Κεφ. 2 - Οι Πραγματικοί Αριθμοί›2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 2 - Οι Πραγματικοί Αριθμοί

§2.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

√Τετραγωνική ρίζα (επανάληψη)

•
Ορισμός: Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού α συμβολίζεται με $α$ και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
$α = x$ $⟺ x \geq 0 και x^{2} = α (α \geq 0)$
•
Ισοδύναμα: αν $α \geq 0$ , η $α$ παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης $x^{2} = α$ .
•
Ρίζα τετραγώνου — προσοχή στην απόλυτη τιμή: $α^{2} = ∣ α ∣$
❓ Γιατί:Προσοχή: $α^{2}$ ΔΕΝ είναι πάντα α — είναι η απόλυτη τιμή. Γιατί η ρίζα δίνει πάντα μη αρνητικό αποτέλεσμα.
📎 Δες και:
•
Ρίζα γινομένου ισούται με γινόμενο ριζών (για α, β ≥ 0): $α \cdot β = α \cdot β$
•
Ρίζα πηλίκου ισούται με πηλίκο ριζών (για α ≥ 0, β > 0): $\frac{α}{β} = \frac{α}{β} (β > 0)$

∛ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού

•
Εισαγωγικό παράδειγμα: αν θέλουμε κυβική δεξαμενή χωρητικότητας 64 $m^{3}$ , ψάχνουμε πλευρά $x$ με $x^{3} = 64$ . Δοκιμές δίνουν $x = 4$ . Λέμε ότι το 4 είναι η τρίτη (ή κυβική) ρίζα του 64 και γράφουμε $364 = 4$ .
•
Ορισμός: Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού α (με ν θετικό ακέραιο) συμβολίζεται με ⁿ $α$ και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει τον α.
$n α = x$ $⟺ x \geq 0 και x^{n} = α (α \geq 0)$
•
Συμβάσεις: ¹ $α = α$ και $2 α = α$ .
•
Σχόλιο: Είναι $1 0^{4} = 10000$ , οπότε $410000 = 10$ . Είναι όμως και $(- 10)^{4} = 10000$ . ΟΜΩΣ ΔΕΝ γράφουμε $410000 = - 10$ — η ν-οστή ρίζα είναι μη αρνητική.

⚙️Ιδιότητες ν-οστής ρίζας

•
Άμεση συνέπεια του ορισμού — η ν-οστή δύναμη της ν-οστής ρίζας: $(n α)^{n} = α (α \geq 0)$
•
Άμεση συνέπεια του ορισμού — η ν-οστή ρίζα της ν-οστής δύναμης: $n α^{n} = α (α \geq 0)$
•
Όταν $α \leq 0$ και ν άρτιος: $n α^{n} = ∣ α ∣$
💡 Παράδειγμα:
$6 2^{6} = 2 (απλ \overset{ο}{ˊ}) .$
$6 (- 2)^{6} = ∣ - 2∣ = 2 (\overset{ο}{ˊ} χι - 2!) .$
•
Ιδιότητα 1: Γινόμενο ριζών $(α, β \geq 0)$ : $n α \cdot n β = n α \cdot β$
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : Και τ α δ \overset{υ}{ˊ} ο μ \overset{ε}{ˊ} λη ε \overset{ι}{ˊ} ναι μ η αρνητικ \overset{α}{ˊ} . Άρα$ $⟺ n α \cdot n β = n α \cdot β$ $⟺ (n α \cdot n β)^{n} = (n α \cdot β)^{n}$ $⟺ (n α)^{n} \cdot (n β)^{n} = α \cdot β$ $⟺ α \cdot β = α \cdot β, που ισχ \overset{υ}{ˊ} ει .$
•
Ιδιότητα 2: Πηλίκο ριζών $(β > 0)$ : $\frac{ν α}{ν β} = ν \frac{α}{β}$
•
Ιδιότητα 3: Ρίζα ρίζας: $m n α = m \cdot n α$
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : Και τ α δ \overset{υ}{ˊ} ο μ \overset{ε}{ˊ} λη μ η αρνητικ \overset{α}{ˊ} . m n α = mn α$ $⟺ (m n α)^{μ \cdot ν} = (mn α)^{μ \cdot ν}$ $⟺ ((m n α)^{μ})^{ν} = α$ $⟺ (n α)^{ν} = α, που ισχ \overset{υ}{ˊ} ει .$
•
Ιδιότητα 4: Απλοποίηση κοινού πολλαπλασιαστή: $n \cdot k α^{m \cdot k} = n α^{m}$
💡 Παράδειγμα:
$$\sqrt[6]{4^3} = \sqrt[2]{4} = 2$ (απλοποίηση του δείκτη 6→2).$
•
Γενίκευση για ν-οστή ρίζα γινομένου πολλών παραγόντων: $n α_{1} \cdot α_{2} \cdot \dots \cdot α_{k} = n α_{1} \cdot n α_{2} \cdot \dots \cdot n α_{k}$
•
Εξαγωγή παράγοντα από τη ρίζα: $n α^{n} \cdot β = α \cdot n β (α, β \geq 0)$

🔼Δυνάμεις με ρητό εκθέτη

•
Ορίζουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη ώστε να συμβαδίζουν με τις γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων. Π.χ. αν θέλουμε $(3^{\frac{2}{5}})^{5} = 3^{2}$ (ιδιότητα $(α^{p})^{q} = α^{pq}$ ), τότε ο $3^{\frac{2}{5}}$ πρέπει να είναι λύση της $x^{5} = 3^{2}$ , δηλαδή $3^{2/5} = 5 3^{2}$ .
•
Ορισμός: Αν $α > 0, μ$ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος: $α^{\frac{μ}{ν}} = n α^{m}$
💡 Παράδειγμα:
$$8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.$
$$27^{-4/3} = \sqrt[3]{27^{-4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27^4}} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$.$
•
Αν μ, ν θετικοί ακέραιοι, ορίζουμε $0^{\frac{μ}{ν}} = 0$ .
•
Όλες οι ιδιότητες δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη επεκτείνονται σε δυνάμεις με ρητό εκθέτη.
💡 Παράδειγμα:
$4 α \cdot 3 α = α^{\frac{1}{4}} \cdot α^{\frac{1}{3}} = α^{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = α^{\frac{7}{12}} = 12 α^{7} .$
❓ Γιατί:Έτσι μπορούμε να χειριζόμαστε ρίζες αλγεβρικά: μετατρέπουμε σε ρητούς εκθέτες, εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων, μετατρέπουμε ξανά σε ρίζες.

💡Εφαρμογές

•
Εφαρμογή 1 — Μονοτονία ριζών: Αν $α, β \geq 0$ , τότε $α < β$ ⇔ $n α < n β$ .
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : n α < n β$ $⟺ (n α)^{n} < (n β)^{n}$ $⟺ α < β, που ισχ \overset{υ}{ˊ} ει .$
•
Εφαρμογή 2 — Απαλοιφή ρίζας από παρονομαστή. Πολλαπλασιάζουμε με κατάλληλο όρο ώστε να εξαφανιστεί η ρίζα από τον παρονομαστή.
💡 Παράδειγμα:
$\frac{15}{3} = \frac{15 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{15 3}{3} = 53 .$
•
Για διώνυμο με ρίζα χρησιμοποιούμε τη συζυγή έκφραση (η διαφορά τετραγώνων εξαλείφει τη ρίζα).
💡 Παράδειγμα:
$$\frac{10}{\sqrt5 - 1} = \frac{10(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5)^2 - 1^2} = \frac{10(\sqrt5 + 1)}{4} = \frac{5(\sqrt5 + 1)}{2}$.$
$$\frac{6}{\sqrt7 + \sqrt5} = \frac{6(\sqrt7 - \sqrt5)}{7 - 5} = 3(\sqrt7 - \sqrt5)$.$
❓ Γιατί:Η τεχνική προέρχεται από την ταυτότητα $α^{2} - β^{2} = (α + β) (α - β)$ . Πολλαπλασιάζοντας με τη συζυγή έκφραση «( $α$ ∓ $β$ )», ο παρονομαστής γίνεται διαφορά τετραγώνων → ρητός.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

α

ορίζεται μόνο όταν

α \geq 0

2Σωστό / Λάθος

Για κάθε πραγματικό

α

ισχύει

α^{2} = ∣ α ∣

3Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

(- 5)^{2}

;

4Σωστό / Λάθος

Για

α, β \geq 0

ισχύει

α \cdot β = α β

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

410000

;

6Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

8^{\frac{2}{3}}

;

7Σωστό / Λάθος

Ισχύει

9 + 16 = 9 + 16

8Πολλαπλής επιλογής

Ρητικοποιώντας, το

\frac{15}{3}

ισούται με:

9Σωστό / Λάθος

Ισχύει

6 (- 2)^{6} = - 2

10Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

2 7^{- \frac{4}{3}}

;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοla-2.4-m1
Δίνεται $A = 2 + 3, B = 2 - 3$ . Υπολόγισε $Π = A^{2} + B^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $A^{2} = 4 + 43 + 3 = 7 + 43$ .
2. 2
  $B^{2} = 7 - 43$ .
3. 3
  $A^{2} + B^{2} = 14$ .
2Εύκολοla-2.4-e2
Υπολόγισε: ³ $27$ .
Λύση βήμα-βήμα
$327 = 3$ (γιατί $3^{3}$ = 27).
3Μεσαίοla-2.4-m3
Αν $α = 3 - 1$ και $β = 3 + 1$ , να δείξεις ότι $α^{2} + α β + β^{2} = 10$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $α^{2} = 4 - 23$ .
2. 2
  $β^{2} = 4 + 23$ .
3. 3
  $α β = 3 - 1 = 2$ .
4. 4
  Άθροισμα: $(4 - 23) + 2 + (4 + 23) = 10$ .
4Μεσαίοla-2.4-m2
Δείξε ότι $(2 - 5)^{2} = 9 - 45$ .
Λύση βήμα-βήμα
$(2 - 5)^{2} = 4 - 45 + 5 = 9 - 45$ .
5Εύκολοla-2.4-e1
Αν $A = 2 + 3$ και $B = 2 - 3$ , να βρεις $A$ · $B$ .
Λύση βήμα-βήμα
$A \cdot B = 2^{2} - (3)^{2} = 4 - 3 = 1$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοla-2.4-m1
Δίνεται $A = 2 + 3, B = 2 - 3$ . Υπολόγισε $Π = A^{2} + B^{2}$ .
2Μεσαίοla-2.4-m2
Δείξε ότι $(2 - 5)^{2} = 9 - 45$ .
3Μεσαίοla-2.4-m3
Αν $α = 3 - 1$ και $β = 3 + 1$ , να δείξεις ότι $α^{2} + α β + β^{2} = 10$ .
4Δύσκολοla-2.4-h1
Δείξε ότι $9 - 45 = 5 - 2$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν εμφανίζεται

α^{2}

ή το υπόρριζο είναι τέλειο τετράγωνο.

Βήματα

1Ισχύει πάντα $α^{2} = ∣ α ∣$ (μη αρνητικό), ΟΧΙ $α$ .
2Αν ξέρεις το πρόσημο του $α$ , βγάλε την απόλυτη: $α \geq 0 \Rightarrow ∣ α ∣ = α$ · $α < 0 \Rightarrow ∣ α ∣ = - α$ .
3Γενικά $(f (x))^{2} = ∣ f (x) ∣$ .

Παράδειγμα

(- 5)^{2} = ∣ - 5∣ = 5

, ενώ

(x - 3)^{2} = ∣ x - 3∣

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Πόσο είναι το $(- 7)^{2}$ ;
2
Πόσο είναι το $8 \cdot 2$ ;
3
Να απλοποιήσετε το $48$ .
4
Πόσο είναι το $4^{\frac{3}{2}}$ ;
5
Πόσο είναι το $416$ ;
6
Να ρητικοποιήσετε το $\frac{6}{2}$ .
7
Να ρητικοποιήσετε το $\frac{1}{3 - 1}$ .
8
Πόσο είναι το $532$ ;
9
Πόσο είναι το $364$ ;
10
Πόσο είναι το $9 \cdot 16$ ;

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες4 ασκήσεις

Να υπολογίσετε την παράσταση

50 - 18 + 8

Να ρητικοποιήσετε την παράσταση

\frac{10}{5 - 1}

Να υπολογίσετε το

(- 3)^{2} + 2^{2}

Να λύσετε την εξίσωση

x = 4

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Να αποδείξετε ότι

α \cdot β = α β

για

α, β \geq 0

Να υπολογίσετε το γινόμενο

(7 - 3) (7 + 3)

Να υπολογίσετε το

8^{\frac{2}{3}} + 2 7^{\frac{1}{3}} - 1 6^{\frac{1}{4}}

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η παράσταση

A = 12 + 27 - 3

α) Να απλοποιήσετε την

A

β) Αν

B = 75

, να συγκρίνετε τα

A

και

B

γ) Να υπολογίσετε το γινόμενο

A \cdot B

δ) Να ρητικοποιήσετε την παράσταση

\frac{1}{A}

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §2.4 Ρίζες

Ύλη: §2.4Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος:

α^{2} = α

για κάθε πραγματικό

α

β) Για ποιες τιμές του

α

ορίζεται η

α

;

ΘΕΜΑ Β

α) Να απλοποιήσετε το

50

β) Να ρητικοποιήσετε το

\frac{6}{3}

ΘΕΜΑ Γ

Να υπολογίσετε το

8^{\frac{2}{3}} + 16

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

➕ Quiz · Πραγματικοί Αριθμοί

← Προηγούμενο

2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού

Επόμενο →

3.1 Εξισώσεις 1ου Βαθμού