Κεφ. 4 - Συναρτήσεις›4.1 Η συνάρτηση y = αx² με α ≠ 0

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 4 - Συναρτήσεις

§4.1 Η συνάρτηση y = αx²

•
Η γραφική παράσταση της $y = α x^{2} (α \neq = 0)$ είναι παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων Ο(0, 0) και άξονα συμμετρίας τον άξονα $y$ ′ $y$ . $y = α x^{2}$
▶️ Παραβολή y = αx² + βx + γ — sliders α, β, γ· κορυφή, ρίζες, διακρίνουσα.
f(x) = x² − 4x + 3
Διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ4
Κορυφή Κ(−β/2α, −Δ/4α)(2, -1)
Ρίζες1, 3
Δ > 0 → 2 ρίζες
α = 1
β = -4
γ = 3
Άλλαξε α, β, γ — δες πώς το πρόσημο της Δ καθορίζει τον αριθμό των ριζών.
•
Αν $α > 0$ : η παραβολή είναι «προς τα πάνω» (έχει ελάχιστο στο Ο). Αν $α < 0$ : «προς τα κάτω» (έχει μέγιστο στο Ο).
💡 Παράδειγμα:
$y = x^{2} (α = 1) : σχ \overset{η}{ˊ} μα U ανοιχτ \overset{ο}{ˊ} προς τ α π \overset{α}{ˊ} νω .$
$y = - x^{2} (α = - 1) : σχ \overset{η}{ˊ} μα U ανοιχτ \overset{ο}{ˊ} προς τ α κ \overset{α}{ˊ} τω .$
•
Όσο μεγαλύτερο |α|, τόσο πιο «κλειστή» (στενή) η παραβολή. Όσο μικρότερο |α|, τόσο πιο «ανοιχτή» (φαρδιά).

•
Συμμετρία: $f (- x) = α (- x)^{2} = α x^{2} = f (x)$ — άρτια συνάρτηση. Άρα η γραφική είναι συμμετρική ως προς τον $y$ ′ $y$ .
▶️ Άρτια/περιττή — σύρε σημείο Μ και δες το κάτοπτρο Μ′ (άξονας y′y ή κέντρο Ο).
Μ(2,4, 0,42) → Μ′(-2,4, 0,42) · f(−x) = f(x) · συμμετρία ως προς τον άξονα y′y
Σύρε το Μ — δες πού πέφτει το κάτοπτρό του Μ′.
❓ Γιατί:Επειδή το $x$ εμφανίζεται μόνο στη δεύτερη δύναμη, αλλάζοντας πρόσημο δεν αλλάζει η τιμή. Όπως $(- 3)^{2} = 9 = 3^{2}$ .
📎 Δες και:
•
Πεδίο ορισμού: όλο το ℝ. Σύνολο τιμών: [0, +∞) αν α > 0, (−∞, 0] αν $α < 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$y = 2 x^{2} : για x \in R, y \geq 0.$

1Σωστό / Λάθος

Η γραφική παράσταση της

y = α x^{2}

(με

α \neq = 0

) είναι παραβολή.

2Σωστό / Λάθος

Αν

α < 0

, η παραβολή

y = α x^{2}

έχει ελάχιστο στο

O

3Πολλαπλής επιλογής

Ποια είναι η κορυφή της παραβολής

y = α x^{2}

;

4Πολλαπλής επιλογής

Για την

y = 2 x^{2}

, πόσο είναι το

y

όταν

x = - 3

;

5Πολλαπλής επιλογής

Όσο μεγαλύτερο είναι το

∣ α ∣

, η παραβολή

y = α x^{2}

γίνεται:

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.