ΛύσηΑναπτύσσω τα δύο τετράγωνα: x2−6x+9=x2+2x+1. Οι όροι x2 απαλείφονται από τα δύο μέλη, οπότε η εξίσωση είναι τελικά πρωτοβάθμια: −6x+9=2x+1. Μεταφέρω: 9−1=2x+6x, δηλαδή 8=8x, άρα x=1. Επαλήθευση: (1−3)2=4 και (1+1)2=4.
2.2 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού
2.
Να λύσεις τις εξισώσεις:
α)x(x−3)=0
ΛύσηΓινόμενο ισούται με μηδέν όταν μηδενίζεται κάποιος παράγοντας: x=0 ή x−3=0, άρα x=0 ή x=3.
β)x2=4x
ΛύσηΠΡΟΣΟΧΗ: δεν διαιρώ με x, γιατί θα έχανα τη λύση x=0. Μεταφέρω: x2−4x=0, παραγοντοποιώ x(x−4)=0, άρα x=0 ή x=4.
2.4 Κλασματικές εξισώσεις
3.
Να λύσεις την εξίσωση: x5=x+310
ΛύσηΠρώτα οι περιορισμοί: οι παρονομαστές δεν μηδενίζονται, άρα x=0 και x=−3. Με χιαστί πολλαπλασιασμό: 5(x+3)=10x, δηλαδή 5x+15=10x, άρα 15=5x και x=3. Η τιμή x=3δεν συγκρούεται με τους περιορισμούς, άρα είναι δεκτή. Επαλήθευση: 35 και 610=35.
2.5 Ανισότητες - Ανισώσεις με έναν άγνωστο
4.
Να λύσεις τις ανισώσεις:
α)3x≥−12
ΛύσηΔιαιρώ με 3, που είναι ΘΕΤΙΚΟ, οπότε η φορά της ανίσωσης ΔΕΝ αλλάζει: x≥−4.
β)−2x>8
ΛύσηΔιαιρώ με −2,που είναι ΑΡΝΗΤΙΚΟ, οπότε η φορά της ανίσωσης ΑΝΤΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ: x<−4.
5.
Να λύσεις την ανίσωση 8x−3(x−1)≤13−(x−2)
ΛύσηΑπαλείφω τις παρενθέσεις προσέχοντας τα πρόσημα: 8x−3x+3≤13−x+2, δηλαδή 5x+3≤15−x. Μεταφέρω τους αγνώστους αριστερά και τους σταθερούς δεξιά: 5x+x≤15−3, άρα 6x≤12 και x≤2.
✏️ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Χωρίς λύσεις — για την τάξη ή για το σπίτι.
2.1 Η εξίσωση αx + β = 0
1.
Να λύσεις την εξίσωση: 5(x2−1)−7(x−3)=5x(x+1)+28
2.
Να λύσεις την εξίσωση: (x−2)(x+2)−(x−1)2=3−2x
2.2 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού
3.
Να λύσεις την εξίσωση (x−3)2=(1−2x)2
4.
Δίνεται η εξίσωση x2−(λ+4)x+4λ=0 με άγνωστο το x. Αν μία ρίζα της είναι το −2, να βρεις την τιμή του λ και στη συνέχεια την άλλη ρίζα.
5.
Να λύσεις την εξίσωση: x3=5x
6.
Να λύσεις την εξίσωση: (x−5)2−11(x−5)+24=0
7.
Δίνεται η εξίσωση (x+μ)2−3μ(x+1)−6=0 με άγνωστο το x. Να βρεις τις τιμές του μ, αν η εξίσωση έχει ρίζα το 1.
2.3 Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού
8.
Τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρές AB=x,AΓ=x+2 και BΓ=10. Αν ισχύει (x+2)2−x2=28, να βρεις το x και να εξετάσεις αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
9.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ με τη γωνία Κ ορθή, οι πλευρές είναι KΛ=x2−13,KM=x και η υποτείνουσα ΛM=2x2+1. Να υπολογίσεις τις πλευρές του τριγώνου.
2.4 Κλασματικές εξισώσεις
10.
Να λύσεις την εξίσωση: x2−6x+91=x−32
11.
Να λύσεις την εξίσωση: x+1x+3−xx+1=x2+xx2−x
12.
Να λύσεις την εξίσωση: 2x−14−2x+13=1−4x21−8x
2.5 Ανισότητες - Ανισώσεις με έναν άγνωστο
13.
Αν αυξήσουμε το τετραπλάσιο ενός ακέραιου κατά 7, προκύπτει αριθμός μεγαλύτερος από το 1 και μικρότερος από το 15. Ποιοι ακέραιοι ικανοποιούν τη συνθήκη;
14.
Μια γέφυρα αντέχει βάρος μέχρι και 12 τόνους. Ένα φορτηγό με απόβαρο 4 τόνους είναι φορτωμένο με βαρέλια που το καθένα ζυγίζει 250 kg. Πόσα το πολύ βαρέλια μπορεί να μεταφέρει ώστε να περάσει με ασφάλεια τη γέφυρα;