Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.8 Ε.Κ.Π. & Μ.Κ.Δ. αλγεβρικών παραστάσεων

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

📖Ορισμοί

•
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσότερων ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων είναι η παράσταση με τον μεγαλύτερο δυνατό βαθμό (και αριθμητικό συντελεστή) που διαιρεί καθεμία από αυτές.
•
Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων είναι η αλγεβρική παράσταση με τον μικρότερο δυνατό βαθμό (και αριθμητικό συντελεστή) που έχει ως παράγοντα καθεμία από αυτές.
❓ Γιατί:Είναι γενίκευση του $\frac{ΜΚΔ}{ΕΚΠ}$ ακεραίων: ο ΜΚΔ είναι το «μεγαλύτερο κομμάτι που χωράει σε όλες», ενώ το ΕΚΠ το «μικρότερο που τις περιέχει όλες».
📎 Δες και:

🧮Μέθοδος εύρεσης

•
Βήμα 1: Αναλύουμε κάθε αλγεβρική παράσταση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (παραγοντοποίηση).
•
Βήμα 2 — ΜΚΔ: γινόμενο των ΚΟΙΝΩΝ παραγόντων με τον ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ εκθέτη.
💡 Παράδειγμα:
$Για τις παραστ \overset{α}{ˊ} σεις 12 x^{3} y^{2} και 8 x^{2} y^{4} : αναλ \overset{υ}{ˊ} ουμε 12 = 2^{2} \cdot 3 και 8 = 2^{3} .$
Κοινοί παράγοντες: 2 (μικρότερος εκθέτης 2 → 4), $x$ (μικρότερος εκθέτης 2 → $x^{2}$ ), $y$ (μικρότερος εκθέτης 2 → $y^{2}$ ).
$Άρα ΜΚΔ = 4 x^{2} y^{2} .$
•
Βήμα 3 — ΕΚΠ: γινόμενο ΟΛΩΝ των παραγόντων (κοινών και μη κοινών) με τον ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ εκθέτη.
💡 Παράδειγμα:
Για τις $12 x^{3} y^{2}$ και $8 x^{2} y^{4}$ : παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη: 2 (εκθέτης 3 → 8), 3 (εκθέτης 1 → 3), $x$ (εκθέτης 3 → $x^{3}$ ), $y$ (εκθέτης 4 → $y^{4}$ ).
$Άρα ΕΚΠ = 24 x^{3} y^{4} .$

🔗Σχέση ΜΚΔ και ΕΚΠ

•
Για δύο αλγεβρικές παραστάσεις Α και Β ισχύει η θεμελιώδης σχέση: $ΜΚΔ (A, B) \cdot ΕΚΠ (A, B) = A \cdot B$
❓ Γιατί:Ισχύει και για τους ακεραίους αριθμούς: αν $ΜΚΔ (12, 8) = 4$ και $ΕΚΠ (12, 8) = 24$ , τότε $4 \cdot 24 = 96 = 12 \cdot 8$ .
•
Χρησιμοποιούμε τον ΜΚΔ για να απλοποιούμε ρητές παραστάσεις και να βρίσκουμε τον κοινό παράγοντα. Χρησιμοποιούμε το ΕΚΠ όταν θέλουμε κοινό παρονομαστή (πρόσθεση ή αφαίρεση ρητών παραστάσεων).

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Ο ΜΚΔ δύο παραστάσεων είναι το γινόμενο των κοινών παραγόντων με τον μικρότερο εκθέτη.

2Σωστό / Λάθος

Το ΕΚΠ είναι το γινόμενο όλων των παραγόντων (κοινών και μη) με τον μεγαλύτερο εκθέτη.

3Σωστό / Λάθος

Ισχύει

ΜΚΔ (A, B) \cdot ΕΚΠ (A, B) = A + B

4Πολλαπλής επιλογής

Ποιος είναι ο ΜΚΔ των

12 x^{3} y^{2}

και

8 x^{2} y^{4}

;

5Πολλαπλής επιλογής

Ποιο είναι το ΕΚΠ των

12 x^{3} y^{2}

και

8 x^{2} y^{4}

;

6Πολλαπλής επιλογής

Ποιος είναι ο ΜΚΔ των

x^{2} - 1

και

x^{2} + 2 x + 1

;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgg-ekp-m4
Δίνονται οι παραστάσεις $A = 4 x^{2} (x + 1)$ και $B = 6 x (x + 1)^{2}$ . α) Να βρεις το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. τους. β) Να επαληθεύσεις ότι ισχύει Ε.Κ.Π. · Μ.Κ.Δ. $= A \cdot B$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Οι δύο παραστάσεις είναι ήδη σε γινόμενο.
2. 2
  Οι συντελεστές 4 και 6 έχουν Ε.Κ.Π.
3. 3
  $= 12$ και Μ.Κ.Δ.
4. 4
  $= 2$ .
5. 5
  Ο παράγοντας $x$ έχει εκθέτες 2 και 1, ο παράγοντας $x + 1$ έχει εκθέτες 1 και 2.
6. 6
  Άρα Ε.Κ.Π.
7. 7
  $= 12 x^{2} (x + 1)^{2}$ και Μ.Κ.Δ.
8. 8
  $= 2 x (x + 1)$ .
9. 9
  β) Υπολογίζουμε χωριστά τα δύο γινόμενα.
10. 10
  Το πρώτο: Ε.Κ.Π.
11. 11
  · Μ.Κ.Δ.
12. 12
  $= 12 x^{2} (x + 1)^{2} \cdot 2 x (x + 1) = 24 x^{3} (x + 1)^{3}$ .
13. 13
  Το δεύτερο: $A \cdot B = 4 x^{2} (x + 1) \cdot 6 x (x + 1)^{2} = 24 x^{3} (x + 1)^{3}$ .
14. 14
  Τα δύο αποτελέσματα είναι ίσα, άρα η σχέση επαληθεύεται.
15. 15
  Ο λόγος που ισχύει πάντα είναι απλός: κάθε παράγοντας μπαίνει στο Ε.Κ.Π.
16. 16
  με τον ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ εκθέτη και στον Μ.Κ.Δ.
17. 17
  με τον ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ, οπότε το άθροισμα των δύο εκθετών είναι ακριβώς το άθροισμα των εκθετών στις δύο αρχικές παραστάσεις.
2Εύκολοgg-ekp-e3
Να χαρακτηρίσεις τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες. α) Ο Μ.Κ.Δ. δύο παραστάσεων έχει πάντα βαθμό μικρότερο ή ίσο με τον βαθμό καθεμιάς από αυτές. β) Το Ε.Κ.Π. δύο παραστάσεων είναι πάντα το γινόμενό τους. γ) Αν ο Μ.Κ.Δ. δύο παραστάσεων είναι 1, τότε οι παραστάσεις δεν έχουν κοινό παράγοντα. δ) Για τις παραστάσεις $A = 4 x^{2}$ και $B = 6 x^{3}$ ισχύει Μ.Κ.Δ. $= 12 x^{3}$ . ε) Για δύο παραστάσεις $A$ και $B$ ισχύει Ε.Κ.Π. · Μ.Κ.Δ. $= A \cdot B$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  α) ΣΩΣΤΗ.
2. 2
  Ο Μ.Κ.Δ.
3. 3
  είναι κοινός διαιρέτης, δηλαδή διαιρεί και τις δύο παραστάσεις, οπότε δεν μπορεί να έχει μεγαλύτερο βαθμό από καμία τους.
4. 4
  β) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
5. 5
  Το γινόμενο είναι μεν κοινό πολλαπλάσιο, αλλά όχι πάντα το ελάχιστο.
6. 6
  Για παράδειγμα, τα $A = 4 x^{2}$ και $B = 6 x^{3}$ έχουν γινόμενο $A \cdot B = 24 x^{5}$ .
7. 7
  Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους όμως είναι Ε.Κ.Π.
8. 8
  $= 12 x^{3}$ .
9. 9
  Το γινόμενο ισούται με το Ε.Κ.Π.
10. 10
  μόνο όταν ο Μ.Κ.Δ.
11. 11
  είναι 1.
12. 12
  γ) ΣΩΣΤΗ.
13. 13
  Ακριβώς αυτό σημαίνει ο Μ.Κ.Δ.
14. 14
  ίσος με 1: ο μόνος κοινός διαιρέτης είναι η μονάδα.
15. 15
  δ) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
16. 16
  Η παράσταση αυτή είναι το Ε.Κ.Π.
17. 17
  τους, όχι ο Μ.Κ.Δ.
18. 18
  Σωστό είναι Μ.Κ.Δ.
19. 19
  $= 2 x^{2}$ , γιατί για τον Μ.Κ.Δ.
20. 20
  παίρνουμε τον ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ εκθέτη και τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των συντελεστών.
21. 21
  ε) ΣΩΣΤΗ.
22. 22
  Είναι η θεμελιώδης σχέση που συνδέει τα δύο: ό,τι δεν μπαίνει στον έναν, μπαίνει στο άλλο.
3Μεσαίοgg-ekp-m3
Δίνονται οι παραστάσεις $A = 10 (x^{2} - y^{2}), B = 15 (x - y)^{2}$ και $Γ = 20 (x - y)^{3}$ . Να βρεις το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. τους.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το μόνο που χρειάζεται παραγοντοποίηση είναι το $A$ , όπου η παρένθεση είναι διαφορά τετραγώνων: $A = 10 (x - y) (x + y)$ .
2. 2
  Τα $B$ και Γ είναι ήδη σε μορφή γινομένου.
3. 3
  Οι συντελεστές 10, 15 και 20 αναλύονται σε $10 = 2 \cdot 5, 15 = 3 \cdot 5$ και $20 = 2^{2} \cdot 5$ , οπότε Ε.Κ.Π.
4. 4
  $= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ και Μ.Κ.Δ.
5. 5
  $= 5$ .
6. 6
  Ο παράγοντας $x$ − $y$ υπάρχει και στις τρεις παραστάσεις, με εκθέτες 1, 2 και 3: ο μεγαλύτερος είναι 3 και ο μικρότερος 1.
7. 7
  Ο παράγοντας $x$ + $y$ υπάρχει μόνο στο $A$ , οπότε μπαίνει στο Ε.Κ.Π.
8. 8
  αλλά όχι στον Μ.Κ.Δ.
9. 9
  Άρα Ε.Κ.Π.
10. 10
  $= 60 (x - y)^{3} (x + y)$ και Μ.Κ.Δ.
11. 11
  $= 5 (x - y)$ .
12. 12
  Το συνηθισμένο λάθος εδώ είναι να ξεχάσει κανείς ότι το $x^{2} - y^{2}$ κρύβει μέσα του τον παράγοντα $x$ − $y$ , και να συμπεράνει ότι το $A$ δεν έχει τίποτα κοινό με τα άλλα δύο.
4Μεσαίοgg-ekp-m1
Δίνονται οι παραστάσεις $A = 8 x^{2} - 8, B = 12 x^{2} - 24 x + 12$ και $Γ = 6 x^{2} - 6 x$ . Να βρεις το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. τους.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πρώτο βήμα, και είναι το μόνο που έχει δυσκολία: αναλύουμε κάθε παράσταση σε γινόμενο παραγόντων.
2. 2
  Στο $A$ βγάζουμε κοινό παράγοντα το 8 και μετά αναγνωρίζουμε διαφορά τετραγώνων: $A = 8 (x^{2} - 1) = 8 (x - 1) (x + 1)$ .
3. 3
  Στο $B$ βγάζουμε το 12 και μετά αναγνωρίζουμε ανάπτυγμα τετραγώνου: $B = 12 (x^{2} - 2 x + 1) = 12 (x - 1)^{2}$ .
4. 4
  Στο Γ βγάζουμε κοινό παράγοντα το $6 x$ : $Γ = 6 x (x - 1)$ .
5. 5
  Δεύτερο βήμα: αναλύουμε και τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες, όπως κάναμε με τα γράμματα.
6. 6
  Είναι $8 = 2^{3}, 12 = 2^{2} \cdot 3$ και $6 = 2 \cdot 3$ , οπότε Ε.Κ.Π.
7. 7
  $= 2^{3} \cdot 3 = 24$ και Μ.Κ.Δ.
8. 8
  $= 2$ .
9. 9
  Τρίτο βήμα: ο παράγοντας $x - 1$ υπάρχει και στις τρεις, με εκθέτες 1, 2 και 1, οπότε μπαίνει στο Ε.Κ.Π.
10. 10
  ως $(x - 1)^{2}$ και στον Μ.Κ.Δ.
11. 11
  ως $x - 1$ .
12. 12
  Ο παράγοντας $x + 1$ υπάρχει μόνο στο $A$ και ο παράγοντας $x$ μόνο στο Γ, οπότε μπαίνουν και οι δύο στο Ε.Κ.Π., όχι όμως στον Μ.Κ.Δ.
13. 13
  Άρα Ε.Κ.Π.
14. 14
  $= 24 x (x - 1)^{2} (x + 1)$ και Μ.Κ.Δ.
15. 15
  $= 2 (x - 1)$ .
5Μεσαίοgg-ekp-m2
Δίνονται οι παραστάσεις $A = x^{2} - 5 x + 6, B = x^{2} - 9$ και $Γ = x^{3} - 9 x$ . Να βρεις το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. τους.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Παραγοντοποιούμε καθεμιά.
2. 2
  Το $A$ είναι τριώνυμο της μορφής $x^{2} + β x + γ$ με $β = - 5$ και $γ = 6$ , οπότε ψάχνουμε δύο αριθμούς με ΑΘΡΟΙΣΜΑ −5 και ΓΙΝΟΜΕΝΟ 6.
3. 3
  Επειδή το γινόμενο είναι θετικό και το άθροισμα αρνητικό, οι δύο αριθμοί είναι και οι δύο αρνητικοί: είναι το −2 και το −3.
4. 4
  Άρα $A = (x - 2) (x - 3)$ .
5. 5
  Το $B$ είναι διαφορά τετραγώνων: $B = (x - 3) (x + 3)$ .
6. 6
  Στο Γ βγάζουμε πρώτα κοινό παράγοντα το $x$ και μετά αναγνωρίζουμε πάλι διαφορά τετραγώνων: $Γ = x (x^{2} - 9) = x (x - 3) (x + 3)$ .
7. 7
  Τώρα βλέπουμε ποιοι παράγοντες υπάρχουν πού.
8. 8
  Ο $x - 3$ υπάρχει και στις τρεις παραστάσεις, με εκθέτη 1 παντού, άρα είναι ο μόνος κοινός.
9. 9
  Ο $x - 2$ υπάρχει μόνο στο $A$ .
10. 10
  Ο $x + 3$ υπάρχει στα $B$ και Γ.
11. 11
  Ο $x$ υπάρχει μόνο στο Γ.
12. 12
  Άρα Μ.Κ.Δ.
13. 13
  $= x - 3$ και Ε.Κ.Π.
14. 14
  $= x (x - 2) (x - 3) (x + 3)$ .
15. 15
  Πρόσεξε ότι δεν υπάρχουν αριθμητικοί συντελεστές εδώ, οπότε το βήμα των αριθμών παραλείπεται.
6Εύκολοgg-ekp-e2
Δίνονται οι παραστάσεις $A = 3 x^{2}$ και $B = 5 (x + 1)$ . Να βρεις το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. τους.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Οι δύο παραστάσεις είναι ήδη γραμμένες σε γινόμενο, οπότε δεν χρειάζεται παραγοντοποίηση.
2. 2
  Ξεκινάμε από τους αριθμούς: το 3 και το 5 είναι πρώτοι αριθμοί και διαφορετικοί μεταξύ τους, οπότε Ε.Κ.Π.
3. 3
  $= 15$ και Μ.Κ.Δ.
4. 4
  $= 1$ .
5. 5
  Πάμε στα γράμματα.
6. 6
  Ο παράγοντας $x$ υπάρχει μόνο στο $A$ , με εκθέτη 2.
7. 7
  Ο παράγοντας $x + 1$ υπάρχει μόνο στο $B$ , με εκθέτη 1.
8. 8
  ΚΑΝΕΝΑΣ παράγοντας δεν είναι κοινός.
9. 9
  Στο Ε.Κ.Π.
10. 10
  μπαίνουν και οι δύο, οπότε Ε.Κ.Π.
11. 11
  $= 15 x^{2} (x + 1)$ .
12. 12
  Στον Μ.Κ.Δ.
13. 13
  δεν μπαίνει κανένας, οπότε μένει μόνο ο αριθμητικός, δηλαδή Μ.Κ.Δ.
14. 14
  $= 1$ .
15. 15
  Αυτή η περίπτωση αξίζει να μείνει στο μυαλό σου: όταν δύο παραστάσεις δεν έχουν κανέναν κοινό παράγοντα, ο Μ.Κ.Δ.
16. 16
  τους είναι η μονάδα, και ΤΟΤΕ ΜΟΝΟ το Ε.Κ.Π.
17. 17
  τους ισούται με το γινόμενό τους.
18. 18
  Πράγματι, $3 x^{2} \cdot 5 (x + 1) = 15 x^{2} (x + 1)$ .
19. 19
  Ακριβώς αυτό βρήκαμε.
7Εύκολοgg-ekp-e1
Δίνονται τα μονώνυμα $A = 8 x^{3} y^{2} ω, B = 12 x^{2} y ω^{3}$ και $Γ = 20 x^{4} y^{3}$ . Να βρεις το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. τους.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Δουλεύουμε χωριστά τους αριθμούς και χωριστά κάθε μεταβλητή.
2. 2
  Ξεκινάμε από τους συντελεστές 8, 12 και 20, και τους αντιμετωπίζουμε ΑΚΡΙΒΩΣ όπως τα γράμματα: τους αναλύουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
3. 3
  Είναι $8 = 2^{3}, 12 = 2^{2} \cdot 3$ και $20 = 2^{2} \cdot 5$ .
4. 4
  Για το Ε.Κ.Π.
5. 5
  παίρνουμε όλους τους παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη, δηλαδή Ε.Κ.Π.
6. 6
  $= 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 = 120$ .
7. 7
  Για τον Μ.Κ.Δ.
8. 8
  μόνο τους κοινούς με τον μικρότερο, δηλαδή Μ.Κ.Δ.
9. 9
  $= 2^{2} = 4$ .
10. 10
  Για το $x$ οι εκθέτες είναι 3, 2 και 4: ο μεγαλύτερος είναι 4 και ο μικρότερος 2.
11. 11
  Για το $y$ οι εκθέτες είναι 2, 1 και 3: ο μεγαλύτερος είναι 3 και ο μικρότερος 1.
12. 12
  Το ω χρειάζεται προσοχή: εμφανίζεται στα $A$ και $B$ , αλλά ΛΕΙΠΕΙ από το Γ.
13. 13
  Επειδή δεν είναι κοινός παράγοντας και των τριών, μπαίνει στο Ε.Κ.Π.
14. 14
  με τον μεγαλύτερο εκθέτη 3, αλλά ΔΕΝ μπαίνει καθόλου στον Μ.Κ.Δ.
15. 15
  Άρα Ε.Κ.Π.
16. 16
  $= 120 x^{4} y^{3} ω^{3}$ και Μ.Κ.Δ.
17. 17
  $= 4 x^{2} y$ .
18. 18
  Θυμήσου τον κανόνα: στο Ε.Κ.Π.
19. 19
  μπαίνουν ΟΛΟΙ οι παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη, στον Μ.Κ.Δ.
20. 20
  μόνο οι ΚΟΙΝΟΙ με τον μικρότερο.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοgg-ekp-h1
Δύο παραστάσεις $A$ και $B$ έχουν Μ.Κ.Δ. $= 3 x (x - 1)$ και Ε.Κ.Π. $= 18 x^{2} (x - 1)^{2} (x + 2)$ . Αν $A = 6 x^{2} (x - 1)$ , να βρεις τη $B$ .
2Μεσαίοgg-ekp-m4
Δίνονται οι παραστάσεις $A = 4 x^{2} (x + 1)$ και $B = 6 x (x + 1)^{2}$ . α) Να βρεις το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. τους. β) Να επαληθεύσεις ότι ισχύει Ε.Κ.Π. · Μ.Κ.Δ. $= A \cdot B$ .
3Μεσαίοgg-ekp-m2
Δίνονται οι παραστάσεις $A = x^{2} - 5 x + 6, B = x^{2} - 9$ και $Γ = x^{3} - 9 x$ . Να βρεις το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. τους.
4Μεσαίοgg-ekp-m1
Δίνονται οι παραστάσεις $A = 8 x^{2} - 8, B = 12 x^{2} - 24 x + 12$ και $Γ = 6 x^{2} - 6 x$ . Να βρεις το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. τους.
5Μεσαίοgg-ekp-m3
Δίνονται οι παραστάσεις $A = 10 (x^{2} - y^{2}), B = 15 (x - y)^{2}$ και $Γ = 20 (x - y)^{3}$ . Να βρεις το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. τους.

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται ο ΜΚΔ αλγεβρικών παραστάσεων.

Βήματα

1Ανάλυσε κάθε παράσταση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (παραγοντοποίηση).
2Κράτα μόνο τους ΚΟΙΝΟΥΣ παράγοντες.
3Πάρε κάθε κοινό παράγοντα με τον ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ εκθέτη και πολλαπλασίασέ τους.

Παράδειγμα

Για

12 x^{3} y^{2}

και

8 x^{2} y^{4}

ΜΚΔ = 4 x^{2} y^{2}

(κοινοί 4,

x^{2}

y^{2}

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να βρεις τον ΜΚΔ( $6 x^{2}$ , $9 x^{3}$ ).
2
Να βρεις το ΕΚΠ( $6 x^{2}$ , $9 x^{3}$ ).
3
Να βρεις τον ΜΚΔ( $4 ab$ , $6 a^{2} b^{2}$ ).
4
Να βρεις το ΕΚΠ( $4 ab$ , $6 a^{2} b^{2}$ ).
5
Να βρεις $τον ΜΚΔ (x^{2} - 4, x^{2} - 4 x + 4)$ .
6
Να βρεις το $ΕΚΠ (x^{2} - 4, x^{2} - 4 x + 4)$ .
7
Να βρεις $τον ΜΚΔ (x^{2} - 1, x - 1)$ .
8
Να βρεις το $ΕΚΠ (x^{2} - 1, x - 1)$ .
9
Αν $ΜΚΔ (A, B) = 3 x$ και $ΕΚΠ (A, B) = 12 x^{3}$ , να βρεις το γινόμενο Α · Β.

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να βρεις τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παραστάσεων

A = x^{2} - x

και

B = x^{2} - 1

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Δίνονται

A = x^{2} + 5 x + 6

και

B = x^{2} + 4 x + 4

. Να βρεις ΜΚΔ και ΕΚΠ.

Αν

A \cdot B = (x - 1)^{2} (x + 1) (x + 2)

και

ΜΚΔ (A, B) = x - 1

, να βρεις το ΕΚΠ(Α, Β).

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνονται

A = 2 x^{2} - 8

και

B = x^{2} - 4 x + 4

α) Να παραγοντοποιήσεις τις Α και Β.

β) Να βρεις τον ΜΚΔ(Α, Β).

γ) Να βρεις το ΕΚΠ(Α, Β).

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.8 — ΕΚΠ & ΜΚΔ αλγεβρικών παραστάσεων

Ύλη: §1.8Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Ο ΜΚΔ παίρνει τους κοινούς παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη.

β) Το ΕΚΠ παίρνει μόνο τους κοινούς παράγοντες.

γ) Ισχύει

ΜΚΔ (A, B) \cdot ΕΚΠ (A, B) = A \cdot B

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται

A = 6 x^{3}

και

B = 9 x^{2} y

α) Να βρεις τον ΜΚΔ(Α, Β).

β) Να βρεις το ΕΚΠ(Α, Β).

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται

A = x^{2} - 9

και

B = x^{2} + 6 x + 9

α) Να τις παραγοντοποιήσεις.

β) Να βρεις τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

Επόμενο →

1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις