Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία›Γ.2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία

§Γ.2.3 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

•
Για κάθε γωνία ω ισχύει: $ημ^{2} ω + συν^{2} ω = 1$
•
Απόδειξη: από $ρ^{2} = x^{2} + y^{2}$ διαιρώντας με $ρ^{2}$ έχουμε $(\frac{x}{ρ})^{2} + (\frac{y}{ρ})^{2} = 1$ , δηλαδή $συν^{2} ω + ημ^{2} ω = 1$ .
❓ Γιατί:Είναι ουσιαστικά το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές $x$ , $y$ , ρ.

•
Για κάθε γωνία ω με συνω $\neq = 0$ : $εφ ω = \frac{ημ ω}{συν ω}$
•
Αρκεί να γνωρίζουμε έναν τριγωνομετρικό αριθμό μιας γωνίας (και το είδος της — οξεία/αμβλεία) για να υπολογίσουμε τους άλλους.
💡 Παράδειγμα:
$Αμβλε \overset{ι}{ˊ} α γων \overset{ι}{ˊ} α μ ε ημ ω = \frac{3}{5} : συν^{2} ω = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}, οπ \overset{ο}{ˊ} τε συν ω = \pm \frac{4}{5} .$
$Αφο \overset{υ}{ˊ} αμβλε \overset{ι}{ˊ} α \to συν ω = - \frac{4}{5} .$
$Άρα εφ ω = \frac{\frac{3}{5}}{- \frac{4}{5}} = - \frac{3}{4} .$
•
Συνέπεια (χρήσιμη ταυτότητα): $1 + εφ^{2} ω = \frac{1}{συν ^{2} ω}$ . $1 + εφ^{2} ω = \frac{1}{συν ^{2} ω}$

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες