Κεφ. 3 - Συστήματα γραμμικών εξισώσεων›3.2 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 3 - Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

§3.2 Γραμμικό σύστημα 2×2 — γραφική επίλυση

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α

🔀Σύστημα δύο εξισώσεων

•
Γραμμικό σύστημα: ${α_{1} x + β_{1} y = γ_{1}, α_{2} x + β_{2} y = γ_{2}}$ . Λύση είναι ζεύγος (x, $y$ ) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα.

✏️Γραφική επίλυση

•
Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις δύο ευθείες. Το σημείο τομής είναι η μοναδική λύση του συστήματος.
💡 Παράδειγμα:
${x + y = 4, x - y = 0} \to οι δ \overset{υ}{ˊ} ο ευθε \overset{ι}{ˊ} ες τ \overset{ε}{ˊ} μνονται στο (2, 2) .$
•
Διερεύνηση από τη γραφική: $Τ \overset{ε}{ˊ} μνονται \to μοναδικ \overset{η}{ˊ} λ \overset{υ}{ˊ} ση Παρ \overset{α}{ˊ} λληλες \to αδ \overset{υ}{ˊ} νατο Συμπ \overset{ι}{ˊ} πτουν \to \overset{α}{ˊ} πειρες λ \overset{υ}{ˊ} σεις$
•
Παράλληλες ευθείες (ίδια κλίση, διαφορετικό σταθερό όρο): καμία τομή ⇒ σύστημα αδύνατο.
💡 Παράδειγμα:
${x + y = 2, x + y = 5} \to \overset{ι}{ˊ} δια κλ \overset{ι}{ˊ} ση - 1, διαφορετικ \overset{ο}{ˊ} ς σταθερ \overset{ο}{ˊ} ς \overset{ο}{ˊ} ρος \Rightarrow αδ \overset{υ}{ˊ} νατο .$
•
Συμπίπτουσες ευθείες (η μία πολλαπλάσιο της άλλης): άπειρα κοινά σημεία ⇒ άπειρες λύσεις (αόριστο).
💡 Παράδειγμα:
${x + y = 3, 2 x + 2 y = 6} \to η δε \overset{υ}{ˊ} τερη ε \overset{ι}{ˊ} ναι 2 φορ \overset{ε}{ˊ} ς η πρ \overset{ω}{ˊ} τη \Rightarrow \overset{α}{ˊ} πειρες λ \overset{υ}{ˊ} σεις .$
❓ Γιατί:Η γραφική επίλυση μάς δίνει εικόνα, αλλά είναι ανακριβής για μη ακέραιες λύσεις. Γι’ αυτό μαθαίνουμε αλγεβρικές μεθόδους στην §3.3.
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Λύση γραμμικού συστήματος

2 \times 2

είναι ζεύγος

(x, y)

που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.

2Σωστό / Λάθος

Αν οι δύο ευθείες ενός συστήματος είναι παράλληλες, το σύστημα έχει μοναδική λύση.

3Σωστό / Λάθος

Γραφικά, η λύση του συστήματος είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών.

4Πολλαπλής επιλογής

Σε ποιο σημείο τέμνονται οι ευθείες του

x + y = 4, x - y = 0

;

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσες λύσεις έχει ένα σύστημα όταν οι δύο ευθείες συμπίπτουν;

6Πολλαπλής επιλογής

Το σύστημα

x + y = 2, x + y = 5

είναι:

7Πολλαπλής επιλογής

Το σύστημα

x + y = 3, 2 x + 2 y = 6

έχει:

8Πολλαπλής επιλογής

Δύο ευθείες με ίδια κλίση και διαφορετικό σταθερό όρο είναι:

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⫝ Quiz · Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

← Προηγούμενο

3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Επόμενο →

3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος