Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.3 Πολυώνυμα - Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.3 Πολυώνυμα — Πρόσθεση & Αφαίρεση

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

📐Έννοια πολυωνύμου

•
Πολυώνυμο είναι το άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όλα όμοια. Κάθε μονώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου.
💡 Παράδειγμα:
$3 x^{2} y + 2 x y^{4} - 5 x^{3} y^{3} \to 3 \overset{ο}{ˊ} ροι (μον \overset{ω}{ˊ} νυμα) .$
•
Διώνυμο: 2 όροι (π.χ. 3 $α^{2}$ − 2β). Τριώνυμο: 3 όροι (π.χ. $2 x$ ² − $3 x$ + 4).
•
Βαθμός πολυωνύμου = ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.
💡 Παράδειγμα:
$3 x^{2} y + 2 x y^{4} - 5 x^{3} y^{3} : βαθμ \overset{ο}{ˊ} ς 6 (ω ς προς x και y, αφο \overset{υ}{ˊ} 3 + 3 = 6) .$
•
Πολυώνυμο $P (x)$ μιας μεταβλητής γράφεται κατά φθίνουσες δυνάμεις του $x$ . Δύο πολυώνυμα είναι ίσα όταν έχουν ίσους αντίστοιχους όρους.

➕Πρόσθεση & Αφαίρεση

•
Πρόσθεση: απαλείφουμε παρενθέσεις και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.
💡 Παράδειγμα:
$(3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 5) + (2 x^{3} - x^{2} + x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 5.$
•
Αφαίρεση: παρένθεση με − μπροστά αλλάζει πρόσημα όλων των όρων της.
💡 Παράδειγμα:
$(3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 5) - (2 x^{3} - x^{2} + x) = x^{3} - x^{2} - 8 x - 5.$
❓ Γιατί:Όπως $- (α + β - γ) = - α - β + γ$ στους αριθμούς, ισχύει το ίδιο και στα πολυώνυμα — απλώς εφαρμόζεται σε κάθε όρο.
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Το

2 x^{2} - 3 x + 4

είναι τριώνυμο.

2Σωστό / Λάθος

Ο βαθμός του πολυωνύμου

3 x^{5} - 2 x^{2} + 1

είναι 5.

3Σωστό / Λάθος

Στην αφαίρεση πολυωνύμων, η παρένθεση με − μπροστά αλλάζει το πρόσημο μόνο του πρώτου της όρου.

4Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

(3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 5) + (2 x^{3} - x^{2} + x)

;

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

(3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 5) - (2 x^{3} - x^{2} + x)

;

6Πολλαπλής επιλογής

Ο βαθμός του πολυωνύμου

3 x^{2} y + 2 x y^{4} - 5 x^{3} y^{3}

είναι;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgg-2.2-m2
Πολλαπλασίασε: $3 x (2 x^{2} - x + 3) - (x + 1) (x^{2} - 2)$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$6 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - (x^{3} + x^{2} - 2 x - 2) = 6 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - x^{3} - x^{2} + 2 x + 2 = 5 x^{3} - 4 x^{2} + 11 x + 2$ .
2Μεσαίοgg-2.2-m1
Κάνε τις πράξεις: $x (x^{2} - 5) - x (2 x^{2} - 1) + 7 x^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$x^{3} - 5 x - 2 x^{3} + x + 7 x^{2} = - x^{3} + 7 x^{2} - 4 x$ .
3Εύκολοgg-2.2-e1
Κάνε τις πράξεις: $3 α (2 β + 5) - 2 β (4 α + 3)$ .
Λύση βήμα-βήμα
$6 α β + 15 α - 8 α β - 6 β = - 2 α β + 15 α - 6 β$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-2.2-m1
Κάνε τις πράξεις: $x (x^{2} - 5) - x (2 x^{2} - 1) + 7 x^{2}$ .
2Μεσαίοgg-2.2-m2
Πολλαπλασίασε: $3 x (2 x^{2} - x + 3) - (x + 1) (x^{2} - 2)$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται ο βαθμός ή το πλήθος όρων ενός πολυωνύμου.

Βήματα

1Κάνε αναγωγή ομοίων όρων (αν χρειάζεται).
2Μέτρα τους όρους: 2 → διώνυμο, 3 → τριώνυμο.
3Βαθμός = ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων.

Παράδειγμα

Το

2 x^{2} - 3 x + 4

: τριώνυμο, βαθμός 2.

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να βρεις το είδος και τον βαθμό του $2 x^{2} - 3 x + 4$ .
2
Να υπολογίσεις: $(2 x^{2} + 3 x - 1) + (x^{2} - 5 x + 4)$ .
3
Να υπολογίσεις: $(5 x^{3} - 2 x + 7) - (3 x^{3} + x - 2)$ .
4
Να υπολογίσεις: $(x^{2} - 4) - (x^{2} + 2 x - 4)$ .
5
Να υπολογίσεις: $(3 a - 2 b) + (a + 5 b) - (2 a - b)$ .
6
Να διατάξεις κατά φθίνουσες δυνάμεις: $3 x - 5 + 2 x^{3} - x^{2}$ .
7
Να βρεις την τιμή του $P (x) = x^{3} - 2 x + 1$ για $x = 2$ .
8
Να υπολογίσεις: $(4 x^{2} y - 3 x y^{2}) + (x y^{2} - 2 x^{2} y)$ .
9
Να αφαιρέσεις το $2 x^{2} - x$ από το $5 x^{2} + 3 x$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Δίνονται

P (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1

και

Q (x) = x^{2} + 4 x - 5

. Να βρεις το

P (x)

−

Q (x)

και τον βαθμό του.

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να βρεις πολυώνυμο

P (x)

ώστε

P (x) + (3 x^{2} - 2 x + 1) = 5 x^{2} + x - 4

Αν

A = x^{2} - 2 x

και

B = 2 x^{2} + x - 3

, να υπολογίσεις το

2A - B

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνονται

P (x) = 3 x^{2} - x + 2

και

Q (x) = x^{2} + 2 x - 1

α) Να βρεις το

P (x)

Q (x)

β) Να βρεις το

P (x)

−

Q (x)

γ) Να βρεις την τιμή του

P (x)

Q (x)

για

x = - 1

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.3 — Πολυώνυμα (πρόσθεση & αφαίρεση)

Ύλη: §1.3Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Το διώνυμο έχει 2 όρους.

β) Ο βαθμός ενός σταθερού πολυωνύμου (π.χ. 5) είναι 1.

γ) Ισχύει

(x^{2} + 1) - (x^{2} - 1) = 2

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται

P (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + x

και

Q (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x

α) Να βρεις το

P (x)

Q (x)

β) Να βρεις το

P (x)

−

Q (x)

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται

P (x) = 2 x^{2} - 5 x + 3

α) Να βρεις τις τιμές

P (0)

και

P (1)

β) Τι παρατηρείς για το

P (1)

;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

1.2 Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα

Επόμενο →

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων