Κεφ. 3 - Συναρτήσεις›3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες - Γραφική παράσταση συνάρτησης

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 3 - Συναρτήσεις

§3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες & Γραφική παράσταση

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

📍Σύστημα αξόνων

•
Δύο κάθετοι άξονες x'x και y'y με κοινή αρχή Ο και ίδιες μονάδες μέτρησης αποτελούν ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.
•
Κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος αριθμών (x, $y$ ) — τις συντεταγμένες του. Ο πρώτος αριθμός λέγεται τετμημένη, ο δεύτερος τεταγμένη. $M (x, y)$
💡 Παράδειγμα:
Το σημείο Μ(3, 2) έχει τετμημένη 3 και τεταγμένη 2.
❓ Γιατί:Το ορθοκανονικό σύστημα γενικεύει την ευθεία των πραγματικών αριθμών σε δύο διαστάσεις. Όπως κάθε πραγματικός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο της ευθείας, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο του επιπέδου.
📎 Δες και:
•
Το σύστημα χωρίζει το επίπεδο σε 4 τεταρτημόρια: 1ο (+, +), 2ο (−, +), 3ο (−, −), 4ο (+, −).
•
Κάθε σημείο του άξονα x'x έχει τεταγμένη 0, και κάθε σημείο του άξονα y'y έχει τετμημένη 0.

📈Γραφική παράσταση συνάρτησης

•
Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης λέγεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες (x, $y$ ) που ικανοποιούν τη συνάρτηση.
•
Η γραφική παράσταση μάς δίνει εποπτική εικόνα της συνάρτησης και βοηθάει στην κατανόηση της σχέσης μεταξύ $x$ και $y$ .
💡 Παράδειγμα:
$H γραφικ \overset{η}{ˊ} παρ \overset{α}{ˊ} σταση της y = (\frac{1}{2}) x^{2} ε \overset{ι}{ˊ} ναι παραβολ \overset{η}{ˊ} .$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Κάθε σημείο του άξονα των

x

έχει τεταγμένη

0

2Σωστό / Λάθος

Το σημείο

(- 3, 5)

βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο.

3Πολλαπλής επιλογής

Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται το σημείο

(4, - 2)

;

4Πολλαπλής επιλογής

Ένα σημείο πάνω στον άξονα των

y

έχει:

5Πολλαπλής επιλογής

Το σημείο

M (3, 2)

έχει τετμημένη:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-3.2-m1
Να βρεις την απόσταση των σημείων $Γ (- 1, - 7)$ και $Δ (3, - 4)$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$Γ Δ^{2} = (3 - (- 1))^{2} + (- 4 - (- 7))^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$ , άρα $ΓΔ = 25 = 5$ .
2Μεσαίοgb-3.2-m4
Σε ποιο τεταρτημόριο ή σε ποιον άξονα βρίσκεται καθένα από τα σημεία $A (- 3, 2), B (- 0, 25, 1), Γ (0, - \frac{5}{2}), Δ (- \frac{9}{2}, - \frac{1}{2}), E (- 2, 0)$ και $Z (2, 4, - 3, 2)$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το είδος του αριθμού δεν παίζει κανέναν ρόλο: κλάσμα, δεκαδικός ή ρίζα, εκείνο που κρίνει είναι το ΠΡΟΣΗΜΟ.
2. 2
  Ξεκινάμε όμως από μια ερώτηση που προηγείται: μηδενίζεται κάποια συντεταγμένη; Αν ναι, το σημείο δεν είναι σε τεταρτημόριο αλλά ΠΑΝΩ σε άξονα.
3. 3
  Το $Γ (0, - \frac{5}{2})$ έχει τετμημένη 0, άρα βρίσκεται πάνω στον κατακόρυφο άξονα $y$ ΄ $y$ .
4. 4
  Το $E (- 2, 0)$ έχει τεταγμένη 0, άρα βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο άξονα $x$ ΄ $x$ .
5. 5
  Για τα υπόλοιπα κοιτάμε τα πρόσημα.
6. 6
  Το $A (- 3, 2)$ έχει τετμημένη αρνητική και τεταγμένη θετική, άρα 2ο τεταρτημόριο.
7. 7
  Το $B (- 0, 25, 1)$ το ίδιο, άρα και αυτό 2ο, αν και βρίσκεται πολύ κοντά στον άξονα $y$ ΄ $y$ .
8. 8
  Το $Δ (- \frac{9}{2}, - \frac{1}{2})$ έχει και τις δύο αρνητικές, άρα 3ο τεταρτημόριο.
9. 9
  Το $Z (2, 4, - 3, 2)$ έχει τετμημένη θετική και τεταγμένη αρνητική, άρα 4ο τεταρτημόριο.
3Εύκολοgb-3.2-e2
Δίνονται τα σημεία $A (2, 3), B (- 2, 3), Γ (- 2, - 3)$ και $Δ (2, - 3)$ . Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται καθένα;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το τεταρτημόριο το καθορίζουν τα ΠΡΟΣΗΜΑ των δύο συντεταγμένων.
2. 2
  Στο 1ο τεταρτημόριο και οι δύο είναι θετικές.
3. 3
  Στο 2ο η τετμημένη είναι αρνητική και η τεταγμένη θετική.
4. 4
  Στο 3ο και οι δύο είναι αρνητικές.
5. 5
  Στο 4ο η τετμημένη είναι θετική και η τεταγμένη αρνητική.
6. 6
  Άρα το Α(2, 3) βρίσκεται στο 1ο, το $B (- 2, 3)$ στο 2ο, το $Γ (- 2, - 3)$ στο 3ο και το $Δ (2, - 3)$ στο 4ο.
7. 7
  Παρατήρησε ότι τα τέσσερα σημεία έχουν τους ίδιους αριθμούς και αλλάζουν μόνο τα πρόσημα: έτσι πέφτει από ένα σε κάθε τεταρτημόριο.
4Εύκολοgb-3.2-e4
Να βρεις την απόσταση των σημείων: α) $A (3, - 5)$ και $B (- 2, - 5)$ , β) $Γ (- 5, - 7)$ και $Δ (- 5, 2)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Και στις δύο περιπτώσεις ΔΕΝ χρειάζεται Πυθαγόρειο θεώρημα, γιατί δεν σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο: τα σημεία βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.
2. 2
  α) Τα Α και Β έχουν την ΙΔΙΑ τεταγμένη, ίση με −5, άρα το τμήμα ΑΒ είναι οριζόντιο.
3. 3
  Το μήκος του είναι η διαφορά των τετμημένων: $AB = 3 - (- 2) = 3 + 2 = 5$ .
4. 4
  β) Τα Γ και Δ έχουν την ΙΔΙΑ τετμημένη, ίση με −5, άρα το τμήμα ΓΔ είναι κατακόρυφο.
5. 5
  Το μήκος του είναι η διαφορά των τεταγμένων: $ΓΔ = 2 - (- 7) = 2 + 7 = 9$ .
6. 6
  Την αφαίρεση την κάνουμε πάντα μεγαλύτερος μείον μικρότερος, ώστε το μήκος να βγει θετικό.
5Μεσαίοgb-3.2-m2
Δίνονται τα σημεία $A (0, - 2), B (- 1, 1), Γ (- 4, 0)$ . Να υπολογίσεις τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $AB = 1 + 9 = 10$ .
2. 2
  $BΓ = 9 + 1 = 10$ .
3. 3
  $AΓ = 16 + 4 = 20$ .
6Μεσαίοgb-3.2-m6
Η πίεση Ρ του αέρα, μετρημένη σε εκατοστά στήλης υδραργύρου, εξαρτάται από το ύψος $h$ πάνω από το έδαφος, μετρημένο σε χιλιόμετρα. Μετρήσεις έδωσαν: για $h = 0$ είναι $P = 76$ , για $h = 1$ είναι $P = 68$ , για $h = 2$ είναι $P = 60$ και για $h = 3$ είναι $P = 52$ . α) Να βρεις τη σχέση που συνδέει το Ρ με το $h$ . β) Πόση είναι η πίεση σε ύψος 1,5 χιλιομέτρων; γ) Σε ποιο ύψος η πίεση είναι 70;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Δεν μαντεύουμε τύπο.
2. 2
  Χτίζουμε τη σχέση από τα ίδια τα δεδομένα.
3. 3
  Κοιτάμε πρώτα πόσο αλλάζει η πίεση κάθε φορά που ανεβαίνουμε ένα χιλιόμετρο: από 76 πάει 68, από 68 πάει 60 και από 60 πάει 52.
4. 4
  Κάθε χιλιόμετρο ρίχνει την πίεση κατά 8, πάντα το ίδιο.
5. 5
  Άρα σε 2 χιλιόμετρα η πτώση είναι $2 \cdot 8 = 16$ , σε 3 χιλιόμετρα $3 \cdot 8 = 24$ , και σε $h$ χιλιόμετρα η πτώση είναι $8 h$ . Ξεκινάμε από την πίεση του εδάφους, που είναι 76, και αφαιρούμε την πτώση: $P = 76 - 8 h$ . Έλεγχος με τα δεδομένα: για $h = 2$ δίνει $76 - 16 = 60$ , σωστό.
6. 6
  β) Για $h = 1, 5$ : $P = 76 - 8 \cdot 1, 5 = 76 - 12 = 64$ εκατοστά στήλης υδραργύρου.
7. 7
  γ) Τώρα ξέρουμε την πίεση και ζητάμε το ύψος, οπότε λύνουμε εξίσωση: $76 - 8 h = 70$ , άρα $8 h = 6$ και $h = \frac{6}{8} = 0, 75$ χιλιόμετρα, δηλαδή 750 μέτρα.
7Μεσαίοgb-3.2-m3
Να βρεις το συμμετρικό του σημείου Α(3, 5) ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ , ως προς τον άξονα $y$ ΄ $y$ και ως προς την αρχή Ο των αξόνων. Να κάνεις το ίδιο και για το σημείο $B (- 3, - 5)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Οι τρεις κανόνες βγαίνουν από το τι μένει ΙΔΙΟ σε κάθε συμμετρία.
2. 2
  Ως προς τον $x$ ΄ $x$ το σημείο πηγαίνει από την άλλη πλευρά του οριζόντιου άξονα: μένει στην ίδια κατακόρυφη, άρα η τετμημένη δεν αλλάζει και μόνο η τεταγμένη αλλάζει πρόσημο.
3. 3
  Ως προς τον $y$ ΄ $y$ γίνεται το αντίστροφο: αλλάζει πρόσημο μόνο η τετμημένη.
4. 4
  Ως προς την αρχή Ο αλλάζουν πρόσημο ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΟ.
5. 5
  Άρα για το Α(3, 5): ως προς τον $x$ ΄ $x$ το (3, −5), ως προς τον $y$ ΄ $y$ το (−3, 5) και ως προς την αρχή Ο το (−3, −5).
6. 6
  Για το $B (- 3, - 5)$ : ως προς τον $x$ ΄ $x$ το (−3, 5), ως προς τον $y$ ΄ $y$ το (3, −5) και ως προς την αρχή Ο το (3, 5).
8Μεσαίοgb-3.2-m7
Η θερμοκρασία Τ του αέρα, μετρημένη σε βαθμούς Κελσίου, εξαρτάται από το ύψος $h$ πάνω από το έδαφος, μετρημένο σε χιλιόμετρα. Μετρήσεις έδωσαν: για $h = 0$ είναι $T = 22$ , για $h = 1$ είναι $T = 16$ , για $h = 2$ είναι $T = 10$ και για $h = 3$ είναι $T = 4$ . α) Να βρεις τη σχέση που συνδέει το Τ με το $h$ . β) Πόση είναι η θερμοκρασία σε ύψος 500 μέτρων; γ) Σε ποιο ύψος η θερμοκρασία είναι 13 βαθμοί Κελσίου;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Με τον ίδιο τρόπο όπως και στην πίεση: κάθε χιλιόμετρο ανόδου ρίχνει τη θερμοκρασία κατά 6 βαθμούς, αφού από 22 πάμε 16, μετά 10, μετά 4.
2. 2
  Σε $h$ χιλιόμετρα η πτώση είναι $6 h$ βαθμοί, και ξεκινάμε από τους 22 του εδάφους: $T = 22 - 6 h$ . Έλεγχος: για $h = 3$ δίνει $22 - 18 = 4$ , σωστό.
3. 3
  β) Προσοχή στις μονάδες, γιατί εδώ κρύβεται το λάθος: το $h$ μετριέται σε ΧΙΛΙΟΜΕΤΡΑ, οπότε τα 500 μέτρα δεν είναι $h = 500$ αλλά $h = 0, 5$ .
4. 4
  Τότε $T = 22 - 6 \cdot 0, 5 = 22 - 3 = 19$ βαθμοί Κελσίου.
5. 5
  γ) Λύνουμε την εξίσωση $22 - 6 h = 13$ , άρα $6 h = 9$ και $h = \frac{9}{6} = 1, 5$ χιλιόμετρα.
9Εύκολοgb-3.2-e3
Να βρεις πόσο απέχει καθένα από τα σημεία $A (3, 5), B (- 3, 2)$ και $Γ (0, - 4)$ από τον άξονα $x$ ΄ $x$ και πόσο από τον άξονα $y$ ΄ $y$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Την απόσταση από τον οριζόντιο άξονα $x$ ΄ $x$ τη δίνει η ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ του σημείου, χωρίς το πρόσημό της.
2. 2
  Την απόσταση από τον κατακόρυφο άξονα $y$ ΄ $y$ τη δίνει η ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ, πάλι χωρίς το πρόσημο.
3. 3
  Ο λόγος που πετάμε το πρόσημο είναι ότι δείχνει κατεύθυνση, ενώ μια απόσταση δεν είναι ποτέ αρνητική.
4. 4
  Άρα: το Α(3, 5) απέχει 5 από τον $x$ ΄ $x$ και 3 από τον $y$ ΄ $y$ .
5. 5
  Το $B (- 3, 2)$ απέχει 2 από τον $x$ ΄ $x$ και 3 από τον $y$ ΄ $y$ .
6. 6
  Το $Γ (0, - 4)$ απέχει 4 από τον $x$ ΄ $x$ και 0 από τον $y$ ΄ $y$ , δηλαδή βρίσκεται ΠΑΝΩ στον άξονα $y$ ΄ $y$ .
10Εύκολοgb-3.2-e1
Να βρεις την απόσταση των σημείων Α(4,1) και Β(5,2).
Λύση βήμα-βήμα
$A B^{2} = (5 - 4)^{2} + (2 - 1)^{2} = 1 + 1 = 2$ , άρα $AB = 2$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοgb-3.2-h1
Δίνονται τα σημεία $A (0, - 2), B (- 1, 1), Γ (- 4, 0)$ . Να δείξεις ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να υπολογίσεις το εμβαδόν του.
2Μεσαίοgb-3.2-m2
Δίνονται τα σημεία $A (0, - 2), B (- 1, 1), Γ (- 4, 0)$ . Να υπολογίσεις τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ.
3Μεσαίοgb-3.2-m4
Σε ποιο τεταρτημόριο ή σε ποιον άξονα βρίσκεται καθένα από τα σημεία $A (- 3, 2), B (- 0, 25, 1), Γ (0, - \frac{5}{2}), Δ (- \frac{9}{2}, - \frac{1}{2}), E (- 2, 0)$ και $Z (2, 4, - 3, 2)$ ;
4Δύσκολοgb-3.2-h2
Ένα πλοίο Π κινείται με ταχύτητα 8 μίλια την ώρα και κατευθύνεται προς το λιμάνι Λ. Η θέση του πλοίου, ως προς σύστημα συντεταγμένων με αρχή το λιμάνι Λ και μονάδα μέτρησης το 1 μίλι, είναι (−8, 15). Σε πόση ώρα θα φτάσει στο λιμάνι;
5Μεσαίοgb-3.2-m1
Να βρεις την απόσταση των σημείων $Γ (- 1, - 7)$ και $Δ (3, - 4)$ .
6Μεσαίοgb-3.2-m7
Η θερμοκρασία Τ του αέρα, μετρημένη σε βαθμούς Κελσίου, εξαρτάται από το ύψος $h$ πάνω από το έδαφος, μετρημένο σε χιλιόμετρα. Μετρήσεις έδωσαν: για $h = 0$ είναι $T = 22$ , για $h = 1$ είναι $T = 16$ , για $h = 2$ είναι $T = 10$ και για $h = 3$ είναι $T = 4$ . α) Να βρεις τη σχέση που συνδέει το Τ με το $h$ . β) Πόση είναι η θερμοκρασία σε ύψος 500 μέτρων; γ) Σε ποιο ύψος η θερμοκρασία είναι 13 βαθμοί Κελσίου;
7Δύσκολοgb-3.2-h3
Όταν ένα σώμα πέφτει από ψηλά δεν κινείται ομαλά, αλλά όλο και πιο γρήγορα. Για μια μπάλα που πέφτει από ουρανοξύστη ύψους 100 μέτρων, η απόσταση $x$ σε μέτρα που έχει διανύσει σε χρόνο $t$ δευτερολέπτων δίνεται από τις μετρήσεις: για $t = 0$ είναι $x = 0$ , για $t = 1$ είναι $x = 5$ , για $t = 2$ είναι $x = 20$ , για $t = 3$ είναι $x = 45$ και για $t = 4$ είναι $x = 80$ . α) Να δείξεις ότι η σχέση $x = 5 t^{2}$ επαληθεύει όλες τις μετρήσεις. β) Σε πόσα δευτερόλεπτα φτάνει η μπάλα στο έδαφος;
8Μεσαίοgb-3.2-m3
Να βρεις το συμμετρικό του σημείου Α(3, 5) ως προς τον άξονα $x$ ΄ $x$ , ως προς τον άξονα $y$ ΄ $y$ και ως προς την αρχή Ο των αξόνων. Να κάνεις το ίδιο και για το σημείο $B (- 3, - 5)$ .
9Δύσκολοgb-3.2-h4
Να βρεις την απόσταση των σημείων: α) Α(3, 5) και Β(5, 1), β) $Γ (- 2, 1)$ και $Δ (2, - 3)$ .
10Μεσαίοgb-3.2-m6
Η πίεση Ρ του αέρα, μετρημένη σε εκατοστά στήλης υδραργύρου, εξαρτάται από το ύψος $h$ πάνω από το έδαφος, μετρημένο σε χιλιόμετρα. Μετρήσεις έδωσαν: για $h = 0$ είναι $P = 76$ , για $h = 1$ είναι $P = 68$ , για $h = 2$ είναι $P = 60$ και για $h = 3$ είναι $P = 52$ . α) Να βρεις τη σχέση που συνδέει το Ρ με το $h$ . β) Πόση είναι η πίεση σε ύψος 1,5 χιλιομέτρων; γ) Σε ποιο ύψος η πίεση είναι 70;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📈 Quiz · Συναρτήσεις & Γραφικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

3.1 Η έννοια της συνάρτησης

Επόμενο →

3.3 Η συνάρτηση y=αx