Κεφ. 3 - Συναρτήσεις›3.1 Η έννοια της συνάρτησης

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 3 - Συναρτήσεις

§3.1 Η έννοια της συνάρτησης

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

↔️Τι είναι συνάρτηση

•
Όταν δύο μεγέθη συνδέονται έτσι ώστε σε κάθε τιμή του ενός να αντιστοιχεί μία και μόνο τιμή του άλλου, λέμε ότι το δεύτερο είναι συνάρτηση του πρώτου.
💡 Παράδειγμα:
$Στο y = 2 x + 3 : σ ε κ \overset{α}{ˊ} θε x αντιστοιχε \overset{ι}{ˊ} μ \overset{ι}{ˊ} α τιμ \overset{η}{ˊ} y (π . χ . x = 1 \to y = 5) .$
•
Συνήθως ονομάζουμε $x$ την ανεξάρτητη μεταβλητή και $y$ την εξαρτημένη.
•
Συμπληρώνοντας πίνακα τιμών (x, $y$ ), μπορούμε να δούμε τις αντιστοιχίες της συνάρτησης.
💡 Παράδειγμα:
$y = 2 x + 3 \to π \overset{ι}{ˊ} νακας : x : - 2, - 1, 0, 1, 2 \to y : - 1, 1, 3, 5, 7.$

🌍Παραδείγματα από την καθημερινότητα

•
Όταν το $y$ αυξάνεται κατά ποσοστό α% του $x$ , τότε $y = x \cdot (1 + \frac{α}{100})$ .
💡 Παράδειγμα:
$Α \overset{υ}{ˊ} ξηση μισθο \overset{υ}{ˊ} 15$
❓ Γιατί:Αύξηση α% σημαίνει «προσθέτω $\frac{α}{100}$ του αρχικού στο αρχικό»: $x + (\frac{α}{100}) \cdot x = x \cdot (1 + \frac{α}{100})$ .
📎 Δες και:
•
Όταν ένα μέγεθος προκύπτει με σταθερή τιμή/μονάδα, η σχέση είναι $y = α \cdot x$ (ανάλογα ποσά).
💡 Παράδειγμα:
$Απ \overset{ο}{ˊ} 1 κιλ \overset{ο}{ˊ} ελι \overset{ε}{ˊ} ς παρ \overset{α}{ˊ} γονται 0, 2 κιλ \overset{α}{ˊ} λ \overset{α}{ˊ} δι \to y = 0, 2 \cdot x .$
Για 500 κιλά ελιές: 100 κιλά λάδι.
❓ Γιατί:Όταν ισχύει «σταθερή ποσότητα ανά μονάδα», ο λόγος $\frac{y}{x}$ είναι σταθερός $= συν$ τελεστής. Άρα $y$ = (συντελεστής)· $x$ , δηλαδή τα ποσά είναι ανάλογα.
📎 Δες και:
•
Σταθερό γινόμενο σημαίνει αντιστρόφως ανάλογα ποσά: $y = \frac{α}{x}$ .
💡 Παράδειγμα:
$Ορθογ \overset{ω}{ˊ} νιο μ ε σταθερ \overset{ο}{ˊ} εμβαδ \overset{ο}{ˊ} ν 100 \to y = \frac{100}{x} .$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Σε μια συνάρτηση, σε κάθε τιμή του

x

αντιστοιχεί μία και μόνο τιμή του

y

2Σωστό / Λάθος

Στη σχέση

y = 2 x + 3

, το

x

είναι η εξαρτημένη μεταβλητή.

3Πολλαπλής επιλογής

Στη συνάρτηση

y = 2 x + 3

, για

x = 1

πόσο είναι το

y

;

4Πολλαπλής επιλογής

Στη συνάρτηση

y = 2 x + 3

, για

x = - 2

πόσο είναι το

y

;

5Πολλαπλής επιλογής

Ποια μεταβλητή λέγεται «ανεξάρτητη»;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-3.1-e1
Να συμπληρώσεις τον πίνακα τιμών της συνάρτησης $y = 0, 5 x$ για $x = - 500, - 100, 100, 500, 1000$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$y = - 250, - 50, 50, 250, 500$ .
2Μεσαίοgb-3.1-m5
Δίνεται η συνάρτηση $y = x^{2} + 1$ . Να βρεις την τιμή του $y$ για $x = - 3, - 1, 0, 2$ και 5.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Υψώνουμε πρώτα στο τετράγωνο και μετά προσθέτουμε το 1.
2. 2
  Για $x = - 3$ : $y = (- 3)^{2} + 1 = 9 + 1 = 10$ .
3. 3
  Πρόσεξε τις παρενθέσεις: το τετράγωνο του −3 είναι 9, θετικό, γιατί μείον επί μείον κάνει συν.
4. 4
  Για $x = - 1$ : $y = 1 + 1 = 2$ .
5. 5
  Για $x = 0$ : $y = 0 + 1 = 1$ .
6. 6
  Για $x = 2$ : $y = 4 + 1 = 5$ .
7. 7
  Για $x = 5$ : $y = 25 + 1 = 26$ .
8. 8
  Παρατήρησε τώρα κάτι σημαντικό.
9. 9
  Δοκίμασε και μια τιμή που δεν ζητήθηκε, το $x = 1$ .
10. 10
  Δίνει $y = 1 + 1 = 2$ , δηλαδή ΤΗΝ ΙΔΙΑ τιμή που έδωσε και το $x = - 1$ .
11. 11
  Ο λόγος είναι ότι τα τετράγωνα αντίθετων αριθμών είναι ίσα.
12. 12
  Σύγκρινέ το με τη συνάρτηση $y = 3 x - 2$ της προηγούμενης άσκησης: εκεί κάθε τιμή του $y$ προερχόταν από μία μόνο τιμή του $x$ , ενώ εδώ η τιμή 2 προέρχεται από δύο.
3Μεσαίοgb-3.1-m8
Δίνεται η συνάρτηση $y = 3 x - 5$ . α) Να βρεις το $y$ όταν $x = 2$ και όταν $x = - 3$ . β) Να βρεις το $x$ όταν $y = 7$ και όταν $y = - 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Εδώ η κίνηση είναι ευθεία αντικατάσταση.
2. 2
  Για $x = 2$ : $y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$ .
3. 3
  Για $x = - 3$ : $y = 3 \cdot (- 3) - 5 = - 9 - 5 = - 14$ .
4. 4
  β) Εδώ η κίνηση είναι ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ: ξέρουμε το $y$ και ζητάμε το $x$ , οπότε δεν αντικαθιστούμε αλλά λύνουμε εξίσωση.
5. 5
  Για $y = 7$ : $3 x - 5 = 7$ , άρα $3 x = 12$ και $x = 4$ .
6. 6
  Για $y = - 2$ : $3 x - 5 = - 2$ , άρα $3 x = 3$ και $x = 1$ .
7. 7
  Κράτα το εξής: ένας πίνακας τιμών διαβάζεται και προς τις δύο κατευθύνσεις, από το $x$ στο $y$ με αντικατάσταση και από το $y$ στο $x$ με εξίσωση.
4Μεσαίοgb-3.1-m6
Δίνεται η συνάρτηση $y = x^{2} + 3 x - 2$ . Να βρεις την τιμή του $y$ για $x = - 3, - 2, 0, 1$ και 3.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για $x = - 3$ : $y = (- 3)^{2} + 3 \cdot (- 3) - 2 = 9 - 9 - 2 = - 2$ .
2. 2
  Για $x = - 2$ : $y = 4 - 6 - 2 = - 4$ .
3. 3
  Για $x = 0$ : $y = 0 + 0 - 2 = - 2$ .
4. 4
  Για $x = 1$ : $y = 1 + 3 - 2 = 2$ .
5. 5
  Για $x = 3$ : $y = 9 + 9 - 2 = 16$ .
6. 6
  Δύο πράγματα αξίζουν προσοχή.
7. 7
  Πρώτον, ο όρος $x^{2}$ δεν είναι ΠΟΤΕ αρνητικός: για $x = 0$ μηδενίζεται και για κάθε άλλη τιμή βγαίνει θετικός.
8. 8
  Αντίθετα ο όρος $3 x$ αλλάζει πρόσημο μαζί με το $x$ .
9. 9
  Δεύτερον, για $x = - 3$ και για $x = 0$ προκύπτει η ΙΔΙΑ τιμή, $y = - 2$ , παρόλο που οι δύο αριθμοί δεν είναι ούτε ίσοι ούτε αντίθετοι.
5Εύκολοgb-3.1-e3
Ένα τετράγωνο έχει πλευρά με μήκος $x$ εκατοστά. α) Να εκφράσεις το εμβαδόν Ε και την περίμετρο Π του τετραγώνου ως συναρτήσεις του $x$ . β) Να υπολογίσεις το εμβαδόν και την περίμετρο για $x = 2, 5$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Το εμβαδόν είναι $E = x^{2}$ και η περίμετρος $Π = 4 x$ .
2. 2
  β) Για $x = 2, 5$ έχουμε $E = 2, 5^{2} = 6, 25$ τετραγωνικά εκατοστά και $Π = 4 \cdot 2, 5 = 10$ εκατοστά.
6Μεσαίοgb-3.1-m2
Ένας πωλητής παίρνει μισθό 600 ευρώ τον μήνα και επιπλέον ποσοστό 7% επί του ποσού των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Να εκφράσεις το συνολικό ποσό $y$ που κερδίζει τον μήνα ως συνάρτηση του ποσού $x$ των πωλήσεων.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Το 7 τοις εκατό των πωλήσεων είναι $\frac{7}{100} \cdot x = 0, 07 x$ .
2. 2
  Στον σταθερό μισθό προσθέτουμε αυτό το ποσό: $y = 600 + 0, 07 x$ .
3. 3
  Εδώ ΔΕΝ βγαίνει κοινός παράγοντας το $x$ , γιατί ο μισθός των 600 ευρώ δεν εξαρτάται από τις πωλήσεις.
7Μεσαίοgb-3.1-m7
Ένας ελαιοπαραγωγός υπολογίζει ότι από κάθε κιλό ελιάς που πηγαίνει στο ελαιοτριβείο παίρνει 0,2 κιλά λάδι. α) Πόσα κιλά λάδι θα πάρει από παραγωγή 500 κιλών ελιών; β) Να εκφράσεις την ποσότητα $y$ του λαδιού ως συνάρτηση της ποσότητας $x$ των ελιών. γ) Πόσα κιλά ελιές πρέπει να παράγει, ώστε να πάρει 250 κιλά λάδι;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Από 1 κιλό ελιές παίρνει 0,2 κιλά λάδι, άρα από 500 κιλά θα πάρει $0, 2 \cdot 500 = 100$ κιλά λάδι.
2. 2
  β) Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό, από $x$ κιλά ελιές παίρνει 0, $2 x$ κιλά λάδι, δηλαδή $y = 0, 2 x$ .
3. 3
  γ) Εδώ η ερώτηση είναι ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ: ξέρουμε το λάδι και ζητάμε τις ελιές.
4. 4
  Βάζουμε λοιπόν $y = 250$ στη σχέση και λύνουμε την εξίσωση $0, 2 x = 250$ .
5. 5
  Για να φύγει το δεκαδικό πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 10 και έχουμε $2 x = 2500$ , οπότε $x = 1250$ κιλά ελιές.
6. 6
  Έλεγχος: $0, 2 \cdot 1250 = 250$ , σωστό.
8Εύκολοgb-3.1-e5
Οι μισθοί των υπαλλήλων μιας εταιρείας αυξάνονται. Να εκφράσεις τον νέο μισθό $y$ ως συνάρτηση του παλιού μισθού $x$ , αν η αύξηση είναι: α) 20 ευρώ για τον καθένα, β) 15 τοις εκατό.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Ο καθένας παίρνει 20 ευρώ παραπάνω, όσος και αν ήταν ο μισθός του.
2. 2
  Άρα $y = x + 20$ .
3. 3
  β) Εδώ η αύξηση ΔΕΝ είναι ίδια για όλους: εξαρτάται από τον μισθό.
4. 4
  Το 15 τοις εκατό του $x$ είναι $\frac{15}{100} \cdot x = 0, 15 x$ .
5. 5
  Άρα $y = x + 0, 15 x$ και βγάζοντας κοινό παράγοντα το $x$ έχουμε $y = (1 + 0, 15) \cdot x$ , δηλαδή $y = 1, 15 x$ .
6. 6
  Πρόσεξε τη διαφορά ανάμεσα στα δύο: στο α) ΠΡΟΣΘΕΤΟΥΜΕ σταθερό ποσό, στο β) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΖΟΥΜΕ.
7. 7
  Η απάντηση $y = x + 15$ στο β) θα ήταν λάθος, γιατί το 15 τοις εκατό δεν είναι 15 ευρώ: για μισθό 1.000 ευρώ είναι 150 ευρώ, ενώ για μισθό 2.000 ευρώ είναι 300.
9Μεσαίοgb-3.1-m3
Ένα ορθογώνιο έχει πλευρές με μήκη $x$ και $y$ σε εκατοστά. α) Αν η περίμετρός του είναι 60 εκατοστά, να εκφράσεις το $y$ ως συνάρτηση του $x$ . β) Αν το εμβαδόν του είναι 100 τετραγωνικά εκατοστά, να εκφράσεις το $y$ ως συνάρτηση του $x$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Η περίμετρος είναι $2 x + 2 y = 60$ .
2. 2
  Διαιρούμε με 2 και έχουμε $x + y = 30$ , οπότε $y = 30 - x$ .
3. 3
  Επειδή τα $x$ και $y$ είναι μήκη πλευρών, πρέπει $0 < x < 30$ .
4. 4
  β) Το εμβαδόν είναι $x \cdot y = 100$ , οπότε $y = \frac{100}{x}$ .
5. 5
  Επειδή το $x$ είναι μήκος πλευράς, πρέπει $x$ μεγαλύτερο του μηδενός.
10Εύκολοgb-3.1-e6
Δίνεται η συνάρτηση $y = \frac{x - 1}{2}$ . Να βρεις την τιμή του $y$ για $x = - 1, 0, 2, 4$ και 5.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Αντικαθιστούμε το $x$ , κάνουμε πρώτα την αφαίρεση στον αριθμητή και μετά τη διαίρεση.
2. 2
  Για $x = - 1$ : $y = \frac{- 1 - 1}{2} = - \frac{2}{2} = - 1$ .
3. 3
  Για $x = 0$ : $y = \frac{0 - 1}{2} = - \frac{1}{2}$ .
4. 4
  Για $x = 2$ : $y = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$ .
5. 5
  Για $x = 4$ : $y = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$ .
6. 6
  Για $x = 5$ : $y = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ .
7. 7
  Πρόσεξε ότι το $y$ ΔΕΝ βγαίνει πάντα ακέραιος: όταν το $x - 1$ είναι περιττός αριθμός, το αποτέλεσμα μένει κλάσμα.
8. 8
  Αυτό είναι απολύτως φυσιολογικό, γιατί μια συνάρτηση δεν υποχρεούται να δίνει ακέραιες τιμές.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-3.1-m8
Δίνεται η συνάρτηση $y = 3 x - 5$ . α) Να βρεις το $y$ όταν $x = 2$ και όταν $x = - 3$ . β) Να βρεις το $x$ όταν $y = 7$ και όταν $y = - 2$ .
2Μεσαίοgb-3.1-m3
Ένα ορθογώνιο έχει πλευρές με μήκη $x$ και $y$ σε εκατοστά. α) Αν η περίμετρός του είναι 60 εκατοστά, να εκφράσεις το $y$ ως συνάρτηση του $x$ . β) Αν το εμβαδόν του είναι 100 τετραγωνικά εκατοστά, να εκφράσεις το $y$ ως συνάρτηση του $x$ .
3Μεσαίοgb-3.1-m6
Δίνεται η συνάρτηση $y = x^{2} + 3 x - 2$ . Να βρεις την τιμή του $y$ για $x = - 3, - 2, 0, 1$ και 3.
4Μεσαίοgb-3.1-m7
Ένας ελαιοπαραγωγός υπολογίζει ότι από κάθε κιλό ελιάς που πηγαίνει στο ελαιοτριβείο παίρνει 0,2 κιλά λάδι. α) Πόσα κιλά λάδι θα πάρει από παραγωγή 500 κιλών ελιών; β) Να εκφράσεις την ποσότητα $y$ του λαδιού ως συνάρτηση της ποσότητας $x$ των ελιών. γ) Πόσα κιλά ελιές πρέπει να παράγει, ώστε να πάρει 250 κιλά λάδι;
5Μεσαίοgb-3.1-m5
Δίνεται η συνάρτηση $y = x^{2} + 1$ . Να βρεις την τιμή του $y$ για $x = - 3, - 1, 0, 2$ και 5.
6Δύσκολοgb-3.1-h2
Να αντιστοιχίσεις καθεμιά από τις συναρτήσεις α) $y = 2 x + 1$ , β) $y = x^{2} + 1$ , γ) $y = 1 - x$ με τον πίνακα τιμών της. Και οι τέσσερις πίνακες έχουν $x = - 3, - 1, 0, 1, 2$ και οι αντίστοιχες τιμές του $y$ είναι: i) $10, 2, 1, 2, 5 \cdot$ ii) $- 5, - 1, 1, 3, 5 \cdot$ iii) $4, 2, 1, 0, - 1 \cdot$ iv) 4, 2, 1, 0, 2. Ένας πίνακας περισσεύει.
7Μεσαίοgb-3.1-m1
Οι τιμές ενός καταστήματος ηλεκτρονικών επιβαρύνονται με φόρο 8%. Να εκφράσεις τις τιμές $y$ με τον φόρο ως συνάρτηση των τιμών $x$ χωρίς τον φόρο.
8Μεσαίοgb-3.1-m2
Ένας πωλητής παίρνει μισθό 600 ευρώ τον μήνα και επιπλέον ποσοστό 7% επί του ποσού των πωλήσεων που πραγματοποιεί. Να εκφράσεις το συνολικό ποσό $y$ που κερδίζει τον μήνα ως συνάρτηση του ποσού $x$ των πωλήσεων.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📈 Quiz · Συναρτήσεις & Γραφικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

2.3 Προβλήματα

Επόμενο →

3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες - Γραφική παράσταση συνάρτησης