Κεφ. 5 - Πιθανότητες›5.3 Έννοια της πιθανότητας

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 5 - Πιθανότητες

§5.3 Έννοια της πιθανότητας

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🎰Κλασικός ορισμός

•
Όταν τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα, η πιθανότητα ενδεχομένου $A$ είναι: $P (A) = \frac{πλ η ˊ θος ευνο ι ¨ κ ω ˊ ν}{πλ η ˊ θος δυνατ ω ˊ ν} = N \frac{A}{N} (Ω)$
•
Παράδειγμα: Ρίψη ζαριού — πιθανότητα να φέρω άρτιο.
💡 Παράδειγμα:
$Ω = {1..6}, A = {2, 4, 6} .$
$P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} .$

📏Ιδιότητες

•
Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου είναι αριθμός στο διάστημα [0, 1]. $0 \leq P (A) \leq 1$
•
$P (Ω) = 1$ (βέβαιο). $P (\emptyset)$ = 0 (αδύνατο).
•
Συμπληρωματικό ενδεχόμενο $A^{'}$ : «δεν συμβαίνει το $A$ ». Ισχύει $P (A^{'})$ $= 1 - P (A)$ .
💡 Παράδειγμα:
$Πιθαν \overset{ο}{ˊ} τητα ν α ΜΗΝ φ \overset{ε}{ˊ} ρω \overset{α}{ˊ} ρτιο = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .$
❓ Γιατί:Αφού «να συμβεί» και «να μην συμβεί» καλύπτουν όλο τον Ω και είναι ασυμβίβαστα, οι πιθανότητές τους αθροίζουν στο 1.
•
Αν $A$ , $B$ ασυμβίβαστα: $P (A \cup B)$ = $P (A)$ + $P (B)$ . Γενικά (μη ασυμβίβαστα): $P (A \cup B)$ = $P (A)$ + $P (B)$ − $P (A \cap B)$ .
💡 Παράδειγμα:
$Στη ρ \overset{ι}{ˊ} ψη ζαριο \overset{υ}{ˊ}, A = \overset{α}{ˊ} ρτιο, B => 3.$
$P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{2}, P (A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$
$P (A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} .$

📊Σχετική συχνότητα

•
Σε πραγματικά πειράματα, η σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου (αριθμός εμφανίσεων / σύνολο επαναλήψεων) προσεγγίζει την πιθανότητά του όσο αυξάνεται ο αριθμός των επαναλήψεων.
💡 Παράδειγμα:
Ρίχνω νόμισμα 1000 φορές: αν Κ εμφανίστηκε 487 φορές, σχετική συχνότητα $0, 487 \approx 0, 5 = P (K)$ .
❓ Γιατί:Είναι ο «νόμος των μεγάλων αριθμών» στην απλούστερη μορφή του: η εμπειρία στα πολλά πειράματα πλησιάζει τη θεωρητική πιθανότητα.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι πάντα αριθμός από 0 έως 1.

2Πολλαπλής επιλογής

Σε ρίψη ζαριού, η πιθανότητα να φέρουμε άρτιο αριθμό είναι:

3Πολλαπλής επιλογής

Σε ρίψη ζαριού, η πιθανότητα να φέρουμε «6» είναι:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgg-5.3-gen1
Ένα κουτί περιέχει 20 όμοιες σφαίρες, από τις οποίες οι 8 είναι κόκκινες. Επιλέγουμε τυχαία μία σφαίρα. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι κόκκινη, εκφρασμένη σε ποσοστό (%);
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Όλες οι σφαίρες είναι όμοιες, άρα τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα.
2. 2
  $P (κ \overset{ο}{ˊ} κκινη)$ = $\frac{πλ η ˊ θος ευνο ι ¨ κ ω ˊ ν}{πλ η ˊ θος δυνατ ω ˊ ν}$ $= \frac{8}{20} = 0, 4$ .
3. 3
  Σε ποσοστό: $0, 4 \cdot 100$ % Άρα η ζητούμενη πιθανότητα σε ποσοστό είναι $= 40$
2Μεσαίοgg-5.3-gen3
Επιλέγουμε τυχαία έναν ακέραιο αριθμό από το 1 έως και το 20. Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός να είναι πολλαπλάσιο του 4, εκφρασμένη σε ποσοστό (%);
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ο δειγματικός χώρος έχει 20 ισοπίθανα αποτελέσματα (οι αριθμοί 1 έως 20). Πολλαπλάσια του 4 από το 1 έως το 20: 4, 8, 12, 16, 20
2. 2
  5 ευνοϊκά. $P = \frac{5}{20} = 0, 25 = 0, 25 \cdot 100$ % Άρα η ζητούμενη πιθανότητα σε ποσοστό είναι $= 25$
3Εύκολοgg-5.3-gen2
Ρίχνουμε ένα ζάρι. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε άρτιο αριθμό, εκφρασμένη σε ποσοστό (%);
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , δηλαδή 6 δυνατά ισοπίθανα αποτελέσματα. Άρτιοι: 2, 4, 6
2. 2
  3 ευνοϊκά αποτελέσματα. $P = \frac{3}{6} = 0, 5 = 0, 5 \cdot 100$ % Άρα η ζητούμενη πιθανότητα σε ποσοστό είναι $= 50$

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-5.3-gen3
Επιλέγουμε τυχαία έναν ακέραιο αριθμό από το 1 έως και το 20. Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός να είναι πολλαπλάσιο του 4, εκφρασμένη σε ποσοστό (%);
2Δύσκολοgg-5.3-gen4
Σε δείγμα 200 ατόμων, 120 διαβάζουν την εφημερίδα Α, 80 διαβάζουν την εφημερίδα Β και 30 διαβάζουν και τις δύο. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο του δείγματος. Ποια είναι η πιθανότητα να μη διαβάζει καμία από τις δύο εφημερίδες, εκφρασμένη σε ποσοστό (%);

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📊 Quiz · Στατιστική & Πιθανότητες (Γυμνάσιο)

← Προηγούμενο

5.2 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα

Επόμενο →

Γ.1.1 Ισότητα τριγώνων