Κεφ. 2 - Εξισώσεις - Ανισώσεις›2.1 Η εξίσωση αx + β = 0

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 2 - Εξισώσεις - Ανισώσεις

§2.1 Η εξίσωση αx + β = 0

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

⚖️Επίλυση & διερεύνηση

•
Η εξίσωση αx + β = 0 (α, β γνωστοί, $x$ άγνωστος) ονομάζεται γραμμική εξίσωση α΄ βαθμού με έναν άγνωστο. $α x + β = 0$
•
Αν $α \neq = 0$ : μοναδική λύση $x = - \frac{β}{α}$ .
💡 Παράδειγμα:
$3 x + 6 = 0 \Rightarrow x = - \frac{6}{3} = - 2.$
•
Αν $α = 0$ και $β \neq = 0$ : αδύνατη (καμία λύση).
💡 Παράδειγμα:
$0 \cdot x + 5 = 0 \Rightarrow 5 = 0 \overset{α}{ˊ} τοπο .$
•
Αν $α = 0$ και $β = 0$ : ταυτότητα (κάθε πραγματικός αριθμός είναι λύση — αόριστη).
💡 Παράδειγμα:
$0 \cdot x + 0 = 0 \Rightarrow ισχ \overset{υ}{ˊ} ει για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in R .$
❓ Γιατί:Η διερεύνηση μάς λέει «κάτω από ποιες συνθήκες έχει λύση και ποια». Είναι ίδια λογική με τη Β΄ Γυμν., μόνο που τώρα μπορεί α, β να είναι παραστάσεις.
📎 Δες και:

🔤Παραμετρικές εξισώσεις

•
Όταν οι συντελεστές έχουν παράμετρο, διερευνούμε για ποιες τιμές της παραμέτρου η εξίσωση έχει μοναδική λύση, είναι αδύνατη ή ταυτότητα.
💡 Παράδειγμα:
$(λ - 2) x = λ^{2} - 4 \Rightarrow αν λ \neq = 2 : x = λ + 2, αν λ = 2 : ταυτ \overset{ο}{ˊ} τητα (κ \overset{α}{ˊ} θε x) .$

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgg-eks1-e2
Να χαρακτηρίσεις τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες. α) Η εξίσωση $\frac{x}{4} = 3$ έχει λύση $x = 12$ . β) Η εξίσωση $7 x = 0$ είναι αδύνατη. γ) Η εξίσωση $0 x = 0$ έχει λύση οποιονδήποτε αριθμό. δ) Η εξίσωση $0 x = 5$ έχει λύση $x = 5$ . ε) Η εξίσωση $3 (x + 2) = 3 x + 6$ είναι ταυτότητα.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) ΣΩΣΤΗ.
2. 2
  Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με το 4 παίρνουμε $x = 12$ .
3. 3
  β) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
4. 4
  Ο συντελεστής του αγνώστου είναι 7, διάφορος του μηδενός, οπότε η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, $x = 0$ .
5. 5
  Το μηδέν είναι λύση σαν κάθε άλλος αριθμός, και μια εξίσωση που έχει λύση δεν λέγεται αδύνατη.
6. 6
  γ) ΣΩΣΤΗ.
7. 7
  Όποιον αριθμό και αν βάλουμε, το πρώτο μέλος γίνεται 0 και η ισότητα αληθεύει.
8. 8
  Λέμε ότι η εξίσωση είναι ταυτότητα, ή αόριστη.
9. 9
  δ) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
10. 10
  Όποιον αριθμό και αν βάλουμε, το πρώτο μέλος γίνεται 0, ποτέ 5.
11. 11
  Η εξίσωση είναι αδύνατη.
12. 12
  ε) ΣΩΣΤΗ.
13. 13
  Κάνοντας τις πράξεις στο πρώτο μέλος βρίσκουμε $3 x + 6$ , δηλαδή ακριβώς το δεύτερο μέλος.
14. 14
  Καταλήγουμε σε $0 x = 0$ .
15. 15
  Αυτό αληθεύει για κάθε τιμή του $x$ .
2Εύκολοgg-eks1-e1
Να λύσεις την εξίσωση $3 (x - 4) + 2 (x + 1) = 4 x + 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Κάνουμε πρώτα τις πράξεις στο πρώτο μέλος, προσέχοντας να πολλαπλασιάσουμε κάθε αριθμό με ΟΛΟΥΣ τους όρους της παρένθεσής του: $3 (x - 4) = 3 x - 12$ και $2 (x + 1) = 2 x + 2$ .
2. 2
  Η εξίσωση γίνεται $3 x - 12 + 2 x + 2 = 4 x + 1$ , δηλαδή $5 x - 10 = 4 x + 1$ .
3. 3
  Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, μεταφέροντας το $4 x$ στο πρώτο μέλος και το −10 στο δεύτερο, με αλλαγή προσήμου: $5 x - 4 x = 1 + 10$ , δηλαδή $x = 11$ .
4. 4
  Επαλήθευση, που αξίζει πάντα να γίνεται: για $x = 11$ το πρώτο μέλος δίνει $3 \cdot 7 + 2 \cdot 12 = 21 + 24 = 45$ και το δεύτερο $4 \cdot 11 + 1 = 45$ .
5. 5
  Τα δύο μέλη συμφωνούν, άρα η λύση είναι σωστή.
3Μεσαίοgg-eks1-m2
Να λύσεις την εξίσωση $0, 5 (2 x - 6) - (x - 4) = 0, 2 (5 x - 10)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Κάνουμε τις πράξεις σε κάθε παρένθεση χωριστά.
2. 2
  Στο πρώτο μέλος: $0, 5 (2 x - 6) = x - 3$ , και το $- (x - 4)$ δίνει $- x + 4$ , γιατί το μείον μπροστά από παρένθεση αλλάζει τα πρόσημα ΟΛΩΝ των όρων της.
3. 3
  Άρα το πρώτο μέλος γίνεται $x - 3 - x + 4 = 1$ .
4. 4
  Πρόσεξε τι έγινε: οι όροι με το $x$ απλοποιήθηκαν και έμεινε σκέτος αριθμός.
5. 5
  Στο δεύτερο μέλος: $0, 2 (5 x - 10) = x - 2$ .
6. 6
  Η εξίσωση γίνεται λοιπόν $1 = x - 2$ , οπότε $x = 3$ .
7. 7
  Επαλήθευση: για $x = 3$ το πρώτο μέλος δίνει $0, 5 \cdot 0 - (- 1) = 1$ και το δεύτερο $0, 2 \cdot 5 = 1$ .
8. 8
  Συμφωνούν.
4Εύκολοgg-eks1-m4
Το τετραπλάσιο ενός αριθμού, ελαττωμένο κατά 7, είναι ίσο με το τριπλάσιο του ίδιου αριθμού, αυξημένο κατά 2. Ποιος είναι ο αριθμός;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ονομάζουμε $x$ τον ζητούμενο αριθμό και μεταφράζουμε την πρόταση σε εξίσωση κομμάτι κομμάτι.
2. 2
  Το τετραπλάσιό του είναι $4 x$ .
3. 3
  Ελαττωμένο κατά 7 σημαίνει $4 x - 7$ , και αυτό είναι το πρώτο μέλος.
4. 4
  Το τριπλάσιό του είναι $3 x$ .
5. 5
  Αυξημένο κατά 2 σημαίνει $3 x + 2$ , και αυτό είναι το δεύτερο μέλος.
6. 6
  Η εξίσωση είναι λοιπόν $4 x - 7 = 3 x + 2$ .
7. 7
  Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους: $4 x - 3 x = 2 + 7$ , δηλαδή $x = 9$ .
8. 8
  Επαλήθευση με τα ίδια τα λόγια του προβλήματος: το τετραπλάσιο του 9 είναι 36, και ελαττωμένο κατά 7 δίνει 29.
9. 9
  Το τριπλάσιο του 9 είναι 27, και αυξημένο κατά 2 δίνει 29.
10. 10
  Πράγματι ίσα, άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι το 9.
5Μεσαίοgg-eks1-m5
Να λύσεις την εξίσωση $(λ - 3) x = λ - 3$ για τις διάφορες τιμές του αριθμού λ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η εξίσωση είναι της μορφής $α x + β = 0$ , με συντελεστή του αγνώστου το $λ - 3$ .
2. 2
  Ο κανόνας λέει ότι όλα κρίνονται από το αν ο συντελεστής αυτός είναι ή δεν είναι μηδέν, οπότε χωρίζουμε δύο περιπτώσεις.
3. 3
  Πρώτη περίπτωση, $λ \neq = 3$ .
4. 4
  Τότε $λ - 3 \neq = 0$ , οπότε επιτρέπεται να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με αυτό, και παίρνουμε $x = 1$ .
5. 5
  Η εξίσωση έχει μοναδική λύση, και μάλιστα την ΙΔΙΑ όποιο κι αν είναι το λ.
6. 6
  Δεύτερη περίπτωση, $λ = 3$ .
7. 7
  Τότε $λ - 3 = 0$ και η εξίσωση γίνεται $0 x = 0$ .
8. 8
  Αυτό αληθεύει για ΚΑΘΕ τιμή του $x$ .
9. 9
  Η εξίσωση είναι ταυτότητα, δηλαδή αόριστη.
10. 10
  Πρόσεξε γιατί η τιμή $λ = 3 ΔΕΝ$ κάνει την εξίσωση αδύνατη: μηδενίζει ταυτόχρονα και τα δύο μέλη.
11. 11
  Αν το δεύτερο μέλος ήταν κάτι άλλο, ας πούμε 5, τότε για $λ = 3 θ α$ είχαμε $0 x = 5$ και η εξίσωση θα ήταν αδύνατη.
6Μεσαίοgg-eks1-m3
Να λύσεις την εξίσωση $(3 x - 1)^{2} - 9 x^{2} = 5 - 2 x$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Αναπτύσσουμε το τετράγωνο με την ταυτότητα του τετραγώνου διαφοράς: $(3 x - 1)^{2} = 9 x^{2} - 6 x + 1$ .
2. 2
  Η εξίσωση γίνεται $9 x^{2} - 6 x + 1 - 9 x^{2} = 5 - 2 x$ .
3. 3
  Στο πρώτο μέλος οι δύο όροι δευτέρου βαθμού είναι αντίθετοι και απλοποιούνται, αφού $9 x^{2} - 9 x^{2} = 0$ , οπότε μένει $- 6 x + 1 = 5 - 2 x$ .
4. 4
  Αυτό είναι το κρίσιμο σημείο της άσκησης: αν και εμφανίστηκε δύναμη δεύτερου βαθμού, η εξίσωση είναι τελικά ΠΡΩΤΟΥ βαθμού, γιατί οι όροι με $x^{2}$ εξαφανίστηκαν.
5. 5
  Συνεχίζουμε κανονικά: $- 6 x + 2 x = 5 - 1$ , δηλαδή $- 4 x = 4$ , οπότε $x = - 1$ .
6. 6
  Επαλήθευση: για $x = - 1$ το πρώτο μέλος δίνει $(- 4)^{2} - 9 = 16 - 9 = 7$ και το δεύτερο $5 + 2 = 7$ .
7. 7
  Συμφωνούν.
7Μεσαίοgg-eks1-m1
Να λύσεις την εξίσωση $\frac{x - 1}{2} + \frac{x + 3}{4} = x - 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για να απαλλαγούμε από τους παρονομαστές, πολλαπλασιάζουμε ΚΑΘΕ όρο και των δύο μελών με το Ε.Κ.Π.
2. 2
  των παρονομαστών, που είναι το 4.
3. 3
  Προσοχή: πολλαπλασιάζεται και ο όρος $x - 1$ του δεύτερου μέλους, που δεν έχει παρονομαστή.
4. 4
  Παίρνουμε $2 (x - 1) + (x + 3) = 4 (x - 1)$ .
5. 5
  Κάνουμε τις πράξεις: $2 x - 2 + x + 3 = 4 x - 4$ , δηλαδή $3 x + 1 = 4 x - 4$ .
6. 6
  Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους: $3 x - 4 x = - 4 - 1$ , δηλαδή $- x = - 5$ , οπότε $x = 5$ .
7. 7
  Επαλήθευση: για $x = 5$ το πρώτο μέλος δίνει $\frac{4}{2} + \frac{8}{4} = 2 + 2 = 4$ και το δεύτερο $5 - 1 = 4$ .
8. 8
  Συμφωνούν.
9. 9
  Το πιο συχνό λάθος σε τέτοιες εξισώσεις είναι να ξεχαστεί ο πολλαπλασιασμός σε κάποιον όρο χωρίς παρονομαστή.
8Μεσαίοgg-eks1-h1
Ρώτησαν κάποιον πόσα χρήματα έχει στο πορτοφόλι του και εκείνος απάντησε: «Αν είχα όσα έχω και το ένα τρίτο τους ακόμη, και είκοσι ευρώ παραπάνω, θα είχα εκατόν είκοσι ευρώ». Μπορεί με τα χρήματα αυτά να αγοράσει ένα ζευγάρι παπούτσια που κοστίζει 80 ευρώ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ονομάζουμε $x$ τα ευρώ που έχει στο πορτοφόλι του.
2. 2
  Το ένα τρίτο τους είναι $\frac{x}{3}$ .
3. 3
  Η φράση «όσα έχω και το ένα τρίτο τους ακόμη και είκοσι παραπάνω» μεταφράζεται σε $x + \frac{x}{3} + 20$ , και η απάντησή του λέει ότι αυτό ισούται με 120.
4. 4
  Άρα $x + \frac{x}{3} + 20 = 120$ .
5. 5
  Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο με το 3 για να φύγει ο παρονομαστής: $3 x + x + 60 = 360$ , δηλαδή $4 x = 300$ , οπότε $x = 75$ .
6. 6
  Έχει επομένως 75 ευρώ.
7. 7
  Επαλήθευση με τα λόγια του: 75 και το ένα τρίτο τους, δηλαδή 25, κάνουν 100, και με 20 παραπάνω κάνουν 120.
8. 8
  Σωστά.
9. 9
  Μένει το δεύτερο ερώτημα, που είναι και το ουσιαστικό: τα παπούτσια κοστίζουν 80 ευρώ και εκείνος έχει 75.
10. 10
  Επειδή $75 < 80$ , τα χρήματα ΔΕΝ του φτάνουν, και μάλιστα του λείπουν 5 ευρώ.
11. 11
  Πρόσεξε ότι η εξίσωση απάντησε μόνο στο πρώτο μισό του προβλήματος: το δεύτερο ήθελε μια απλή σύγκριση.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-eks1-m2
Να λύσεις την εξίσωση $0, 5 (2 x - 6) - (x - 4) = 0, 2 (5 x - 10)$ .
2Δύσκολοgg-eks1-h2
Ο καθηγητής των Μαθηματικών λέει στους μαθητές του: «Σκεφτείτε έναν αριθμό. Τριπλασιάστε τον. Στο αποτέλεσμα προσθέστε το 12. Το άθροισμα που βρήκατε διαιρέστε το με το 3 και από το πηλίκο αφαιρέστε τον αριθμό που σκεφτήκατε αρχικά. Κάθε μαθητής πρέπει να έχει βρει τον αριθμό 4, ανεξάρτητα από ποιον αριθμό σκέφτηκε». Μπορείς να εξηγήσεις τον ισχυρισμό του;
3Μεσαίοgg-eks1-h1
Ρώτησαν κάποιον πόσα χρήματα έχει στο πορτοφόλι του και εκείνος απάντησε: «Αν είχα όσα έχω και το ένα τρίτο τους ακόμη, και είκοσι ευρώ παραπάνω, θα είχα εκατόν είκοσι ευρώ». Μπορεί με τα χρήματα αυτά να αγοράσει ένα ζευγάρι παπούτσια που κοστίζει 80 ευρώ;
4Μεσαίοgg-eks1-m5
Να λύσεις την εξίσωση $(λ - 3) x = λ - 3$ για τις διάφορες τιμές του αριθμού λ.
5Μεσαίοgg-eks1-m1
Να λύσεις την εξίσωση $\frac{x - 1}{2} + \frac{x + 3}{4} = x - 1$ .
6Μεσαίοgg-eks1-m3
Να λύσεις την εξίσωση $(3 x - 1)^{2} - 9 x^{2} = 5 - 2 x$ .
7Δύσκολοgg-eks1-h3
Να διερευνήσεις την εξίσωση $(λ^{2} - 4) x = λ - 2$ , δηλαδή να βρεις για ποιες τιμές του λ έχει μοναδική λύση, για ποιες είναι αδύνατη και για ποιες είναι ταυτότητα.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Εξισώσεις 1ου βαθμού

← Προηγούμενο

1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων

Επόμενο →

2.2 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού