Κεφ. 4 - Συναρτήσεις›4.1 Η συνάρτηση y = αx² με α ≠ 0

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 4 - Συναρτήσεις

§4.1 Η συνάρτηση y = αx²

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🌙Παραβολή

•
Η γραφική παράσταση της $y = α x^{2} (α \neq = 0)$ είναι παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων Ο(0, 0) και άξονα συμμετρίας τον άξονα $y$ ′ $y$ . $y = α x^{2}$
▶️ Παραβολή y = αx² + βx + γ — sliders α, β, γ· κορυφή, ρίζες, διακρίνουσα.
f(x) = x² − 4x + 3
Διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ4
Κορυφή Κ(−β/2α, −Δ/4α)(2, -1)
Ρίζες1, 3
Δ > 0 → 2 ρίζες
α = 1
β = -4
γ = 3
Άλλαξε α, β, γ — δες πώς το πρόσημο της Δ καθορίζει τον αριθμό των ριζών.
•
Αν $α > 0$ : η παραβολή είναι «προς τα πάνω» (έχει ελάχιστο στο Ο). Αν $α < 0$ : «προς τα κάτω» (έχει μέγιστο στο Ο).
💡 Παράδειγμα:
$y = x^{2} (α = 1) : σχ \overset{η}{ˊ} μα U ανοιχτ \overset{ο}{ˊ} προς τ α π \overset{α}{ˊ} νω .$
$y = - x^{2} (α = - 1) : σχ \overset{η}{ˊ} μα U ανοιχτ \overset{ο}{ˊ} προς τ α κ \overset{α}{ˊ} τω .$
•
Όσο μεγαλύτερο |α|, τόσο πιο «κλειστή» (στενή) η παραβολή. Όσο μικρότερο |α|, τόσο πιο «ανοιχτή» (φαρδιά).

📊Ιδιότητες

•
Συμμετρία: $f (- x) = α (- x)^{2} = α x^{2} = f (x)$ — άρτια συνάρτηση. Άρα η γραφική είναι συμμετρική ως προς τον $y$ ′ $y$ .
▶️ Άρτια/περιττή — σύρε σημείο Μ και δες το κάτοπτρο Μ′ (άξονας y′y ή κέντρο Ο).
Μ(2,4, 0,42) → Μ′(-2,4, 0,42) · f(−x) = f(x) · συμμετρία ως προς τον άξονα y′y
Σύρε το Μ — δες πού πέφτει το κάτοπτρό του Μ′.
❓ Γιατί:Επειδή το $x$ εμφανίζεται μόνο στη δεύτερη δύναμη, αλλάζοντας πρόσημο δεν αλλάζει η τιμή. Όπως $(- 3)^{2} = 9 = 3^{2}$ .
📎 Δες και:
•
Πεδίο ορισμού: όλο το ℝ. Σύνολο τιμών: $[0, + \infty)$ αν α > 0, $(- \infty, 0]$ αν $α < 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$y = 2 x^{2} : για x \in R, y \geq 0.$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Η γραφική παράσταση της

y = α x^{2}

(με

α \neq = 0

) είναι παραβολή.

2Σωστό / Λάθος

Αν

α < 0

, η παραβολή

y = α x^{2}

έχει ελάχιστο στο

O

3Πολλαπλής επιλογής

Ποια είναι η κορυφή της παραβολής

y = α x^{2}

;

4Πολλαπλής επιλογής

Για την

y = 2 x^{2}

, πόσο είναι το

y

όταν

x = - 3

;

5Πολλαπλής επιλογής

Όσο μεγαλύτερο είναι το

∣ α ∣

, η παραβολή

y = α x^{2}

γίνεται:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgg-par-e2
Ποια από τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην παραβολή $y = - 3 x^{2}$ ; α) $A (2, - 12)$ β) $B (- 1, 3)$ γ) $Γ (- 3, 27)$ δ) $Δ (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση όταν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση.
2. 2
  α) Για $x = 2$ ο τύπος δίνει $y = - 3 \cdot 2^{2} = - 3 \cdot 4 = - 12$ .
3. 3
  Η τιμή συμφωνεί με την τεταγμένη του σημείου, άρα το πρώτο σημείο ανήκει.
4. 4
  β) Για $x = - 1$ ο τύπος δίνει $y = - 3 \cdot (- 1)^{2} = - 3 \cdot 1 = - 3$ .
5. 5
  Το δεύτερο σημείο όμως έχει τεταγμένη 3.
6. 6
  Δεν ανήκει.
7. 7
  γ) Για $x = - 3$ ο τύπος δίνει $y = - 3 \cdot (- 3)^{2} = - 3 \cdot 9 = - 27$ .
8. 8
  Το τρίτο σημείο όμως έχει τεταγμένη 27.
9. 9
  Δεν ανήκει.
10. 10
  δ) Για $x = \frac{1}{2}$ ο τύπος δίνει $y = - 3 \cdot (\frac{1}{2})^{2} = - 3 \cdot \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}$ .
11. 11
  Η τιμή συμφωνεί με την τεταγμένη του σημείου, άρα το τέταρτο σημείο ανήκει.
12. 12
  Πρόσεξε τι κοινό έχουν τα δύο σημεία που απορρίφθηκαν: και τα δύο έχουν ΘΕΤΙΚΗ τεταγμένη.
13. 13
  Αφού $α = - 3 < 0$ , ολόκληρη η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ , εκτός από την κορυφή της Ο(0, 0) που τον αγγίζει.
14. 14
  Άρα κανένα σημείο της με $x$ διάφορο του μηδενός δεν μπορεί να έχει θετική τεταγμένη.
15. 15
  Με αυτή τη σκέψη τα απορρίπτεις χωρίς καν πράξεις.
2Μεσαίοgg-par-m3
Δίνεται η παραβολή $y = (λ - 3) x^{2}$ . α) Να βρεις την τιμή του λ ώστε η παραβολή να διέρχεται από το σημείο $M (2, - 8)$ . β) Για την τιμή αυτή, η συνάρτηση παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση, οπότε βάζουμε $x = 2$ και $y = - 8$ : $- 8 = (λ - 3) \cdot 2^{2}$ , δηλαδή $- 8 = 4 (λ - 3)$ .
2. 2
  Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 4 και παίρνουμε $λ - 3 = - 2$ , άρα $λ = 1$ .
3. 3
  β) Για $λ = 1$ ο συντελεστής γίνεται $λ - 3 = 1 - 3 = - 2$ , δηλαδή η παραβολή είναι τελικά η $y = - 2 x^{2}$ .
4. 4
  Αφού ο συντελεστής βγήκε αρνητικός, η συνάρτηση παίρνει ΜΕΓΙΣΤΗ τιμή ίση με 0, όταν $x = 0$ , και ολόκληρη η καμπύλη βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x$ ΄ $x$ , εκτός από την κορυφή της Ο(0, 0) που τον αγγίζει.
5. 5
  Αυτό συμφωνεί με το δεδομένο της άσκησης: το σημείο Μ έχει αρνητική τεταγμένη, άρα βρίσκεται πράγματι κάτω από τον άξονα.
3Εύκολοgg-par-e4
Δίνονται οι παραβολές $y = 2 x^{2}, y = 6 x^{2}$ και $y = 0, 5 x^{2}$ . Ποια από τις τρεις είναι η πιο κλειστή, δηλαδή η πιο στενή, και ποια η πιο ανοιχτή; Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το άνοιγμα της παραβολής $y = α x^{2}$ το καθορίζει η απόλυτη τιμή του συντελεστή α: όσο μεγαλύτερη είναι, τόσο πιο κλειστή γίνεται η παραβολή.
2. 2
  Εδώ οι τρεις συντελεστές είναι θετικοί, οπότε συγκρίνουμε κατευθείαν τα 2, 6 και 0,5.
3. 3
  Ο μεγαλύτερος είναι το 6, άρα η πιο κλειστή είναι η παραβολή $y = 6 x^{2}$ .
4. 4
  Ο μικρότερος είναι το 0,5, άρα η πιο ανοιχτή είναι η παραβολή $y = 0, 5 x^{2}$ .
5. 5
  Ένας εύκολος τρόπος για να το επαληθεύσεις με αριθμούς: δώσε σε όλες την ίδια τιμή $x = 1$ .
6. 6
  Παίρνεις $y = 2, y = 6$ και $y = 0, 5$ αντίστοιχα.
7. 7
  Όσο πιο ψηλά ανεβαίνει η καμπύλη στην ίδια οριζόντια απόσταση από τον άξονα συμμετρίας, τόσο πιο στενή είναι.
4Μεσαίοgg-par-m4
Μια πέτρα αφήνεται να πέσει από μια γέφυρα. Το διάστημα $S$ που διανύει, μετρημένο σε μέτρα, δίνεται σε χρόνο $t$ δευτερολέπτων από τον τύπο $S = 5 t^{2}$ . α) Πόσα μέτρα έχει πέσει η πέτρα σε 2 και πόσα σε 3 δευτερόλεπτα; β) Ο χρόνος διπλασιάζεται από 2 σε 4 δευτερόλεπτα. Πόσες φορές μεγαλώνει το διάστημα;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Αντικαθιστούμε στον τύπο.
2. 2
  Για $t = 2$ βρίσκουμε $S = 5 \cdot 2^{2} = 5 \cdot 4 = 20 m$ . Για $t = 3$ βρίσκουμε $S = 5 \cdot 3^{2} = 5 \cdot 9 = 45 m$ . β) Γνωρίζουμε ήδη ότι για $t = 2$ είναι $S = 20 m$ , και για $t = 4$ έχουμε $S = 5 \cdot 4^{2} = 5 \cdot 16 = 80 m$ . Ο λόγος των δύο διαστημάτων είναι 80 : $20 = 4$ .
3. 3
  Άρα, όταν ο χρόνος διπλασιάζεται, το διάστημα ΤΕΤΡΑΠΛΑΣΙΑΖΕΤΑΙ.
4. 4
  Ο λόγος φαίνεται στον ίδιο τον τύπο: ο χρόνος μπαίνει υψωμένος στο τετράγωνο, οπότε αν το $t$ γίνει $2 t$ , τότε το $t^{2}$ γίνεται $(2 t)^{2} = 4 t^{2}$ , δηλαδή τετραπλάσιο.
5. 5
  Αυτό ακριβώς είναι που κάνει τη γραφική παράσταση καμπύλη και όχι ευθεία: σε ίσα διαδοχικά δευτερόλεπτα η πέτρα διανύει όλο και μεγαλύτερες αποστάσεις.
6. 6
  Πρόσεξε τέλος ότι ο χρόνος δεν παίρνει αρνητικές τιμές, δηλαδή $t \geq 0$ , οπότε στο διάγραμμα εμφανίζεται μόνο ΤΟ ΜΙΣΟ της παραβολής, το κομμάτι που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο.
5Μεσαίοgg-par-e3
Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις παίρνουν μέγιστη τιμή και ποιες ελάχιστη; α) $y = - 5 x^{2}$ β) $y = 5 x^{2}$ γ) $y = (- 5 x)^{2}$ δ) $y = - (5 x)^{2}$
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το κριτήριο είναι ένα και μόνο: το πρόσημο του συντελεστή του $x^{2}$ .
2. 2
  Γι΄ αυτό φέρνουμε πρώτα κάθε τύπο στη μορφή $y = α x^{2}$ .
3. 3
  α) Είναι $α = - 5 < 0$ , οπότε η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή ίση με 0, όταν $x = 0$ .
4. 4
  β) Είναι $α = 5 > 0$ , οπότε παίρνει ελάχιστη τιμή ίση με 0, όταν $x = 0$ .
5. 5
  γ) Εδώ υψώνεται στο τετράγωνο ΟΛΟΚΛΗΡΟ το γινόμενο: $(- 5 x)^{2} = (- 5)^{2} \cdot x^{2} = 25 x^{2}$ .
6. 6
  Άρα $α = 25 > 0$ και η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή.
7. 7
  δ) Εδώ το μείον βρίσκεται ΕΞΩ από το τετράγωνο, οπότε υψώνεται μόνο το $5 x$ : $- (5 x)^{2} = - 25 x^{2}$ .
8. 8
  Άρα $α = - 25 < 0$ και η συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή.
9. 9
  Τα δύο τελευταία γράφονται σχεδόν ίδια και δίνουν αντίθετη απάντηση.
10. 10
  Κοίτα λοιπόν πάντα αν το πρόσημο βρίσκεται μέσα ή έξω από την παρένθεση.
6Μεσαίοgg-par-m5
Η κινητική ενέργεια ενός σώματος μάζας $m$ που κινείται με ταχύτητα υ δίνεται από τον τύπο $E = m \frac{υ ^{2}}{2}$ . α) Για σώμα μάζας 6 kg, να γράψεις την $E$ ως συνάρτηση της ταχύτητας υ. β) Δύο σώματα με μάζες 2 kg και 8 kg κινούνται με την ίδια, μη μηδενική, ταχύτητα. Ποιο έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια και πόσες φορές μεγαλύτερη; γ) Αν η ταχύτητα ενός σώματος τριπλασιαστεί, πόσες φορές μεγαλώνει η κινητική του ενέργεια;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Αντικαθιστούμε $m = 6$ στον τύπο και βρίσκουμε $E = 6 \frac{υ ^{2}}{2} = 3 υ^{2}$ .
2. 2
  Είναι συνάρτηση της μορφής $y = α x^{2}$ με $α = 3 > 0$ , όπου τον ρόλο του $x$ παίζει η ταχύτητα.
3. 3
  β) Με την ίδια ταχύτητα υ, το πρώτο σώμα έχει ενέργεια $E_{1} = 2 \frac{υ ^{2}}{2} = υ^{2}$ και το δεύτερο $E_{2} = 8 \frac{υ ^{2}}{2} = 4 υ^{2}$ .
4. 4
  Διαιρώντας βρίσκουμε $E_{2}$ : $E_{1} = 4$ .
5. 5
  Άρα μεγαλύτερη ενέργεια έχει το σώμα των 8 kg, και μάλιστα τετραπλάσια.
6. 6
  Γενικά, με σταθερή ταχύτητα, η ενέργεια είναι ανάλογη της μάζας: τετραπλάσια μάζα δίνει τετραπλάσια ενέργεια.
7. 7
  γ) Αν η ταχύτητα γίνει 3υ, τότε $(3 υ)^{2} = 9 υ^{2}$ , οπότε η ενέργεια γίνεται $9 m \frac{υ ^{2}}{2}$ , δηλαδή ΕΝΝΙΑ φορές μεγαλύτερη.
8. 8
  Πρόσεξε τη διαφορά με το β): ο τριπλασιασμός της μάζας θα τριπλασίαζε την ενέργεια, ενώ ο τριπλασιασμός της ταχύτητας την κάνει εννιαπλάσια.
9. 9
  Αυτό συμβαίνει επειδή η ταχύτητα μπαίνει στον τύπο υψωμένη στο τετράγωνο, και γι΄ αυτό ένα αυτοκίνητο με διπλάσια ταχύτητα χρειάζεται πολύ μεγαλύτερη απόσταση για να σταματήσει.
7Μεσαίοgg-par-m2
Η παραβολή $y = α x^{2}$ διέρχεται από το σημείο $B (- 3, 18)$ . α) Να βρεις τον αριθμό α. β) Να εξετάσεις αν το σημείο Γ(2, 8) ανήκει στην ίδια παραβολή.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Για να διέρχεται η παραβολή από το Β, οι συντεταγμένες του σημείου πρέπει να επαληθεύουν την εξίσωση.
2. 2
  Βάζουμε λοιπόν $x = - 3$ και $y = 18$ : $18 = α \cdot (- 3)^{2}$ , δηλαδή $18 = 9 α$ , οπότε $α = 2$ .
3. 3
  Η παραβολή είναι η $y = 2 x^{2}$ .
4. 4
  β) Τώρα που ξέρουμε τον τύπο, ελέγχουμε το Γ βάζοντας $x = 2$ : $y = 2 \cdot 2^{2} = 2 \cdot 4 = 8$ .
5. 5
  Η τιμή συμφωνεί με την τεταγμένη του Γ, άρα το σημείο ανήκει στην παραβολή.
6. 6
  Αν σου ζητούσαν ένα τρίτο σημείο χωρίς πράξεις, θα μπορούσες να απαντήσεις αμέσως το (3, 18): είναι το συμμετρικό του Β ως προς τον άξονα $y$ ΄ $y$ .
8Μεσαίοgg-par-h3
Να χαρακτηρίσεις καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη, δικαιολογώντας την απάντησή σου. α) Η παραβολή $y = 7 x^{2}$ έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0). β) Ο άξονας $x$ ΄ $x$ είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής $y = - x^{2}$ . γ) Οι παραβολές $y = 6 x^{2}$ και $y = - 6 x^{2}$ είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ . δ) Η συνάρτηση $y = 5 x^{2}$ παίρνει μέγιστη τιμή ίση με 0. ε) Αν η παραβολή $y = α x^{2}$ διέρχεται από το σημείο $M (- 2, 5)$ , τότε διέρχεται και από το σημείο Λ(2, 5).
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) ΣΩΣΤΗ.
2. 2
  Για $x = 0$ η συνάρτηση δίνει $y = 0$ .
3. 3
  Για κάθε άλλη τιμή του $x$ είναι $7 x^{2} > 0$ .
4. 4
  Άρα η μικρότερη τιμή που παίρνει η συνάρτηση είναι το 0 και την παίρνει μόνο για $x = 0$ , οπότε το Ο(0, 0) είναι το χαμηλότερο σημείο της καμπύλης, δηλαδή η κορυφή της.
5. 5
  Πρόσεξε ότι δεν αρκεί να πεις «η καμπύλη περνά από το (0, 0)»: πρέπει να δείξεις ότι εκεί η συνάρτηση παίρνει την ακρότατη τιμή της.
6. 6
  β) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
7. 7
  Άξονας συμμετρίας είναι ο $y$ ΄ $y$ και όχι ο $x$ ΄ $x$ .
8. 8
  Αν ήταν ο $x$ ΄ $x$ , τότε μαζί με το σημείο (1, −1) η καμπύλη θα περιείχε και το σημείο (1, 1), δηλαδή σε μία τιμή του $x$ θα αντιστοιχούσαν δύο τιμές του $y$ και η σχέση δεν θα ήταν καν συνάρτηση.
9. 9
  γ) ΣΩΣΤΗ.
10. 10
  Οι δύο εξισώσεις διαφέρουν μόνο κατά το πρόσημο, οπότε για κάθε τιμή του $x$ δίνουν αντίθετες τεταγμένες, και δύο σημεία με αντίθετες τεταγμένες είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
11. 11
  δ) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
12. 12
  Ο συντελεστής είναι $5 > 0$ , οπότε η τιμή 0 είναι ΕΛΑΧΙΣΤΗ και όχι μέγιστη: όλες οι υπόλοιπες τιμές της συνάρτησης είναι θετικές, άρα μεγαλύτερες από το μηδέν.
13. 13
  ε) ΣΩΣΤΗ.
14. 14
  Τα σημεία Μ και Λ έχουν αντίθετες τετμημένες, και αφού $(- 2)^{2} = 2^{2}$ , ο τύπος δίνει και στις δύο περιπτώσεις την ίδια τιμή του $y$ .
15. 15
  Αυτό ακριβώς σημαίνει ότι ο άξονας $y$ ΄ $y$ είναι άξονας συμμετρίας.
9Μεσαίοgg-par-m1
Στην παραβολή $y = - 3 x^{2}$ , να βρεις τα σημεία με τεταγμένη −48.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Τα σημεία με τεταγμένη −48 προκύπτουν αν θέσουμε $y = - 48$ στην εξίσωση της παραβολής: $- 48 = - 3 x^{2}$ .
2. 2
  Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το −3 και βρίσκουμε $x^{2} = 16$ .
3. 3
  Προσοχή στο επόμενο βήμα: οι λύσεις είναι ΔΥΟ, οι $x = 4$ και $x = - 4$ , γιατί δύο αντίθετοι αριθμοί έχουν το ίδιο τετράγωνο.
4. 4
  Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα (−4, −48) και (4, −48).
5. 5
  Παρατήρησε ότι είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $y$ ΄ $y$ , όπως επιβάλλει άλλωστε η συμμετρία της παραβολής: όποτε ένα ύψος επιτυγχάνεται, επιτυγχάνεται σε δύο σημεία, ένα δεξιά και ένα αριστερά.
10Εύκολοgg-par-e1
Για τη συνάρτηση $y = 3 x^{2}$ να βρεις τις τιμές του $y$ όταν το $x$ παίρνει τις τιμές −2, −1, 0, 1 και 2. Τι παρατηρείς για τις τιμές του $y$ που αντιστοιχούν σε αντίθετους αριθμούς;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Υψώνουμε κάθε τιμή του $x$ στο τετράγωνο και πολλαπλασιάζουμε με το 3.
2. 2
  Για $x = - 2$ : $y = 3 \cdot (- 2)^{2} = 3 \cdot 4 = 12$ .
3. 3
  Για $x = - 1$ : $y = 3 \cdot (- 1)^{2} = 3 \cdot 1 = 3$ .
4. 4
  Για $x = 0$ : $y = 3 \cdot 0^{2} = 0$ .
5. 5
  Για $x = 1$ : $y = 3 \cdot 1^{2} = 3$ .
6. 6
  Για $x = 2$ : $y = 3 \cdot 2^{2} = 12$ .
7. 7
  Ο πίνακας των τιμών του $y$ είναι λοιπόν 12, 3, 0, 3, 12.
8. 8
  Παρατηρούμε ότι σε αντίθετους αριθμούς αντιστοιχεί η ΙΔΙΑ τιμή του $y$ .
9. 9
  Ο λόγος είναι ότι δύο αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσα τετράγωνα, αφού $(- 2)^{2} = 2^{2} = 4$ .
10. 10
  Αυτό ακριβώς σημαίνει ότι η παραβολή $y = 3 x^{2}$ έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα $y$ ΄ $y$ : το σημείο (−2, 12) και το σημείο (2, 12) βρίσκονται στο ίδιο ύψος, δεξιά και αριστερά από αυτόν.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-par-m2
Η παραβολή $y = α x^{2}$ διέρχεται από το σημείο $B (- 3, 18)$ . α) Να βρεις τον αριθμό α. β) Να εξετάσεις αν το σημείο Γ(2, 8) ανήκει στην ίδια παραβολή.
2Δύσκολοgg-par-h2
Η παραβολή $y = α x^{2}$ διέρχεται από το σημείο $A (- 4, - 8)$ . α) Να βρεις την εξίσωσή της. β) Να γράψεις την εξίσωση της παραβολής που είναι συμμετρική της ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ . γ) Να βρεις το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ και να επαληθεύσεις ότι ανήκει στη δεύτερη παραβολή.
3Μεσαίοgg-par-m1
Στην παραβολή $y = - 3 x^{2}$ , να βρεις τα σημεία με τεταγμένη −48.
4Μεσαίοgg-par-h3
Να χαρακτηρίσεις καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη, δικαιολογώντας την απάντησή σου. α) Η παραβολή $y = 7 x^{2}$ έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0). β) Ο άξονας $x$ ΄ $x$ είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής $y = - x^{2}$ . γ) Οι παραβολές $y = 6 x^{2}$ και $y = - 6 x^{2}$ είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ . δ) Η συνάρτηση $y = 5 x^{2}$ παίρνει μέγιστη τιμή ίση με 0. ε) Αν η παραβολή $y = α x^{2}$ διέρχεται από το σημείο $M (- 2, 5)$ , τότε διέρχεται και από το σημείο Λ(2, 5).
5Δύσκολοgg-par-h1
Η συνάρτηση $y = \frac{x ^{2}}{λ}$ παίρνει μέγιστη τιμή και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Ν(3, λ). Να βρεις την τιμή του αριθμού λ.
6Μεσαίοgg-par-e3
Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις παίρνουν μέγιστη τιμή και ποιες ελάχιστη; α) $y = - 5 x^{2}$ β) $y = 5 x^{2}$ γ) $y = (- 5 x)^{2}$ δ) $y = - (5 x)^{2}$
7Μεσαίοgg-par-m3
Δίνεται η παραβολή $y = (λ - 3) x^{2}$ . α) Να βρεις την τιμή του λ ώστε η παραβολή να διέρχεται από το σημείο $M (2, - 8)$ . β) Για την τιμή αυτή, η συνάρτηση παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή;
8Μεσαίοgg-par-m4
Μια πέτρα αφήνεται να πέσει από μια γέφυρα. Το διάστημα $S$ που διανύει, μετρημένο σε μέτρα, δίνεται σε χρόνο $t$ δευτερολέπτων από τον τύπο $S = 5 t^{2}$ . α) Πόσα μέτρα έχει πέσει η πέτρα σε 2 και πόσα σε 3 δευτερόλεπτα; β) Ο χρόνος διπλασιάζεται από 2 σε 4 δευτερόλεπτα. Πόσες φορές μεγαλώνει το διάστημα;
9Μεσαίοgg-par-m5
Η κινητική ενέργεια ενός σώματος μάζας $m$ που κινείται με ταχύτητα υ δίνεται από τον τύπο $E = m \frac{υ ^{2}}{2}$ . α) Για σώμα μάζας 6 kg, να γράψεις την $E$ ως συνάρτηση της ταχύτητας υ. β) Δύο σώματα με μάζες 2 kg και 8 kg κινούνται με την ίδια, μη μηδενική, ταχύτητα. Ποιο έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια και πόσες φορές μεγαλύτερη; γ) Αν η ταχύτητα ενός σώματος τριπλασιαστεί, πόσες φορές μεγαλώνει η κινητική του ενέργεια;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📈 Quiz · Συναρτήσεις & Γραφικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος

Επόμενο →

4.2 Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ με α ≠ 0