Κεφ. 3 - Συναρτήσεις›3.3 Η συνάρτηση y=αx

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 3 - Συναρτήσεις

§3.3 Η συνάρτηση y = αx

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

📐Γραφική παράσταση

•
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = α \cdot x$ είναι μια ευθεία που διέρχεται πάντα από την αρχή Ο των αξόνων. $y = α \cdot x \to ευθε \overset{ι}{ˊ} α δι \overset{α}{ˊ} της αρχ \overset{η}{ˊ} ς O$
💡 Παράδειγμα:
$H y = 2 x περν \overset{α}{ˊ} απ \overset{ο}{ˊ} O (0, 0) και A (1, 2) .$
$H y = - 0, 6 x περν \overset{α}{ˊ} απ \overset{ο}{ˊ} O και A (3, - 1, 8) .$
▶️ Σημεία (1, α), (2, 2α), … σχηματίζουν ευθεία y = αx διά της αρχής Ο
y = 2xκλίση α = 2
Σύρε το ● για την κλίση α, το ● για την τομή με τον y′y (β).
❓ Γιατί:Όταν $x = 0$ , η σχέση δίνει $y = α \cdot 0 = 0$ , άρα το σημείο (0, 0) ανήκει πάντα στη γραφική παράσταση. Επειδή η σχέση είναι αναλογία, τα σημεία είναι συνευθειακά.
📎 Δες και:

⛰️Κλίση της ευθείας

•
Για κάθε σημείο της ευθείας $y = α \cdot x$ (εκτός του Ο), ο λόγος $\frac{y}{x}$ είναι σταθερός και ίσος με α. Ο αριθμός α λέγεται κλίση της ευθείας. $α = \frac{y}{x} (κλ \overset{ι}{ˊ} ση)$
💡 Παράδειγμα:
$Στην ευθε \overset{ι}{ˊ} α y = - 2 x η κλ \overset{ι}{ˊ} ση ε \overset{ι}{ˊ} ναι - 2.$
•
Όσο μεγαλύτερη απόλυτη τιμή έχει η κλίση, τόσο πιο «απότομη» είναι η ευθεία. Θετική κλίση → ανερχόμενη ευθεία· αρνητική → κατερχόμενη.
💡 Παράδειγμα:
$H y = x ε \overset{ι}{ˊ} ναι διχοτ \overset{ο}{ˊ} μος 1 η ς - 3 η ς γων \overset{ι}{ˊ} ας των αξ \overset{ο}{ˊ} νων .$
$H y = - x ε \overset{ι}{ˊ} ναι διχοτ \overset{ο}{ˊ} μος 2 η ς - 4 η ς .$
•
Αν γνωρίζουμε ένα σημείο της ευθείας $A (x_{0}, y_{0}) \neq =$ Ο, βρίσκουμε την κλίση: $α = \frac{y _{0}}{x _{0}}$ .
💡 Παράδειγμα:
$Ευθε \overset{ι}{ˊ} α δι \overset{α}{ˊ} O και A (- 2, 1) : α = \frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2} \to εξ \overset{ι}{ˊ} σωση y = - \frac{x}{2} .$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Η ευθεία

y = α x

διέρχεται πάντα από την αρχή

O

2Σωστό / Λάθος

Στην ευθεία

y = - 2 x

η κλίση είναι

2

3Πολλαπλής επιλογής

Ποια είναι η κλίση της ευθείας

y = 3 x

;

4Πολλαπλής επιλογής

Η ευθεία

y = x

είναι:

5Πολλαπλής επιλογής

Αν μια ευθεία

y = α x

περνά από το

A (2, 6)

, ποια είναι η κλίση

α

;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-3.3-m1
Η ευθεία $y = α x$ διέρχεται από το Α( $3$ , 1). Να βρεις την εξίσωση και τη γωνία που σχηματίζει με τον $x$ ΄ $x$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $1 = α \cdot 3$
2. 2
  $α = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ . $y = (\frac{3}{3}) x$ . Γωνία ω με εφω $= \frac{3}{3}$ , άρα $ω = 30$ °.
2Μεσαίοgb-3.3-m3
Τα ποσά $x$ και $y$ είναι ανάλογα. Ξέρουμε τρία ζεύγη τιμών τους. Για $x = 2$ βρίσκουμε $y = 6$ . Για $y = 21$ βρίσκουμε $x = 7$ . Για $y = 30$ βρίσκουμε $x = 10$ . α) Να βρεις τη σχέση που τα συνδέει. β) Πόσο είναι το $y$ όταν $x = 1$ και όταν $x = 5$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Ο λόγος $\frac{y}{x}$ είναι σταθερός σε ανάλογα ποσά.
2. 2
  Ελέγχουμε και τα τρία ζεύγη: $\frac{6}{2} = 3$ , μετά $\frac{21}{7} = 3$ και τέλος $\frac{30}{10} = 3$ .
3. 3
  Άρα $α = 3$ και η σχέση είναι $y = 3 x$ .
4. 4
  Πρόσεξε ότι δύο από τα ζεύγη δόθηκαν ανάποδα, με το $y$ πρώτο, αλλά ο λόγος υπολογίζεται πάντα με τον ίδιο τρόπο.
5. 5
  β) Τώρα αντικαθιστούμε.
6. 6
  Για $x = 1$ : $y = 3$ .
7. 7
  Για $x = 5$ : $y = 15$ .
8. 8
  Η γραφική παράσταση της σχέσης είναι ευθεία που περνά από την αρχή Ο των αξόνων και έχει κλίση 3.
3Μεσαίοgb-3.3-m2
Ένα κινητό κινείται με σταθερή ταχύτητα 5 μέτρα το δευτερόλεπτο. α) Να εκφράσεις το διάστημα $S$ που διανύει ως συνάρτηση του χρόνου $t$ σε δευτερόλεπτα και να πεις τι σχήμα έχει η γραφική της παράσταση. β) Σε πόσα δευτερόλεπτα θα διανύσει 45 μέτρα;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Το διάστημα και ο χρόνος είναι ανάλογα ποσά, γιατί σε κάθε δευτερόλεπτο διανύεται το ίδιο διάστημα.
2. 2
  Άρα η συνάρτηση έχει τη μορφή $S = α t$ , όπου το α είναι η ταχύτητα: $S = 5 t$ .
3. 3
  Η γραφική της παράσταση είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση 5.
4. 4
  β) Τώρα ξέρουμε το διάστημα και ζητάμε τον χρόνο, οπότε λύνουμε την εξίσωση $5 t = 45$ και βρίσκουμε $t = 9$ δευτερόλεπτα.
4Εύκολοgb-3.3-e5
Ποια από τις παρακάτω ευθείες έχει κλίση $- \frac{1}{3}$ ; α) $y = 3 x$ , β) $y = - 3 x$ , γ) $y = \frac{x}{3}$ , δ) $y = - \frac{x}{3}$ , ε) $y = x - \frac{1}{3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σε κάθε συνάρτηση της μορφής $y = α x$ η κλίση είναι ο αριθμός α που ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΕΙ το $x$ .
2. 2
  Πάμε μία μία.
3. 3
  α) Η κλίση είναι 3.
4. 4
  β) Η κλίση είναι −3.
5. 5
  γ) Το $\frac{x}{3}$ σημαίνει το $x$ πολλαπλασιασμένο με το κλάσμα $\frac{1}{3}$ , άρα η κλίση είναι $\frac{1}{3}$ .
6. 6
  δ) Ομοίως η κλίση είναι $- \frac{1}{3}$ , δηλαδή ακριβώς αυτή που ζητάμε.
7. 7
  ε) Εδώ κρύβεται η παγίδα: το $- \frac{1}{3} ΔΕΝ$ πολλαπλασιάζει το $x$ , αλλά προστίθεται στο τέλος.
8. 8
  Η ευθεία αυτή έχει κλίση 1, και επιπλέον δεν είναι καν της μορφής $y = α x$ , γιατί δεν περνά από την αρχή των αξόνων.
9. 9
  Σωστή απάντηση: η δ).
5Εύκολοgb-3.3-e2
Να βρεις την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και από το σημείο Α(2, 6).
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Κάθε ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση $y = α x$ .
2. 2
  Επειδή περνά από το Α(2, 6), οι συντεταγμένες του το επαληθεύουν: $6 = α \cdot 2$ , οπότε $α = 3$ .
3. 3
  Άρα η ευθεία είναι η $y = 3 x$ .
6Μεσαίοgb-3.3-m4
Ένα κατάστημα κάνει έκπτωση 20 τοις εκατό σε όλα του τα προϊόντα. α) Πόσο θα πληρώσουμε για ένα προϊόν που είχε τιμή 100 ευρώ; β) Να εκφράσεις την έκπτωση $y$ ως συνάρτηση της αρχικής τιμής $x$ . γ) Να εκφράσεις την τελική τιμή ω ως συνάρτηση της αρχικής τιμής $x$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Η έκπτωση που αναλογεί είναι $\frac{20}{100} \cdot 100 = 20$ ευρώ, οπότε θα πληρώσουμε $100 - 20 = 80$ ευρώ.
2. 2
  β) Με το ίδιο σκεπτικό, η έκπτωση σε τιμή $x$ ευρώ είναι $\frac{20}{100} \cdot x = 0, 2 x$ .
3. 3
  Άρα $y = 0, 2 x$ .
4. 4
  γ) Η τελική τιμή είναι η αρχική μείον την έκπτωση: $ω = x - 0, 2 x$ .
5. 5
  Βγάζουμε κοινό παράγοντα το $x$ και έχουμε $ω = (1 - 0, 2) \cdot x$ , δηλαδή $ω = 0, 8 x$ .
6. 6
  Παρατήρησε ότι ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΟ σχέσεις είναι της μορφής $y = α x$ : τόσο η έκπτωση όσο και η τελική τιμή είναι ανάλογα ποσά της αρχικής τιμής, απλώς με διαφορετική κλίση, 0,2 και 0,8 αντίστοιχα.
7. 7
  Έλεγχος με το α): $0, 2 \cdot 100 = 20$ και $0, 8 \cdot 100 = 80$ , σωστά και τα δύο.
7Εύκολοgb-3.3-e4
Τα ποσά $x$ και $y$ είναι ανάλογα. Ξέρουμε ότι για $x = 2$ είναι $y = 5$ , για $x = 4$ είναι $y = 10$ και για $x = 6$ είναι $y = 15$ . Να βρεις τη σχέση που εκφράζει το $y$ ως συνάρτηση του $x$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Όταν δύο ποσά είναι ανάλογα, ο λόγος $\frac{y}{x}$ είναι σταθερός, και αυτός ακριβώς ο σταθερός λόγος είναι ο συντελεστής α της σχέσης $y = α x$ .
2. 2
  Ελέγχουμε: $\frac{5}{2} = 2, 5$ , μετά $\frac{10}{4} = 2, 5$ και τέλος $\frac{15}{6} = 2, 5$ .
3. 3
  Ο λόγος βγαίνει όντως ο ίδιος και στις τρεις μετρήσεις, άρα $α = 2, 5$ και η σχέση είναι $y = 2, 5 x$ .
4. 4
  Έλεγχος με μία τιμή: για $x = 6$ δίνει $2, 5 \cdot 6 = 15$ , σωστό.
5. 5
  Η απάντηση $y = 5 x θ α$ ήταν λάθος, γιατί για $x = 2 θ α$ έδινε 10 αντί για 5.
8Μεσαίοgb-3.3-m5
α) Οι ευθείες $y = 2 x, y = 3 x$ και $y = 5 x$ σχεδιάζονται στο ίδιο σύστημα αξόνων. Τι κοινό έχουν και από ποιο σημείο περνά καθεμιά όταν $x = 1$ ; Ποια είναι η πιο απότομη; β) Τι σχέση έχουν μεταξύ τους οι ευθείες $y = \frac{x}{2}$ και $y = - \frac{x}{2}$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Και οι τρεις είναι της μορφής $y = α x$ , δηλαδή δεν έχουν σταθερό όρο, άρα και οι τρεις περνούν από την αρχή Ο των αξόνων: για $x = 0$ δίνουν $y = 0$ .
2. 2
  Για $x = 1$ δίνουν $y = 2, y = 3$ και $y = 5$ , δηλαδή περνούν από τα σημεία (1, 2), (1, 3) και (1, 5).
3. 3
  Και οι τρεις κλίσεις εδώ είναι ΘΕΤΙΚΕΣ, και ανάμεσα σε θετικές κλίσεις ισχύει ότι όσο μεγαλύτερη είναι η κλίση, τόσο ψηλότερα ανεβαίνει η ευθεία για το ίδιο $x$ .
4. 4
  Άρα η πιο απότομη είναι η $y = 5 x$ .
5. 5
  β) Και οι δύο περνούν από την αρχή Ο.
6. 6
  Δεν αρκεί όμως ένα ζευγάρι σημείων για να μιλήσουμε για συμμετρία, οπότε το λέμε γενικά: για ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ τιμή του $x$ , η πρώτη δίνει $\frac{x}{2}$ και η δεύτερη $- \frac{x}{2}$ , δηλαδή αντίθετους αριθμούς.
7. 7
  Δύο σημεία με ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ , άρα ολόκληρες οι δύο ευθείες είναι συμμετρικές ως προς τον $x$ ΄ $x$ .
8. 8
  Δοκίμασέ το για $x = 2$ και βρίσκεις τα σημεία (2, 1) και (2, −1).
9. 9
  Πρόσεξε τέλος ότι η δεύτερη ευθεία ΔΕΝ είναι λιγότερο απότομη από την πρώτη: κατεβαίνει με τον ίδιο ακριβώς ρυθμό με τον οποίο η πρώτη ανεβαίνει.
9Εύκολοgb-3.3-e3
Να βρεις την κλίση μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και από το σημείο $A (- 1, 3)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η ευθεία έχει εξίσωση $y = α x$ και το α είναι η κλίση της.
2. 2
  Οι συντεταγμένες του Α την επαληθεύουν: $3 = α \cdot (- 1)$ , οπότε $α = - 3$ .
3. 3
  Η κλίση είναι −3 και η ευθεία είναι η $y = - 3 x$ .
4. 4
  Επειδή η κλίση είναι αρνητική, η ευθεία κατεβαίνει: όσο μεγαλώνει το $x$ , τόσο μικραίνει το $y$ .
10Εύκολοgb-3.3-e1
Βρες την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο $A (1, - 3)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $y = α x$ με $α = - \frac{3}{1} = - 3$ .
2. 2
  Άρα $y = - 3 x$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-3.3-m2
Ένα κινητό κινείται με σταθερή ταχύτητα 5 μέτρα το δευτερόλεπτο. α) Να εκφράσεις το διάστημα $S$ που διανύει ως συνάρτηση του χρόνου $t$ σε δευτερόλεπτα και να πεις τι σχήμα έχει η γραφική της παράσταση. β) Σε πόσα δευτερόλεπτα θα διανύσει 45 μέτρα;
2Μεσαίοgb-3.3-m4
Ένα κατάστημα κάνει έκπτωση 20 τοις εκατό σε όλα του τα προϊόντα. α) Πόσο θα πληρώσουμε για ένα προϊόν που είχε τιμή 100 ευρώ; β) Να εκφράσεις την έκπτωση $y$ ως συνάρτηση της αρχικής τιμής $x$ . γ) Να εκφράσεις την τελική τιμή ω ως συνάρτηση της αρχικής τιμής $x$ .
3Μεσαίοgb-3.3-m3
Τα ποσά $x$ και $y$ είναι ανάλογα. Ξέρουμε τρία ζεύγη τιμών τους. Για $x = 2$ βρίσκουμε $y = 6$ . Για $y = 21$ βρίσκουμε $x = 7$ . Για $y = 30$ βρίσκουμε $x = 10$ . α) Να βρεις τη σχέση που τα συνδέει. β) Πόσο είναι το $y$ όταν $x = 1$ και όταν $x = 5$ ;
4Μεσαίοgb-3.3-m5
α) Οι ευθείες $y = 2 x, y = 3 x$ και $y = 5 x$ σχεδιάζονται στο ίδιο σύστημα αξόνων. Τι κοινό έχουν και από ποιο σημείο περνά καθεμιά όταν $x = 1$ ; Ποια είναι η πιο απότομη; β) Τι σχέση έχουν μεταξύ τους οι ευθείες $y = \frac{x}{2}$ και $y = - \frac{x}{2}$ ;
5Μεσαίοgb-3.3-m1
Η ευθεία $y = α x$ διέρχεται από το Α( $3$ , 1). Να βρεις την εξίσωση και τη γωνία που σχηματίζει με τον $x$ ΄ $x$ .
6Δύσκολοgb-3.3-h1
Οι τιμές των αγροτικών προϊόντων σε μια χώρα αυξήθηκαν κατά 20% μέσα σε έναν χρόνο. α) Να βρεις τη σχέση που εκφράζει τις νέες τιμές $y$ ως συνάρτηση των παλιών τιμών $x$ . β) Ποια είναι η σημερινή τιμή ενός προϊόντος που είχε πέρυσι 7 ευρώ; γ) Ποια ήταν η περσινή τιμή ενός προϊόντος που έχει σήμερα 7 ευρώ;
7Δύσκολοgb-3.3-h2
Η ισοτιμία του ευρώ έναντι του δολαρίου ήταν κάποτε 112 δολάρια για 100 ευρώ. α) Να βρεις τη σχέση που εκφράζει την τιμή $y$ ενός προϊόντος σε δολάρια ως συνάρτηση της τιμής $x$ του ίδιου προϊόντος σε ευρώ. β) Πόσα δολάρια κοστίζει ένα αεροπορικό εισιτήριο που κοστίζει 250 ευρώ; γ) Πόσα ευρώ κοστίζει ένα αεροπορικό εισιτήριο που κοστίζει 250 δολάρια;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📈 Quiz · Συναρτήσεις & Γραφικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες - Γραφική παράσταση συνάρτησης

Επόμενο →

3.4 Η συνάρτηση y=αx+β