Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.8 Ε.Κ.Π. & Μ.Κ.Δ. αλγεβρικών παραστάσεων

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

📖Ορισμοί

•
Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσότερων ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων είναι η παράσταση με τον μεγαλύτερο δυνατό βαθμό (και αριθμητικό συντελεστή) που διαιρεί καθεμία από αυτές.
•
Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων είναι η αλγεβρική παράσταση με τον μικρότερο δυνατό βαθμό (και αριθμητικό συντελεστή) που έχει ως παράγοντα καθεμία από αυτές.
❓ Γιατί:Είναι γενίκευση του $\frac{ΜΚΔ}{ΕΚΠ}$ ακεραίων: ο ΜΚΔ είναι το «μεγαλύτερο κομμάτι που χωράει σε όλες», ενώ το ΕΚΠ το «μικρότερο που τις περιέχει όλες».
📎 Δες και:

🧮Μέθοδος εύρεσης

•
Βήμα 1: Αναλύουμε κάθε αλγεβρική παράσταση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (παραγοντοποίηση).
•
Βήμα 2 — ΜΚΔ: γινόμενο των ΚΟΙΝΩΝ παραγόντων με τον ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ εκθέτη.
💡 Παράδειγμα:
$Για τις παραστ \overset{α}{ˊ} σεις 12 x^{3} y^{2} και 8 x^{2} y^{4} : αναλ \overset{υ}{ˊ} ουμε 12 = 2^{2} \cdot 3 και 8 = 2^{3} .$
Κοινοί παράγοντες: 2 (μικρότερος εκθέτης 2→4), $x$ (μικρότερος εκθέτης 2→ $x^{2}$ ), $y$ (μικρότερος εκθέτης 2→ $y^{2}$ ).
$Άρα ΜΚΔ = 4 x^{2} y^{2} .$
•
Βήμα 3 — ΕΚΠ: γινόμενο ΟΛΩΝ των παραγόντων (κοινών και μη κοινών) με τον ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ εκθέτη.
💡 Παράδειγμα:
Για τις $12 x$ ³ $y^{2}$ και $8 x$ ² $y^{4}$ : παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη: 2 (εκθέτης 3→8), 3 (εκθέτης 1→3), $x$ (εκθέτης 3→ $x^{3}$ ), $y$ (εκθέτης 4→ $y^{4}$ ).
$Άρα ΕΚΠ = 24 x^{3} y^{4} .$

🔗Σχέση ΜΚΔ και ΕΚΠ

•
Για δύο αλγεβρικές παραστάσεις Α και Β ισχύει η θεμελιώδης σχέση: $ΜΚΔ (A, B) \cdot ΕΚΠ (A, B) = A \cdot B$
❓ Γιατί:Ισχύει και για τους ακεραίους αριθμούς: αν $ΜΚΔ (12, 8) = 4$ και $ΕΚΠ (12, 8) = 24$ , τότε $4 \cdot 24 = 96 = 12 \cdot 8$ .
•
Χρησιμοποιούμε τον ΜΚΔ για να απλοποιούμε ρητές παραστάσεις και να βρίσκουμε τον κοινό παράγοντα. Χρησιμοποιούμε το ΕΚΠ όταν θέλουμε κοινό παρονομαστή (πρόσθεση ή αφαίρεση ρητών παραστάσεων).

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Ο ΜΚΔ δύο παραστάσεων είναι το γινόμενο των κοινών παραγόντων με τον μικρότερο εκθέτη.

2Σωστό / Λάθος

Το ΕΚΠ είναι το γινόμενο όλων των παραγόντων (κοινών και μη) με τον μεγαλύτερο εκθέτη.

3Σωστό / Λάθος

Ισχύει

ΜΚΔ (A, B) \cdot ΕΚΠ (A, B) = A + B

4Πολλαπλής επιλογής

Ποιος είναι ο ΜΚΔ των

12 x

y^{2}

και

8 x

y^{4}

;

5Πολλαπλής επιλογής

Ποιο είναι το ΕΚΠ των

12 x

y^{2}

και

8 x

y^{4}

;

6Πολλαπλής επιλογής

Ποιος είναι ο ΜΚΔ των

x^{2} - 1

και

x^{2} + 2 x + 1

;

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται ο ΜΚΔ αλγεβρικών παραστάσεων.

Βήματα

1Ανάλυσε κάθε παράσταση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (παραγοντοποίηση).
2Κράτα μόνο τους ΚΟΙΝΟΥΣ παράγοντες.
3Πάρε κάθε κοινό παράγοντα με τον ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ εκθέτη και πολλαπλασίασέ τους.

Παράδειγμα

Για

12 x

y^{2}

και

8 x

y^{4}

ΜΚΔ = 4 x^{2} y^{2}

(κοινοί 4,

x^{2}

y^{2}

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να βρεις τον ΜΚΔ( $6 x$ ², $9 x$ ³).
2
Να βρεις το ΕΚΠ( $6 x$ ², $9 x$ ³).
3
Να βρεις τον ΜΚΔ( $4 ab$ , $6 a$ ² $b^{2}$ ).
4
Να βρεις το ΕΚΠ( $4 ab$ , $6 a$ ² $b^{2}$ ).
5
Να βρεις $τον ΜΚΔ (x^{2} - 4, x^{2} - 4 x + 4)$ .
6
Να βρεις το $ΕΚΠ (x^{2} - 4, x^{2} - 4 x + 4)$ .
7
Να βρεις $τον ΜΚΔ (x^{2} - 1, x - 1)$ .
8
Να βρεις το $ΕΚΠ (x^{2} - 1, x - 1)$ .
9
Αν $ΜΚΔ (A, B) = 3 x$ και $ΕΚΠ (A, B) = 12 x^{3}$ , να βρεις το γινόμενο Α · Β.

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να βρεις τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παραστάσεων

A = x^{2} - x

και

B = x^{2} - 1

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Δίνονται

A = x^{2} + 5 x + 6

και

B = x^{2} + 4 x + 4

. Να βρεις ΜΚΔ και ΕΚΠ.

Αν

A \cdot B = (x - 1)^{2} (x + 1) (x + 2)

και

ΜΚΔ (A, B) = x - 1

, να βρεις το ΕΚΠ(Α, Β).

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνονται

A = 2 x^{2} - 8

και

B = x^{2} - 4 x + 4

α) Να παραγοντοποιήσεις τις Α και Β.

β) Να βρεις τον ΜΚΔ(Α, Β).

γ) Να βρεις το ΕΚΠ(Α, Β).

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.8 — ΕΚΠ & ΜΚΔ αλγεβρικών παραστάσεων

Ύλη: §1.8Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Ο ΜΚΔ παίρνει τους κοινούς παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη.

β) Το ΕΚΠ παίρνει μόνο τους κοινούς παράγοντες.

γ) Ισχύει

ΜΚΔ (A, B) \cdot ΕΚΠ (A, B) = A \cdot B

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται

A = 6 x^{3}

και

B = 9 x^{2} y

α) Να βρεις τον ΜΚΔ(Α, Β).

β) Να βρεις το ΕΚΠ(Α, Β).

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται

A = x^{2} - 9

και

B = x^{2} + 6 x + 9

α) Να τις παραγοντοποιήσεις.

β) Να βρεις τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

Επόμενο →

1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις