Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου — Θεωρία & Ασκήσεις

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διάβασέ τα πρώτα — δείχνουν τη μέθοδο βήμα-βήμα.

Γ.2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0° ≤ ω ≤ 180°

1.
Να υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς:
α)ημ90°
ΛύσηΣτις 90° το ημίτονο παίρνει τη μέγιστη τιμή του: ημ90° $= 1$ .
β)συν180°
ΛύσηΣτις 180° το συνημίτονο παίρνει την ελάχιστη τιμή του: συν180° $= - 1$ .
γ)εφ0°
ΛύσηΕίναι εφ0° = $\frac{η μ 0 ^{\circ}}{συν 0 ^{\circ}}$ $= \frac{0}{1} = 0$ .
δ)συν90°
ΛύσηΕίναι συν90° $= 0$ . (Γι᾿ αυτό ακριβώς η εφ90° δεν ορίζεται — ο παρονομαστής μηδενίζεται.)
2.
Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ έχει νόημα η σχέση συνω $= 3 λ - 4$ , όπου 0° $\leq ω \leq 180$ °;
ΛύσηΓια κάθε γωνία ω με 0° $\leq ω \leq 180$ ° το συνημίτονο παίρνει τιμές από $- 1 \overset{ε}{ˊ} ως 1$ , δηλαδή $- 1 \leq συν$ ω $\leq 1$ . Άρα πρέπει $- 1 \leq 3 λ - 4 \leq 1$ . Προσθέτω 4 σε όλα τα μέλη: $3 \leq 3 λ \leq 5$ . Διαιρώ με 3: $1 \leq λ \leq \frac{5}{3}$ .

Γ.2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

3.
Να υπολογίσεις, ανάγοντας κάθε γωνία στην παραπληρωματική της:
α)ημ150°
ΛύσηΕίναι 150° $= 180$ ° − 30° και για παραπληρωματικές γωνίες το ημίτονο ΔΕΝ αλλάζει: ημ150° $= η μ 30$ ° $= \frac{1}{2}$ .
β)συν135°
ΛύσηΕίναι 135° $= 180$ ° − 45° και το συνημίτονο αλλάζει ΠΡΟΣΗΜΟ: συν135° $= - συν 45$ ° $= - \frac{2}{2}$ .
γ)εφ120°
ΛύσηΕίναι 120° $= 180$ ° − 60° και η εφαπτομένη αλλάζει πρόσημο: εφ120° $= - εφ 60$ ° $= - 3$ .
4.
Χωρίς να υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, να βρεις το πρόσημο των παραστάσεων:
α) $A = η μ 125$ ° $\cdot εφ 160$ ° $\cdot συν 110$ °
ΛύσηΘυμάμαι ότι για 0° $\leq ω \leq 180$ ° το ημίτονο είναι ΠΑΝΤΑ θετικό, ενώ το συνημίτονο και η εφαπτομένη είναι ΑΡΝΗΤΙΚΑ για αμβλείες γωνίες. Άρα ημ125° $> 0, εφ 160$ ° $< 0$ και συν110° $< 0$ . Το γινόμενο έχει ΔΥΟ αρνητικούς παράγοντες (άρτιο πλήθος), οπότε $A > 0$ : η παράσταση είναι ΘΕΤΙΚΗ.
β) $B = συν 95$ ° $\cdot η μ 40$ °
ΛύσηΗ 95° είναι αμβλεία, άρα συν95° $< 0$ . Η 40° είναι οξεία, άρα ημ40° $> 0$ . Γινόμενο αρνητικού με θετικό: $B < 0$ , η παράσταση είναι ΑΡΝΗΤΙΚΗ.

Γ.2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

5.
Αν ημω $= \frac{3}{5}$ και η γωνία ω είναι οξεία, να βρεις το συνω και την εφω.
ΛύσηΑπό τη βασική ταυτότητα $ημ^{2} ω + συν^{2} ω = 1 \overset{ε}{ˊ} χω συν^{2} ω = 1 - (\frac{3}{5})^{2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , άρα συνω $= \frac{4}{5}$ ή συνω $= - \frac{4}{5}$ . Επειδή η ω είναι ΟΞΕΙΑ, το συνημίτονο είναι θετικό, οπότε συνω $= \frac{4}{5}$ . Τέλος εφω = $\frac{ημ ω}{συν ω}$ $= \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$ .
6.
Αν 90° $< x < 180$ ° και $εφ x = - 3$ , να βρεις την τιμή της παράστασης $A = 6 η μx - 23 \cdot συν x$ .
ΛύσηΨάχνω αμβλεία γωνία με εφαπτομένη − $3$ . Επειδή εφ60° $= 3$ και η εφαπτομένη αλλάζει πρόσημο στις παραπληρωματικές, είναι εφ120° $= - εφ 60$ ° $= - 3$ , άρα $x = 120$ °. Τότε ημ120° $= η μ 60$ ° $= \frac{3}{2}$ και συν120° $= - συν 60$ ° $= - \frac{1}{2}$ . Αντικαθιστώ: $A = 6 \cdot (\frac{3}{2}) - 23 \cdot (- \frac{1}{2}) = 33 + 3 = 43$ .

Γ.2.4 Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων

7.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι $β = 5, γ = 8$ και $A = 60$ °. Να βρεις την πλευρά α.
ΛύσηΕφαρμόζω τον νόμο των συνημιτόνων για την πλευρά α: $α^{2} = β^{2} + γ^{2} - 2 β γ \cdot συν$ Α. Αντικαθιστώ: $α^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot συν 60$ ° $= 25 + 64 - 80 \cdot (\frac{1}{2}) = 89 - 40 = 49$ . Άρα $α = 49 = 7$ (κρατάω τη θετική ρίζα, αφού είναι μήκος).
8.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι $A = 45$ °, $B = 105$ ° και $α = 6$ . Να βρεις τη γωνία Γ και την πλευρά γ.
ΛύσηΤο άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι 180°, άρα $Γ = 180$ ° − 45° − 105° $= 30$ °. Εφαρμόζω τον νόμο των ημιτόνων: $\frac{α}{ημ A}$ = $\frac{γ}{ημ Γ}$ , δηλαδή $\frac{6}{η μ 4 5 ^{\circ}}$ = $\frac{γ}{η μ 3 0 ^{\circ}}$ . Λύνω ως προς γ: γ = 6· $\frac{η μ 3 0 ^{\circ}}{η μ 4 5 ^{\circ}}$ $= 6 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{2}}$ . Το πηλίκο $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{2}}$ ισούται με $\frac{1}{2}$ , άρα $γ = \frac{6}{2}$ . Ρητοποιώ πολλαπλασιάζοντας με $2$ : $γ = 6 \frac{2}{2} = 32$ .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

Χωρίς λύσεις — για την τάξη ή για το σπίτι.

Γ.2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0° ≤ ω ≤ 180°

1.
Αν για τη γωνία ω με 0° $\leq ω \leq 180$ ° και για έναν φυσικό αριθμό ν ισχύει ημω $= 2 ν - 1$ , να βρεις τα ω και ν.
2.
Αν 0° $\leq x \leq 180$ ° και $3 η μ^{2} x = συν^{2} x + 1$ , να βρεις όλες τις γωνίες $x$ που την επαληθεύουν.

Γ.2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

3.
Αν 0° $\leq ω \leq 180$ °, να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης $A = 3 η μ^{2} 40$ ° $+ ημ^{2} ω + 3 σ υ ν^{2} 140$ ° + συ $ν^{2}$ (180° − ω)
4.
Να βρεις την αριθμητική τιμή της παράστασης $A = \frac{( συν 11 0 ^{\circ} + συν 18 0 ^{\circ} ) ^{2} - ( συν 7 0 ^{\circ} - ημ 9 0 ^{\circ} ) ^{2}}{συν 11 0 ^{\circ}}$

Γ.2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

5.
Αν $2 η μx + 3 = 5 η μx + \frac{3}{2}$ και 90° $< x < 180$ °, να βρεις τη γωνία $x$ και το συνx.
6.
Αν ισχύει ημω $+ συν$ ω $= 2$ , να υπολογίσεις:
α)το γινόμενο ημω $\cdot συν$ ω
β)την τιμή της παράστασης (ημω $- συν$ ω)²

Γ.2.4 Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων

7.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι $α = 7, β = 5$ και $γ = 3$ . Να βρεις τη γωνία Α.
8.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει $β = α + 1, γ = α + 2$ και συνΑ $= \frac{3}{5}$ . Να βρεις τα μήκη των τριών πλευρών.

Ονοματεπώνυμο	Τμήμα	Ημερομηνία

Γ΄ Γυμνασίου

Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Γ.2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0° ≤ ω ≤ 180°

Γ.2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Γ.2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

Γ.2.4 Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων

Γ.2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0° ≤ ω ≤ 180°

Γ.2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Γ.2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

Γ.2.4 Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων