Κεφ. 3 - Συστήματα γραμμικών εξισώσεων›3.2 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 3 - Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

§3.2 Γραμμικό σύστημα 2×2 — γραφική επίλυση

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🔀Σύστημα δύο εξισώσεων

•
Γραμμικό σύστημα: ${α_{1} x + β_{1} y = γ_{1}, α_{2} x + β_{2} y = γ_{2}}$ . Λύση είναι ζεύγος (x, $y$ ) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα.

✏️Γραφική επίλυση

•
Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις δύο ευθείες. Το σημείο τομής είναι η μοναδική λύση του συστήματος.
💡 Παράδειγμα:
${x + y = 4, x - y = 0} \to οι δ \overset{υ}{ˊ} ο ευθε \overset{ι}{ˊ} ες τ \overset{ε}{ˊ} μνονται στο (2, 2) .$
•
Διερεύνηση από τη γραφική: $Τ \overset{ε}{ˊ} μνονται \to μοναδικ \overset{η}{ˊ} λ \overset{υ}{ˊ} ση Παρ \overset{α}{ˊ} λληλες \to αδ \overset{υ}{ˊ} νατο Συμπ \overset{ι}{ˊ} πτουν \to \overset{α}{ˊ} πειρες λ \overset{υ}{ˊ} σεις$
•
Παράλληλες ευθείες (ίδια κλίση, διαφορετικό σταθερό όρο): καμία τομή ⇒ σύστημα αδύνατο.
💡 Παράδειγμα:
${x + y = 2, x + y = 5} \to \overset{ι}{ˊ} δια κλ \overset{ι}{ˊ} ση - 1, διαφορετικ \overset{ο}{ˊ} ς σταθερ \overset{ο}{ˊ} ς \overset{ο}{ˊ} ρος \Rightarrow αδ \overset{υ}{ˊ} νατο .$
•
Συμπίπτουσες ευθείες (η μία πολλαπλάσιο της άλλης): άπειρα κοινά σημεία ⇒ άπειρες λύσεις (αόριστο).
💡 Παράδειγμα:
${x + y = 3, 2 x + 2 y = 6} \to η δε \overset{υ}{ˊ} τερη ε \overset{ι}{ˊ} ναι 2 φορ \overset{ε}{ˊ} ς η πρ \overset{ω}{ˊ} τη \Rightarrow \overset{α}{ˊ} πειρες λ \overset{υ}{ˊ} σεις .$
❓ Γιατί:Η γραφική επίλυση μάς δίνει εικόνα, αλλά είναι ανακριβής για μη ακέραιες λύσεις. Γι’ αυτό μαθαίνουμε αλγεβρικές μεθόδους στην §3.3.
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Λύση γραμμικού συστήματος

2 \times 2

είναι ζεύγος

(x, y)

που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.

2Σωστό / Λάθος

Αν οι δύο ευθείες ενός συστήματος είναι παράλληλες, το σύστημα έχει μοναδική λύση.

3Σωστό / Λάθος

Γραφικά, η λύση του συστήματος είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών.

4Πολλαπλής επιλογής

Σε ποιο σημείο τέμνονται οι ευθείες του

{x + y = 4, x - y = 0}

;

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσες λύσεις έχει ένα σύστημα όταν οι δύο ευθείες συμπίπτουν;

6Πολλαπλής επιλογής

Το σύστημα

{x + y = 2, x + y = 5}

είναι:

7Πολλαπλής επιλογής

Το σύστημα

{x + y = 3, 2 x + 2 y = 6}

έχει:

8Πολλαπλής επιλογής

Δύο ευθείες με ίδια κλίση και διαφορετικό σταθερό όρο είναι:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgg-sys-e2
Να εξετάσεις αν κάποιο από τα ζεύγη (1, 4) και (5, 0) είναι λύση του συστήματος $x + y = 5$ και $3 x - y = 7$ . Αν κανένα δεν είναι, να βρεις τη λύση δοκιμάζοντας με τη σειρά τα ζεύγη ακεραίων που επαληθεύουν την πρώτη εξίσωση, δηλαδή τα (0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) και (5, 0).
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Δοκιμάζουμε κάθε ζεύγος και στις ΔΥΟ εξισώσεις.
2. 2
  Το ζεύγος (1, 4) δίνει στην πρώτη $1 + 4 = 5$ , σωστό.
3. 3
  Στη δεύτερη όμως δίνει $3 \cdot 1 - 4 = - 1$ .
4. 4
  Χρειαζόταν 7, άρα απορρίπτεται.
5. 5
  Το ζεύγος (5, 0) δίνει στην πρώτη $5 + 0 = 5$ , σωστό.
6. 6
  Στη δεύτερη δίνει $3 \cdot 5 - 0 = 15$ .
7. 7
  Χρειαζόταν πάλι 7, άρα απορρίπτεται και αυτό.
8. 8
  Κανένα λοιπόν από τα δύο δεν είναι λύση, παρόλο που και τα δύο επαληθεύουν την πρώτη εξίσωση.
9. 9
  Γραφικά αυτό σημαίνει ότι βρίσκονται πάνω στην πρώτη ευθεία αλλά όχι πάνω στη δεύτερη.
10. 10
  Δοκιμάζουμε τώρα με τη σειρά όλα τα ζεύγη της λίστας στη δεύτερη εξίσωση.
11. 11
  Το (0, 5) δίνει $3 \cdot 0 - 5 = - 5$ .
12. 12
  Το (1, 4) δίνει −1.
13. 13
  Το (2, 3) δίνει $3 \cdot 2 - 3 = 3$ .
14. 14
  Το (3, 2) δίνει $3 \cdot 3 - 2 = 7$ .
15. 15
  Αυτό ακριβώς είναι το ζητούμενο.
16. 16
  Το (4, 1) δίνει $3 \cdot 4 - 1 = 11$ .
17. 17
  Το (5, 0) δίνει 15.
18. 18
  Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (3, 2), δηλαδή το μοναδικό σημείο της πρώτης ευθείας που ανήκει και στη δεύτερη.
19. 19
  Πρόσεξε ότι τα αποτελέσματα μεγαλώνουν σταθερά καθώς προχωράμε στη λίστα, οπότε δεν υπάρχει δεύτερο ζεύγος που να δίνει 7.
2Μεσαίοgg-sys-m2
Να κατατάξεις τα τρία συστήματα ως προς το πλήθος των λύσεών τους. Πρώτο: $2 x - 3 y = 6$ και $4 x - 6 y = 12$ . Δεύτερο: $2 x - 3 y = 6$ και $4 x - 6 y = 18$ . Τρίτο: $2 x - 3 y = 6$ και $4 x + y = 12$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Στο πρώτο σύστημα πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 2 και παίρνουμε $4 x - 6 y = 12$ , δηλαδή ακριβώς τη δεύτερη.
2. 2
  Οι δύο ευθείες συμπίπτουν, άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και είναι αόριστο.
3. 3
  Στο δεύτερο σύστημα ο ίδιος πολλαπλασιασμός δίνει $4 x - 6 y = 12$ .
4. 4
  Η δεύτερη εξίσωση όμως απαιτεί η ίδια παράσταση να ισούται με 18.
5. 5
  Οι δύο ευθείες έχουν την ίδια κλίση αλλά διαφορετικό σταθερό όρο, άρα είναι παράλληλες και το σύστημα είναι αδύνατο.
6. 6
  Στο τρίτο σύστημα οι συντελεστές δεν είναι ανάλογοι, γιατί το 4 είναι διπλάσιο του 2 αλλά το 1 δεν είναι διπλάσιο του −3.
7. 7
  Οι ευθείες τέμνονται, οπότε υπάρχει μία μόνο λύση.
8. 8
  Τη βρίσκουμε: από την πρώτη εξίσωση προκύπτει $3 y = 2 x - 6$ , δηλαδή $y = \frac{2 x - 6}{3}$ .
9. 9
  Αντικαθιστούμε στη δεύτερη και έχουμε $4 x + \frac{2 x - 6}{3} = 12$ .
10. 10
  Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη με 3 και παίρνουμε $12 x + 2 x - 6 = 36$ , δηλαδή $14 x = 42$ , οπότε $x = 3$ .
11. 11
  Τότε $y = \frac{6 - 6}{3} = 0$ .
12. 12
  Η μοναδική λύση είναι το ζεύγος (3, 0).
13. 13
  Ο τρόπος με τον οποίο τη βρήκαμε, με αντικατάσταση, διδάσκεται αναλυτικά στην επόμενη παράγραφο.
3Εύκολοgg-sys-e4
Να προσδιορίσεις το πλήθος των λύσεων του συστήματος $2 x + y = 5$ και $6 x + 3 y = 15$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Παρατηρούμε τη σχέση των δύο εξισώσεων.
2. 2
  Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της πρώτης με 3, παίρνουμε $6 x + 3 y = 15$ , δηλαδή ακριβώς τη δεύτερη εξίσωση.
3. 3
  Οι δύο εξισώσεις είναι λοιπόν ισοδύναμες: κάθε ζεύγος που επαληθεύει τη μία επαληθεύει και την άλλη.
4. 4
  Γραφικά οι δύο ευθείες συμπίπτουν, οπότε έχουν άπειρα κοινά σημεία.
5. 5
  Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και λέγεται αόριστο.
6. 6
  Για παράδειγμα, τα ζεύγη (0, 5), (1, 3) και (2, 1) είναι όλα λύσεις του.
4Μεσαίοgg-sys-m3
Να λύσεις τα δύο παρακάτω συστήματα, αξιοποιώντας ότι σε καθένα η μία εξίσωση δίνει κατευθείαν τον έναν άγνωστο. α) $x = 5$ μαζί με $2 x + 3 y = 22$ . β) $y = - 3$ μαζί με $4 x + 5 y = 9$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Στο ερώτημα α) η εξίσωση $x = 5$ παριστάνει κατακόρυφη ευθεία: όλα τα σημεία της έχουν πρώτη συντεταγμένη 5, όποια και αν είναι η δεύτερη.
2. 2
  Επειδή το κοινό σημείο ανήκει και σε αυτήν, γνωρίζουμε ήδη ότι $x = 5$ .
3. 3
  Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση και έχουμε $2 \cdot 5 + 3 y = 22$ , δηλαδή $10 + 3 y = 22$ .
4. 4
  Μεταφέρουμε το 10 στο δεύτερο μέλος: $3 y = 22 - 10 = 12$ .
5. 5
  Άρα $y = 4$ και η λύση είναι το ζεύγος (5, 4).
6. 6
  Στο ερώτημα β) η εξίσωση $y = - 3$ παριστάνει οριζόντια ευθεία, άρα το κοινό σημείο έχει δεύτερη συντεταγμένη −3.
7. 7
  Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση και έχουμε $4 x + 5 \cdot (- 3) = 9$ , δηλαδή $4 x - 15 = 9$ .
8. 8
  Μεταφέρουμε το −15 στο δεύτερο μέλος: $4 x = 9 + 15 = 24$ .
9. 9
  Άρα $x = 6$ και η λύση είναι το ζεύγος (6, −3).
10. 10
  Κράτα τον κανόνα: όταν η μία εξίσωση δίνει κατευθείαν τον έναν άγνωστο, η δουλειά είναι εύκολη, γιατί η μία από τις δύο ευθείες είναι οριζόντια ή κατακόρυφη και μας δίνει έτοιμη τη μία συντεταγμένη του κοινού σημείου.
5Εύκολοgg-sys-e3
Χωρίς να κάνεις σχήμα, να εξηγήσεις γιατί το σύστημα $3 x - y = 4$ και $3 x - y = 7$ είναι αδύνατο.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Οι δύο εξισώσεις έχουν ΑΚΡΙΒΩΣ το ίδιο πρώτο μέλος, την παράσταση $3 x - y$ .
2. 2
  Η πρώτη απαιτεί η παράσταση αυτή να ισούται με 4 και η δεύτερη να ισούται με 7.
3. 3
  Δεν υπάρχει ζεύγος αριθμών για το οποίο η ίδια παράσταση να δίνει ταυτόχρονα δύο διαφορετικές τιμές.
4. 4
  Άρα το σύστημα δεν έχει καμία λύση και λέγεται αδύνατο.
5. 5
  Γραφικά, οι δύο ευθείες έχουν την ίδια κλίση αλλά διαφορετικό σταθερό όρο, οπότε είναι παράλληλες και δεν τέμνονται πουθενά.
6Μεσαίοgg-sys-m4
Σε μια σχολική παράσταση πουλήθηκαν συνολικά 100 εισιτήρια και εισπράχθηκαν 600 ευρώ. Το εισιτήριο μαθητή κοστίζει 4 ευρώ και το εισιτήριο ενήλικα 9 ευρώ. Να γράψεις το σύστημα που περιγράφει το πρόβλημα και να βρεις πόσα εισιτήρια πουλήθηκαν από κάθε είδος.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ονομάζουμε $x$ το πλήθος των μαθητικών εισιτηρίων και $y$ το πλήθος των εισιτηρίων ενηλίκων.
2. 2
  Το πρόβλημα μάς δίνει δύο πληροφορίες, οπότε γράφουμε δύο εξισώσεις.
3. 3
  Η πρώτη βγαίνει από το συνολικό πλήθος των εισιτηρίων: $x + y = 100$ .
4. 4
  Η δεύτερη βγαίνει από τη συνολική είσπραξη, αφού κάθε μαθητικό εισιτήριο φέρνει 4 ευρώ και κάθε εισιτήριο ενήλικα 9 ευρώ: $4 x + 9 y = 600$ .
5. 5
  Αυτό ακριβώς είναι το σύστημα του προβλήματος.
6. 6
  Το λύνουμε ως εξής.
7. 7
  Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε $y = 100 - x$ .
8. 8
  Αντικαθιστούμε στη δεύτερη και παίρνουμε $4 x + 9 (100 - x) = 600$ .
9. 9
  Κάνουμε τις πράξεις: $4 x + 900 - 9 x = 600$ , οπότε $- 5 x = - 300$ .
10. 10
  Άρα $x = 60$ .
11. 11
  Τότε $y = 100 - 60 = 40$ .
12. 12
  Πουλήθηκαν λοιπόν 60 μαθητικά εισιτήρια και 40 εισιτήρια ενηλίκων.
13. 13
  Επαλήθευση: $60 + 40 = 100$ και $4 \cdot 60 + 9 \cdot 40 = 240 + 360 = 600$ .
14. 14
  Γραφικά, οι δύο εξισώσεις παριστάνουν δύο ευθείες που τέμνονται στο σημείο (60, 40): εκεί ικανοποιούνται ταυτόχρονα και το πλήθος και η είσπραξη.
15. 15
  Τη μέθοδο της αντικατάστασης, με την οποία λύσαμε εδώ το σύστημα, θα τη μάθεις αναλυτικά στην επόμενη παράγραφο.
16. 16
  Σε αυτή την παράγραφο το ζητούμενο είναι κυρίως να ΣΤΗΣΕΙΣ σωστά το σύστημα από το κείμενο.
7Μεσαίοgg-sys-m1
Για καθεμία από τις ευθείες $x + y = 6$ και $2 x - y = 6$ να βρεις τα σημεία της που αντιστοιχούν σε $x = 0, x = 2, x = 4$ και $x = 6$ . Στη συνέχεια να εντοπίσεις το κοινό σημείο των δύο ευθειών, δηλαδή τη λύση του συστήματος.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Δουλεύουμε κάθε ευθεία χωριστά, βάζοντας τις τιμές του $x$ και βρίσκοντας κάθε φορά το $y$ .
2. 2
  Για την πρώτη ευθεία λύνουμε ως προς $y$ και έχουμε $y = 6 - x$ .
3. 3
  Για $x = 0$ βρίσκουμε $y = 6$ .
4. 4
  Για $x = 2$ βρίσκουμε $y = 4$ .
5. 5
  Για $x = 4$ βρίσκουμε $y = 2$ .
6. 6
  Για $x = 6$ βρίσκουμε $y = 0$ .
7. 7
  Τα σημεία της είναι λοιπόν τα (0, 6), (2, 4), (4, 2) και (6, 0).
8. 8
  Για τη δεύτερη ευθεία λύνουμε πάλι ως προς $y$ και έχουμε $y = 2 x - 6$ .
9. 9
  Για $x = 0$ βρίσκουμε $y = - 6$ .
10. 10
  Για $x = 2$ βρίσκουμε $y = - 2$ .
11. 11
  Για $x = 4$ βρίσκουμε $y = 2$ .
12. 12
  Για $x = 6$ βρίσκουμε $y = 6$ .
13. 13
  Τα σημεία της είναι τα (0, −6), (2, −2), (4, 2) και (6, 6).
14. 14
  Συγκρίνουμε τώρα τις δύο τετράδες σημείων.
15. 15
  Το μοναδικό σημείο που εμφανίζεται και στις δύο είναι το (4, 2).
16. 16
  Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος $(x, y) = (4, 2)$ .
17. 17
  Επαλήθευση στις αρχικές εξισώσεις: $4 + 2 = 6$ και $2 \cdot 4 - 2 = 6$ .
18. 18
  Αν σχεδιάσουμε τις δύο ευθείες σε χαρτί με τετραγωνάκια, θα δούμε ακριβώς αυτό: τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, το (4, 2).
19. 19
  Πρόσεξε πού κρύβεται ο κίνδυνος της γραφικής μεθόδου.
20. 20
  Εδώ οι συντεταγμένες του κοινού σημείου βγήκαν ακέραιες, οπότε ο πίνακας τιμών το εντόπισε.
21. 21
  Αν δεν ήταν ακέραιες, ούτε ο πίνακας ούτε το μάτι θα αρκούσαν, και γι᾽ αυτό στην επόμενη παράγραφο μαθαίνουμε να βρίσκουμε τη λύση με πράξεις.
8Μεσαίοgg-sys-m5
Να γράψεις καθεμία από τις εξισώσεις $2 x + y = 7$ και $6 x + 3 y = 9$ στη μορφή $y = α x + β$ και να αποφασίσεις από τη μορφή αυτή πόσες λύσεις έχει το σύστημα.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Λύνουμε κάθε εξίσωση ως προς $y$ .
2. 2
  Από την πρώτη, $2 x + y = 7$ , προκύπτει $y = - 2 x + 7$ .
3. 3
  Η κλίση της είναι −2 και ο σταθερός όρος 7.
4. 4
  Από τη δεύτερη, $6 x + 3 y = 9$ , προκύπτει $3 y = - 6 x + 9$ .
5. 5
  Διαιρούμε και τα δύο μέλη με 3 και παίρνουμε $y = - 2 x + 3$ .
6. 6
  Η κλίση της είναι επίσης −2, αλλά ο σταθερός όρος είναι 3.
7. 7
  Οι δύο ευθείες έχουν λοιπόν ΙΔΙΑ κλίση και ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ σταθερό όρο, οπότε είναι παράλληλες και δεν τέμνονται πουθενά.
8. 8
  Το σύστημα δεν έχει καμία λύση, δηλαδή είναι αδύνατο.
9. 9
  Πρόσεξε πόσο λίγο χρειάζεται για να αλλάξει η απάντηση: αν η δεύτερη εξίσωση ήταν $6 x + 3 y = 21, θ α$ έδινε $y = - 2 x + 7$ , δηλαδή ΤΗΝ ΙΔΙΑ ευθεία με την πρώτη, και τότε το σύστημα θα είχε άπειρες λύσεις.
10. 10
  Ο κανόνας έχει δύο βήματα, με αυτή ακριβώς τη σειρά.
11. 11
  Πρώτα συγκρίνουμε τις ΚΛΙΣΕΙΣ.
12. 12
  Αν διαφέρουν, οι ευθείες τέμνονται σε ένα ακριβώς σημείο και το σύστημα έχει μία λύση.
13. 13
  Αν οι κλίσεις είναι ίδιες, τότε και μόνο τότε κοιτάμε τον σταθερό όρο: ίδιος σημαίνει ότι οι ευθείες συμπίπτουν και οι λύσεις είναι άπειρες, διαφορετικός σημαίνει ότι είναι παράλληλες και το σύστημα είναι αδύνατο.
9Εύκολοgg-sys-e5
Να βρεις τα σημεία στα οποία η ευθεία $2 x + 5 y = 20$ τέμνει τους δύο άξονες.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Κάθε σημείο του κατακόρυφου άξονα, δηλαδή του άξονα των $y$ , έχει πρώτη συντεταγμένη 0.
2. 2
  Θέτουμε λοιπόν $x = 0$ και η εξίσωση γίνεται $5 y = 20$ , οπότε $y = 4$ .
3. 3
  Άρα η ευθεία τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο σημείο (0, 4).
4. 4
  Κάθε σημείο του οριζόντιου άξονα, δηλαδή του άξονα των $x$ , έχει δεύτερη συντεταγμένη 0.
5. 5
  Θέτουμε $y = 0$ και η εξίσωση γίνεται $2 x = 20$ , οπότε $x = 10$ .
6. 6
  Άρα η ευθεία τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο (10, 0).
7. 7
  Με αυτά τα δύο σημεία μπορούμε να σχεδιάσουμε ολόκληρη την ευθεία, γιατί δύο σημεία αρκούν για να οριστεί μία ευθεία.
10Εύκολοgg-sys-e1
Το σύστημα των εξισώσεων $x - y = 4$ και $2 x + y = 11$ έχει ως λύση τις συντεταγμένες ενός από τα σημεία $A (1, - 3), B (5, 1), Γ (3, - 1), Δ (4, 0)$ . Να βρεις ποιο είναι αυτό και να εξηγήσεις γιατί τα άλλα τρία απορρίπτονται.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Λύση ενός συστήματος είναι το ζεύγος που επαληθεύει ΚΑΙ ΤΙΣ ΔΥΟ εξισώσεις, όχι μόνο τη μία.
2. 2
  Δοκιμάζουμε λοιπόν κάθε σημείο και στις δύο.
3. 3
  Για το $A (1, - 3)$ : η πρώτη δίνει $1 - (- 3) = 4$ , σωστό.
4. 4
  Η δεύτερη όμως δίνει $2 \cdot 1 + (- 3) = - 1$ .
5. 5
  Χρειαζόταν 11, άρα απορρίπτεται.
6. 6
  Για το $Γ (3, - 1)$ : η πρώτη δίνει $3 - (- 1) = 4$ , σωστό.
7. 7
  Η δεύτερη δίνει $2 \cdot 3 + (- 1) = 5$ .
8. 8
  Χρειαζόταν 11, άρα απορρίπτεται.
9. 9
  Για το Δ(4, 0): η πρώτη δίνει $4 - 0 = 4$ , σωστό.
10. 10
  Η δεύτερη δίνει $2 \cdot 4 + 0 = 8$ .
11. 11
  Χρειαζόταν 11, άρα απορρίπτεται.
12. 12
  Για το Β(5, 1): η πρώτη δίνει $5 - 1 = 4$ , σωστό, και η δεύτερη δίνει $2 \cdot 5 + 1 = 11$ , σωστό.
13. 13
  Άρα η λύση είναι το ζεύγος (5, 1).
14. 14
  Πρόσεξε ότι και τα τέσσερα σημεία επαληθεύουν την πρώτη εξίσωση, δηλαδή βρίσκονται όλα πάνω στην πρώτη ευθεία.
15. 15
  Αυτό ακριβώς δείχνει τι σημαίνει η λύση του συστήματος γραφικά: από όλα τα σημεία της πρώτης ευθείας κρατάμε μόνο εκείνο που ανήκει ΚΑΙ στη δεύτερη.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-sys-m3
Να λύσεις τα δύο παρακάτω συστήματα, αξιοποιώντας ότι σε καθένα η μία εξίσωση δίνει κατευθείαν τον έναν άγνωστο. α) $x = 5$ μαζί με $2 x + 3 y = 22$ . β) $y = - 3$ μαζί με $4 x + 5 y = 9$ .
2Μεσαίοgg-sys-m2
Να κατατάξεις τα τρία συστήματα ως προς το πλήθος των λύσεών τους. Πρώτο: $2 x - 3 y = 6$ και $4 x - 6 y = 12$ . Δεύτερο: $2 x - 3 y = 6$ και $4 x - 6 y = 18$ . Τρίτο: $2 x - 3 y = 6$ και $4 x + y = 12$ .
3Μεσαίοgg-sys-m5
Να γράψεις καθεμία από τις εξισώσεις $2 x + y = 7$ και $6 x + 3 y = 9$ στη μορφή $y = α x + β$ και να αποφασίσεις από τη μορφή αυτή πόσες λύσεις έχει το σύστημα.
4Δύσκολοgg-sys-h2
Δίνονται οι ευθείες $ε_{1}$ : $x + 2 y = 10$ και $ε_{2}$ : $x - y = - 2$ . Να βρεις το σημείο τομής τους και το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν μαζί με τον οριζόντιο άξονα. Κορυφές του τριγώνου είναι τα δύο σημεία στα οποία οι ευθείες τέμνουν τον οριζόντιο άξονα και το σημείο τομής των δύο ευθειών.
5Μεσαίοgg-sys-m1
Για καθεμία από τις ευθείες $x + y = 6$ και $2 x - y = 6$ να βρεις τα σημεία της που αντιστοιχούν σε $x = 0, x = 2, x = 4$ και $x = 6$ . Στη συνέχεια να εντοπίσεις το κοινό σημείο των δύο ευθειών, δηλαδή τη λύση του συστήματος.
6Δύσκολοgg-sys-h4
Να βρεις τους αριθμούς α και β ώστε το σύστημα $2 x + 3 y = 7$ και $α x + 9 y = β$ να έχει άπειρες λύσεις.
7Δύσκολοgg-sys-h5
Ένα γυμναστήριο δίνει τρεις επιλογές. Πρώτη: 15 ευρώ κάθε φορά που πηγαίνει κάποιος. Δεύτερη: 40 ευρώ εγγραφή και 7 ευρώ κάθε φορά. Τρίτη: 180 ευρώ ετήσια συνδρομή με απεριόριστες επισκέψεις. Να βρεις για πόσες επισκέψεις κοστίζουν το ίδιο η πρώτη με τη δεύτερη επιλογή, καθώς και η δεύτερη με την τρίτη. Ποια επιλογή συμφέρει για 10 επισκέψεις και ποια για 25;
8Μεσαίοgg-sys-m4
Σε μια σχολική παράσταση πουλήθηκαν συνολικά 100 εισιτήρια και εισπράχθηκαν 600 ευρώ. Το εισιτήριο μαθητή κοστίζει 4 ευρώ και το εισιτήριο ενήλικα 9 ευρώ. Να γράψεις το σύστημα που περιγράφει το πρόβλημα και να βρεις πόσα εισιτήρια πουλήθηκαν από κάθε είδος.
9Δύσκολοgg-sys-h1
Δύο αυτοκίνητα κινούνται σε αυτοκινητόδρομο και αρχίζουμε να τα παρατηρούμε την ίδια στιγμή. Του πρώτου η ταχύτητα σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο δίνεται από τη σχέση $u = 4 + 3 t$ και του δεύτερου από τη σχέση $u = 16 + t$ , όπου $t$ ο χρόνος σε δευτερόλεπτα. Να βρεις την αρχική ταχύτητα καθενός και σε πόσα δευτερόλεπτα θα έχουν την ίδια ταχύτητα.
10Δύσκολοgg-sys-h3
Για ποια τιμή του α το σύστημα $3 x - 2 y = 5$ και $α x + 4 y = 7$ είναι αδύνατο; Να δικαιολογήσεις γιατί για την τιμή αυτή οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⫝ Quiz · Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

← Προηγούμενο

3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Επόμενο →

3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος