← Όλες οι τάξεις·····

Μελέτη

Γ΄ Γυμνασίου

🧠 Γενική εξάσκηση

Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις Κεφ. 2 - Εξισώσεις - Ανισώσεις Κεφ. 3 - Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Κεφ. 4 - Συναρτήσεις Κεφ. 5 - Πιθανότητες Γεωμ. 1 - Γεωμετρία (Ομοιότητα)Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία

✨Premium Modules — Γ΄ Γυμνασίου

Διαδραστικά, αυτόνομα

Επαναλήψεις Εξετάσεων

Συνολική Επανάληψη

Άλγεβρα Κεφ. 1-3 & Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

📖 Θεωρία 📝 Ασκήσεις27 🧠 Κουίζ68

📝

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

10 λυμένες · 17 προς λύση

Τι θα τυπωθεί:Κενό για λύση:27 από 27

Ονοματεπώνυμο	Τμήμα	Ημερομηνία

💡 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διάβασέ τα πρώτα — δείχνουν τη μέθοδο βήμα-βήμα.

1.2 Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα

1.
Να κάνεις τις πράξεις: $- (- 4 x y) - {- 2 [- 3 y (- x)]} - 5 (- x) y$
ΛύσηΔουλεύω από μέσα προς τα έξω, προσέχοντας τα πρόσημα. Πρώτος όρος: $- (- 4 x y) = 4 x y$ . Μέσα στις αγκύλες: $- 3 y (- x) = 3 x y$ , οπότε $- 2 [3 x y] = - 6 x y$ και $- {- 6 x y} = 6 x y$ . Τρίτος όρος: $- 5 (- x) y = 5 x y$ . Προσθέτω τα όμοια μονώνυμα: $4 x y + 6 x y + 5 x y = 15 x y$ .

1.3 Πολυώνυμα - Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων

2.
Να κάνεις τις πράξεις: $3 α (α^{2} - 2) - 4 α + 2 (α^{2} - 1) - 3 α^{2} (1 + α)$
ΛύσηΚάνω πρώτα τους πολλαπλασιασμούς: $3 α (α^{2} - 2) = 3 α^{3} - 6 α$ , έπειτα $2 (α^{2} - 1) = 2 α^{2} - 2$ και $- 3 α^{2} (1 + α) = - 3 α^{2} - 3 α^{3}$ . Η παράσταση γίνεται $3 α^{3} - 6 α - 4 α + 2 α^{2} - 2 - 3 α^{2} - 3 α^{3}$ . Ομαδοποιώ τους όμοιους όρους: οι όροι $α^{3}$ δίνουν $3 α^{3} - 3 α^{3} = 0$ , οι όροι $α^{2}$ δίνουν $2 α^{2} - 3 α^{2} = - α^{2}$ , οι όροι α δίνουν $- 6 α - 4 α = - 10 α$ . Αποτέλεσμα: $- α^{2} - 10 α - 2$ .

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

3.
Να κάνεις τις πράξεις:
α) $3 α (α^{2} - 2)$
ΛύσηΠολλαπλασιάζω το 3α με κάθε όρο: $3 α \cdot α^{2} - 3 α \cdot 2 = 3 α^{3} - 6 α$ .
β) $- 2 x (x^{2} + 3 x - 1)$
ΛύσηΠροσοχή στα πρόσημα, ο παράγοντας είναι αρνητικός: $- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 3 x - 2 x \cdot (- 1) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$ .
4.
Να κάνεις τις πράξεις και να απλοποιήσεις: $2 α (α^{2} - 3) + 4 (α^{2} - 1) - 5 α^{2}$
ΛύσηΚάνω πρώτα τους πολλαπλασιασμούς: $2 α (α^{2} - 3) = 2 α^{3} - 6 α$ και $4 (α^{2} - 1) = 4 α^{2} - 4$ . Η παράσταση γίνεται $2 α^{3} - 6 α + 4 α^{2} - 4 - 5 α^{2}$ . Συγκεντρώνω τους όμοιους όρους: οι όροι με $α^{2}$ δίνουν $4 α^{2} - 5 α^{2} = - α^{2}$ . Άρα το αποτέλεσμα είναι $2 α^{3} - α^{2} - 6 α - 4$ .

1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες

5.
Αν $x + y = 13$ , να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης $A = (x - y)^{2} + 4 x y$ .
ΛύσηΑναπτύσσω το τετράγωνο: $(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ . Άρα $A = x^{2} - 2 x y + y^{2} + 4 x y = x^{2} + 2 x y + y^{2}, που$ είναι ακριβώς το ανάπτυγμα του $(x + y)^{2}$ . Επομένως $A = (x + y)^{2} = 1 3^{2} = 169$ — χωρίς να χρειαστεί να βρω τα $x$ και $y$ χωριστά.
6.
Αν $x + y = 5$ και $x y = 6$ , να βρεις:
α)το $x^{2} + y^{2}$
ΛύσηΑπό την ταυτότητα $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} \overset{ε}{ˊ} χω 25 = x^{2} + y^{2} + 2 \cdot 6$ , άρα $x^{2} + y^{2} = 25 - 12 = 13$ .
β)το $(x - y)^{2}$
ΛύσηΕίναι $(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2} = 13 - 12 = 1$ .
7.
Να εξηγήσεις γιατί ισχύει $α^{2} - 10 α β + 25 β^{2} \geq 0$ για κάθε πραγματική τιμή των α, β.
ΛύσηΑναγνωρίζω το ανάπτυγμα τέλειου τετραγώνου: $α^{2} - 10 α β + 25 β^{2} = α^{2} - 2 \cdot α \cdot 5 β + (5 β)^{2} = (α - 5 β)^{2}$ . Κάθε τετράγωνο πραγματικού αριθμού είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, άρα $(α - 5 β)^{2} \geq 0$ για κάθε α, β — με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν $α = 5 β$ .

1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

8.
Να παραγοντοποιήσεις την παράσταση: $3 α^{2} β^{2} - 9 α^{2} β^{3} + 12 α^{3} β^{2}$
ΛύσηΒρίσκω τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα όλων των όρων: για τους συντελεστές είναι το 3, για τα γράμματα το $α^{2}$ $β^{2}$ . Βγάζω κοινό παράγοντα το 3 $α^{2}$ $β^{2}$ : $3 α^{2} β^{2} - 9 α^{2} β^{3} + 12 α^{3} β^{2} = 3 α^{2} β^{2} (1 - 3 β + 4 α)$ . Έλεγχος με επιμεριστική: $3 α^{2} β^{2} \cdot 1 = 3 α^{2} β^{2}, 3 α^{2} β^{2} \cdot (- 3 β) = - 9 α^{2} β^{3}, 3 α^{2} β^{2} \cdot 4 α = 12 α^{3} β^{2}$ .

1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

9.
Να απλοποιήσεις την παράσταση: $\frac{α ^{4} - 16}{α ^{3} - 2 α ^{2} + 4 α - 8}$
ΛύσηΠαραγοντοποιώ αριθμητή και παρονομαστή. Αριθμητής: $α^{4} - 16 = (α^{2})^{2} - 4^{2} = (α^{2} - 4) (α^{2} + 4) = (α - 2) (α + 2) (α^{2} + 4)$ . Παρονομαστής, με ομαδοποίηση: $α^{3} - 2 α^{2} + 4 α - 8 = α^{2} (α - 2) + 4 (α - 2) = (α - 2) (α^{2} + 4)$ . Ο παρονομαστής μηδενίζεται μόνο για $α = 2$ (το $α^{2} + 4$ είναι πάντα θετικό), άρα για $α \neq = 2$ απλοποιώ το κοινό $(α - 2) (α^{2} + 4)$ : το κλάσμα ισούται με $α + 2$ .

1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων

10.
Να κάνεις τις πράξεις: $\frac{3}{x ^{2} + x} - \frac{2}{x ^{2} - 1} + \frac{1}{x ^{2} - x}$
ΛύσηΠαραγοντοποιώ τους παρονομαστές: $x^{2} + x = x (x + 1), x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1), x^{2} - x = x (x - 1)$ . Το ΕΚΠ είναι $x (x - 1) (x + 1)$ , με $x \neq = 0, 1, - 1$ . Μετατρέπω σε ομώνυμα: ο πρώτος όρος γίνεται $3 (x - 1)$ , ο δεύτερος $- 2 x$ και ο τρίτος $(x + 1), \overset{ο}{ˊ} λα$ με παρονομαστή $x (x - 1) (x + 1)$ . Αριθμητής: $3 x - 3 - 2 x + x + 1 = 2 x - 2 = 2 (x - 1)$ . Απλοποιώ το $(x - 1)$ και ο παρονομαστής που μένει είναι $x (x + 1) = x^{2} + x$ . Το αποτέλεσμα είναι $\frac{2}{x ^{2} + x}$ .

✏️ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

Χωρίς λύσεις — για την τάξη ή για το σπίτι.

1.2 Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα

1.
Να βρεις τις τιμές των φυσικών αριθμών λ και μ, ώστε η αλγεβρική παράσταση $2 \cdot α^{2 λ - 1} \cdot x^{2} - 4 \cdot α^{λ + 2} \cdot x^{6 - 2 μ}$ να είναι μονώνυμο. Ποιο είναι τότε το μονώνυμο;
2.
Να βρεις τα λ, μ, ν ώστε τα μονώνυμα $(- 2 λ + 1) \cdot x^{ν + 1} \cdot y^{5 - μ}$ και $(3 λ - 4) \cdot x^{2 ν - 1} \cdot y^{μ + 1}$ να είναι αντίθετα.

1.3 Πολυώνυμα - Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων

3.
Δίνονται τα πολυώνυμα $P (x) = 2 x - 1$ και $Q (x) = - 3 x + 2$ . Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης $2 \cdot P (12 + 1) - Q (1 - 27) - 3$ .
4.
Δίνονται τα πολυώνυμα $B (x) = x^{2} + 2$ και $Γ (x) = λ x^{2} - (2 x - 3)^{2}$ . Να βρεις για ποια τιμή του λ το πολυώνυμο Β(x) + Γ(x) είναι πρώτου βαθμού.

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

5.
Να κάνεις τις πράξεις: $x (x^{2} - 5) - (x + 2) (x^{2} + 1)$
6.
Να αποδείξεις ότι το πολυώνυμο $P (x) = 2 (2 x - 1)^{2} - (4 x - 3)^{2} + 8 x (x - 2)$ είναι σταθερό, δηλαδή ότι η τιμή του δεν εξαρτάται από το $x$ .
7.
Να γράψεις κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του $x$ το πολυώνυμο $P (x) = (3 x + 1) (- 3 x - 1) - (x - 2) (- x - 2) - 4 x (- x - 1)$ .
8.
Να κάνεις τις πράξεις: $x (x^{2} - 3) - (x + 1) [x^{2} - (2 - x)] - 5 x^{2}$

1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες

9.
Αν $α + β + γ = 3$ και $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = 13$ , να βρεις την τιμή της παράστασης $α β + β γ + γ α$ . (Υπόδειξη: γράψε $α + β + γ = (α + β) + γ$ και ύψωσε στο τετράγωνο.)
10.
Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων να υπολογίσεις:
α) $5 1^{2}$
β) $10 3^{2}$ − $9 7^{2}$
11.
Αν ισχύει $2 (α^{2} + β^{2}) = (α + β)^{2}$ , να αποδείξεις ότι $α = β$ .
12.
Να αποδείξεις την ισότητα: $(\frac{α + β}{2})^{2} - (\frac{α - β}{2})^{2} = α β$
13.
Αν $x + \frac{1}{x} = 3$ , να υπολογίσεις τις τιμές των παραστάσεων:
α) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$
β) $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$

1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

14.
Να παραγοντοποιήσεις την παράσταση: $(α^{2} - 9)^{2} - (α + 3)^{2}$
15.
Να παραγοντοποιήσεις την παράσταση: $x^{3} - 7 x + 6$ . (Υπόδειξη: γράψε $- 7 x = - x - 6 x$ .)

1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

16.
Να βρεις για ποιες τιμές του $x$ ορίζεται η παράσταση $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4}$ και να την απλοποιήσεις.

1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων

17.
Να κάνεις τις πράξεις: $\frac{1}{x ^{2} + 3 x} - \frac{2}{x ^{2} - 9} + \frac{3}{x ^{2} - 3 x}$

← Άλλη τάξη

MathHub.gr

Φτιάχτηκε δωρεάν με MathHub.gr