Κεφ. 3 - Συναρτήσεις›3.5 Η συνάρτηση y=α/x - Η υπερβολή

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 3 - Συναρτήσεις

§3.5 Η συνάρτηση y = α/x — Η υπερβολή

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🌀Η υπερβολή

•
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = \frac{α}{x}$ (με $α \neq = 0$ ) λέγεται υπερβολή και αποτελείται από δύο κλάδους — μία καμπύλη γραμμή σε δύο μέρη. $y = \frac{α}{x} (x \neq = 0)$
▶️ Υπερβολή y = α/x — slider α, δύο κλάδοι, draggable σημείο, ασύμπτωτες οι άξονες.
y = 2/x — υπερβολή, ασύμπτωτες οι άξονες · κλάδοι στο 1ο & 3ο τεταρτημόριο · περιττή (x·y = 2 σταθερό)
α = 2
Σύρε το σημείο πάνω στον κλάδο · άλλαξε το α — όσο μεγαλώνει το |α|, η υπερβολή «ανοίγει».
❓ Γιατί:Όταν $α > 0$ , για να ισχύει $y = \frac{α}{x}$ χρειάζονται $x$ και $y$ με το ίδιο πρόσημο. Άρα τα σημεία της είναι στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο. Για $α < 0$ , χρειάζονται διαφορετικά πρόσημα, άρα στο 2ο και 4ο.
📎 Δες και:
•
Αν $α > 0$ : κλάδοι στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
💡 Παράδειγμα:
$y = \frac{3}{x} : κλ \overset{α}{ˊ} δοι στα τεταρτημ \overset{ο}{ˊ} ρια (+, +) και (-, -) .$
•
Αν $α < 0$ : κλάδοι στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο.
💡 Παράδειγμα:
$y = - \frac{3}{x} : κλ \overset{α}{ˊ} δοι στα τεταρτημ \overset{ο}{ˊ} ρια (-, +) και (+, -) .$

🪞Συμμετρίες

•
Η υπερβολή $y = \frac{α}{x}$ έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.
•
Άξονες συμμετρίας είναι οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων: οι ευθείες $y = x$ και $y = - x$ .
•
Η υπερβολή δεν τέμνει ποτέ τους άξονες x'x και y'y (γιατί $x \neq = 0$ και $y \neq = 0$ ).

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Η γραφική παράσταση της

y = \frac{α}{x}

λέγεται υπερβολή.

2Σωστό / Λάθος

Η υπερβολή

y = \frac{α}{x}

τέμνει τον άξονα των

x

3Πολλαπλής επιλογής

Για

α > 0

, σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται οι κλάδοι της

y = \frac{α}{x}

;

4Πολλαπλής επιλογής

Ποιος είναι ο περιορισμός για τη συνάρτηση

y = \frac{6}{x}

;

5Πολλαπλής επιλογής

Στην

y = \frac{6}{x}

, πόσο είναι το

y

όταν

x = 2

;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-3.5-m2
Δίνεται η υπερβολή $y = \frac{α}{x}$ και διέρχεται από το Α(2, 4). Να βρεις το α.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $4 = \frac{α}{2}$
2. 2
  $α = 8$ . Άρα $y = \frac{8}{x}$ .
2Μεσαίοgb-3.5-m1
Δίνεται η συνάρτηση $y = \frac{6}{x}$ . Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται οι κλάδοι της υπερβολής;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $α = 6 > 0$
2. 2
  οι κλάδοι βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
3Μεσαίοgb-3.5-m3
Θεωρούμε όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν 36 τετραγωνικά εκατοστά. Αν $x$ και $y$ είναι οι διαστάσεις ενός τέτοιου ορθογωνίου, να εκφράσεις το $y$ ως συνάρτηση του $x$ και να βρεις το $y$ για $x = 4$ και για $x = 18$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το εμβαδόν είναι $x \cdot y = 36$ , οπότε $y = \frac{36}{x}$ , με $x$ μεγαλύτερο του μηδενός.
2. 2
  Για $x = 4$ έχουμε $y = \frac{36}{4} = 9$ εκατοστά και για $x = 18$ έχουμε $y = \frac{36}{18} = 2$ εκατοστά.
3. 3
  Τα $x$ και $y$ είναι αντιστρόφως ανάλογα: όσο μεγαλώνει το ένα, τόσο μικραίνει το άλλο.
4Μεσαίοgb-3.5-m7
Η απόσταση δύο πόλεων είναι 60 χιλιόμετρα. Ένας ποδηλάτης τη διανύει σε χρόνο $t$ ωρών με σταθερή ταχύτητα υ χιλιομέτρων την ώρα. α) Πόση ταχύτητα χρειάζεται για να την καλύψει σε 1 ώρα, σε 2 ώρες, σε 4 ώρες και σε 10 ώρες; β) Τι παριστάνει το γινόμενο της ταχύτητας επί τον χρόνο; γ) Να εκφράσεις την ταχύτητα υ ως συνάρτηση του χρόνου $t$ . δ) Αν διπλασιάσει την ταχύτητά του, τι γίνεται ο χρόνος;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Η ταχύτητα είναι το διάστημα διά τον χρόνο.
2. 2
  Για 1 ώρα χρειάζεται 60 χιλιόμετρα την ώρα, για 2 ώρες 30, για 4 ώρες 15 και για 10 ώρες 6.
3. 3
  β) Σε κάθε περίπτωση το γινόμενο βγαίνει το ίδιο: $1 \cdot 60 = 60$ , μετά $2 \cdot 30 = 60$ , μετά $4 \cdot 15 = 60$ και τέλος $10 \cdot 6 = 60$ .
4. 4
  Δεν είναι σύμπτωση: το γινόμενο ταχύτητα επί χρόνο παριστάνει το ΔΙΑΣΤΗΜΑ, που εδώ είναι σταθερό, 60 χιλιόμετρα, όσο και αν αλλάξει ο τρόπος που το διανύει.
5. 5
  γ) Ακριβώς επειδή το γινόμενο $υ \cdot t = 60$ είναι σταθερό, τα δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα και η σχέση είναι $υ = \frac{60}{t}$ , με $t$ μεγαλύτερο του μηδενός.
6. 6
  δ) Το γινόμενο πρέπει να μείνει 60.
7. 7
  Αν λοιπόν η ταχύτητα διπλασιαστεί, ο χρόνος πρέπει να ΥΠΟΔΙΠΛΑΣΙΑΣΤΕΙ για να μη χαλάσει το γινόμενο.
8. 8
  Το βλέπεις και στα νούμερα του α): από 30 χιλιόμετρα την ώρα σε 60, ο χρόνος πέφτει από τις 2 ώρες στη 1.
5Μεσαίοgb-3.5-m6
Δίνονται οι υπερβολές $y = \frac{3}{x}, y = \frac{5}{x}$ και $y = \frac{20}{x}$ , με $x$ διάφορο του μηδενός. α) Πόσο είναι το $y$ καθεμιάς για $x = 1$ και για $x = 5$ ; β) Ποια από τις τρεις περνά πιο μακριά από τους άξονες;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Για $x = 1$ οι τρεις συναρτήσεις δίνουν $y = 3, y = 5$ και $y = 20$ αντίστοιχα.
2. 2
  Για $x = 5$ δίνουν $y = \frac{3}{5} = 0, 6$ , μετά $y = 1$ και τέλος $y = 4$ .
3. 3
  β) Και στις δύο τιμές του $x$ που δοκιμάσαμε, η υπερβολή με τον μεγαλύτερο αριθμητή έδωσε το μεγαλύτερο $y$ .
4. 4
  Αυτό ισχύει για κάθε θετικό $x$ , και ο λόγος φαίνεται καθαρά αν γράψουμε τη σχέση ως $x \cdot y = α$ : για δεδομένο $x$ , όσο μεγαλύτερο είναι το σταθερό γινόμενο α, τόσο μεγαλύτερο πρέπει να είναι το $y$ .
5. 5
  Άρα πιο μακριά από τους άξονες περνά η $y = \frac{20}{x}$ και πιο κοντά τους η $y = \frac{3}{x}$ .
6Εύκολοgb-3.5-e2
Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα ποσά $x$ και $y$ είναι αντιστρόφως ανάλογα; Σε όλες το $x$ παίρνει τις τιμές 2, 3 και 5. α) Το $y$ παίρνει αντίστοιχα τις τιμές $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ και $\frac{1}{5}$ . β) Το $y$ παίρνει αντίστοιχα τις τιμές 0,2, 0,3 και 0,5. γ) Το $y$ παίρνει αντίστοιχα τις τιμές 6, 4 και 2,4. δ) Το $y$ παίρνει αντίστοιχα τις τιμές −2, −3 και −5.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το κριτήριο είναι ένα και μοναδικό: δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν το ΓΙΝΟΜΕΝΟ των αντίστοιχων τιμών τους βγαίνει σταθερό.
2. 2
  Ελέγχουμε λοιπόν τα γινόμενα σε καθεμιά.
3. 3
  α) Είναι $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ , μετά $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ και τέλος $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$ .
4. 4
  Σταθερό, άρα ΝΑΙ.
5. 5
  β) Είναι $2 \cdot 0, 2 = 0, 4$ , μετά $3 \cdot 0, 3 = 0, 9$ και τέλος $5 \cdot 0, 5 = 2, 5$ .
6. 6
  Διαφορετικά μεταξύ τους, άρα ΟΧΙ.
7. 7
  Εδώ τα ποσά είναι ΑΝΑΛΟΓΑ, γιατί σταθερός βγαίνει ο ΛΟΓΟΣ τους και όχι το γινόμενο.
8. 8
  γ) Είναι $2 \cdot 6 = 12$ , μετά $3 \cdot 4 = 12$ και τέλος $5 \cdot 2, 4 = 12$ .
9. 9
  Σταθερό, άρα ΝΑΙ.
10. 10
  δ) Είναι $2 \cdot (- 2) = - 4$ , μετά $3 \cdot (- 3) = - 9$ και τέλος $5 \cdot (- 5) = - 25$ .
11. 11
  Διαφορετικά, άρα ΟΧΙ.
12. 12
  Πρόσεξε όμως ότι και εδώ, όπως και στο β), τα ποσά είναι ΑΝΑΛΟΓΑ: ο λόγος βγαίνει −1 κάθε φορά, δηλαδή ισχύει $y = - x$ .
13. 13
  Σωστές απαντήσεις: η α) και η γ).
7Εύκολοgb-3.5-e1
Τα ποσά $x$ και $y$ είναι αντιστρόφως ανάλογα και για $x = 3$ είναι $y = 4$ . Να βρεις τη σχέση που τα συνδέει και την τιμή του $y$ όταν $x = 12$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Όταν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, το γινόμενό τους είναι σταθερό: $x \cdot y = α$ .
2. 2
  Από τα δεδομένα $α = 3 \cdot 4 = 12$ , οπότε $y = \frac{12}{x}$ , με $x$ διάφορο του μηδενός.
3. 3
  Για $x = 12$ έχουμε $y = \frac{12}{12} = 1$ .
8Μεσαίοgb-3.5-m5
Δίνονται οι υπερβολές $y = \frac{6}{x}$ και $y = - \frac{6}{x}$ , με $x$ διάφορο του μηδενός. α) Να βρεις την τιμή του $y$ καθεμιάς για $x = - 6, - 3, - 1, 1, 3$ και 6. β) Τι παρατηρείς για τα ζεύγη που προκύπτουν;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Για την πρώτη υπερβολή διαιρούμε κάθε φορά το 6 με το $x$ .
2. 2
  Όταν $x = - 6$ είναι $y = - 1$ , όταν $x = - 3$ είναι $y = - 2$ , όταν $x = - 1$ είναι $y = - 6$ , όταν $x = 1$ είναι $y = 6$ , όταν $x = 3$ είναι $y = 2$ και όταν $x = 6$ είναι $y = 1$ .
3. 3
  Για τη δεύτερη υπερβολή οι τιμές βγαίνουν οι αντίθετες, με την ίδια σειρά: 1, 2, 6, −6, −2 και −1.
4. 4
  β) Τρεις παρατηρήσεις αξίζουν.
5. 5
  Πρώτον, μέσα στην ίδια υπερβολή τα σημεία με αντίθετες τετμημένες έχουν και αντίθετες τεταγμένες, δηλαδή είναι συμμετρικά ως προς την αρχή Ο.
6. 6
  Δεύτερον, οι δύο υπερβολές δίνουν για το ίδιο $x$ αντίθετες τιμές, άρα είναι συμμετρικές μεταξύ τους ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ .
7. 7
  Τρίτον, όσο το $x$ πλησιάζει το μηδέν τόσο το $y$ μεγαλώνει κατά απόλυτη τιμή, ενώ όσο το $x$ μεγαλώνει τόσο το $y$ πλησιάζει το μηδέν χωρίς ποτέ να το φτάνει.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-3.5-m5
Δίνονται οι υπερβολές $y = \frac{6}{x}$ και $y = - \frac{6}{x}$ , με $x$ διάφορο του μηδενός. α) Να βρεις την τιμή του $y$ καθεμιάς για $x = - 6, - 3, - 1, 1, 3$ και 6. β) Τι παρατηρείς για τα ζεύγη που προκύπτουν;
2Μεσαίοgb-3.5-m3
Θεωρούμε όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν 36 τετραγωνικά εκατοστά. Αν $x$ και $y$ είναι οι διαστάσεις ενός τέτοιου ορθογωνίου, να εκφράσεις το $y$ ως συνάρτηση του $x$ και να βρεις το $y$ για $x = 4$ και για $x = 18$ .
3Δύσκολοgb-3.5-h2
Να χαρακτηρίσεις ως σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις. α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = \frac{2}{x}$ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία $x = 2$ . β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = \frac{5}{x}$ διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = \frac{10}{x}$ βρίσκεται στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο. δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = - \frac{5}{x}$ έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.
4Μεσαίοgb-3.5-m7
Η απόσταση δύο πόλεων είναι 60 χιλιόμετρα. Ένας ποδηλάτης τη διανύει σε χρόνο $t$ ωρών με σταθερή ταχύτητα υ χιλιομέτρων την ώρα. α) Πόση ταχύτητα χρειάζεται για να την καλύψει σε 1 ώρα, σε 2 ώρες, σε 4 ώρες και σε 10 ώρες; β) Τι παριστάνει το γινόμενο της ταχύτητας επί τον χρόνο; γ) Να εκφράσεις την ταχύτητα υ ως συνάρτηση του χρόνου $t$ . δ) Αν διπλασιάσει την ταχύτητά του, τι γίνεται ο χρόνος;
5Δύσκολοgb-3.5-h1
Η απόσταση της Γης από τη Σελήνη είναι περίπου 380.000 χιλιόμετρα. α) Ποια είναι η ταχύτητα, σε χιλιόμετρα την ώρα, ενός πυραύλου που διανύει την απόσταση αυτή σε 3 ημέρες; β) Να εκφράσεις την ταχύτητα υ ως συνάρτηση του χρόνου $t$ , σε ώρες, που χρειάζεται ο πύραυλος για να διανύσει την ίδια απόσταση.
6Μεσαίοgb-3.5-m6
Δίνονται οι υπερβολές $y = \frac{3}{x}, y = \frac{5}{x}$ και $y = \frac{20}{x}$ , με $x$ διάφορο του μηδενός. α) Πόσο είναι το $y$ καθεμιάς για $x = 1$ και για $x = 5$ ; β) Ποια από τις τρεις περνά πιο μακριά από τους άξονες;
7Μεσαίοgb-3.5-m1
Δίνεται η συνάρτηση $y = \frac{6}{x}$ . Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται οι κλάδοι της υπερβολής;
8Μεσαίοgb-3.5-m2
Δίνεται η υπερβολή $y = \frac{α}{x}$ και διέρχεται από το Α(2, 4). Να βρεις το α.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📈 Quiz · Συναρτήσεις & Γραφικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

3.4 Η συνάρτηση y=αx+β

Επόμενο →

4.1 Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα