Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14329Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις A=−βα και B=α2.
α)Να βρείτε για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών α, β οι αλγεβρικές παραστάσεις Α, Β είναι πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί του 0.
ΛύσηΓια να ορίζεται η Α πρέπει β=0. A=0⟺−βα=0⟺α=0 και B=0⟺α2=0⟺α=0. Άρα πρέπει α=0 και β=0.
β)Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί Α, Β είναι αντίθετοι, αν και μόνο, αν οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι.
ΛύσηΕυθύ: αν α, β αντίστροφοι, τότε αβ=1⟺β=α1, οπότε A=−α1α=−α2 και A+B=−α2+α2=0, δηλαδή Α, Β αντίθετοι. Αντίστροφο: αν Α, Β αντίθετοι, τότε A+B=0⟺−βα+α2=0⟺−α+α2β=0⟺α(αβ−1)=0. Επειδή α=0, είναι αβ=1, δηλαδή οι α, β αντίστροφοι.
2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12673Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει 0<α<β.
α)Να αποδείξετε ότι β3<α3.
ΛύσηΑπό 0<α<β έχουμε α1>β1 (οι θετικοί αντιστρέφουν τη φορά όταν αντιστραφούν), οπότε α3>β3, δηλαδή β3<α3.
β)Να αποδείξετε ότι α3+β3<β3+α3.
ΛύσηΑπό α<β με θετικά μέλη: α3<β3(1). Από το α) ερώτημα: β3<α3(2). Με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2): α3+β3<β3+α3.
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14713Δίνεται η παράσταση A=α2+2αα3+2α2+9α+18,α>0. Να αποδείξετε ότι:
α)α3+2α2+9α+18=(α2+9)(α+2)
Λύσηα3+2α2+9α+18=α2(α+2)+9(α+2)=(α2+9)(α+2).
β)Για κάθε α>0 ισχύει: i. A=αα2+9 ii. A≥6. Πότε ισχύει η ισότητα A=6;
Λύσηi. A=α(α+2)(α2+9)(α+2)=αα2+9, αφού για α>0 είναι α+2=0. ii. A≥6⟺αα2+9≥6⟺α2+9≥6α (πολλαπλασιασμός με α > 0) ⇔ α2 − 6α + 9 ≥ 0 ⇔ (α − 3)² ≥ 0, το οποίο ισχύει. Η ισότητα A=6 ισχύει όταν (α−3)2=0, δηλαδή για α=3.
2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12909Δίνεται ο πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει ∣x−3∣<5.
α)Να δείξετε ότι x∈(−2,8).
Λύση∣x−3∣<5⇔−5<x−3<5⇔−2<x<8, δηλαδή x∈(−2,8).
β)Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του x για τις οποίες ισχύει ∣x−3∣<5.
ΛύσηΟι ακέραιοι του διαστήματος (−2, 8) είναι τα στοιχεία του συνόλου A={−1,0,1,2,3,4,5,6,7}.
γ)Αν Α το σύνολο που έχει στοιχεία τις ακέραιες τιμές του x που βρήκατε στο β) ερώτημα και Β το σύνολο με B={−3,−2,−1,0,3,4}, να παραστήσετε τα σύνολα Α ∪ Β και Α ∩ Β με αναγραφή των στοιχείων τους.
ΛύσηΑ ∪ B={−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7} και Α ∩ B={−1,0,3,4}.
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36672Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς −2, 7 και x αντίστοιχα, με −2<x<7.
α)Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων: i) ∣x+2∣ ii) ∣x−7∣.
Λύσηi) ∣x+2∣=∣x−(−2)∣=d(x,−2): παριστάνει την απόσταση του πραγματικού αριθμού x από το −2. ii) ∣x−7∣=d(x,7): παριστάνει την απόσταση του x από το 7.
β)Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος: ∣x+2∣+∣x−7∣.
ΛύσηΠαριστάνει το άθροισμα των αποστάσεων του x από το −2 και από το 7 — δηλαδή (MA)+(MB). Επειδή −2<x<7, το Μ είναι ανάμεσα στα Α και Β, οπότε το άθροισμα ισούται με το μήκος του τμήματος ΑΒ.
γ)Να βρείτε την τιμή της παράστασης A=∣x+2∣+∣x−7∣ γεωμετρικά.
ΛύσηA=(MA)+(MB)=(AB)=∣7−(−2)∣=9.
δ)Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα.
ΛύσηΕίναι −2<x<7, επομένως x+2>0⟺∣x+2∣=x+2 και x−7<0⟺∣x−7∣=−x+7. Άρα A=(x+2)+(−x+7)=9.
2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12943Δίνονται οι αριθμοί α=(21)(3+5) και β=(21)(3−5).
α)Να υπολογίσετε το άθροισμα α + β και το γινόμενο αβ.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14805Έστω α ένας πραγματικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει α=∣32−4∣+2∣2−2∣.
α)Να αποδείξετε ότι α=2. (Θεωρήστε ότι 2≈1,41)
ΛύσηΕίναι 32≈4,23>4, άρα 32−4>0 και ∣32−4∣=32−4. (Χωρίς προσέγγιση: 32>4⟺18>16.) Επίσης 2<2, άρα ∣2−2∣=2−2. Άρα α=32−4+2(2−2)=32−4+4−22=2.
β)Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) να αποδείξετε ότι α3=2α.
Λύσηα3=(2)3=(2)2⋅2=22=2α, αφού α=2.
γ)Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης A=α3+(α−1)2.
ΛύσηA=α3+(α−1)2=2α+α2−2α+1=α2+1=(2)2+1=2+1=3.
✏️ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Αυτούσια θέματα εξετάσεων, χωρίς λύσεις — όπως θα τα δεις στο διαγώνισμα.
2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους
1.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13088Έστω x, y πραγματικοί αριθμοί. Ορίζουμε A=2(x+y)2−(x−y)2−6xy−y2.
α)Να αποδείξετε ότι A=x2.
β)Να αποδείξετε ότι ο αριθμός B=2⋅20222−20202−6⋅2021−1 είναι ίσος με το τετράγωνο φυσικού αριθμού, τον οποίο να προσδιορίσετε.
2.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13053Έστω α, β, γ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν α+β+γ=0 και αβγ=0.
α)Να αποδείξετε ότι: i. β+γ=−α ii. β+γα2=−α
β)Με παρόμοιο τρόπο να απλοποιήσετε τα κλάσματα γ+αβ2,α+βγ2 και να αποδείξετε ότι β+γα2+γ+αβ2+α+βγ2=0.
3.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13472Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, για τους οποίους ισχύουν α2=2α+β και β2=2β+α.
α)Να αποδείξετε ότι: i. α2−β2=α−β ii. α+β=1
β)Να βρείτε την τιμή της παράστασης A=α2+β2.
4.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14458Έστω x, y πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει (x+4y)(x+y)=9xy.
α)Να αποδείξετε ότι: i. (2y−x)2=0 ii. y=2x
β)Να αποδείξετε ότι (2y−2x)2+(2y+2x)2=10y2.
5.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14473Έστω x, y πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει x−4y4x+5y=−2.
α)Να αποδείξετε ότι y=2x.
β)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A=xy2x2+3y2+xy.
6.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14489Αν οι αριθμοί 2α−1 και β−1 είναι αντίστροφοι, με α=1 και β=1, να δείξετε ότι:
α)2α+β=2αβ
β)Οι αριθμοί x=α−β και y=α(1−2β)+2β είναι αντίθετοι.
7.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14555Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει η σχέση (x−2y)2−2(3−2xy)=5y2−1, τότε:
α)Να αποδείξετε ότι x2−y2=5.
β)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης P=(x+y)3(x−y)3.
8.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35388Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ με β=0 και δ=γ ώστε να ισχύουν βα+β=4 και δ−γγ=41.
α)Να αποδείξετε ότι α=3β και δ=5γ.
β)Να βρείτε την τιμή της παράστασης Π=βδ−βγαγ+βγ.
9.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #15052Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά ίση με 6 και οι ευθείες ΕΖ και ΗΘ είναι παράλληλες στις πλευρές του. Αν KZ=x και KH=y,x,y ∈ (0, 6), τότε:
α)Να υπολογίσετε τα E1, E2, E3, E4 με τη βοήθεια των x, y.
β)Να βρείτε τα εμβαδά E1, E2, E3, E4 των τεσσάρων ορθογωνίων του σχήματος όταν x=4 και y=2.
γ)Αν επιπλέον ισχύει E1+E3=E2+E4, να αποδείξετε ότι: i. xy+9=3(x+y) ii. Τουλάχιστον ένα από τα τμήματα ΕΖ και ΗΘ διέρχεται από το κέντρο Ο του τετραγώνου.
10.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38823Οι αριθμοί παίζουν καθοριστικό ρόλο στη διαχείριση δεδομένων, στις μετρήσεις, στις εμπορικές συναλλαγές και σε πολλές άλλες δραστηριότητες. Για παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αρίθμηση βημάτων σε μια διαδικασία ή για την κατάταξη διαγωνιζομένων σε έναν διαγωνισμό· οι ακέραιοι στη μέτρηση πλεονάσματος ή ελλείμματος προϊόντων στο εμπόριο· οι ρητοί στις ακριβείς μετρήσεις μεγεθών και στον λόγο διαστάσεων των οθονών των τηλεοράσεων· τέλος, οι άρρητοι στην κρυπτογραφία και την προστασία ευαίσθητων δεδομένων. Για τον λόγο αυτόν χρειάζεται να μπορούμε να ταξινομούμε τους αριθμούς ανάλογα με το είδος τους.
α)Δίνονται οι αριθμοί: 2,3−2,−2,16,π,3,14,0,33…, 1,1010010001…, 32,71. Να βασιστείτε στην παραπάνω περιγραφή, για να υποδείξετε ποιοι από τους αριθμούς (ή ίσοι με αυτούς): i. είναι φυσικοί και θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για την αρίθμηση βημάτων. ii. είναι ακέραιοι και θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στη μέτρηση πλεονάσματος ή ελλείμματος προϊόντων. iii. είναι ρητοί και θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να εκφράσουν τον λόγο διαστάσεων της οθόνης μιας τηλεόρασης. iv. είναι άρρητοι και θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στην κρυπτογραφία.
β)Ο Γιάννης ενδιαφέρεται για την αγορά μιας νέας τηλεόρασης 46 ιντσών, σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου, από μια συγκεκριμένη εταιρεία. Κάνοντας μια έρευνα στο διαδίκτυο, διαπιστώνει ότι ένα σημαντικό κριτήριο για την αγορά τηλεόρασης είναι ο λόγος των διαστάσεών της (πλάτος προς ύψος). Όσο μεγαλύτερο είναι το ποσοστό του πλάτους σε σχέση με το ύψος της τηλεόρασης, τόσο καλύτερη είναι η εμπειρία προβολής. Η εταιρεία διαθέτει τηλεοράσεις 46 ιντσών με λόγο διαστάσεων 16:9 και με λόγο διαστάσεων 4:3. Ποια τηλεόραση πρέπει να διαλέξει ο Γιάννης σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
γ)Η Μαρία ισχυρίζεται ότι μπορεί πάντοτε να χρησιμοποιήσει το άθροισμα δύο άρρητων στην κρυπτογραφία, γιατί το άθροισμα δύο άρρητων αριθμών είναι πάντα άρρητος αριθμός. i. Να γράψετε δύο άρρητους που το άθροισμά τους να μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην κρυπτογραφία και να εξηγήσετε γιατί επιβεβαιώνουν τον ισχυρισμό της Μαρίας. ii. Να γράψετε δύο άρρητους αριθμούς που να αντικρούουν τον ισχυρισμό της Μαρίας και να εξηγήσετε γιατί τον αντικρούουν. iii. Να εξηγήσετε αν ο ισχυρισμός της Μαρίας είναι σωστός ή λανθασμένος με βάση τους αριθμούς που βρήκατε παραπάνω.
11.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38925Ο Βαγγέλης σκέφτηκε να επενδύσει συνολικά 20.000 ευρώ από την 1η Ιανουαρίου και για 4 μήνες ως εξής: Πρώτη επένδυση: Για το μισό ποσό παρακολουθούσε ο ίδιος την επένδυση και κάθε μήνα επανασχεδίαζε το πλάνο του, επενδύοντας ξανά όλο το ποσό που προέκυπτε στο τέλος του προηγούμενου. Έτσι για τον πρώτο μήνα επένδυσε το ποσό με κέρδος 3%. Στη συνέχεια επένδυσε το ποσό που προέκυψε με κέρδος 8% για καθέναν από τους επόμενους δύο μήνες, ενώ τον τελευταίο μήνα διατήρησε το συνολικό ποσό στην ίδια επένδυση χάνοντας 5%. Δεύτερη επένδυση: Τα άλλα μισά χρήματα τα άφησε για 4 μήνες στην ίδια επένδυση, χωρίς να τα παρακολουθεί, με σταθερό και εξασφαλισμένο κέρδος 4% κάθε μήνα. Έχει αποφασίσει ότι στο τέλος του πρώτου τετραμήνου θα αποσύρει τα κέρδη του και θα επενδύσει όλο το αρχικό κεφάλαιο σε μία μόνο επένδυση για τον υπόλοιπο χρόνο (άλλους 8 μήνες). (Δίνονται: 1,03⋅1,082⋅0,95=1,141322,1,044=1,169859,1,048≈1,3686,1,068≈1,5938)
α)Να αποδείξετε ότι ο Βαγγέλης κέρδισε το πρώτο τετράμηνο: i. περίπου 1.413 ευρώ από την πρώτη επένδυση ii. περίπου 1.700 ευρώ από τη δεύτερη επένδυση
β)Τι κέρδος θα έχει ο Βαγγέλης αν αποφασίσει να ακολουθήσει τη δεύτερη επένδυση για τον υπόλοιπο χρόνο, επενδύοντας τα 20.000 ευρώ;
γ)Μια επενδυτική σύμβουλος, η Αθηνά, είπε στον Βαγγέλη ότι μπορεί να αναλάβει η ίδια να παρακολουθεί τα χρήματα στην πρώτη επένδυση και στο τέλος να πάρει ως αμοιβή το 10% των συνολικών κερδών του. Επίσης, εγγυήθηκε ότι το κέρδος του Βαγγέλη θα είναι από 4% έως 6%, κάθε μήνα. Να ετοιμάσετε για τον Βαγγέλη μια συγκριτική παρουσίαση των κερδών του σε ευρώ με την επένδυση της Αθηνάς και με την επένδυση του β ερωτήματος, ώστε να τον βοηθήσετε να αποφασίσει ποια θα ακολουθήσει για τον υπόλοιπο χρόνο.
2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
12.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #12922Δίνονται οι παραστάσεις A=α2+β2 και B=2αβ, όπου α, β∈R.
α)Να βρείτε τις τιμές των α, β∈R για τις οποίες A=0.
β)Να αποδείξετε ότι A−B≥0 για κάθε α, β∈R.
γ)Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των α, β∈R ώστε να ισχύει A−B=0.
13.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13266Δίνονται οι παραστάσεις A=α2+4α+5 και B=(2β+1)2−1, με α, β∈R.
α)Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β∈R ισχύει A=(α+2)2+1.
β)i. Να δείξετε ότι A+B≥0. ii. Για ποιες τιμές των α, β∈R ισχύει A+B=0;
14.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13323
α)Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει: (x−1)2+(y+4)2=x2+y2−2x+8y+17.
β)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y ώστε: x2+y2−2x+8y+17=0.
15.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14410Δίνονται οι παραστάσεις Α και Β με A=α2+α+41 και B=(β−3)2.
α)i. Να δείξετε ότι A+B≥0 για κάθε α, β∈R. ii. Να προσδιορίσετε τους αριθμούς α, β έτσι, ώστε A+B=0.
β)Υπάρχουν τιμές των α, β∈R, ώστε A=−B; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
16.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14475Αν α και β πραγματικοί αριθμοί με 2≤α≤4 και −4≤β≤−3, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις:
α)α+2β
β)α − β
17.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14492Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος x εκατοστά και πλάτος y εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα μήκη x και y ισχύει: 4≤x≤7 και 2≤y≤3, τότε:
α)Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.
β)Αν το x μειωθεί κατά 1 και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου.
18.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14704Αν 2≤x≤3 και 1≤y≤2, να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή καθεμιάς από τις παρακάτω παραστάσεις:
α)x + y
β)2x−3y
γ)yx
19.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35040Δίνονται οι παραστάσεις: K=2α2+β2+9 και Λ=2α(3−β), όπου α, β∈R.
α)Να δείξετε ότι: K−Λ=(α2+2αβ+β2)+(α2−6α+9).
β)Να δείξετε ότι: K≥Λ, για κάθε τιμή των α, β∈R.
γ)Για ποιες τιμές των α, β∈R ισχύει η ισότητα K=Λ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
20.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35549Από το ορθογώνιο ΑΒΖΗ αφαιρέθηκε το τετράγωνο ΓΔΕΗ πλευράς y.
α)Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του γραμμοσκιασμένου σχήματος ΕΖΒΑΓΔ που απέμεινε δίνεται από τη σχέση: Π=2x+4y.
β)Αν ισχύει 5<x<8 και 1<y<2, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η τιμή της περιμέτρου του παραπάνω γραμμοσκιασμένου σχήματος.
21.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36884
α)Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει: (x−1)2+(y+3)2=x2+y2−2x+6y+10.
β)Να βρείτε τους αριθμούς x, y ώστε: x2+y2−2x+6y+10=0.
22.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36899Δίνονται πραγματικοί αριθμοί α, β, με α>0 και β>0. Να αποδείξετε ότι:
α)α+α4≥4
β)(α+α4)⋅(β+β4)≥16
23.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37179Δίνονται οι παραστάσεις: K=2α2+β2 και Λ=2αβ, όπου α, β∈R.
α)Να δείξετε ότι: K≥Λ, για κάθε τιμή των α, β∈R.
β)Για ποιες τιμές των α, β∈R ισχύει η ισότητα K=Λ;
24.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37817Δίνεται η παράσταση A=x4+x2−2x4−4,x=±2.
α)Να δείξετε ότι A=x4+x2+2.
β)i. Να αιτιολογήσετε γιατί A>0 για κάθε x=±2. ii. Για ποια τιμή του x η παράσταση Α παίρνει τη μικρότερη τιμή της;
25.
Τράπεζα Θεμάτων · 3ο Θέμα · #14602Αν 0<α<1, τότε:
α)Να αποδείξετε ότι: α3<α.
β)Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 0,α3,1,α,α1.
26.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14820
α)Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω ανισότητες ισχύουν για κάθε x∈R και να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύουν οι ισότητες: i. x2+x+1≥43 ii. x2−x+1≥43
β)Να δείξετε ότι: (x2+x+1)(x2−x+1)>169 για κάθε x∈R.
γ)Δίνεται η παράσταση A=x2−1(x3−1)(x3+1). i. Να βρείτε για ποιες τιμές του x∈R ορίζεται η παράσταση Α. ii. Με τη βοήθεια του β) ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο θέλετε, να εξετάσετε αν η παράσταση Α μπορεί να πάρει την τιμή 169.
27.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38807Η καρδιά στον άνθρωπο χτυπά περισσότερο από 100.000 φορές την ημέρα. Κάθε φορά που χτυπά, διώχνει μια ποσότητα αίματος στις αρτηρίες, η οποία αυξάνει την πίεση. Η συστολική πίεση είναι η πίεση που ασκεί το αίμα στο τοίχωμα των αρτηριών, καθώς φεύγει από την καρδιά, ενώ η διαστολική πίεση είναι η πίεση που ασκεί το αίμα στα τοιχώματα των αρτηριών, όταν η καρδιά ηρεμεί. Οι φυσιολογικές τιμές της αρτηριακής πίεσης για τους ενήλικες είναι για τη διαστολική (p) μεταξύ 60 έως και 80 mmHg και για τη συστολική (P) μεταξύ 90 έως και 120 mmHg (χιλιοστά της στήλης του υδραργύρου). Η μέτρηση της αρτηριακής πίεσης γίνεται με δύο τρόπους: με άμεση μέτρηση, μια διαδικασία επεμβατική που γίνεται μόνο στο νοσοκομείο, και με έμμεση μέτρηση, που γίνεται με χρήση ενός κοινού πιεσόμετρου στο σπίτι ή στο φαρμακείο. Η άμεση μέτρηση δείχνει την πραγματική πίεση και έχει κάποια απόκλιση από τη μέτρηση με το πιεσόμετρο. Έχουμε ένα ηλεκτρονικό πιεσόμετρο, που ξέρουμε ότι δίνει τιμές μετρήσεων μικρότερες κατά 4 mmHg από τις πραγματικές.
α)Για κάθε ένα από τα δύο είδη πίεσης (συστολική και διαστολική), να βρείτε μια σχέση με την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε την άμεση τιμή της πίεσης, όταν γνωρίζουμε την έμμεση πίεση.
β)Οι μετρήσεις που μας δίνει το πιεσόμετρο είναι p′P′ mmHg. Θεωρούμε πως ένας ασθενής έχει υπόταση, αν η αρτηριακή του πίεση είναι κάτω από 6090mmHg, και υπέρταση, όταν η αρτηριακή του πίεση είναι πάνω από 90140mmHg σε επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Αν μετράμε την πίεση με πιεσόμετρο, ποιες τιμές ορίζουν αν έχουμε υπόταση ή υπέρταση;
γ)Το εύρος παλμών είναι η διαφορά μεταξύ της συστολικής (P) και της διαστολικής (p) αρτηριακής πίεσης. Ένα φυσιολογικό εύρος παλμών κυμαίνεται μεταξύ 40 και 60 mmHg. i. Ένα άτομο μετράει με το πιεσόμετρο και έχει αρτηριακή πίεση p′P′ mmHg. Να γράψετε μια ανίσωση που δείχνει ότι το εύρος παλμών του είναι μεταξύ 40 και 60 mmHg. ii. Αν γνωρίζουμε ότι η διαστολική πίεση p′ ενός ατόμου είναι 80 mmHg, ποιο εύρος τιμών μπορεί να έχει η συστολική του πίεση P′, ώστε το εύρος παλμών του να παραμένει φυσιολογικό;
2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
28.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #13177Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, για τους οποίους ισχύει 2≤α≤3 και −2≤β≤−1.
α)Να δείξετε ότι: ∣α−3∣=3−α και ∣β+2∣=β+2.
β)Να δείξετε ότι: 0≤α+β≤2.
γ)Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης ∣α+β∣+∣α−3∣−∣β+2∣ είναι ίση με 1.
29.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14071
α)Η αλγεβρική παράσταση Κ, που εκφράζει το άθροισμα των αποστάσεων του αριθμού x από τους αριθμούς 2 και −1, πάνω στον άξονα, είναι: Α. K=∣x+1∣+∣x−2∣B. K=∣x−1∣+∣x+2∣Γ. K=(∣x∣+1)+(∣x∣−2). Να γράψετε στο τετράδιό σας τη σωστή παράσταση και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Αν είναι K=∣x+1∣+∣x−2∣ τότε: i) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Κ όταν x=23. ii) Αν x>2, να γράψετε χωρίς απόλυτο την παράσταση Κ και να αποδείξετε ότι K>3.
30.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14412Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α>β, με β>1 και α>1, τότε:
α)Να δείξετε ότι ∣α−β∣α−β−1−α∣1−α∣=2.
β)Να δείξετε ότι α+β>∣α−β∣α−β−1−α∣1−α∣.
31.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14491/14306
α)Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει: ∣y−3∣<1.
β)Αν x, y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με 1<x<3 και 2<y<4, τότε να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή του εμβαδού Ε του ορθογωνίου.
32.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14572Δίνεται πραγματικός αριθμός x, για τον οποίο ισχύει ∣x+2∣<1. Να δείξετε ότι:
α)−3<x<−1
β)∣2x+4∣<2
33.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14599Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει ∣2x∣<2, τότε:
α)Να αποδείξετε ότι −1<x<1.
β)Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈(−1,1) ισχύει x2<1.
34.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14617Δίνεται η ανίσωση ∣x−7∣<1(I).
α)Να αποδείξετε ότι 6<x<8.
β)Αν γνωρίζουμε ότι 6<k<8, να αποδείξετε ότι 3<k24<4.
35.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15054Έστω α, β, γ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει α<0<β<γ.
α)Να αιτιολογήσετε γιατί ο αριθμός A=α(α−β)(γ−β)β είναι θετικός.
β)Να αποδείξετε ότι α+∣α−β∣+∣γ−β∣−γ=0.
36.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35041Για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει: d(2x,3)=3−2x.
α)Να αποδείξετε ότι x≤23.
β)Αν x≤23, να αποδείξετε ότι η παράσταση K=∣2x−3∣−2∣3−x∣ είναι ανεξάρτητη του x.
37.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35043Δίνεται πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει: ∣x−2∣<3.
α)Να αποδείξετε ότι: −1<x<5.
β)Να απλοποιήσετε την παράσταση: K=3∣x+1∣+∣x−5∣.
38.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35044Δίνονται πραγματικοί αριθμοί y, για τους οποίους ισχύει ∣y−2∣<1.
α)Να αποδείξετε ότι: y∈(1,3).
β)Να απλοποιήσετε την παράσταση: K=2∣y−1∣+∣y−3∣.
39.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35112Δίνεται η παράσταση A=∣3x−6∣+2, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός.
α)Να αποδείξετε ότι: i) για κάθε x≥2 είναι A=3x−4 ii) για κάθε x<2 είναι A=8−3x.
β)Αν για τον x ισχύει ότι x≥2, να αποδείξετε ότι: ∣3x−6∣+29x2−16=3x+4.
40.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35404
α)Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει: ∣y−3∣<1.
β)Αν για τους x, y ισχύουν 1<x<3 και 2<y<4, τότε να αποδείξετε ότι 3<x+y<7.
41.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35412Για κάθε πραγματικό αριθμό x με την ιδιότητα 5<x<10:
α)Να γράψετε τις παραστάσεις ∣x−5∣ και ∣x−10∣ χωρίς απόλυτες τιμές.
β)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A=x−5∣x−5∣+x−10∣x−10∣.
42.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #35415Δίνεται η παράσταση A=∣x−1∣−∣x−2∣.
α)Για 1<x<2, να δείξετε ότι A=2x−3.
β)Για x<1, να δείξετε ότι η παράσταση Α έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του x), την οποία και να προσδιορίσετε.
43.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36777Δίνονται δύο τμήματα με μήκη x και y, για τα οποία ισχύουν: ∣x−3∣≤2 και ∣y−6∣≤4.
α)Να δείξετε ότι: 1≤x≤5 και 2≤y≤10.
β)Να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις 2x και y.
44.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36894
α)Αν α<0, να αποδειχθεί ότι: α+α1≤−2.
β)Αν α<0, να αποδειχθεί ότι: ∣α∣+∣α1∣≥2.
45.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36898
α)Αν α, β∈R − {0}, να αποδειχθεί ότι: ∣βα∣+∣αβ∣≥2(1).
β)Πότε ισχύει η ισότητα στην (1); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
46.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37200Αν ο πραγματικός αριθμός x ικανοποιεί τη σχέση: ∣x+1∣<2, τότε:
α)Να δείξετε ότι x∈(−3,1).
β)Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης: K=4∣x+3∣+∣x−1∣ είναι αριθμός ανεξάρτητος του x.
47.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37201Δίνεται η παράσταση A=∣x−1∣+∣y−3∣, με x, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: 1<x<4 και 2<y<3. Να αποδείξετε ότι:
α)A=x−y+2
β)0<A<4
48.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #13179Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β για τους οποίους ισχύει 1≤β≤2 και 2≤α≤4.
α)i. Με τη βοήθεια του άξονα των πραγματικών αριθμών να δείξετε ότι η απόσταση των α και β είναι μικρότερη ή ίση του 3. ii. Να αποδείξετε αλγεβρικά την απάντηση στο i. ερώτημα.
β)i. Να δείξετε ότι αβ≤1≤βα. ii. Να βρείτε τους αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει ∣1−αβ∣=∣βα−1∣.
49.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33888Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β για τους οποίους ισχύει η ανίσωση: (α−1)(1−β)>0.
α)Να αποδείξετε ότι το 1 είναι μεταξύ των α, β.
β)Αν επιπλέον ∣β−α∣=4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: K=∣α−1∣+∣1−β∣.
50.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #33896Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β∈R ισχύει ότι ∣α−2∣<1 και ∣β−3∣≤2.
α)Να αποδειχθεί ότι 1<α<3.
β)Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται ο β.
γ)Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση 2α−3β.
δ)Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση βα.
51.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36671Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός x που ικανοποιεί τη σχέση: d(x,5)≤9.
α)Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά.
β)Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του x.
γ)Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος (β).
δ)Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ) για να δείξετε ότι: ∣x+4∣+∣x−14∣=18.
52.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #36673Σε έναν άξονα τα σημεία Α, Β και Μ αντιστοιχούν στους αριθμούς 5, 9 και x αντίστοιχα.
α)Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων ∣x−5∣ και ∣x−9∣.
β)Αν ισχύει ∣x−5∣=∣x−9∣ τότε: i) Ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου Μ αναγνωρίζετε; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό x που παριστάνει το σημείο Μ. Να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας.
53.
Τράπεζα Θεμάτων · 1ο Θέμα · #14801
α)Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ): i. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει: αν α<β και γ<δ, τότε α⋅γ<β⋅δ. ii. Για κάθε θ∈(0,+∞) ισχύει: ∣x∣<θ⟺−θ<x<θ. iii. Η εξίσωση x3=5 έχει δύο πραγματικές ρίζες. iv. Αν ισχύουν α>0 και Δ<0, όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου αx2+βx+γ, τότε το τριώνυμο είναι αρνητικό για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x. v. Ο πίνακας τιμών x: 0, 1, 1, 2, 4 και y=f(x): 0,1,−1,2,0,5θα μπορούσε να είναι πίνακας τιμών μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, 4].
β)Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β, ισχύει η ανισότητα: ∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣.
54.
Τράπεζα Θεμάτων · 1ο Θέμα · #14811
α)Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ): i. Το σημείο Μ(x, y) με x>0 και y<0 βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. ii. Αν τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε ισχύει: β2=α⋅γ. iii. Ισχύει ∣α∣≥α, για κάθε α∈R. iv. Αν α>β και γ>δ, τότε: α−γ>β−δ για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, δ. v. Η εξίσωση αx=α έχει μοναδική λύση x=1 για κάθε α∈R.
β)Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β να αποδείξετε ότι: ∣α⋅β∣=∣α∣⋅∣β∣.
55.
Τράπεζα Θεμάτων · 1ο Θέμα · #14932
α)Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ): i. Η εξίσωση αx+β=0 είναι αδύνατη, όταν α=0 και β=0. ii. Αν α≤0 και ν άρτιος φυσικός, τότε nαn=α. iii. Αν α>0 και Δ<0, η ανίσωση αx2+βx+γ<0 αληθεύει για κάθε x∈R. iv. Αν η απόσταση του x από το 0 είναι ίση με 3, τότε x=3 ή x=−3. v. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φ έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τον άξονα y΄y.
β)Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β, να αποδείξετε ότι: ∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣.
2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
56.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14452Δίνονται οι αριθμοί α=3−1 και β=3+1.
α)Να δείξετε ότι α2+αβ+β2=10.
β)Να δείξετε ότι αβ+βα+1=5.
57.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14682Δίνονται οι αριθμοί: A=(3)6 και B=(33)6.
α)Να δείξετε ότι: A−B=18.
β)Να αποδείξετε ότι 33<3.
58.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14750Δίνονται οι ετερόσημοι αριθμοί α, β, με α=1+22 και β=2−2. Να δείξετε ότι:
α)α2+β2=15
β)α2+2β2=5
59.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14774
α)Να δείξετε ότι (2+5)2=9+45 και (1−5)2=6−25.
β)Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, να δείξετε ότι: 9+45+6−25=1+25.
60.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #14849
α)Να αποδείξετε ότι 2<5.
β)Να αποδείξετε ότι (2−5)2=9−45.
γ)Να αποδείξετε ότι 9−45=5−2.
61.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #15051
α)Να αποδείξετε ότι (2−5)2=9−45 και να υπολογίσετε το ανάπτυγμα (2+5)2.
β)Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών 9 − 45 και 9+45.
62.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34152Δίνονται οι παραστάσεις: A=(x−2)2 και B=3(2−x)3, όπου x πραγματικός αριθμός.
α)Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α;
β)Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Β;
γ)Να δείξετε ότι, για κάθε x≤2, ισχύει A=B.
63.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34155Αν είναι A=35,B=3 και Γ=65, τότε:
α)Να αποδείξετε ότι A⋅B⋅Γ=15.
β)Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α, Β.
64.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #34157Αν είναι A=2−3 και B=2+3, τότε:
α)Να αποδείξετε ότι A⋅B=1.
β)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Π=A2+B2.
65.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #36778Δίνεται η παράσταση: K=x+2x2+4x+4−x−3x2−6x+9.
α)Να βρεθούν οι τιμές που πρέπει να πάρει το x, ώστε η παράσταση Κ να έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
β)Αν −2<x<3, να αποδείξετε ότι η παράσταση Κ είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x.
66.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37172Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις: A=(2)6,B=(33)6 και Γ=(66)6.
α)Να δείξετε ότι: A+B+Γ=23.
β)Να συγκρίνετε τους αριθμούς: ³3 και ⁶6.
67.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37192Στον πίνακα της τάξης σας είναι γραμμένες οι παρακάτω πληροφορίες (προσεγγίσεις): 2≈1,41,3≈1,73,5≈2,24,7≈2,64.
α)Να επιλέξετε έναν τρόπο, ώστε να αξιοποιήσετε τα παραπάνω δεδομένα (όποια θεωρείτε κατάλληλα) και να υπολογίσετε με προσέγγιση εκατοστού τους αριθμούς 20, 40, 80.
β)Αν δεν υπήρχαν στον πίνακα οι προσεγγιστικές τιμές των ριζών, πώς θα μπορούσατε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 45−53⋅20+80;
68.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37193Δίνεται η παράσταση: A=(x−4+x+1)(x−4−x+1).
α)Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β)Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x.
69.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37195Δίνεται η παράσταση: A=x−4+6−x.
α)Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος.
β)Για x=5, να αποδείξετε ότι: A2+A−6=0.
70.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37196Δίνεται η παράσταση: A=x2+4−x−4.
α)Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος.
β)Για x=4, να αποδείξετε ότι: A2−A=2⋅(10−5).
71.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37197Δίνεται η παράσταση: A=1−x−4x4.
α)Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος.
β)Για x=−3, να αποδείξετε ότι: A3+A2+A+1=0.
72.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37198Δίνεται η παράσταση: B=5(x−2)5.
α)Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Β; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος.
β)Για x=4, να αποδείξετε ότι: B2+6B=B4.
73.
Τράπεζα Θεμάτων · 2ο Θέμα · #37199Δίνονται οι αριθμοί: A=(2)6 και B=(32)6.
α)Να δείξετε ότι: A−B=4.
β)Να δείξετε ότι: 1<32<2.
74.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #14931Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, με α=1+2 και β=1−2.
α)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A=α2−β2.
β)Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης B=α2−β2.
γ)Αν A=42 και B=2, να δείξετε ότι α2−β2>α2−β2.
75.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38812Ο σχεδιαστής μιας εταιρείας κατασκευής επίπλων έχει σχεδιάσει ένα τραπέζι, που η κυκλική γυάλινη επιφάνειά του έχει εμβαδόν 1,5 τετραγωνικό μέτρο. Δίνεται ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι πρ2, όπου ρ είναι η ακτίνα του κύκλου, και π≈3,14.
α)Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κυκλικού τζαμιού είναι ίση με ρ=2π3.
β)Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κυκλικού τζαμιού είναι μικρότερη από 0,75 μέτρα.
γ)Ένας τεχνίτης διαθέτει ένα τετράγωνο κομμάτι τζαμιού με εμβαδόν 2,5 τετραγωνικά μέτρα. Επαρκεί ώστε να φτιάξει την επιφάνεια του τραπεζιού;
76.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38850Μια μικρή βιοτεχνία φτιάχνει κρίκους για πετσέτες, ανοίγοντας σε ξύλινες σφαίρες κυλινδρικές τρύπες με διάφορες διαμέτρους και ύψος h=4cm. Αποτελείται κάποιος από τους κρίκους από περισσότερο ξύλο; Για να το ελέγξουμε: από κάθε ξύλινη σφαίρα έχουν αφαιρεθεί δύο σφαιρικά τμήματα πάνω και κάτω (δύο «καπέλα») και έχει ανοιχτεί μια κυλινδρική τρύπα. Ο μικρός κρίκος έχει προκύψει από ξύλινη σφαίρα ακτίνας R=2,5cm και ο μεγάλος από ξύλινη σφαίρα ακτίνας R΄ =4cm. Στο σχήμα φαίνεται η τομή: το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΚ έχει υποτείνουσα την ακτίνα της σφαίρας ΑΚ, τη μία κάθετη πλευρά ΑΒ ίση με την ακτίνα ρ της κυλινδρικής τρύπας και την άλλη ΒΚ ίση με το μισό ύψος του κυλίνδρου. (Δίνονται: όγκος κυλίνδρου V=πρ2h με ρ την ακτίνα και h το ύψος του, όγκος σφαίρας V=(34)πR3 με R την ακτίνα της.)
α)i. Να υπολογίσετε την ακτίνα της κυλινδρικής τρύπας σε κάθε ένα από τα δύο σχήματα. ii. Να υπολογίσετε τον όγκο της κυλινδρικής τρύπας σε κάθε περίπτωση και να τον γράψετε στη μορφή V=α⋅π, με α φυσικό αριθμό.
β)i. Αν ο όγκος της κυλινδρικής τρύπας στον μικρό κρίκο είναι V_Α =9πcm3 και στον μεγάλο V_Β =48πcm3, και αν ο όγκος των δύο σφαιρικών τμημάτων (τα δύο «καπέλα») είναι για τη μικρή σφαίρα 67π και για τη μεγάλη 380π, να βρείτε τον όγκο του ξύλου που έμεινε σε καθέναν από τους δύο κρίκους. ii. Οι τεχνίτες αναρωτήθηκαν: αν επιλέξουν οποιαδήποτε σφαίρα ακτίνας R1>2 για να φτιάξουν κρίκο με τον ίδιο τρόπο, θα μείνει ο ίδιος όγκος ξύλου; Ένας φίλος τούς είπε: «Ο όγκος του ξύλου που θα μείνει είναι V=(34)πR13−4π(R12−4)−(34)π(R1−2)2(R1+1) και είναι ίσος με τον όγκο που βρήκατε στο βi) ερώτημα». Να ελέγξετε αν ο ισχυρισμός είναι σωστός και να απαντήσετε στην αρχική ερώτηση.
77.
Τράπεζα Θεμάτων · 4ο Θέμα · #38814Ένας ξυλουργός κατασκευάζει κυκλικά καπάκια βαρελιών χρησιμοποιώντας σανίδες σχήματος ορθογωνίου. Με αυτές κατασκευάζει τετράγωνα, όπως στο σχήμα, και κόβει το καπάκι, όπως φαίνεται στις διακεκομμένες γραμμές. Ο ξυλουργός για την κατασκευή ενός τετραγώνου χρησιμοποίησε ακριβώς 4 σανίδες με διαστάσεις α και β. Δίνεται ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι πρ2, όπου ρ είναι η ακτίνα του κύκλου, και π≈3,14.
α)Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου δίνεται από την παράσταση 4αβ, σε κάθε περίπτωση.
β)Αν κάθε σανίδα έχει εμβαδόν 0,3 τετραγωνικά μέτρα, ο ξυλουργός μπορεί να κατασκευάσει καπάκι με διάμετρο 1,3 μέτρα;
γ)Για καλύτερη στήριξη ο ξυλουργός τοποθετεί ένα μεταλλικό Χ, το οποίο βιδώνεται στο κέντρο και σε τέσσερα σημεία της περιφέρειας του καπακιού (δύο κάθετες διάμετροι). Αν το εμβαδόν του καπακιού είναι 1,5 τετραγωνικό μέτρο, τότε επαρκεί μια μεταλλική ράβδος μήκους 3,1 μέτρων για την κατασκευή του μεταλλικού Χ;