Κεφ. 4 - Συναρτήσεις›4.2 Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ με α ≠ 0

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 4 - Συναρτήσεις

§4.2 Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🎯Γενική παραβολή

•
Η γραφική παράσταση της $y = α x^{2} + β x + γ$ είναι παραβολή που προκύπτει από $την y = α x^{2}$ με κατάλληλη μετατόπιση. $y = α x^{2} + β x + γ$
▶️ Παραβολή y = αx² + βx + γ — sliders α, β, γ· κορυφή, ρίζες, διακρίνουσα.
f(x) = x² − 4x + 3
Διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ4
Κορυφή Κ(−β/2α, −Δ/4α)(2, -1)
Ρίζες1, 3
Δ > 0 → 2 ρίζες
α = 1
β = -4
γ = 3
Άλλαξε α, β, γ — δες πώς το πρόσημο της Δ καθορίζει τον αριθμό των ριζών.
•
Κορυφή: σημείο $K (x_{K}, y_{K})$ όπου x_ $K = - \frac{β}{2 α}, y$ _ $K = - \frac{Δ}{4 α}$ , με $Δ = β^{2} - 4 α γ$ . $K (- \frac{β}{2 α}, - \frac{Δ}{4 α})$
•
Άξονας συμμετρίας: κατακόρυφη ευθεία $x = - \frac{β}{2 α}$ .

🧭Μέγιστο / ελάχιστο & ρίζες

•
Αν $α > 0$ : η κορυφή είναι ελάχιστο της συνάρτησης. Αν $α < 0$ : μέγιστο.
💡 Παράδειγμα:
$y = x^{2} - 4 x + 3 (α = 1 > 0) : κορυφ \overset{η}{ˊ} (2, - 1) — ελ \overset{α}{ˊ} χιστο .$
•
Σημεία τομής με τον άξονα $x$ ′ $x$ : είναι οι ρίζες της εξίσωσης $α x^{2} + β x + γ = 0$ . Άρα: 2 σημεία $(Δ > 0), 1 (Δ = 0)$ , κανένα $(Δ < 0)$ .
💡 Παράδειγμα:
$y = x^{2} - 4 x + 3 \to x^{2} - 4 x + 3 = 0 \to x = 1, 3.$
Τέμνει το $x$ ′ $x$ στα (1, 0) και (3, 0).
❓ Γιατί:Στον άξονα $x$ ′ $x$ είναι $y = 0$ . Άρα τα $x$ για τα οποία $f (x) = 0$ είναι ακριβώς οι τετμημένες των σημείων τομής.
📎 Δες και:
•
Σημείο τομής με τον άξονα $y$ ′ $y$ : για $x = 0, y = γ$ . Άρα (0, γ).

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Το σημείο τομής της

y = α x^{2} + β x + γ

με τον άξονα των

y

είναι το

(0, γ)

2Σωστό / Λάθος

Αν

Δ > 0

, η παραβολή τέμνει τον άξονα των

x

σε δύο σημεία.

3Πολλαπλής επιλογής

Ποια είναι η τετμημένη της κορυφής της

y = α x^{2} + β x + γ

;

4Πολλαπλής επιλογής

Για την

y = x^{2} - 4 x + 3

, σε ποια σημεία τέμνει τον άξονα των

x

;

5Πολλαπλής επιλογής

Στην

y = x^{2} - 4 x + 3

(με

α = 1 > 0

), η κορυφή είναι:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgg-tet-e3
Για καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις να γράψεις αν παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. α) $y = 4 x^{2} - 9 x + 2$ β) $y = - x^{2} + 6 x - 1$ γ) $y = - 3 x^{2} + 5$ δ) $y = x^{2} + 7 x$
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το μόνο που κρίνει είναι το πρόσημο του συντελεστή α του $x^{2}$ .
2. 2
  Αν $α > 0$ , η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω και η κορυφή είναι το χαμηλότερο σημείο της, οπότε η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή.
3. 3
  Αν $α < 0$ , η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω και η κορυφή είναι το ψηλότερο σημείο της, οπότε η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή.
4. 4
  α) Είναι $α = 4 > 0$ , άρα ελάχιστη τιμή.
5. 5
  β) Είναι $α = - 1 < 0$ , άρα μέγιστη τιμή.
6. 6
  γ) Είναι $α = - 3 < 0$ , άρα μέγιστη τιμή.
7. 7
  Μην μπερδευτείς από το ότι λείπει ο όρος με το $x$ : απλώς ισχύουν $β = 0$ και $γ = 5$ , και μάλιστα, επειδή $β = 0$ , η κορυφή βρίσκεται πάνω στον άξονα $y$ ΄ $y$ .
8. 8
  δ) Είναι $α = 1 > 0$ , άρα ελάχιστη τιμή.
9. 9
  Εδώ λείπει ο σταθερός όρος, δηλαδή $γ = 0$ .
10. 10
  Αυτό σημαίνει ότι η παραβολή περνά από την αρχή των αξόνων.
2Μεσαίοgg-tet-m5
Δίνεται η συνάρτηση $y = x^{2} - 6 x + 11$ . α) Να βρεις την ελάχιστη τιμή της. β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να αποδείξεις ότι $x^{2} + 11 > 6 x$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Είναι $α = 1 > 0$ , άρα η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή.
2. 2
  Η τετμημένη της κορυφής είναι $x = - \frac{β}{2 α} = \frac{6}{2} = 3$ και η διακρίνουσα $Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = - 8$ .
3. 3
  Η ελάχιστη τιμή είναι $y = - \frac{Δ}{4 α} = \frac{8}{4} = 2$ , και επιτυγχάνεται για $x = 3$ .
4. 4
  Πρόσεξε και κάτι ακόμη: αφού $Δ = - 8 < 0$ , η εξίσωση $x^{2} - 6 x + 11 = 0$ είναι αδύνατη, δηλαδή η παραβολή ΔΕΝ τέμνει πουθενά τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
5. 5
  β) Το α) μας λέει ότι η μικρότερη τιμή που παίρνει ποτέ η παράσταση $x^{2} - 6 x + 11$ είναι το 2.
6. 6
  Επομένως για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ ισχύει $x^{2} - 6 x + 11 \geq 2$ , και αφού $2 > 0$ , ισχύει οπωσδήποτε και $x^{2} - 6 x + 11 > 0$ .
7. 7
  Προσθέτουμε τώρα $6 x$ και στα δύο μέλη και προκύπτει $x^{2} + 11 > 6 x$ , για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ .
8. 8
  Πρόσεξε γιατί το α) ήταν απαραίτητο: χωρίς αυτό θα ξέραμε μόνο ότι η παράσταση έχει κάποια μικρότερη τιμή, χωρίς να ξέρουμε αν αυτή είναι θετική.
9. 9
  Και αν η ελάχιστη τιμή έβγαινε αρνητική, η ανισότητα απλώς δεν θα ίσχυε.
3Μεσαίοgg-tet-m1
Να βρεις τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή καθεμιάς από τις συναρτήσεις: α) $y = 2 x^{2} - 12 x + 23$ β) $y = - 3 x^{2} + 12 x - 5$ γ) $y = - 5 (x - 2)^{2} + 9$
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Είναι $α = 2 > 0$ , οπότε η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή.
2. 2
  Η τετμημένη της κορυφής είναι $x = - \frac{β}{2 α} = \frac{12}{4} = 3$ και η διακρίνουσα $Δ = (- 12)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 23 = 144 - 184 = - 40$ .
3. 3
  Η ελάχιστη τιμή είναι $y = - \frac{Δ}{4 α} = \frac{40}{8} = 5$ , και επιτυγχάνεται για $x = 3$ .
4. 4
  Έλεγχος: $2 \cdot 3^{2} - 12 \cdot 3 + 23 = 18 - 36 + 23 = 5$ .
5. 5
  β) Είναι $α = - 3 < 0$ , οπότε η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή.
6. 6
  Η τετμημένη της κορυφής είναι $x = - \frac{12}{2 \cdot ( - 3 )} = 2$ και η διακρίνουσα $Δ = 1 2^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 5) = 144 - 60 = 84$ .
7. 7
  Η μέγιστη τιμή είναι $y = - \frac{84}{4 \cdot ( - 3 )} = 7$ , για $x = 2$ .
8. 8
  Έλεγχος: $- 3 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 5 = - 12 + 24 - 5 = 7$ .
9. 9
  γ) Κάνουμε πρώτα τις πράξεις για να φέρουμε τον τύπο στη μορφή που ξέρουμε: $y = - 5 (x^{2} - 4 x + 4) + 9 = - 5 x^{2} + 20 x - 20 + 9 = - 5 x^{2} + 20 x - 11$ .
10. 10
  Είναι $α = - 5 < 0$ , άρα η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή.
11. 11
  Η τετμημένη της κορυφής είναι $x = - \frac{20}{2 \cdot ( - 5 )} = 2$ και η διακρίνουσα $Δ = 2 0^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 11) = 400 - 220 = 180$ , οπότε η μέγιστη τιμή είναι $y = - \frac{180}{4 \cdot ( - 5 )} = 9$ , για $x = 2$ .
12. 12
  Αφού τη βρήκαμε με τον κανονικό δρόμο, αξίζει να δεις ότι φαινόταν και από την αρχική γραφή: το τετράγωνο $(x - 2)^{2}$ είναι πάντοτε μη αρνητικό, οπότε ο όρος $- 5 (x - 2)^{2}$ είναι πάντοτε μη θετικός και μηδενίζεται μόνο για $x = 2$ .
4Μεσαίοgg-tet-m3
Δίνεται η παραβολή $y = x^{2} - 8 x + 12$ . Ονομάζουμε Α και Β τα κοινά της σημεία με τον άξονα $x$ ΄ $x$ και Γ το κοινό της σημείο με τον άξονα $y$ ΄ $y$ . Να υπολογίσεις το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Βρίσκουμε πρώτα τα τρία σημεία.
2. 2
  Για τα Α και Β θέτουμε $y = 0$ και λύνουμε την εξίσωση $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ .
3. 3
  Η διακρίνουσα είναι $Δ = (- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$ .
4. 4
  Άρα $Δ = 16 = 4$ , και ο τύπος $x = \frac{- β \pm Δ}{2 α}$ δίνει $x = \frac{8 - 4}{2} = 2$ και $x = \frac{8 + 4}{2} = 6$ .
5. 5
  Άρα Α(2, 0) και Β(6, 0).
6. 6
  Για το Γ θέτουμε $x = 0$ και παίρνουμε $y = 12$ , δηλαδή Γ(0, 12).
7. 7
  Πάμε τώρα στο τρίγωνο.
8. 8
  Η πλευρά ΑΒ βρίσκεται πάνω στον άξονα $x$ ΄ $x$ , οπότε την παίρνουμε ως βάση και το μήκος της είναι $AB = 6 - 2 = 4$ μονάδες.
9. 9
  Το αντίστοιχο ύψος είναι η απόσταση του Γ από τον άξονα $x$ ΄ $x$ , δηλαδή 12 μονάδες.
10. 10
  Άρα το εμβαδόν είναι $E = 4 \cdot \frac{12}{2} = 24$ τετραγωνικές μονάδες.
11. 11
  Πρόσεξε ότι η βάση δόθηκε ΕΠΙΤΗΔΕΣ πάνω σε άξονα: έτσι το ύψος διαβάζεται κατευθείαν από την τεταγμένη του τρίτου σημείου.
5Εύκολοgg-tet-e1
Δίνεται η συνάρτηση $y = x^{2} - 8 x + 15$ . Να βρεις τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής και την εξίσωση του άξονα συμμετρίας της.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η συνάρτηση είναι της μορφής $y = α x^{2} + β x + γ$ με $α = 1, β = - 8$ και $γ = 15$ .
2. 2
  Η τετμημένη της κορυφής είναι $x = - \frac{β}{2 α} = \frac{8}{2} = 4$ .
3. 3
  Για την τεταγμένη υπολογίζουμε πρώτα τη διακρίνουσα: $Δ = β^{2} - 4 α γ = (- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$ .
4. 4
  Τότε η τεταγμένη είναι $y = - \frac{Δ}{4 α} = - \frac{4}{4} = - 1$ .
5. 5
  Άρα η κορυφή είναι το σημείο $K (4, - 1)$ .
6. 6
  Ο άξονας συμμετρίας είναι η κατακόρυφη ευθεία που περνά από την κορυφή, δηλαδή η ευθεία $x = 4$ .
7. 7
  Καλός έλεγχος: αντικαθιστούμε $x = 4$ στον αρχικό τύπο και βρίσκουμε $y = 16 - 32 + 15 = - 1$ .
8. 8
  Το ίδιο ακριβώς υπολογίσαμε και με τη διακρίνουσα.
6Μεσαίοgg-tet-m7
Ένας κήπος έχει σχήμα ορθογωνίου με μήκος 10 $m$ και πλάτος 4 $m$ . Ο ιδιοκτήτης θέλει να μειώσει το μήκος κατά $x$ μέτρα και ταυτόχρονα να αυξήσει το πλάτος κατά τα ίδια μέτρα. α) Να δείξεις ότι το εμβαδόν του νέου ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο $y = - x^{2} + 6 x + 40$ , με $0 < x < 10$ . β) Για ποια τιμή του $x$ γίνεται το εμβαδόν μέγιστο και πόσο είναι τότε; γ) Τι σχήμα έχει τότε ο κήπος;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Το νέο μήκος είναι $10 - x$ και το νέο πλάτος $4 + x$ .
2. 2
  Το εμβαδόν είναι το γινόμενό τους: $y = (10 - x) (4 + x) = 40 + 10 x - 4 x - x^{2} = - x^{2} + 6 x + 40$ , όπως ζητούσε η άσκηση.
3. 3
  Οι περιορισμοί $0 < x < 10$ υπάρχουν επειδή και οι δύο νέες διαστάσεις πρέπει να έχουν θετικό μήκος.
4. 4
  β) Είναι $α = - 1 < 0$ , οπότε υπάρχει μέγιστο.
5. 5
  Η τετμημένη της κορυφής είναι $x = - \frac{β}{2 α} = - \frac{6}{- 2} = 3$ , τιμή αποδεκτή αφού $0 < 3 < 10$ .
6. 6
  Αντικαθιστούμε: $y = - 3^{2} + 6 \cdot 3 + 40 = - 9 + 18 + 40 = 49$ .
7. 7
  Άρα το εμβαδόν γίνεται μέγιστο και ίσο με 49 $m^{2}$ , όταν $x = 3 m$ . γ) Για $x = 3$ το μήκος γίνεται $10 - 3 = 7 m$ και το πλάτος $4 + 3 = 7 m$ . Οι δύο διαστάσεις έγιναν ίσες, δηλαδή ο κήπος έγινε ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ.
8. 8
  Αυτό δεν είναι σύμπτωση: αφού ό,τι αφαιρούμε από το μήκος το προσθέτουμε στο πλάτος, η περίμετρος μένει σταθερή, και από όλα τα ορθογώνια με την ίδια περίμετρο το τετράγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.
9. 9
  Πρόσεξε επίσης ότι το αρχικό εμβαδόν ήταν $10 \cdot 4 = 40 m^{2}$ , δηλαδή κερδίσαμε 9 $m^{2}$ χωρίς να ξοδέψουμε ούτε ένα μέτρο περίφραξης.
7Εύκολοgg-tet-e4
Να χαρακτηρίσεις τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες. α) Η συνάρτηση $y = - 3 x^{2} - 7 x + 2$ παίρνει ελάχιστη τιμή. β) Η παραβολή $y = x^{2} - x + 5$ τέμνει τον άξονα $y$ ΄ $y$ στο σημείο (0, 5). γ) Ο άξονας $y$ ΄ $y$ είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής $y = 4 x^{2} - 9$ . δ) Η κορυφή της παραβολής $y = (x + 3)^{2} + 1$ είναι σημείο του άξονα $x$ ΄ $x$ . ε) Η κορυφή της παραβολής $y = x^{2} + 6$ είναι σημείο του άξονα $y$ ΄ $y$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
2. 2
  Είναι $α = - 3 < 0$ , οπότε η συνάρτηση παίρνει μέγιστη και όχι ελάχιστη τιμή.
3. 3
  β) ΣΩΣΤΗ.
4. 4
  Για $x = 0$ ο τύπος δίνει $y = 5$ , οπότε το σημείο τομής είναι το (0, γ), δηλαδή το (0, 5).
5. 5
  γ) ΣΩΣΤΗ.
6. 6
  Αφού $β = 0$ , προκύπτει ότι η τετμημένη της κορυφής είναι $x = - \frac{β}{2 α} = 0$ και ο άξονας συμμετρίας έχει εξίσωση $x = 0$ , δηλαδή είναι ακριβώς ο άξονας $y$ ΄ $y$ .
7. 7
  δ) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
8. 8
  Κάνουμε πρώτα τις πράξεις για να φέρουμε τον τύπο στη γνωστή μορφή: $y = x^{2} + 6 x + 9 + 1 = x^{2} + 6 x + 10$ , δηλαδή $α = 1, β = 6$ και $γ = 10$ .
9. 9
  Η τετμημένη της κορυφής είναι $x = - \frac{β}{2 α} = - \frac{6}{2} = - 3$ και η διακρίνουσα $Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = - 4$ , οπότε η τεταγμένη είναι $- \frac{Δ}{4 α} = \frac{4}{4} = 1$ .
10. 10
  Η κορυφή είναι λοιπόν το σημείο (−3, 1).
11. 11
  Ένα σημείο του άξονα $x$ ΄ $x$ θα έπρεπε όμως να έχει τεταγμένη 0.
12. 12
  Το ίδιο φαινόταν και από την αρχική γραφή, αφού το τετράγωνο $(x + 3)^{2}$ μηδενίζεται μόνο για $x = - 3$ .
13. 13
  ε) ΣΩΣΤΗ.
14. 14
  Αφού και πάλι $β = 0$ , προκύπτει ότι η κορυφή έχει τετμημένη 0 και είναι το σημείο (0, 6), το οποίο βρίσκεται πάνω στον άξονα $y$ ΄ $y$ .
8Μεσαίοgg-tet-m6
Ένα σιντριβάνι εκτοξεύει νερό από το σημείο Ο. Η δέσμη διαγράφει παραβολική τροχιά και ξαναπέφτει στο έδαφος σε οριζόντια απόσταση 32 $m$ από το Ο. Σε σύστημα αξόνων με αρχή το Ο και άξονα $x$ ΄ $x$ το έδαφος, η τροχιά έχει εξίσωση $y = - \frac{x ^{2}}{32} + x$ , με $0 \leq x \leq 32$ . α) Να βρεις το μέγιστο ύψος της δέσμης και σε ποια οριζόντια απόσταση το φτάνει. β) Σε ποιο ύψος βρίσκεται η δέσμη σε οριζόντια απόσταση 24 $m$ από το Ο, και σε ποια άλλη απόσταση βρίσκεται στο ίδιο ύψος;
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  α) Η τροχιά είναι της μορφής $y = α x^{2} + β x + γ$ με $α = - \frac{1}{32}, β = 1$ και $γ = 0$ .
2. 2
  Αφού $α < 0$ , η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή στην κορυφή.
3. 3
  Η σχέση $x = - \frac{β}{2 α}$ γράφεται ισοδύναμα $2 α x = - β$ , αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με το 2α, που είναι διάφορο του μηδενός.
4. 4
  Είναι $2 α = - \frac{2}{32} = - \frac{1}{16}$ , οπότε η σχέση γίνεται $- \frac{x}{16} = - 1$ , δηλαδή $x = 16$ .
5. 5
  Αντικαθιστούμε στον τύπο: είναι $1 6^{2} = 256$ , οπότε $y = - \frac{256}{32} + 16 = - 8 + 16 = 8$ .
6. 6
  Άρα το μέγιστο ύψος είναι 8 $m$ και επιτυγχάνεται σε οριζόντια απόσταση 16 $m$ , δηλαδή ακριβώς στο μέσο της διαδρομής.
7. 7
  β) Για $x = 24$ είναι $2 4^{2} = 576$ , οπότε $y = - \frac{576}{32} + 24 = - 18 + 24 = 6$ , δηλαδή ύψος 6 $m$ . Τη δεύτερη απόσταση την βρίσκουμε αμέσως από τη συμμετρία, χωρίς νέα εξίσωση: ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία $x = 16$ , και το 24 απέχει από αυτήν 8 μονάδες, οπότε το συμμετρικό του βρίσκεται 8 μονάδες αριστερά, δηλαδή στο $16 - 8 = 8$ .
8. 8
  Έλεγχος: για $x = 8$ προκύπτει $y = - \frac{64}{32} + 8 = - 2 + 8 = 6 m$ , όπως έπρεπε.
9Εύκολοgg-tet-e2
Να βρεις τα σημεία στα οποία η παραβολή $y = x^{2} - 7 x + 12$ τέμνει τους δύο άξονες.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ξεκινάμε από τον άξονα $y$ ΄ $y$ .
2. 2
  Κάθε σημείο του έχει τετμημένη 0, οπότε θέτουμε $x = 0$ και παίρνουμε $y = 12$ .
3. 3
  Το σημείο τομής είναι το (0, 12).
4. 4
  Παρατήρησε ότι είναι πάντα το (0, γ), δηλαδή ο σταθερός όρος διαβάζεται κατευθείαν.
5. 5
  Πάμε τώρα στον άξονα $x$ ΄ $x$ .
6. 6
  Κάθε σημείο του έχει τεταγμένη 0, οπότε θέτουμε $y = 0$ και λύνουμε την εξίσωση $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
7. 7
  Η διακρίνουσα είναι $Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$ .
8. 8
  Αφού $Δ > 0$ , υπάρχουν δύο ρίζες, που τις δίνει ο τύπος $x = \frac{- β \pm Δ}{2 α}$ .
9. 9
  Προσοχή: στον τύπο μπαίνει η ΡΙΖΑ της διακρίνουσας, όχι η ίδια η διακρίνουσα.
10. 10
  Είναι $Δ = 1 = 1$ , οπότε $x = \frac{7 + 1}{2} = 4$ και $x = \frac{7 - 1}{2} = 3$ .
11. 11
  Άρα η παραβολή τέμνει τον άξονα $x$ ΄ $x$ στα σημεία (3, 0) και (4, 0).
12. 12
  Συνολικά βρήκαμε τρία σημεία τομής με τους άξονες.
10Μεσαίοgg-tet-m4
Να βρεις τους αριθμούς β και γ, ώστε η συνάρτηση $y = x^{2} + β x + γ$ να παίρνει για $x = 3$ ελάχιστη τιμή ίση με −5.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η συνάρτηση έχει $α = 1 > 0$ , οπότε πράγματι παίρνει ελάχιστη τιμή, και μάλιστα στην κορυφή.
2. 2
  Η κάθε πληροφορία της εκφώνησης αφορά μία συντεταγμένη της κορυφής.
3. 3
  Η φράση «για $x = 3$ » αφορά την τετμημένη: $- \frac{β}{2 \cdot 1} = 3$ , δηλαδή $- \frac{β}{2} = 3$ , οπότε $β = - 6$ .
4. 4
  Η φράση «ελάχιστη τιμή −5» αφορά την τεταγμένη.
5. 5
  Ο ευκολότερος δρόμος τώρα είναι να αντικαταστήσουμε $x = 3$ στον τύπο, ο οποίος γράφεται πλέον $y = x^{2} - 6 x + γ$ : $- 5 = 3^{2} - 6 \cdot 3 + γ = 9 - 18 + γ = - 9 + γ$ .
6. 6
  Άρα $γ = 4$ .
7. 7
  Επαλήθευση με τη διακρίνουσα, για να μη μείνει καμία αμφιβολία: $Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$ και $- \frac{Δ}{4 α} = - \frac{20}{4} = - 5$ .
8. 8
  Αυτό ακριβώς ζητούσε η άσκηση.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-tet-m5
Δίνεται η συνάρτηση $y = x^{2} - 6 x + 11$ . α) Να βρεις την ελάχιστη τιμή της. β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να αποδείξεις ότι $x^{2} + 11 > 6 x$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ .
2Μεσαίοgg-tet-m7
Ένας κήπος έχει σχήμα ορθογωνίου με μήκος 10 $m$ και πλάτος 4 $m$ . Ο ιδιοκτήτης θέλει να μειώσει το μήκος κατά $x$ μέτρα και ταυτόχρονα να αυξήσει το πλάτος κατά τα ίδια μέτρα. α) Να δείξεις ότι το εμβαδόν του νέου ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο $y = - x^{2} + 6 x + 40$ , με $0 < x < 10$ . β) Για ποια τιμή του $x$ γίνεται το εμβαδόν μέγιστο και πόσο είναι τότε; γ) Τι σχήμα έχει τότε ο κήπος;
3Μεσαίοgg-tet-m3
Δίνεται η παραβολή $y = x^{2} - 8 x + 12$ . Ονομάζουμε Α και Β τα κοινά της σημεία με τον άξονα $x$ ΄ $x$ και Γ το κοινό της σημείο με τον άξονα $y$ ΄ $y$ . Να υπολογίσεις το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
4Δύσκολοgg-tet-h1
Το άθροισμα των δύο κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με ορθή γωνία στο Α είναι 16 cm. Ονομάζουμε $x$ το μήκος της πλευράς ΑΒ. α) Να δείξεις ότι το εμβαδόν $y$ του τριγώνου δίνεται από τον τύπο $y = - \frac{x ^{2}}{2} + 8 x$ , με $0 < x < 16$ . β) Να βρεις για ποια τιμή του $x$ γίνεται το εμβαδόν μέγιστο και πόσο είναι το μέγιστο εμβαδόν. γ) Τι είδους τρίγωνο είναι τότε το ΑΒΓ;
5Μεσαίοgg-tet-m1
Να βρεις τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή καθεμιάς από τις συναρτήσεις: α) $y = 2 x^{2} - 12 x + 23$ β) $y = - 3 x^{2} + 12 x - 5$ γ) $y = - 5 (x - 2)^{2} + 9$
6Δύσκολοgg-tet-h4
Να βρεις τα κοινά σημεία της παραβολής $y = x^{2}$ και της ευθείας $y = 4 x + 5$ .
7Δύσκολοgg-tet-h2
Σε ευθύγραμμο τμήμα $AB = 12 cm$ παίρνουμε ένα σημείο Μ και κατασκευάζουμε δύο τετράγωνα, ένα με πλευρά την ΑΜ και ένα με πλευρά τη ΜΒ. Ονομάζουμε $x$ το μήκος ΑΜ. α) Να δείξεις ότι το άθροισμα $y$ των εμβαδών των δύο τετραγώνων δίνεται από τον τύπο $y = 2 x^{2} - 24 x + 144$ , με $0 < x < 12$ . β) Πού πρέπει να βρίσκεται το Μ ώστε το άθροισμα αυτό να γίνει ελάχιστο και πόσο είναι τότε;
8Δύσκολοgg-tet-h3
Η κατακόρυφη τομή μιας σήραγγας έχει σχήμα παραβολής με πλάτος στο έδαφος $AB = 8 m$ και μέγιστο ύψος 4 $m$ . Σε σύστημα αξόνων με αρχή το μέσο Ο του ΑΒ και άξονα $x$ ΄ $x$ το έδαφος, η παραβολή έχει εξίσωση $y = - \frac{x ^{2}}{4} + 4$ , με $- 4 \leq x \leq 4$ . α) Να επαληθεύσεις ότι το σημείο Β(4, 0) ανήκει στην παραβολή και ότι το μέγιστο ύψος είναι πράγματι 4 $m$ . β) Ένα όχημα ειδικής μεταφοράς, πλάτους 4 $m$ και με ορθογώνια διατομή, κινείται με το μέσο του πάνω στον άξονα συμμετρίας της σήραγγας. Ποιο είναι το μεγαλύτερο ύψος που μπορεί να έχει, ώστε να περάσει;
9Μεσαίοgg-tet-m4
Να βρεις τους αριθμούς β και γ, ώστε η συνάρτηση $y = x^{2} + β x + γ$ να παίρνει για $x = 3$ ελάχιστη τιμή ίση με −5.
10Δύσκολοgg-tet-h5
Από ένα μπαλκόνι πετάμε μια μπάλα. Η τροχιά της είναι παραβολή με εξίσωση $y = - \frac{x ^{2}}{4} + 2 x + 9$ , όπου $x$ είναι η οριζόντια απόσταση από το μπαλκόνι και $y$ το ύψος από το έδαφος, μετρημένα και τα δύο σε μέτρα, με $x \geq 0$ . α) Από ποιο ύψος ρίχτηκε η μπάλα; β) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος που φτάνει και σε ποια οριζόντια απόσταση; γ) Σε ποια οριζόντια απόσταση βρίσκεται ξανά στο ύψος από το οποίο ρίχτηκε;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📈 Quiz · Συναρτήσεις & Γραφικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

4.1 Η συνάρτηση y = αx² με α ≠ 0

Επόμενο →

5.1 Σύνολα