Κεφ. 4 - Συναρτήσεις›4.2 Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ με α ≠ 0

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 4 - Συναρτήσεις

§4.2 Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ

•
Η γραφική παράσταση της $y = α x^{2} + β x + γ$ είναι παραβολή που προκύπτει από $την y = α x^{2}$ με κατάλληλη μετατόπιση. $y = α x^{2} + β x + γ$
▶️ Παραβολή y = αx² + βx + γ — sliders α, β, γ· κορυφή, ρίζες, διακρίνουσα.
f(x) = x² − 4x + 3
Διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ4
Κορυφή Κ(−β/2α, −Δ/4α)(2, -1)
Ρίζες1, 3
Δ > 0 → 2 ρίζες
α = 1
β = -4
γ = 3
Άλλαξε α, β, γ — δες πώς το πρόσημο της Δ καθορίζει τον αριθμό των ριζών.
•
Κορυφή: σημείο $K (x_{K}, y_{K})$ όπου x_ $K = - \frac{β}{2 α}, y$ _ $K = - \frac{Δ}{4 α}$ , με $Δ = β^{2} - 4 α γ$ . $K (- \frac{β}{2 α}, - \frac{Δ}{4 α})$
•
Άξονας συμμετρίας: κατακόρυφη ευθεία $x = - \frac{β}{2 α}$ .

•
Αν $α > 0$ : η κορυφή είναι ελάχιστο της συνάρτησης. Αν $α < 0$ : μέγιστο.
💡 Παράδειγμα:
$y = x^{2} - 4 x + 3 (α = 1 > 0) : κορυφ \overset{η}{ˊ} (2, - 1) — ελ \overset{α}{ˊ} χιστο .$
•
Σημεία τομής με τον άξονα $x$ ′ $x$ : είναι οι ρίζες της εξίσωσης $α x^{2} + β x + γ = 0$ . Άρα: 2 σημεία $(Δ > 0), 1 (Δ = 0)$ , κανένα $(Δ < 0)$ .
💡 Παράδειγμα:
$y = x^{2} - 4 x + 3 \to x^{2} - 4 x + 3 = 0 \to x = 1, 3.$
Τέμνει το $x$ ′ $x$ στα (1, 0) και (3, 0).
❓ Γιατί:Στον άξονα $x$ ′ $x$ είναι $y = 0$ . Άρα τα $x$ για τα οποία $f (x) = 0$ είναι ακριβώς οι τετμημένες των σημείων τομής.
📎 Δες και:
•
Σημείο τομής με τον άξονα $y$ ′ $y$ : για $x = 0, y = γ$ . Άρα (0, γ).

1Σωστό / Λάθος

Το σημείο τομής της

y = α x^{2} + β x + γ

με τον άξονα των

y

είναι το

(0, γ)

2Σωστό / Λάθος

Αν

Δ > 0

, η παραβολή τέμνει τον άξονα των

x

σε δύο σημεία.

3Πολλαπλής επιλογής

Ποια είναι η τετμημένη της κορυφής της

y = α x^{2} + β x + γ

;

4Πολλαπλής επιλογής

Για την

y = x^{2} - 4 x + 3

, σε ποια σημεία τέμνει τον άξονα των

x

;

5Πολλαπλής επιλογής

Στην

y = x^{2} - 4 x + 3

(με

α = 1 > 0

), η κορυφή είναι:

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.