Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

✖️Μονώνυμο επί πολυώνυμο

•
Για να πολλαπλασιάσουμε ένα μονώνυμο με ένα πολυώνυμο, εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα: πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με ΚΑΘΕ όρο του πολυωνύμου και αθροίζουμε τα γινόμενα. $α \cdot (β + γ) = α \cdot β + α \cdot γ$
•
Στον πολλαπλασιασμό κάθε όρου χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες δυνάμεων (ίδιες βάσεις → προσθέτουμε εκθέτες).
💡 Παράδειγμα:
$3 x^{2} \cdot (2 x^{3} + 6 x) = 3 x^{2} \cdot 2 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 6 x = 6 x^{5} + 18 x^{3} .$
•
Αν το μονώνυμο έχει αρνητικό πρόσημο, προσοχή στην εφαρμογή του προσήμου σε κάθε όρο.
💡 Παράδειγμα:
$- 2 y (3 y^{2} - 5 y + 4) = - 6 y^{3} + 10 y^{2} - 8 y .$
❓ Γιατί:Το «−» είναι μέρος του μονωνύμου και πολλαπλασιάζεται με κάθε όρο του πολυωνύμου, αλλάζοντας τα πρόσημα.

🔀Πολυώνυμο επί πολυώνυμο

•
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε ΚΑΘΕ όρο του ενός με ΚΑΘΕ όρο του άλλου και προσθέτουμε όλα τα γινόμενα. Στο τέλος αναγωγή ομοίων όρων. $(α + β) \cdot (γ + δ) = α \cdot γ + α \cdot δ + β \cdot γ + β \cdot δ$
❓ Γιατί:Είναι διαδοχική εφαρμογή της επιμεριστικής: $(α + β) (γ + δ) = α (γ + δ) + β (γ + δ) = α γ + α δ + β γ + β δ$ .
•
Παράδειγμα με αναγωγή ομοίων όρων:
💡 Παράδειγμα:
$(3 x^{2} y + 2 y) (2 x^{2} + 5) = 6 x^{4} y + 15 x^{2} y + 4 x^{2} y + 10 y = 6 x^{4} y + 19 x^{2} y + 10 y .$
•
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού λέγεται ανάπτυγμα του γινομένου των πολυωνύμων.

🔢Βαθμός γινομένου

•
Ο βαθμός του γινομένου δύο πολυωνύμων ισούται με το άθροισμα των βαθμών τους (όταν κανένα από τα δύο δεν είναι το μηδενικό).
💡 Παράδειγμα:
$(x^{2} + 1) \cdot (x^{3} - 2) : βαθμ \overset{ο}{ˊ} ς 2 + 3 = 5.$
•
Συχνά μετά τον πολλαπλασιασμό προκύπτει μεγάλο πολυώνυμο — πάντα κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και διατάσσουμε τους όρους κατά φθίνουσα δύναμη της μεταβλητής.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Ισχύει

3 x^{2} \cdot (2 x^{3} + 6 x) = 6 x^{5} + 18 x^{3}

2Σωστό / Λάθος

Ισχύει

(α + β) (γ + δ) = α \cdot γ + β \cdot δ

3Σωστό / Λάθος

Ο βαθμός του γινομένου

(x^{2} + 1) (x^{3} - 2)

είναι 5.

4Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

- 2 y (3 y^{2} - 5 y + 4)

;

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

(x + 3) (x + 2)

;

6Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

(x - 2) (x + 2)

;

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν πολλαπλασιάζεις ένα μονώνυμο με ένα πολυώνυμο.

Βήματα

1Πολλαπλασίασε το μονώνυμο με ΚΑΘΕ όρο του πολυωνύμου (επιμεριστική).
2Σε κάθε γινόμενο πρόσθεσε τους εκθέτες των ίδιων μεταβλητών.
3Πρόσεξε το πρόσημο του μονωνύμου σε κάθε όρο.

Παράδειγμα

- 3 a^{2} (a - 2 b + 1) = - 3 a^{3} + 6 a^{2} b - 3 a^{2}

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να αναπτύξεις: $5 x (2 x - 3)$ .
2
Να αναπτύξεις: $- 3 a^{2} (a - 2 b + 1)$ .
3
Να αναπτύξεις: $(x + 4) (x - 1)$ .
4
Να αναπτύξεις: $(2 x - 1) (x + 3)$ .
5
Να αναπτύξεις: $(x + 5) (x - 5)$ .
6
Να αναπτύξεις: $(3 x + 2) (2 x - 1)$ .
7
Να αναπτύξεις: $(x^{2} + 1) (x - 2)$ .
8
Να αναπτύξεις και να απλοποιήσεις: $x (x + 1) - 2 (x + 1)$ .
9
Να αναπτύξεις και να απλοποιήσεις: $(a - b) (a + b) + b^{2}$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να αναπτύξεις και να απλοποιήσεις:

(x + 2) (x - 3) - (x - 1) (x + 4)

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να αποδείξεις ότι η παράσταση

(x + 1) (x - 1) - (x - 2) (x + 2)

είναι σταθερή (ανεξάρτητη του

x

Το γινόμενο

(x + α) (x + 3)

ισούται με

x^{2} + 7 x + 12

. Να βρεις το α.

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η παράσταση

A = (2 x - 1) (x + 3) - 2 x (x - 1)

α) Να αναπτύξεις το γινόμενο

(2 x - 1) (x + 3)

β) Να αναπτύξεις το γινόμενο

2 x (x - 1)

γ) Να απλοποιήσεις την Α.

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.4 — Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

Ύλη: §1.4Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Ισχύει

(α + β)^{2} = α^{2} + β^{2}

β) Ο βαθμός του γινομένου δύο πολυωνύμων ισούται με το άθροισμα των βαθμών τους.

γ) Ισχύει

3 x (x - 2) = 3 x^{2} - 6 x

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

A = (x + 3) (x - 2)

α) Να την αναπτύξεις.

β) Να βρεις την τιμή της για

x = 2

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η παράσταση

A = x (x + 1) + (x - 1) (x + 2)

α) Να την αναπτύξεις και να την απλοποιήσεις.

β) Να βρεις την τιμή της για

x = 0

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

1.3 Πολυώνυμα - Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων

Επόμενο →

1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες