Κεφ. 2 - Εξισώσεις - Ανισώσεις›2.2 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 2 - Εξισώσεις - Ανισώσεις

§2.2 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🟰Μορφή & διακρίνουσα

•
Εξίσωση β΄ βαθμού: $α x^{2} + β x + γ = 0$ με $α \neq = 0$ . $α x^{2} + β x + γ = 0$
•
Διακρίνουσα: $Δ = β^{2} - 4 α γ$ . Πλήθος & είδος ριζών προσδιορίζεται από το πρόσημό της. $Δ = β^{2} - 4 α γ$
•
Τύπος επίλυσης (όταν Δ ≥ 0): $x = \frac{- β \pm Δ}{2 α}$

🧮Διερεύνηση ριζών

•
Αν $Δ > 0$ : δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow Δ = 25 - 24 = 1 \Rightarrow x = \frac{5 \pm 1}{2} = 3 \overset{η}{ˊ} 2.$
•
Αν $Δ = 0$ : μία διπλή ρίζα $x = - \frac{β}{2 α}$ .
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} - 4 x + 4 = 0 \Rightarrow Δ = 0 \Rightarrow x = 2 (διπλ \overset{η}{ˊ}) .$
•
Αν $Δ < 0$ : δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες (αδύνατη στους ℝ).
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} + x + 1 = 0 \Rightarrow Δ = 1 - 4 = - 3 < 0 \Rightarrow αδ \overset{υ}{ˊ} νατη .$
❓ Γιατί:Το $Δ$ θα έπρεπε να είναι $αρνητι$ κού — δεν ορίζεται στους πραγματικούς. Στους μιγαδικούς (Λύκειο) ορίζεται.
📎 Δες και:

⚡Ειδικές περιπτώσεις (χωρίς τύπο)

•
Ελλιπείς εξισώσεις: $α x^{2} + γ = 0$ ή $α x^{2} + β x = 0$ λύνονται γρήγορα χωρίς διακρίνουσα.
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3.$
$x^{2} - 5 x = 0 \Rightarrow x (x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0 \overset{η}{ˊ} x = 5.$
•
Παραγοντοποίηση: αν το τριώνυμο παραγοντοποιείται εύκολα, γράφουμε γινόμενο $= 0$ και εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το 0.
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 3 \overset{η}{ˊ} x = 4.$
❓ Γιατί:Στόχος είναι πάντα να φέρουμε την εξίσωση σε μορφή «γινόμενο $= 0$ ». Η ιδιότητα $α \cdot β = 0$ ⇒ $α = 0$ ή $β = 0$ μετατρέπει ένα πρόβλημα β΄ βαθμού σε δύο α΄ βαθμού.
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Η διακρίνουσα της

α x^{2} + β x + γ = 0

είναι

Δ = β^{2} - 4 α γ

2Σωστό / Λάθος

Αν

Δ < 0

, η εξίσωση β΄ βαθμού έχει δύο πραγματικές ρίζες.

3Σωστό / Λάθος

Αν

Δ = 0

, η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα

x = \frac{- β}{2 α}

4Πολλαπλής επιλογής

Πόσες πραγματικές ρίζες έχει η

x^{2} - 5 x + 6 = 0

;

5Πολλαπλής επιλογής

Οι ρίζες της

x^{2} - 5 x + 6 = 0

είναι:

6Πολλαπλής επιλογής

Η διακρίνουσα της

x^{2} + x + 1 = 0

είναι:

7Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την

x^{2} - 9 = 0

8Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την

x^{2} - 5 x = 0

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgg-5.1-e1
Λύσε: $(x - 3) (x + 2) = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $x - 3 = 0$ ή $x + 2 = 0$
2. 2
  $x = 3$ ή $x = - 2$ .
2Μεσαίοgg-5.1-m3
Λύσε: $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $(x + 4) (x - 1) = 0$
2. 2
  $x = - 4$ ή $x = 1$ .
3Εύκολοgg-5.1-e2
Λύσε: $x^{2} - 2 x = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $x (x - 2) = 0$
2. 2
  $x = 0$ ή $x = 2$ .
4Μεσαίοgg-5.2-m2
Λύσε: $2 x^{2} - x - 3 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $Δ = 1 + 24 = 25$
2. 2
  $Δ = 5$ . $x = \frac{1 \pm 5}{4}$
3. 3
  $x = \frac{3}{2}$ ή $x = - 1$ .
5Εύκολοgg-5.1-e3
Λύσε: $x^{2} - 100 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $(x - 10) (x + 10) = 0$
2. 2
  $x = \pm 10$ .
6Μεσαίοgg-5.1-m2
Λύσε: $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $(x - 3) (x - 5) = 0$
2. 2
  $x = 3$ ή $x = 5$ .
7Μεσαίοgg-5.3-m2
Λύσε: $x^{3} - x^{2} - 5 x + 5 = 0$ (με ομαδοποίηση).
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $x^{2} (x - 1) - 5 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} - 5) = 0$
2. 2
  $x = 1$ ή $x = \pm 5$ .
8Μεσαίοgg-5.2-m1
Λύσε: $6 x^{2} + x - 2 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $Δ = 1 + 48 = 49$
2. 2
  $Δ = 7$ . $x = \frac{- 1 \pm 7}{12}$
3. 3
  $x = \frac{1}{2}$ ή $x = - \frac{2}{3}$ .
9Μεσαίοgg-5.1-m1
Λύσε: $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $(x - 1)^{2} = 0$
2. 2
  $x = 1$ (διπλή ρίζα).
10Εύκολοgg-5.1-e4
Λύσε: $3 x^{2} - 15 x = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $3 x (x - 5) = 0$
2. 2
  $x = 0$ ή $x = 5$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-5.1-m1
Λύσε: $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ .
2Μεσαίοgg-5.1-m3
Λύσε: $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .
3Μεσαίοgg-5.1-m2
Λύσε: $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ .
4Μεσαίοgg-5.3-m1
Λύσε: $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$ .
5Μεσαίοgg-5.2-m2
Λύσε: $2 x^{2} - x - 3 = 0$ .
6Δύσκολοgg-5.3-h1
Λύσε τη διτετράγωνη: $x^{4} - 6 x^{2} + 5 = 0$ .
7Μεσαίοgg-5.3-m2
Λύσε: $x^{3} - x^{2} - 5 x + 5 = 0$ (με ομαδοποίηση).
8Μεσαίοgg-5.2-m1
Λύσε: $6 x^{2} + x - 2 = 0$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔻 Quiz · Εξισώσεις 2ου βαθμού & Κλασματικές

← Προηγούμενο

2.1 Η εξίσωση αx + β = 0

Επόμενο →

2.3 Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού