Εισαγωγικό Κεφάλαιο›Ε.1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Εισαγωγικό Κεφάλαιο

§Ε.1 Το λεξιλόγιο της Λογικής

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

➡️Η Συνεπαγωγή (⇒)

•
Έστω δύο πραγματικοί αριθμοί α, β. Αν $α = β$ , τότε προφανώς $α^{2} = β^{2}$ . Λέμε ότι ο ισχυρισμός «α = β» συνεπάγεται τον ισχυρισμό « $α^{2}$ = $β^{2}$ » και γράφουμε $α = β \Rightarrow α^{2} = β^{2}$ . $α = β \Rightarrow α^{2} = β^{2}$
•
Ορισμός: Αν $P$ και $Q$ είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο $P$ να αληθεύει και ο $Q$ , τότε λέμε ότι ο $P$ συνεπάγεται τον $Q$ και γράφουμε $P$ ⇒ $Q$ . $P \Rightarrow Q$
•
Ο ισχυρισμός « $P$ ⇒ $Q$ » λέγεται συνεπαγωγή και διαβάζεται «αν $P$ , τότε $Q$ ». Ο $P$ λέγεται υπόθεση, ο $Q$ συμπέρασμα.
💡 Παράδειγμα:
$« Ένα τετρ \overset{α}{ˊ} πλευρο ε \overset{ι}{ˊ} ναι τετρ \overset{α}{ˊ} γωνο » \Rightarrow « \overset{ε}{ˊ} χει 4 \overset{ι}{ˊ} σες πλευρ \overset{ε}{ˊ} ς ».$
Υπόθεση: είναι τετράγωνο.Συμπέρασμα: έχει 4 ίσες πλευρές.

↔️Η Ισοδυναμία (⇔)

•
Σε ορισμένες συνεπαγωγές ισχύει και το αντίστροφο. Π.χ. $α = β \Rightarrow α + γ = β + γ$ ΚΑΙ $α + γ = β + γ \Rightarrow α = β$ . Τότε λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε $α = β ⟺ α + γ = β + γ$ .
$α = β$ $⟺ α + γ = β + γ$
•
Προσοχή: από $την α = β \Rightarrow α^{2} = β^{2} ΔΕΝ$ ισχύει το αντίστροφο. Π.χ. $(- 3)^{2} = 3^{2}$ αλλά $- 3 \neq = 3$ .
❓ Γιατί:Η ύψωση στο τετράγωνο «χάνει» το πρόσημο. Άρα από την ισότητα τετραγώνων δεν μπορούμε να συμπεράνουμε την ισότητα των αρχικών.
•
Ορισμός: Αν $P$ ⇒ $Q$ και $Q$ ⇒ $P$ , λέμε ότι ο $P$ είναι ισοδύναμος με τον $Q$ και γράφουμε $P$ ⇔ $Q$ . Διαβάζεται « $P$ αν και μόνο αν $Q$ ».
$P$ $⟺ Q$

🔀Σύνδεσμοι «ή» (διάζευξη) και «και» (σύζευξη)

•
Διάζευξη: ο ισχυρισμός « $P$ ή $Q$ » αληθεύει όταν αληθεύει ένας τουλάχιστον από τους δύο.
$α \cdot β = 0$ $⟺ α = 0 \overset{η}{ˊ} β = 0$
💡 Παράδειγμα:
$(x^{2} - x) (x^{2} - 1) = 0$ $⟺ x^{2} - x = 0 \overset{η}{ˊ} x^{2} - 1 = 0.$
•
Σύζευξη: ο ισχυρισμός « $P$ και $Q$ » αληθεύει μόνο όταν αληθεύουν ΚΑΙ οι δύο.
$α \cdot β \neq = 0$ $⟺ α \neq = 0 και β \neq = 0$
💡 Παράδειγμα:
$x (x - 1) = 0$ και $(x - 1) (x + 1) = 0$ αληθεύει μόνο για $x$ = 1 (που είναι λύση και των δύο εξισώσεων).
❓ Γιατί:Στις ασκήσεις θα δεις πολλές φορές «λύνω σύστημα» ⇔ ψάχνω τις τιμές που ικανοποιούν ΚΑΙ τις δύο εξισώσεις (σύζευξη), σε αντίθεση με το «ή» όπου αρκεί μία.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Αν

α = β

, τότε

α^{2} = β^{2}

2Σωστό / Λάθος

Αν

α^{2} = β^{2}

, τότε αναγκαστικά

α = β

3Πολλαπλής επιλογής

Στη συνεπαγωγή «

P

⇒

Q

», ο ισχυρισμός

P

λέγεται:

4Πολλαπλής επιλογής

Το σύμβολο ⇔ εκφράζει:

5Σωστό / Λάθος

Ο ισχυρισμός «

P

Q

» αληθεύει όταν αληθεύει τουλάχιστον ένας από τους δύο.

6Πολλαπλής επιλογής

Πότε ισχύει

α \cdot β = 0

;

7Πολλαπλής επιλογής

Πότε ισχύει

α \cdot β \neq = 0

;

8Πολλαπλής επιλογής

Η ισοδυναμία «

P

⇔

Q

» ισχύει όταν:

9Σωστό / Λάθος

Ισχύει η συνεπαγωγή «

x = 2 \Rightarrow x^{2} = 4

».

10Σωστό / Λάθος

Ισχύει η συνεπαγωγή «

x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2

».

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοla-Ε.1-gen1
Να λύσετε την εξίσωση $(x - 2) (x + 5) = 0$ χρησιμοποιώντας τη διάζευξη «ή» και να υπολογίσετε το άθροισμα των λύσεών της. Πόσο ισούται το άθροισμα αυτό;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Γινόμενο ίσο με μηδέν σημαίνει ότι ένας τουλάχιστον παράγοντας είναι μηδέν: $(x - 2) (x + 5) = 0$
2. 2
  $x - 2 = 0$ ή $x + 5 = 0$ . Από την πρώτη: $x = 2$ . Από τη δεύτερη: $x = - 5$ . Άθροισμα λύσεων: $2 + (- 5) = - 3$ .
2Μεσαίοla-Ε.1-gen3
Δίνονται οι εξισώσεις: $(A) x (x - 3) = 0 (B) (x - 3) (x + 2) = 0$ Να βρείτε τη μοναδική τιμή του $x$ που επαληθεύει ΚΑΙ τις δύο εξισώσεις (σύζευξη «και»). Πόσο ισούται το $x$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Λύνω χωριστά κάθε εξίσωση με τη διάζευξη «ή»: $(A) x (x - 3) = 0$
2. 2
  $x = 0$ ή $x - 3 = 0$
3. 3
  $x = 0$ ή $x = 3$ . $(B) (x - 3) (x + 2) = 0$
4. 4
  $x - 3 = 0$ ή $x + 2 = 0$
5. 5
  $x = 3$ ή $x = - 2$ . Η σύζευξη «και» ζητάει τις ΚΟΙΝΕΣ τιμές των δύο συνόλων λύσεων: {0, 3} και {3, −2} έχουν κοινό μόνο το 3. Άρα $x = 3$ .
3Εύκολοla-Ε.1-gen2
Δίνονται οι παρακάτω τέσσερις συνεπαγωγές: $(1) x = 3 \Rightarrow x^{2} = 9 (2) x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3 (3) α = β \Rightarrow α^{3} = β^{3} (4) x > 5 \Rightarrow x > 2$ Πόσες από αυτές ισχύουν για κάθε πραγματικό αριθμό;
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  (1) Αν $x = 3$ , τότε $x^{2} = 3^{2} = 9$ .
2. 2
  Ισχύει.
3. 3
  (2) Δεν ισχύει: για $x = - 3$ έχουμε $x^{2} = 9$ , όμως $- 3 \neq = 3$ (αντιπαράδειγμα).
4. 4
  (3) Αν $α = β$ , υψώνοντας στον κύβο παίρνουμε $α^{3} = β^{3}$ .
5. 5
  Ισχύει.
6. 6
  (4) Αν $x > 5$ , τότε κατά μείζονα λόγο $x > 2$ .
7. 7
  Ισχύει.
8. 8
  Ισχύουν οι (1), (3), (4).
9. 9
  Πλήθος συνεπαγωγών που ισχύουν $= 3$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοla-Ε.1-gen3
Δίνονται οι εξισώσεις: $(A) x (x - 3) = 0 (B) (x - 3) (x + 2) = 0$ Να βρείτε τη μοναδική τιμή του $x$ που επαληθεύει ΚΑΙ τις δύο εξισώσεις (σύζευξη «και»). Πόσο ισούται το $x$ ;
2Δύσκολοla-Ε.1-gen4
Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει $(α - 3)^{2} + (2 β - 4)^{2} = 0$ . Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $K = α^{2} - β^{2}$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται αν ισχύει

P

⇔

Q

Βήματα

1Έλεγξε τη συνεπαγωγή $P$ ⇒ $Q$ .
2Έλεγξε και την αντίστροφη $Q$ ⇒ $P$ .
3Αν ισχύουν και οι δύο, είναι ισοδυναμία· αν μία αποτυγχάνει (αντιπαράδειγμα), όχι.

Παράδειγμα

«α

= β ⟺ α + γ = β +

γ»: ισχύουν και οι δύο κατευθύνσεις — είναι ισοδυναμία.

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 8 ασκήσεις προς λύση

1
Ισχύει το αντίστροφο της συνεπαγωγής «α $= β \Rightarrow α + 1 = β + 1$ »;
2
Βρείτε αντιπαράδειγμα για τον ισχυρισμό « $x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3$ ».
3
Να λύσετε με διάζευξη την εξίσωση $(x - 2) (x + 5) = 0$ .
4
Συμπληρώστε: $α \cdot β \neq = 0 ⟺$ ...
5
Είναι ισοδύναμοι οι ισχυρισμοί « $x = 0$ » και « $x^{2} = 0$ »;
6
Γράψτε με σύμβολα: «αν ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 4, τότε είναι άρτιος».
7
Ισχύει « $x > 2 \Rightarrow x > 0$ »; Ισχύει το αντίστροφο;
8
Να λύσετε την εξίσωση $x (x - 1) (x + 3) = 0$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες4 ασκήσεις

Να εξετάσετε αν ισχύει η ισοδυναμία «

x^{2} = x ⟺ x = 1

».

Να λύσετε με διάζευξη την εξίσωση

(x^{2} - 4) (x - 1) = 0

Ισχύει η συνεπαγωγή «α

= β \Rightarrow α^{3} =

β^{3}

»; Ισχύει το αντίστροφο;

Να απορρίψετε με αντιπαράδειγμα τον ισχυρισμό «για κάθε πραγματικό

x

ισχύει

x^{2} > x

».

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Να αποδείξετε ότι για α,

β \in R

ισχύει «

α^{2}

+ β^{2} = 0 ⟺ α = 0

και

β = 0

».

Να λύσετε την εξίσωση

∣ x ∣ \cdot (x - 3) = 0

Να εξετάσετε αν ισχύει η ισοδυναμία «

x = y ⟺ x^{2} = y^{2}

» όταν

x

y

είναι θετικοί πραγματικοί.

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η εξίσωση

(x - 1) (x^{2} - 4) = 0

α) Με ποια λογική ιδιότητα («ή» ή «και») τη λύνουμε;

β) Να λύσετε την εξίσωση.

γ) Ισχύει η συνεπαγωγή «

(x - 1) (x^{2} - 4) = 0 \Rightarrow x = 1

»;

δ) Ισχύει η συνεπαγωγή «

x = 2 \Rightarrow (x - 1) (x^{2} - 4) = 0

»;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §Ε.1 Το λεξιλόγιο της Λογικής

Ύλη: §Ε.1Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Στη συνεπαγωγή

P

⇒

Q

, πώς λέγεται ο

P

;

β) Σωστό ή Λάθος: «

α^{2}

= β^{2} \Rightarrow α =

β».

ΘΕΜΑ Β

α) Να λύσετε την εξίσωση

(x - 3) (x + 2) = 0

β) Πότε ισχύει

α \cdot β \neq = 0

;

ΘΕΜΑ Γ

Να εξετάσετε αν ισχύει η ισοδυναμία «

x^{2} = 1 ⟺ x = 1

».

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔣 Quiz · Λογική & Σύνολα

Επόμενο →

Ε.2 Σύνολα