε να λύσετε την εξίσωση $\alpha x^2+\beta x+3=0$.
2. 17.
   Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35100Δίνονται τα παρακάτω ερωτήματα με άγνωστο τον πραγματικό αριθμό $x$.

   α)Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης $-2x^2+10x=12$.

   β)Να λύσετε την εξίσωση $\frac{-2x^2+10x-12}{x-2}=0$.
3. 18.
   Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37178Το πάτωμα του εργαστηρίου της πληροφορικής ενός σχολείου είναι σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις $(x+1)$ μέτρα και $x$ μέτρα.

   α)Να γράψετε με τη βοήθεια του $x$ την περίμετρο και το εμβαδόν του πατώματος.

   β)Αν το εμβαδόν του πατώματος του εργαστηρίου είναι 90 τετραγωνικά μέτρα, να βρείτε τις διαστάσεις του.
4. 19.
   Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37181Δίνεται η εξίσωση $x^2-(\lambda -1)x+6=0$, με παράμετρο $\lambda \in \mathbb{R}$.

   α)Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το λ.

   β)Για $\lambda =2$ να λύσετε την εξίσωση.
5. 20.
   Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #12683Μια δεξαμενή έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση τετράγωνο και ύψος ίσο με το ένα τέταρτο του μήκους της.

   α)Αν η δεξαμενή έχει όγκο 16 κυβικά μέτρα, να βρείτε τις διαστάσεις της.

   β)Λόγω έλλειψης χώρου η δεξαμενή ανακατασκευάζεται με βάση ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ύψος 2 μέτρα. Αν το πλάτος της νέας δεξαμενής είναι κατά 2 $m$ μικρότερο από το μήκος της, να υπολογίσετε τις διαστάσεις της βάσης, ώστε ο όγκος να παραμείνει 16 κυβικά μέτρα.

   γ)Αν η νέα δεξαμενή περιέχει 10 κυβικά μέτρα πετρέλαιο, να βρείτε το ύψος της στάθμης του πετρελαίου μέσα στη δεξαμενή.
6. 21.
   Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14406Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α, β με $\alpha \ne \beta$, για τους οποίους ισχύει $\frac{{\alpha }^2+1}{{\beta }^2+1}=\frac{\alpha }{\beta }$.

   α)Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι.

   β)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $K=\frac{{\alpha }^{22}({\beta }^3{)}^8}{{\alpha }^{-2}(\alpha \beta {)}^{25}}$.

   γ)Αν επιπλέον οι μη μηδενικοί αριθμοί α και β εκφράζουν τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου παραλληλογράμμου με άθροισμα $\frac{5}{2}$, να τους υπολογίσετε.

   δ)Να βρείτε τον αριθμό που πρέπει να προσθέσετε στο α ή στο β, έτσι ώστε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο να γίνει τετράγωνο.
7. 22.
   Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33889Δίνονται οι εξισώσεις $3x^2-14x+8=0(1)$ και $8x^2-14x+3=0(2)$.

   α)Να λύσετε τις εξισώσεις (1) και (2).

   β)Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της (2) είναι οι αντίστροφοι των ριζών της (1) και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής $\alpha x^2+\beta x+\gamma =0(3)$ και $\gamma x^2+\beta x+\alpha =0(4)$, με $\alpha \cdot \gamma \ne 0$. Να αποδείξετε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της (3) και $\alpha \cdot \gamma \ne 0$, τότε: i. $\rho \ne 0$ ii. ο $\frac{1}{\rho }$ επαληθεύει την εξίσωση (4).
8. 23.
   Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34322Μία υπολογιστική μηχανή έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγματικός αριθμός $x$, να δίνει ως εξαγόμενο τον αριθμό λ που δίνεται από τη σχέση $\lambda =(2x+5{)}^2-8x$. (1)

   α)Αν ο εισαγόμενος αριθμός είναι το −5, ποιος είναι ο εξαγόμενος;

   β)Αν ο εξαγόμενος αριθμός είναι το 20, ποιος μπορεί να είναι ο εισαγόμενος;

   γ)i. Να δείξετε ότι η σχέση (1) μπορεί ισοδύναμα να γραφεί στη μορφή $4x^2+12x+(25-\lambda )=0$. ii. Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιμή και να έχει ο εισαγόμενος αριθμός $x$, ο εξαγόμενος αριθμός λ δεν μπορεί να είναι ίσος με 5. iii. Να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές του εξαγόμενου αριθμού λ.
9. 24.
   Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34327Δίνεται η εξίσωση $x^2-3x-4=0$. (1)

   α)Να λύσετε την εξίσωση (1).

   β)Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί α, β για τους οποίους ισχύει ${\alpha }^2-3\alpha \beta -4{\beta }^2=0$. i. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\frac{\alpha }{\beta }$ είναι λύση της εξίσωσης (1). ii. Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β.
10. 25.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34544Δίνεται η εξίσωση $x^2-2\lambda x+4(\lambda -1)=0(1)$, με άγνωστο το $x$ και παράμετρο $\lambda \in \mathbb{R}$.

    α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης (1) είναι $\Delta =(2\lambda -4{)}^2$.

    β)Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (1) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ.

    γ)Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου λ ο αριθμός $x=2$ είναι λύση της εξίσωσης (1).
11. 26.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36651Δίνεται η εξίσωση $x^2-2\lambda x+4\lambda +5=0$, με παράμετρο $\lambda \in \mathbb{R}$.

    α)Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης όταν $\lambda =-2$ και όταν $\lambda =3$.

    β)i. Να αποδείξετε ότι αν $\lambda =5$, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα. ii. Να εξετάσετε αν υπάρχει άλλη τιμή του λ, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα.

    γ)Αν ισχύει $|{\lambda }^2-4\lambda -5|=4\lambda -{\lambda }^2+5$, με $\lambda \in \mathbb{R}$ και λ διάφορο των −1 και 5, να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
12. 27.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36661Δίνεται η εξίσωση $({\lambda }^2-\lambda )\cdot x^2-({\lambda }^2-1)\cdot x+\lambda -1=0(1)$, με παράμετρο $\lambda \in \mathbb{R}$.

    α)Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η (1) είναι εξίσωση 2ου βαθμού.

    β)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ που βρήκατε στο α) ερώτημα η (1) παίρνει τη μορφή $\lambda x^2-(\lambda +1)x+1=0$.

    γ)Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ που βρήκατε στο α) ερώτημα η (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

    δ)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (1), αν αυτή είναι 2ου βαθμού.
13. 28.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36663Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πλακάκια τύπου Α με πλευρά $d$ cm ή πλακάκια τύπου Β με πλευρά $(d+1)cm$.

    α)Να βρείτε, ως συνάρτηση του $d$, το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου Α και κάθε πλακάκι τύπου Β.

    β)Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με 200 πλακάκια τύπου Α είτε με 128 τύπου Β, να βρείτε: i. Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου. ii. Το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν.
14. 29.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38822Ένας μαραγκός θέλει να αφαιρέσει ένα μέρος σχήματος «Γ» από ένα ορθογώνιο κομμάτι ξύλου διαστάσεων 8 επί 12 dm, για να κατασκευάσει μια ντουλάπα. Το μέρος που θα κρατήσει, για να χρησιμοποιήσει, είναι επίσης ορθογώνιο, μικρότερο του αρχικού, όπως είναι το σκιασμένο μέρος του σχήματος. Το «Γ» που κόβει έχει παντού το ίδιο πλάτος $x$.

    α)Αν $x$ είναι το πλάτος του «Γ» που θα κόψει ο μαραγκός, να αποδείξετε ότι η παράσταση $x^2-20x+96$ εκφράζει το εμβαδόν του ορθογωνίου που θα κρατήσει, για να χρησιμοποιήσει.

    β)Ο μαραγκός θέλει από το αρχικό κομμάτι ξύλου να κόψει και να χρησιμοποιήσει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν 45 τετραγωνικά dm. i. Πόσο είναι το πλάτος $x$ του «Γ» που πρέπει να κόψει; ii. Ο μαραγκός από την εμπειρία του έχει διαπιστώσει ότι, για να μπορεί να διορθώνει λάθη κατά την εργασία του, το κομμάτι ξύλου που κόβει πρέπει να έχει τουλάχιστον 2% μεγαλύτερο εμβαδό από αυτό της τελικής κατασκευής. Να γράψετε μια ανίσωση που η λύση της να δίνει το πλάτος $x$ του «Γ» για αυτή την περίπτωση. iii. Αν ο μαραγκός κόψει το «Γ» με πλάτος 2,9 dm, τότε θα μπορεί να διορθώσει λάθη, όπως περιγράφεται στο υποερώτημα ii;
15. 30.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38861Υπάρχουν αρκετοί τύποι για τον υπολογισμό της δόσης ενός φαρμάκου για παιδιά με βάση τη δόση για ενήλικες. Οι τύποι που δίνονται στη συνέχεια χρησιμοποιούν την ηλικία του παιδιού και ισχύουν για παιδιά με μέσο βάρος και μέση ανάπτυξη. Τύπος του Γιούνγκ: Δόση για παιδιά $=(\frac{\epsilon }{\epsilon +12})\cdot$Δόση για ενήλικες, όπου ε η ηλικία του παιδιού σε έτη, από ενός έτους μέχρι 12 ετών. Τύπος του Φράιντ: Δόση για παιδιά $=(\frac{\mu }{150})\cdot$Δόση για ενήλικες, όπου μ η ηλικία του παιδιού σε μήνες, έως 24 μηνών.

    α)Αν το παιδί είναι 1,5 έτους, να βρείτε τι μέρος της δόσης που αντιστοιχεί στον ενήλικα θα πάρει το παιδί, χρησιμοποιώντας καθέναν από τους δύο παραπάνω τύπους.

    β)i. Να βρείτε, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Γιούνγκ, πόσων ετών πρέπει να είναι το παιδί, για να πάρει δόση φαρμάκου 60 mg, εάν η δόση για τον ενήλικα είναι 300 mg. ii. Να δείξετε ότι σύμφωνα με τον τύπο του Φράιντ, για τη δόση του παιδιού ισχύει $0<$ Δόση για παιδιά $\le (\frac{4}{25})\cdot$Δόση για ενήλικες. iii. Θα μπορούσε με βάση τον τύπο του Φράιντ η δόση για το παιδί να είναι 60 mg, αν η δόση για τον ενήλικα είναι 30 mg;

    γ)Θα μπορούσε σε κάποια ηλικία το παιδί να πάρει την ίδια δόση του φαρμάκου με βάση και τους δύο παραπάνω τύπους; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
16. 31.
    Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14749Δίνεται η παράσταση $A=\frac{x}{x-|x|}$, με $x$ πραγματικό αριθμό.

    α)i. Να βρείτε για ποιες τιμές του $x\in \mathbb{R}$ ορίζεται η παράσταση Α. ii. Για τις τιμές του $x$ για τις οποίες ορίζεται η παράσταση Α, να δείξετε ότι $A=\frac{1}{2}$.

    β)Για $x<0$, να λύσετε την εξίσωση $\frac{x^3}{x-|x|}=(\frac{3}{2})x+2$.
17. 32.
    Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14578Δίνεται η παράσταση $\Pi =\frac{2x^2-1}{x^2-x}+\frac{1}{1-x}$.

    α)Να βρείτε για ποιες τιμές του $x$ ορίζεται η παράσταση Π.

    β)Για τις τιμές του $x$ που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση $\frac{2x^2-1}{x^2-x}+\frac{1}{1-x}=0$.
18. 33.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33826Στα παρακάτω ερωτήματα μελετάμε διτετράγωνες εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις της μορφής $x^4+\beta x^2+\gamma =0$.

    α)Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση $x^4-8x^2-9=0$. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε.

    β)Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση $x^4+\beta x^2+\gamma =0(1)$ με παραμέτρους β, $\gamma \in \mathbb{R}$. Να δείξετε ότι αν $\gamma <0$ τότε: i. ${\beta }^2-4\gamma >0$ ii. η εξίσωση (1) έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
19. 34.
    Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14577Δίνεται η εξίσωση $x^2-x-2=0$. (1)

    α)Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό −1.

    β)Να βρείτε και τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης (1).

    γ)Να απλοποιήσετε την παράσταση $A=\frac{x^2-x-2}{x^2+x}$, με $x\ne 0$ και $x\ne -1$.
20. 35.
    Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34154Δίνονται οι αριθμοί $A=\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ και $B=\frac{1}{3+\sqrt{7}}$.

    α)Να δείξετε ότι $A+B=3$ και $A\cdot B=\frac{1}{2}$.

    β)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς Α, Β.
21. 36.
    Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34436Δίνονται οι αριθμοί $A=\frac{1}{5+\sqrt{5}}$ και $B=\frac{1}{5-\sqrt{5}}$.

    α)Να δείξετε ότι: i. $A+B=\frac{1}{2}$ ii. $A\cdot B=\frac{1}{20}$

    β)Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς Α και Β.
22. 37.
    Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34920Δίνεται το τριώνυμο $3x^2+6x-12(1)$. Αν $x_1$, $x_2$ είναι ρίζες του τριωνύμου (1), τότε:

    α)Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων $x_1+x_2$ και $x_1\cdot x_2$.

    β)Να βρείτε μια εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τις $4x$₁ και $4x$₂.
23. 38.
    Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35038Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν $\alpha \cdot \beta =4$ και ${\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2=20$.

    α)Να αποδείξετε ότι $\alpha +\beta =5$.

    β)Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και να τους βρείτε.
24. 39.
    Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36890Στα παρακάτω ερωτήματα ο $x$ είναι πραγματικός αριθμός.

    α)Να λύσετε την εξίσωση $|x-2|=3$.

    β)Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.
25. 40.
    Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37171Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν $\alpha +\beta =2$ και ${\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2=-30$.

    α)Να αποδείξετε ότι $\alpha \cdot \beta =-15$.

    β)Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς α, β και να τους βρείτε.
26. 41.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14651Οι πλευρές $x_1$, $x_2$ ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης $x^2-4(\lambda +\frac{1}{\lambda })x+16=0$, με $\lambda >0$.

    α)Να βρείτε: i. Την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. ii. Το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου.

    β)Να αποδείξετε ότι $\Pi \ge 16$, για κάθε $\lambda >0$.

    γ)Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 16; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;
27. 42.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14759Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=3x^2+6\alpha x+6\beta$, με α, $\beta \in \mathbb{R}$.

    α)Να δείξετε ότι $f(\alpha )+f(\beta )\ge {\beta }^2-36$.

    β)Να βρείτε τις τιμές των α, $\beta \in \mathbb{R}$ για τις οποίες $f(\alpha )+f(\beta )={\beta }^2-36$.

    γ)Αν $\alpha =2$ και $\beta =-6$: i. Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=6x$. ii. Αν $x_1$, $x_2$ οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος γ) $i$., να δείξετε ότι ισχύει $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{6}$.
28. 43.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33584Δίνεται η εξίσωση $x^2-2x+\lambda =0$, με παράμετρο $\lambda <1$.

    α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες $x_1$, $x_2$ διαφορετικές μεταξύ τους.

    β)Να αποδείξετε ότι $x_1+x_2=2$.

    γ)Αν για τις ρίζες $x_1$, $x_2$ ισχύει επιπλέον $|x_1-2|=|x_2+2|$, τότε: i. Να δείξετε ότι $x_1-x_2=4$. ii. Να προσδιορίσετε τις ρίζες $x_1$, $x_2$ και την τιμή του λ.
29. 44.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33585Δίνεται η εξίσωση $\alpha x^2-({\alpha }^2-1)x-\alpha =0$, με παράμετρο $\alpha \ne 0$.

    α)Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι $\Delta =({\alpha }^2+1{)}^2$.

    β)Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι $p_1=\alpha$ και $p_2=-\frac{1}{\alpha }$.

    γ)Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε $|p_1-p_2|=2$.
30. 45.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #34310Δίνεται η εξίσωση $\lambda x^2+(2\lambda -1)x+\lambda -1=0$, με παράμετρο λ πραγματικό αριθμό διάφορο του μηδενός.

    α)Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή σταθερή.

    β)Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ.

    γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με 2 μονάδες.
31. 46.
    Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36675Δίνεται η εξίσωση $x^2-4x+2-{\lambda }^2=0(1)$, με παράμετρο $\lambda \in \mathbb{R}$.

    α)Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του $\lambda \in \mathbb{R}$, η (1) έχει δύο ρίζες άνισες.

    β)Αν $x_1$ και $x_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1): i. Να βρείτε το $S=x_1+x_2$. ii. Να βρείτε το $P=x_1\cdot x_2$ ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού λ.

    γ)Αν η μία ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός $2+\sqrt{3}$, τότε: i. Να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της (1) είναι ο αριθμός 2 − $\sqrt{3}$. ii. Να βρείτε τον αριθμό λ.