Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

➗Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων

•
Για δύο πολυώνυμα Δ(x) (διαιρετέος) και δ(x) (διαιρέτης) με $δ (x) \neq = 0$ , υπάρχουν ΜΟΝΑΔΙΚΑ πολυώνυμα π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο) τέτοια ώστε: $Δ (x) = δ (x) \cdot π (x) + υ (x)$
•
Επιπλέον, ο βαθμός του υπολοίπου πρέπει να είναι ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ από τον βαθμό του διαιρέτη — ή το υπόλοιπο να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. $d e g (υ) < d e g (δ) \overset{η}{ˊ} υ (x) = 0$
❓ Γιατί:Είναι γενίκευση της ευκλείδειας διαίρεσης ακεραίων: $17 = 5 \cdot 3 + 2$ (με $2 < 5$ ). Στον πολυωνυμικό κόσμο το «μικρότερο» αντικαθίσταται από το «μικρότερου βαθμού».
📎 Δες και:

✅Τέλεια διαίρεση

•
Όταν το υπόλοιπο είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή $υ (x) = 0$ , λέμε ότι η διαίρεση Δ(x) : δ(x) είναι τέλεια. $υ (x) = 0 \Rightarrow Δ (x) = δ (x) \cdot π (x)$
•
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x), ή ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x).
•
Παράδειγμα: το $x^{2} - 4$ διαιρείται τέλεια από το $x - 2$ , αφού $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , δηλαδή υπόλοιπο 0 και πηλίκο $x + 2$ .

📋Πρακτική μέθοδος (διαίρεση κατά στήλες)

•
Τοποθετούμε τα πολυώνυμα κατά φθίνουσες δυνάμεις. Διαιρούμε τον μεγιστοβάθμιο όρο του διαιρετέου με τον μεγιστοβάθμιο όρο του διαιρέτη: αυτό μας δίνει τον πρώτο όρο του πηλίκου.
•
Πολλαπλασιάζουμε τον όρο που βρήκαμε με ολόκληρο τον διαιρέτη, αφαιρούμε το αποτέλεσμα από τον διαιρετέο, και συνεχίζουμε με το νέο πολυώνυμο μέχρι ο βαθμός του υπολοίπου να γίνει μικρότερος από αυτόν του διαιρέτη.
💡 Παράδειγμα:
Διαίρεση του $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4$ με το $x - 1$ δίνει πηλίκο $π (x) = x^{2} - x + 2$ και υπόλοιπο $υ (x) = - 2$ .
$Έλεγχος : (x - 1) (x^{2} - x + 2) + (- 2) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4.$
✓
•
Πρακτική επαλήθευση: μετά τη διαίρεση, επαληθεύουμε την ταυτότητα $Δ (x) = δ (x) \cdot π (x) + υ (x)$ .

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Σε διαίρεση πολυωνύμων, ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη.

2Σωστό / Λάθος

Αν το υπόλοιπο μιας διαίρεσης πολυωνύμων είναι 0, η διαίρεση είναι τέλεια.

3Σωστό / Λάθος

Ισχύει πάντα η ταυτότητα

Δ (x) = δ (x) \cdot π (x) + υ (x)

4Πολλαπλής επιλογής

Στη διαίρεση

(x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4)

(x - 1)

, το υπόλοιπο είναι;

5Πολλαπλής επιλογής

Το πηλίκο της διαίρεσης

(x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4)

(x - 1)

είναι;

6Πολλαπλής επιλογής

Ποιο από τα παρακάτω διαιρεί τέλεια το

x^{2} - 4

;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgg-div-m4
Δίνεται το πολυώνυμο $P (x) = x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6$ . α) Να κάνεις τη διαίρεση $P (x)$ : $(x^{2} - 1)$ . β) Με τη βοήθεια του α), να παραγοντοποιήσεις πλήρως το $P (x)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Κάνουμε τη διαίρεση.
2. 2
  Πρώτο βήμα: διαιρούμε το $x^{4}$ με το $x^{2}$ και βρίσκουμε $x^{2}$ .
3. 3
  Πολλαπλασιάζουμε $x^{2} (x^{2} - 1) = x^{4} - x^{2}$ και το αφαιρούμε από τον διαιρετέο: $(x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6) - (x^{4} - x^{2}) = x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$ .
4. 4
  Δεύτερο βήμα: διαιρούμε το $x^{3}$ με το $x^{2}$ και βρίσκουμε $x$ .
5. 5
  Πολλαπλασιάζουμε $x (x^{2} - 1) = x^{3} - x$ και το αφαιρούμε: $(x^{3} - 6 x^{2} - x + 6) - (x^{3} - x) = - 6 x^{2} + 6$ .
6. 6
  Τρίτο βήμα: διαιρούμε το $- 6 x^{2}$ με το $x^{2}$ και βρίσκουμε −6.
7. 7
  Πολλαπλασιάζουμε $- 6 (x^{2} - 1) = - 6 x^{2} + 6$ και το αφαιρούμε: $(- 6 x^{2} + 6) - (- 6 x^{2} + 6) = 0$ .
8. 8
  Άρα $π (x) = x^{2} + x - 6$ και $υ (x) = 0$ , δηλαδή η διαίρεση είναι τέλεια.
9. 9
  β) Αφού η διαίρεση είναι τέλεια, ισχύει $P (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} + x - 6)$ .
10. 10
  Παραγοντοποιούμε τώρα καθέναν από τους δύο παράγοντες.
11. 11
  Ο πρώτος είναι διαφορά τετραγώνων: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .
12. 12
  Ο δεύτερος είναι τριώνυμο: ψάχνουμε δύο αριθμούς με άθροισμα 1 και γινόμενο −6, και βρίσκουμε το 3 και το −2, οπότε $x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$ .
13. 13
  Άρα $P (x) = (x - 1) (x + 1) (x + 3) (x - 2)$ .
14. 14
  Ένα πολυώνυμο τετάρτου βαθμού αναλύθηκε σε τέσσερις πρωτοβάθμιους παράγοντες, και αυτό έγινε επειδή η διαίρεση μας έδωσε δωρεάν τον μισό δρόμο.
2Μεσαίοgg-div-m2
Να αποδείξεις ότι το πολυώνυμο $Q (x) = 3 x - 2$ είναι παράγοντας του πολυωνύμου $P (x) = 6 x^{3} - x^{2} + 10 x - 8$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Το $Q (x)$ είναι παράγοντας του $P (x)$ ακριβώς όταν η διαίρεση $P (x)$ : $Q (x)$ είναι τέλεια, δηλαδή όταν το υπόλοιπό της είναι μηδέν.
2. 2
  Κάνουμε λοιπόν τη διαίρεση.
3. 3
  Πρώτο βήμα: από τη σχέση $2 x^{2} \cdot 3 x = 6 x^{3}$ βρίσκουμε τον πρώτο όρο του πηλίκου.
4. 4
  Πολλαπλασιάζουμε $2 x^{2} (3 x - 2) = 6 x^{3} - 4 x^{2}$ και το αφαιρούμε από τον διαιρετέο: $(6 x^{3} - x^{2} + 10 x - 8) - (6 x^{3} - 4 x^{2}) = 3 x^{2} + 10 x - 8$ .
5. 5
  Δεύτερο βήμα: από τη σχέση $x \cdot 3 x = 3 x^{2}$ βρίσκουμε τον επόμενο όρο.
6. 6
  Πολλαπλασιάζουμε $x (3 x - 2) = 3 x^{2} - 2 x$ και το αφαιρούμε: $(3 x^{2} + 10 x - 8) - (3 x^{2} - 2 x) = 12 x - 8$ .
7. 7
  Τρίτο βήμα: διαιρούμε το $12 x$ με το $3 x$ και βρίσκουμε 4.
8. 8
  Πολλαπλασιάζουμε $4 (3 x - 2) = 12 x - 8$ και το αφαιρούμε: $(12 x - 8) - (12 x - 8) = 0$ .
9. 9
  Το υπόλοιπο βγήκε μηδέν, άρα το $Q (x)$ είναι πράγματι παράγοντας του $P (x)$ , και μάλιστα ισχύει $P (x) = (3 x - 2) (2 x^{2} + x + 4)$ .
10. 10
  Πρόσεξε ότι η διαίρεση δεν μας είπε μόνο ΟΤΙ διαιρείται, αλλά μας έδωσε και τον δεύτερο παράγοντα.
3Μεσαίοgg-div-m1
Να κάνεις τη διαίρεση $(x^{4} - 2 x^{2} + 10 x - 2)$ : $(x^{2} - 2 x + 3)$ και να γράψεις την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Προσοχή στο πρώτο βήμα: στον διαιρετέο ΛΕΙΠΕΙ ο όρος τρίτου βαθμού, οπότε αφήνουμε κενή τη θέση του και γράφουμε τον διαιρετέο ως $x^{4} + 0 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 2$ .
2. 2
  Πρώτο βήμα: διαιρούμε το $x^{4}$ με το $x^{2}$ και βρίσκουμε $x^{2}$ .
3. 3
  Πολλαπλασιάζουμε $x^{2} (x^{2} - 2 x + 3) = x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2}$ και το αφαιρούμε από τον διαιρετέο: $(x^{4} + 0 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 2) - (x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2}) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 10 x - 2$ .
4. 4
  Δεύτερο βήμα: από τη σχέση $2 x \cdot x^{2} = 2 x^{3}$ βρίσκουμε τον επόμενο όρο του πηλίκου.
5. 5
  Πολλαπλασιάζουμε $2 x (x^{2} - 2 x + 3) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 6 x$ και το αφαιρούμε: $(2 x^{3} - 5 x^{2} + 10 x - 2) - (2 x^{3} - 4 x^{2} + 6 x) = - x^{2} + 4 x - 2$ .
6. 6
  Τρίτο βήμα: διαιρούμε το $- x^{2}$ με το $x^{2}$ και βρίσκουμε −1.
7. 7
  Πολλαπλασιάζουμε $- 1 (x^{2} - 2 x + 3) = - x^{2} + 2 x - 3$ και το αφαιρούμε: $(- x^{2} + 4 x - 2) - (- x^{2} + 2 x - 3) = 2 x + 1$ .
8. 8
  Σταματάμε, γιατί ο βαθμός του $2 x + 1$ είναι 1, δηλαδή μικρότερος από τον βαθμό 2 του διαιρέτη.
9. 9
  Άρα $π (x) = x^{2} + 2 x - 1$ και $υ (x) = 2 x + 1$ .
10. 10
  Η ταυτότητα γράφεται $x^{4} - 2 x^{2} + 10 x - 2 = (x^{2} - 2 x + 3) (x^{2} + 2 x - 1) + (2 x + 1)$ .
4Μεσαίοgg-div-m5
Να χαρακτηρίσεις τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σου. α) Το πηλίκο της διαίρεσης του $(3 x - 2) (x + 5)$ με το $3 x - 2$ είναι το $x + 5$ . β) Αν η διαίρεση ενός πολυωνύμου με το $x - 4$ είναι τέλεια, τότε το $x - 4$ είναι παράγοντάς του. γ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης $(x^{3} + 8)$ : $(x + 2)$ είναι 16. δ) Το $x - 5$ είναι παράγοντας του $x^{2} + 25$ . ε) Το πηλίκο της διαίρεσης $(x^{3} - 1)$ : $(x - 1)$ είναι το $x^{2} + x + 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) ΣΩΣΤΗ.
2. 2
  Ο διαιρετέος είναι ήδη γραμμένος ως γινόμενο, και ο ένας παράγοντας είναι ακριβώς ο διαιρέτης.
3. 3
  Άρα η διαίρεση είναι τέλεια και το πηλίκο είναι ο άλλος παράγοντας, δηλαδή το $x + 5$ .
4. 4
  β) ΣΩΣΤΗ.
5. 5
  Τέλεια διαίρεση σημαίνει ακριβώς υπόλοιπο μηδέν, οπότε η ταυτότητα γίνεται $Δ (x) = (x - 4) \cdot π (x)$ .
6. 6
  Το $x - 4$ εμφανίζεται δηλαδή ως παράγοντας σε γινόμενο που δίνει το πολυώνυμο, και αυτός ακριβώς είναι ο ορισμός του παράγοντα.
7. 7
  γ) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
8. 8
  Κάνοντας τη διαίρεση βρίσκουμε πηλίκο $x^{2} - 2 x + 4$ και υπόλοιπο 0, δηλαδή $x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ .
9. 9
  Το υπόλοιπο είναι μηδέν, όχι 16.
10. 10
  δ) ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ.
11. 11
  Αν κάνεις τη διαίρεση $(x^{2} + 25)$ : $(x - 5)$ , βρίσκεις πηλίκο $x + 5$ και υπόλοιπο 50, που είναι διάφορο του μηδενός.
12. 12
  Μην μπερδεύεσαι με τη διαφορά τετραγώνων: παραγοντοποιείται το $x^{2} - 25$ , αλλά όχι το $x^{2} + 25$ .
13. 13
  ε) ΣΩΣΤΗ.
14. 14
  Κάνοντας τη διαίρεση βρίσκουμε πηλίκο $x^{2} + x + 1$ και υπόλοιπο 0, δηλαδή ισχύει $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
5Μεσαίοgg-div-e3
Να απαντήσεις, δικαιολογώντας κάθε απάντηση. α) Ποιου βαθμού μπορεί να είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με το $5 x + 3$ ; β) Αν ένα πολυώνυμο $P (x)$ διαιρεθεί με το $3 x^{2} + 2 x - 1$ και δώσει πηλίκο $x^{5} - 4$ , ποιος είναι ο βαθμός του $P (x)$ ; γ) Αν διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο 7ου βαθμού με ένα πολυώνυμο 3ου βαθμού, ποιος είναι ο βαθμός του πηλίκου;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Ο διαιρέτης $5 x + 3$ είναι πρώτου βαθμού.
2. 2
  Ο βαθμός του υπολοίπου πρέπει να είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη, άρα μικρότερος από 1.
3. 3
  Επομένως το υπόλοιπο είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή μηδενικού βαθμού, ή το μηδενικό πολυώνυμο.
4. 4
  β) Ισχύει η ταυτότητα $Δ (x) = δ (x) \cdot π (x) + υ (x)$ .
5. 5
  Ο βαθμός του γινομένου δ(x) · π(x) είναι το ΑΘΡΟΙΣΜΑ των βαθμών, δηλαδή $2 + 5 = 7$ .
6. 6
  Το υπόλοιπο έχει βαθμό μικρότερο από 2, οπότε δεν επηρεάζει τον μεγιστοβάθμιο όρο.
7. 7
  Άρα ο βαθμός του $P (x)$ είναι 7.
8. 8
  γ) Με το ίδιο σκεπτικό, ο βαθμός του διαιρετέου είναι το άθροισμα των βαθμών διαιρέτη και πηλίκου.
9. 9
  Άρα ο βαθμός του πηλίκου είναι $7 - 3 = 4$ .
6Μεσαίοgg-div-h2
Να κάνεις τη διαίρεση $(4 x^{3} + α)$ : $(x + 2)$ και να βρεις την τιμή του αριθμού α για την οποία η διαίρεση είναι τέλεια.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Στον διαιρετέο λείπουν οι όροι με $x^{2}$ και $x$ , οπότε αφήνουμε κενές τις θέσεις τους.
2. 2
  Πρώτο βήμα: από τη σχέση $4 x^{2} \cdot x = 4 x^{3}$ βρίσκουμε τον πρώτο όρο του πηλίκου.
3. 3
  Πολλαπλασιάζουμε $4 x^{2} (x + 2) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$ και το αφαιρούμε από τον διαιρετέο: $(4 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x + α) - (4 x^{3} + 8 x^{2}) = - 8 x^{2} + 0 x + α$ .
4. 4
  Δεύτερο βήμα: διαιρούμε το $- 8 x^{2}$ με το $x$ και βρίσκουμε $- 8 x$ .
5. 5
  Πολλαπλασιάζουμε $- 8 x (x + 2) = - 8 x^{2} - 16 x$ και το αφαιρούμε: $(- 8 x^{2} + 0 x + α) - (- 8 x^{2} - 16 x) = 16 x + α$ .
6. 6
  Τρίτο βήμα: διαιρούμε το $16 x$ με το $x$ και βρίσκουμε 16.
7. 7
  Πολλαπλασιάζουμε $16 (x + 2) = 16 x + 32$ και το αφαιρούμε: $(16 x + α) - (16 x + 32) = α - 32$ .
8. 8
  Εδώ σταματάμε: το $α - 32$ είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή βαθμού μηδέν, ή το μηδενικό πολυώνυμο αν τύχει να είναι $α = 32$ .
9. 9
  Και στις δύο περιπτώσεις ο βαθμός του είναι μικρότερος από τον βαθμό 1 του διαιρέτη, οπότε η διαίρεση τελείωσε.
10. 10
  Άρα το πηλίκο είναι $4 x^{2} - 8 x + 16$ και το υπόλοιπο $α - 32$ .
11. 11
  Η διαίρεση είναι τέλεια ακριβώς όταν το υπόλοιπο μηδενίζεται, δηλαδή όταν $α - 32 = 0$ , οπότε $α = 32$ .
12. 12
  Επαλήθευση: για $α = 32$ ισχύει $4 x^{3} + 32 = (x + 2) (4 x^{2} - 8 x + 16)$ .
13. 13
  Πρόσεξε ότι το α εμφανίστηκε στο υπόλοιπο ΜΟΝΟ στο τελευταίο βήμα και ταξίδεψε άθικτο ως εκεί, γιατί είναι σταθερός όρος.
7Εύκολοgg-div-e1
Να κάνεις τη διαίρεση $(2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 3)$ : $(x + 3)$ και να γράψεις την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Γράφουμε τα δύο πολυώνυμα κατά φθίνουσες δυνάμεις και διαιρούμε κατά στήλες.
2. 2
  Πρώτο βήμα: ψάχνουμε τον όρο του πηλίκου που, πολλαπλασιασμένος με τον όρο μεγαλύτερου βαθμού του διαιρέτη, δίνει τον όρο μεγαλύτερου βαθμού του διαιρετέου.
3. 3
  Τον βρίσκουμε από τη σχέση $2 x^{2} \cdot x = 2 x^{3}$ .
4. 4
  Πολλαπλασιάζουμε $2 x^{2} (x + 3) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$ και το αφαιρούμε από τον διαιρετέο: $(2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 3) - (2 x^{3} + 6 x^{2}) = - x^{2} - 2 x + 3$ .
5. 5
  Αυτό είναι το πρώτο μερικό υπόλοιπο.
6. 6
  Δεύτερο βήμα: διαιρούμε το $- x^{2}$ με το $x$ και βρίσκουμε − $x$ .
7. 7
  Πολλαπλασιάζουμε $- x (x + 3) = - x^{2} - 3 x$ και το αφαιρούμε από το προηγούμενο υπόλοιπο: $(- x^{2} - 2 x + 3) - (- x^{2} - 3 x) = x + 3$ .
8. 8
  Τρίτο βήμα: διαιρούμε το $x$ με το $x$ και βρίσκουμε 1.
9. 9
  Πολλαπλασιάζουμε $1 (x + 3) = x + 3$ και αφαιρούμε: $(x + 3) - (x + 3) = 0$ .
10. 10
  Άρα το πηλίκο είναι $π (x) = 2 x^{2} - x + 1$ και το υπόλοιπο $υ (x) = 0$ , δηλαδή η διαίρεση είναι ΤΕΛΕΙΑ.
11. 11
  Η ταυτότητα γράφεται $2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 3 = (x + 3) (2 x^{2} - x + 1)$ .
12. 12
  Επειδή το υπόλοιπο είναι μηδέν, το $x + 3$ είναι παράγοντας του διαιρετέου.
8Μεσαίοgg-div-m3
Ποιο πολυώνυμο, διαιρούμενο με το $x^{2} + 2 x - 1$ , δίνει πηλίκο $3 x - 4$ και υπόλοιπο $5 x + 1$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το ζητούμενο πολυώνυμο είναι ο διαιρετέος.
2. 2
  Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης, αυτή τη φορά ΑΝΑΠΟΔΑ: αντί να τη γράψουμε στο τέλος για έλεγχο, τη χρησιμοποιούμε για να βρούμε το ζητούμενο.
3. 3
  Είναι $Δ (x) = δ (x) \cdot π (x) + υ (x)$ , δηλαδή $Δ (x) = (x^{2} + 2 x - 1) (3 x - 4) + (5 x + 1)$ .
4. 4
  Κάνουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό: $(x^{2} + 2 x - 1) (3 x - 4) = 3 x^{3} - 4 x^{2} + 6 x^{2} - 8 x - 3 x + 4 = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 11 x + 4$ .
5. 5
  Προσθέτουμε τώρα το υπόλοιπο: $Δ (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 11 x + 4 + 5 x + 1 = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 5$ .
6. 6
  Άρα το ζητούμενο πολυώνυμο είναι το $3 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 5$ .
7. 7
  Έλεγχος λογικής: ο βαθμός του βγήκε 3, όσο δηλαδή $2 + 1$ , και ο βαθμός του υπολοίπου είναι 1, μικρότερος από τον βαθμό 2 του διαιρέτη, όπως πρέπει.
9Εύκολοgg-div-e2
Να εκτελέσεις τη διαίρεση $(3 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + 13)$ : $(x - 2)$ . Στη συνέχεια να γράψεις την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης και να εξηγήσεις γιατί η διαίρεση σταματά εκεί που σταματά.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Διαιρούμε κατά στήλες.
2. 2
  Πρώτο βήμα: από τη σχέση $3 x^{2} \cdot x = 3 x^{3}$ βρίσκουμε τον πρώτο όρο του πηλίκου.
3. 3
  Πολλαπλασιάζουμε $3 x^{2} (x - 2) = 3 x^{3} - 6 x^{2}$ και το αφαιρούμε από τον διαιρετέο: $(3 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + 13) - (3 x^{3} - 6 x^{2}) = x^{2} - 6 x + 13$ .
4. 4
  Δεύτερο βήμα: διαιρούμε το $x^{2}$ με το $x$ και βρίσκουμε $x$ .
5. 5
  Πολλαπλασιάζουμε $x (x - 2) = x^{2} - 2 x$ και το αφαιρούμε: $(x^{2} - 6 x + 13) - (x^{2} - 2 x) = - 4 x + 13$ .
6. 6
  Τρίτο βήμα: διαιρούμε το $- 4 x$ με το $x$ και βρίσκουμε −4.
7. 7
  Πολλαπλασιάζουμε $- 4 (x - 2) = - 4 x + 8$ και το αφαιρούμε: $(- 4 x + 13) - (- 4 x + 8) = 5$ .
8. 8
  Εδώ σταματάμε, και να γιατί: για να συνεχίσουμε θα έπρεπε να διαιρέσουμε το 5 με το $x$ , που δεν δίνει πολυωνυμικό όρο.
9. 9
  Ισοδύναμα, ο βαθμός του 5 είναι μηδέν, δηλαδή μικρότερος από τον βαθμό 1 του διαιρέτη, και αυτή ακριβώς είναι η συνθήκη που ορίζει πότε τελειώνει η διαίρεση.
10. 10
  Άρα $π (x) = 3 x^{2} + x - 4$ και $υ (x) = 5$ .
11. 11
  Η ταυτότητα γράφεται $3 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + 13 = (x - 2) (3 x^{2} + x - 4) + 5$ .
12. 12
  Καλός έλεγχος: κάνε τις πράξεις στο δεύτερο μέλος και δες ότι ξαναβγαίνει το αρχικό πολυώνυμο.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-div-m2
Να αποδείξεις ότι το πολυώνυμο $Q (x) = 3 x - 2$ είναι παράγοντας του πολυωνύμου $P (x) = 6 x^{3} - x^{2} + 10 x - 8$ .
2Μεσαίοgg-div-h2
Να κάνεις τη διαίρεση $(4 x^{3} + α)$ : $(x + 2)$ και να βρεις την τιμή του αριθμού α για την οποία η διαίρεση είναι τέλεια.
3Μεσαίοgg-div-m1
Να κάνεις τη διαίρεση $(x^{4} - 2 x^{2} + 10 x - 2)$ : $(x^{2} - 2 x + 3)$ και να γράψεις την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.
4Δύσκολοgg-div-h3
Ένας μαθητής θέλει να παραγοντοποιήσει την παράσταση $α^{3} - β^{3}$ . Θυμάται ότι ο ένας από τους δύο παράγοντες είναι ο α − β, αλλά έχει ξεχάσει τον άλλο. Πώς μπορεί να τον βρει χωρίς να ανοίξει βιβλίο; Να κάνεις τον υπολογισμό.
5Δύσκολοgg-div-h1
Δίνεται το πολυώνυμο $P (x) = (x^{2} + 3) (2 x - 1) + 4 x - 3$ . Να βρεις το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης α) $P (x)$ : $(x^{2} + 3)$ και β) $P (x)$ : $(2 x - 1)$ .
6Μεσαίοgg-div-e3
Να απαντήσεις, δικαιολογώντας κάθε απάντηση. α) Ποιου βαθμού μπορεί να είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με το $5 x + 3$ ; β) Αν ένα πολυώνυμο $P (x)$ διαιρεθεί με το $3 x^{2} + 2 x - 1$ και δώσει πηλίκο $x^{5} - 4$ , ποιος είναι ο βαθμός του $P (x)$ ; γ) Αν διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο 7ου βαθμού με ένα πολυώνυμο 3ου βαθμού, ποιος είναι ο βαθμός του πηλίκου;
7Μεσαίοgg-div-m3
Ποιο πολυώνυμο, διαιρούμενο με το $x^{2} + 2 x - 1$ , δίνει πηλίκο $3 x - 4$ και υπόλοιπο $5 x + 1$ ;
8Μεσαίοgg-div-m4
Δίνεται το πολυώνυμο $P (x) = x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - x + 6$ . α) Να κάνεις τη διαίρεση $P (x)$ : $(x^{2} - 1)$ . β) Με τη βοήθεια του α), να παραγοντοποιήσεις πλήρως το $P (x)$ .
9Μεσαίοgg-div-m5
Να χαρακτηρίσεις τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας την απάντησή σου. α) Το πηλίκο της διαίρεσης του $(3 x - 2) (x + 5)$ με το $3 x - 2$ είναι το $x + 5$ . β) Αν η διαίρεση ενός πολυωνύμου με το $x - 4$ είναι τέλεια, τότε το $x - 4$ είναι παράγοντάς του. γ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης $(x^{3} + 8)$ : $(x + 2)$ είναι 16. δ) Το $x - 5$ είναι παράγοντας του $x^{2} + 25$ . ε) Το πηλίκο της διαίρεσης $(x^{3} - 1)$ : $(x - 1)$ είναι το $x^{2} + x + 1$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται το πηλίκο και το υπόλοιπο μιας διαίρεσης Δ(x) : δ(x).

Βήματα

1Διάταξε και τα δύο πολυώνυμα κατά φθίνουσες δυνάμεις (βάλε 0 για όρους που λείπουν).
2Διαίρεσε τον μεγιστοβάθμιο όρο του Δ με τον μεγιστοβάθμιο όρο του δ → πρώτος όρος πηλίκου.
3Πολλαπλασίασε τον όρο αυτό με ολόκληρο το δ, αφαίρεσε το αποτέλεσμα.
4Επανάλαβε με το νέο πολυώνυμο μέχρι ο βαθμός του υπολοίπου να γίνει μικρότερος του δ.

Παράδειγμα

(x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4)

(x - 1)

→πηλίκο

x^{2} - x + 2

, υπόλοιπο −2.

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{2} + 5 x + 6)$ : $(x + 2)$ .
2
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{2} - 9)$ : $(x - 3)$ .
3
Να κάνεις τη διαίρεση: $(2 x^{2} + 3 x - 2)$ : $(x + 2)$ .
4
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{3} - 1)$ : $(x - 1)$ .
5
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{2} + 2 x + 5)$ : $(x + 1)$ .
6
Να κάνεις τη διαίρεση: $(6 x^{2} - x - 2)$ : $(2 x + 1)$ .
7
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{3} + 2 x^{2} - x - 2)$ : $(x + 2)$ .
8
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{2} - 5 x + 6)$ : $(x - 2)$ .
9
Να κάνεις τη διαίρεση: $(4 x^{2} - 9)$ : $(2 x - 3)$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να κάνεις τη διαίρεση

(x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4)

(x - 1)

και να γράψεις την ταυτότητα της διαίρεσης.

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να βρεις το α ώστε το πολυώνυμο

x^{2} + α x + 6

να διαιρείται τέλεια με το

x + 2

Δίνεται ότι

(x^{2} - x - 6)

(x - 3) = x + 2

. Να επαληθεύσεις και να βρεις τις ρίζες του

x^{2} - x - 6

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται το πολυώνυμο

P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6

α) Να κάνεις τη διαίρεση

P (x)

(x + 1)

β) Να γράψεις το

P (x)

ως γινόμενο παραγόντων.

γ) Ποιες είναι οι ρίζες του

P (x)

;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.7 — Διαίρεση πολυωνύμων

Ύλη: §1.7Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Στην τέλεια διαίρεση το υπόλοιπο είναι 0.

β) Ο βαθμός του υπολοίπου μπορεί να είναι ίσος με τον βαθμό του διαιρέτη.

γ) Αν

Δ = δ \cdot π + υ

με

υ = 0

, τότε το δ είναι παράγοντας του Δ.

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η διαίρεση

(x^{2} + 5 x + 6)

(x + 2)

α) Να βρεις πηλίκο και υπόλοιπο.

β) Να γράψεις την ταυτότητα της διαίρεσης.

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται

P (x) = x^{3} - 7 x + 6, που

διαιρείται τέλεια με το

x - 1

α) Να κάνεις τη διαίρεση

P (x)

(x - 1)

β) Να παραγοντοποιήσεις πλήρως το

P (x)

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

Επόμενο →

1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων