Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ, και σημείο Σ έξω από τον κύκλο. Από το Σ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΣΑ και ΣΒ. Να αποδείξεις ότι:
α)ΣA=ΣB
ΛύσηΗ ακτίνα προς το σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη, άρα οι γωνίες ΟΑΣ και ΟΒΣ είναι ορθές. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΣ και ΟΒΣ: έχουν κοινή υποτείνουσα τη ΣΟ και OA=OB=ρ (ακτίνες). Από το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα - κάθετη πλευρά) είναι ίσα, άρα ΣA=ΣB.
β)η ΣΟ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΣΒ
ΛύσηΑπό την ισότητα των τριγώνων του (α) προκύπτει ότι και οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες: γωνία ΑΣΟ= γωνία ΒΣΟ. Άρα η ΣΟ χωρίζει τη γωνία ΑΣΒ σε δύο ίσες γωνίες, δηλαδή είναι διχοτόμος της.
2.
Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και χορδή ΑΒ. Πάνω στη χορδή παίρνουμε σημεία Γ και Δ ώστε AΓ=BΔ. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές.
ΛύσηΤο τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές, γιατί OA=OB=ρ (ακτίνες). Άρα οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες: γωνία ΟΑΒ= γωνία ΟΒΑ. Συγκρίνω τώρα τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΒΔ: έχουν OA=OB,AΓ=BΔ (δεδομένο) και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες (γωνία ΟΑΓ= γωνία ΟΒΔ, όπως δείξαμε, αφού τα Γ και Δ είναι πάνω στη χορδή). Από το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα OΓ=OΔ, δηλαδή το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές.
Γ.1.2 Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων
3.
Δύο ευθύγραμμα τμήματα έχουν μήκη AB=12cm και ΓΔ=18cm. Να βρεις τον λόγο τους ΓΔAB και να τον απλοποιήσεις.
ΛύσηΟ λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων είναι το πηλίκο των μηκών τους, μετρημένων στην ΙΔΙΑ μονάδα: ΓΔAB=1812. Απλοποιώ με ΜΚΔ(12,18)=6 και βρίσκω 32. Ο λόγος είναι καθαρός αριθμός — δεν έχει μονάδα μέτρησης, γιατί τα cm απλοποιούνται.
Γ.1.3 Θεώρημα του Θαλή
4.
Να υπολογίσεις την τιμή του x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α)Σε τρίγωνο ΑΒΓ, τα Κ και Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, με KΛ=2x και BΓ=3x+2.
ΛύσηΤο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Άρα BΓ=2⋅KΛ, δηλαδή 3x+2=2⋅2x=4x. Λύνω: 4x−3x=2, άρα x=2.
β)Σε τρίγωνο ΑΒΓ, το Μ είναι το μέσο της ΑΒ και ευθεία παράλληλη προς τη ΒΓ που περνά από το Μ τέμνει την ΑΓ στο Ν, με ΑΝ =2x+3 και ΓN=4x−5.
ΛύσηΕυθεία που περνά από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου και είναι παράλληλη προς άλλη πλευρά, περνά και από το μέσο της τρίτης πλευράς. Άρα το Ν είναι μέσο της ΑΓ, δηλαδή ΑΝ =ΓN: 2x+3=4x−5. Λύνω: 8=2x, άρα x=4.
Γ.1.5 Ομοιότητα
5.
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή. Από σημείο Δ της υποτείνουσας ΒΓ φέρνουμε κάθετη στη ΒΓ, που τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Ε.
α)Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΕ είναι όμοια.
ΛύσηΤα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΕ έχουν: τη γωνία Β κοινή και από μία ορθή γωνία (η Α του πρώτου και η Δ του δεύτερου, αφού ΔΕ κάθετη στη ΒΓ). Δύο τρίγωνα με δύο γωνίες ίσες μία προς μία είναι όμοια. Η αντιστοιχία των κορυφών είναι Β↔Β, Α↔Δ, Γ↔Ε.
β)Αν BΔ=6cm,ΔΓ=14cm και ΔE=8cm, να υπολογίσεις τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ και το μήκος ΒΕ.
ΛύσηΠρώτα ό,τι βγαίνει άμεσα: BΓ=BΔ+ΔΓ=6+14=20cm, και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΕ το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει BE2=BΔ2+ΔE2=36+64=100, άρα BE=10cm. Από την ομοιότητα (Β↔Β, Δ↔Α, Ε↔Γ) οι αντίστοιχες πλευρές είναι ανάλογες: BABΔ=BΓBE=AΓΔE. Ο λόγος BΓBE=2010=21. Άρα BABΔ=21, οπότε BA=2⋅6=12cm, και AΓΔE=21, οπότε AΓ=2⋅8=16cm. Επαλήθευση με Πυθαγόρειο στο ΑΒΓ: 122+162=144+256=400=202. Οι πλευρές είναι AB=12cm,AΓ=16cm,BΓ=20cm και BE=10cm.
Γ.1.6 Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων
6.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ, που τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ζ. Αν BΓ=24cm και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 16 φορές μεγαλύτερο από το εμβαδόν του ΑΔΖ, να υπολογίσεις το μήκος ΔΖ.
ΛύσηΕπειδή ΔΖ ∥ ΒΓ, τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΑΒΓ έχουν ίσες γωνίες (η Α κοινή και οι άλλες εντός εκτός και επί τα αυτά), άρα είναι όμοια. Σε όμοια σχήματα, ο λόγος των εμβαδών ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας: ΑΒΓΑΔΖ=λ2. ΕδωˊΑΒΓΑΔΖ=161, άρα λ2=161 και λ=41 (κρατάω τη θετική ρίζα). Ο ίδιος λόγος συνδέει τις αντίστοιχες πλευρές: BΓΔZ=41, άρα ΔZ=424=6cm.
✏️ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Χωρίς λύσεις — για την τάξη ή για το σπίτι.
Γ.1.1 Ισότητα τριγώνων
1.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB=AΓ. Φέρνουμε τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ προς τις ίσες πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξεις ότι:
α)BΔ=ΓE
β)τα σημεία Β και Γ ισαπέχουν από τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα
γ)τα μέσα Ε και Δ των ίσων πλευρών ισαπέχουν από τη βάση ΒΓ
2.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB=AΓ. Φέρνουμε τις διχοτόμους ΒΔ και ΓΕ των γωνιών Β και Γ, που τέμνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξεις ότι:
α)BΔ=ΓE
β)αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές
3.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB=AΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ και προς τα δύο μέρη κατά ίσα τμήματα BK=ΓΛ. Να αποδείξεις ότι:
α)το τρίγωνο ΑΚΛ είναι ισοσκελές
β)τα σημεία Β και Γ ισαπέχουν από τις πλευρές ΑΚ και ΑΛ αντίστοιχα
4.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσο ΑΔ. Να αποδείξεις ότι τα άκρα Β και Γ του τμήματος ΒΓ ισαπέχουν από την ευθεία της διαμέσου ΑΔ.
5.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB=AΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ προς το μέρος του Α, παίρνοντας ίσα τμήματα AK=AΛ (το Κ στην προέκταση της ΒΑ και το Λ στην προέκταση της ΓΑ). Να συγκρίνεις τα τρίγωνα ΒΚΓ και ΓΛΒ.
6.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά ίσο τμήμα MΔ=MA. Να αποδείξεις ότι AΓ=BΔ.
7.
Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ κατά τμήματα BΔ=AB και ΓE=AΓ αντίστοιχα. Να αποδείξεις ότι τα σημεία Δ και Ε ισαπέχουν από την ευθεία ΒΓ. (Υπόδειξη: σύγκρινε την απόσταση καθενός με την απόσταση του Α από την ίδια ευθεία.)
8.
Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB=AΓ είναι BΓ<AB. Στην ημιευθεία ΒΓ θεωρούμε σημείο Δ ώστε BΔ=BA, και στην προέκταση της ΑΒ προς το Β σημείο Ε ώστε BE=ΓΔ. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΔΑΕ είναι ισοσκελές.
9.
Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και χορδή ΑΒ. Στην προέκταση της χορδής, έξω από τον κύκλο, παίρνουμε σημεία Γ και Δ (το Γ από το μέρος του Α και το Δ από το μέρος του Β) ώστε AΓ=BΔ. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές.
10.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB<AΓ. Πάνω στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε σημείο Δ ώστε AΔ=AB, και στην προέκταση της ΑΒ σημείο Ε ώστε AE=AΓ. Αν Κ είναι το σημείο τομής των ΒΓ και ΕΔ, να αποδείξεις ότι:
α)τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα
β)τα τρίγωνα ΚΒΕ και ΚΔΓ είναι ίσα
11.
Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ τέμνονται στα σημεία Α και Β. Να αποδείξεις ότι:
α)η ευθεία ΚΛ διχοτομεί τις γωνίες ΑΚΒ και ΑΛΒ
β)η ευθεία ΚΛ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ
Γ.1.3 Θεώρημα του Θαλή
12.
Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ, που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Δ και την ΑΓ στο σημείο Ζ. Αν AΔ=4cm,ΔB=6cm και AZ=6cm, να βρεις το μήκος ΖΓ.
13.
Να αποδείξεις ότι τα μέσα των πλευρών ενός κυρτού τετράπλευρου ΑΒΓΔ είναι κορυφές παραλληλογράμμου.
Γ.1.5 Ομοιότητα
14.
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A=90°, AB=3 και AΓ=1. Ένα όμοιό του τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄, με αντίστοιχες κορυφές Α↔Α΄, Β↔Β΄ και Γ↔Γ΄, έχει υποτείνουσα ´ô =6. Να βρεις τις πλευρές Α΄Β΄ και Α΄Γ΄.
15.
Σε κύκλο με κέντρο Ο, οι χορδές ΑΒ και ΓΔ τέμνονται σε εσωτερικό σημείο Ε.
α)Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΔΕΒ είναι όμοια.
β)Αν AE=3,EB=8 και EΓ=4, να υπολογίσεις το μήκος ΕΔ.
16.
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και ΑΔ το ύψος προς την υποτείνουσα. Φέρνουμε ΔΕ κάθετη στην ΑΒ.
α)Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΔΓ είναι όμοια.
β)Να αποδείξεις ότι AΔ2=AΓ⋅ΔE.
17.
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Ευθεία που περνά από την κορυφή Γ τέμνει τη διαγώνιο ΒΔ σε σημείο Ε ώστε BE=3⋅EΔ, και την πλευρά ΑΔ στο σημείο Ζ. Να αποδείξεις ότι AZ=2⋅ZΔ.
Γ.1.6 Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων
18.
Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ ∥ ΓΔ και ΓΔ=32cm. Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο σημείο Ε. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΕ είναι 25 cm2 και του τριγώνου ΓΔΕ είναι 100 cm2, να βρεις το μήκος της ΑΒ.
19.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB=AΓ. Σε σημείο Δ της βάσης ΒΓ ισχύει ΔΓ=2⋅ΔB. Φέρνουμε τις αποστάσεις ΔΕ και ΔΖ του Δ από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
α)Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΔΒΕ και ΔΓΖ είναι όμοια.
β)Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΔΓΖ είναι 36 cm2, να υπολογίσεις το εμβαδόν του τριγώνου ΔΒΕ.
20.
Από το μέσο Μ του ύψους ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 48 cm2, να υπολογίσεις το εμβαδόν του τριγώνου ΑΕΖ.