Κεφ. 2 - Πραγματικοί αριθμοί›2.3 Προβλήματα

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 2 - Πραγματικοί αριθμοί

§2.3 Προβλήματα με ρίζες & Πυθαγόρειο

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🧠Στρατηγική επίλυσης

•
Για προβλήματα με ορθογώνια τρίγωνα: εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και χρησιμοποιούμε ρίζα για να βρούμε άγνωστη πλευρά. $a^{2} + b^{2} = c^{2} (c = υποτε \overset{ι}{ˊ} νουσα)$
💡 Παράδειγμα:
$Πλευρ \overset{ε}{ˊ} ς 3 και 4 \to υποτε \overset{ι}{ˊ} νουσα = 9 + 16 = 25 = 5.$
❓ Γιατί:Το Πυθαγόρειο μας δίνει το τετράγωνο της άγνωστης πλευράς. Η τετραγωνική ρίζα είναι η αντίστροφη πράξη που μας επιστρέφει στην ίδια την πλευρά.
📎 Δες και:
•
Όταν δίνεται λόγος πλευρών (π.χ. $x$ : $y = 7$ : 4), εκφράζουμε τη μία πλευρά ως προς την άλλη και αντικαθιστούμε στο Πυθαγόρειο.
💡 Παράδειγμα:
$Αν \frac{x}{y} = \frac{7}{4}, τ \overset{ο}{ˊ} τε x^{2} = (\frac{7}{16}) \cdot y^{2} \to στο Πυθαγ \overset{ο}{ˊ} ρειο αντικαθιστ \overset{ω}{ˊ} .$
•
Για κατασκευή σε καρτεσιανές συντεταγμένες: αν τα σημεία είναι Κ( $x_{1}$ , $y_{1}$ ) και Λ( $x_{2}$ , $y_{2}$ ), η απόσταση ΚΛ βρίσκεται με σχηματισμό ορθογωνίου τριγώνου και Πυθαγόρειο.
💡 Παράδειγμα:
$Σημε \overset{ι}{ˊ} α K (0, 2), Λ (2, 3) : οριζ \overset{ο}{ˊ} ντια απ \overset{ο}{ˊ} σταση 2, κατακ \overset{ο}{ˊ} ρυφη 1 \to KΛ = 4 + 1 = 5 .$

💡Συμβουλές

•
Σχεδιάζουμε πάντα ένα σχήμα και σημειώνουμε τα δεδομένα — βοηθάει να δούμε το ορθογώνιο τρίγωνο.
•
Όταν παίρνουμε ρίζα, ελέγχουμε αν το αποτέλεσμα είναι τέλειο τετράγωνο (ακέραιη ρίζα) ή χρειάζεται προσέγγιση.
•
Στο τέλος επιστρέφουμε στο πραγματικό πρόβλημα: αν π.χ. βρήκαμε «πλευρά −2», η λύση απορρίπτεται (μήκος $\geq 0$ ).

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-2.1-h2
Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού, αν αυξηθεί κατά 8, γίνεται ίσο με το τριπλάσιο του τετραγώνου του αριθμού αυτού. Ποιος είναι ο αριθμός;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Έστω $x$ ο θετικός αριθμός.
2. 2
  Το τετράγωνό του αυξημένο κατά 8 γράφεται $x^{2} + 8$ , και το τριπλάσιο του τετραγώνου του γράφεται $3 \cdot x^{2}$ .
3. 3
  Η εξίσωση που προκύπτει είναι $x^{2} + 8 = 3 x^{2}$ .
4. 4
  Χωρίζουμε: $8 = 3 x^{2} - x^{2}$ , δηλαδή $2 x^{2} = 8$ και $x^{2} = 4$ .
5. 5
  Επειδή ο αριθμός είναι θετικός, κρατάμε $x = 2$ .
6. 6
  Έλεγχος: $2^{2} + 8 = 4 + 8 = 12$ και $3 \cdot 2^{2} = 12$ .
2Μεσαίοgb-2.3-m3
Οι μπάρες στις δύο άκρες ενός δρόμου απέχουν μεταξύ τους 8 $m$ . Ένα φορτηγό έχει περίγραμμα ορθογωνίου με μήκος 7,5 $m$ και πλάτος 2,4 $m$ . Μπορεί ο οδηγός να κάνει αναστροφή;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Καθώς το φορτηγό στρίβει, περνά από θέση όπου βρίσκεται λοξά μέσα στον δρόμο.
2. 2
  Στη δυσκολότερη θέση, οι δύο απέναντι κορυφές του ορθογωνίου ακουμπούν τις δύο μπάρες, οπότε το φορτηγό χωράει μόνο αν η διαγώνιος του ορθογωνίου είναι μικρότερη από 8 $m$ . Από το Πυθαγόρειο θεώρημα η διαγώνιος δ έχει $δ^{2} = 7, 5^{2} + 2, 4^{2} = 56, 25 + 5, 76 = 62, 01$ , οπότε $δ = 62, 01$ .
3. 3
  Με δοκιμές βρίσκουμε $7, 8 7^{2} = 61, 9369$ και $7, 8 8^{2} = 62, 0944$ , άρα $δ \approx 7, 87 m$ . Επειδή $7, 87 < 8$ , η αναστροφή είναι δυνατή.
3Εύκολοgb-2.3-e2
Δύο πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκος 10 cm και 8 cm. Να βρεις την τρίτη πλευρά του, ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο. Πρόσεξε ότι υπάρχουν δύο περιπτώσεις.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πρώτη περίπτωση: η πλευρά 10 cm είναι η υποτείνουσα.
2. 2
  Τότε $x^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}$ , δηλαδή $x^{2} = 100 - 64 = 36$ και $x = 6 cm$ . Δεύτερη περίπτωση: οι πλευρές 10 cm και 8 cm είναι οι κάθετες.
3. 3
  Τότε $x^{2} = 1 0^{2} + 8^{2} = 100 + 64 = 164$ και $x = 164$ , δηλαδή περίπου 12,81 cm.
4Μεσαίοgb-2.3-m1
Οι κορυφές του τριγώνου ΚΛΜ είναι τα σημεία Κ(0, 2), Λ(2, 3) και Μ(1, 0). Να εξετάσεις αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σχεδιάζουμε τα τρία σημεία σε άξονες.
2. 2
  Για κάθε πλευρά φτιάχνουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές παράλληλες στους άξονες: το οριζόντιο μήκος είναι η διαφορά των $x$ και το κατακόρυφο η διαφορά των $y$ .
3. 3
  Για την ΚΛ: οριζόντια $2 - 0 = 2$ και κατακόρυφα $3 - 2 = 1$ , άρα $K Λ^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5$ .
4. 4
  Για την ΚΜ: οριζόντια $1 - 0 = 1$ και κατακόρυφα $2 - 0 = 2$ , άρα $K M^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5$ .
5. 5
  Για την ΛΜ: οριζόντια $2 - 1 = 1$ και κατακόρυφα $3 - 0 = 3$ , άρα $Λ M^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10$ .
6. 6
  Παρατηρούμε ότι $K Λ^{2} + K M^{2} = 5 + 5 = 10 = Λ M^{2}$ .
7. 7
  Όταν το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ισούται με το τετράγωνο της τρίτης, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.
8. 8
  Άρα το ΚΛΜ είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία στην κορυφή Κ.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-2.1-h2
Το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού, αν αυξηθεί κατά 8, γίνεται ίσο με το τριπλάσιο του τετραγώνου του αριθμού αυτού. Ποιος είναι ο αριθμός;
2Δύσκολοgb-2.3-h1
Τα βέλη στην άσφαλτο αποτελούνται από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις 20 cm και 2,3 $m$ και από ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση 60 cm και ίσες πλευρές 2,1 $m$ . Πόσα περίπου τέτοια βέλη μπορούμε να βάψουμε με ένα κιλό χρώματος, που καλύπτει επιφάνεια 540 d $m^{2}$ ;
3Μεσαίοgb-2.3-m1
Οι κορυφές του τριγώνου ΚΛΜ είναι τα σημεία Κ(0, 2), Λ(2, 3) και Μ(1, 0). Να εξετάσεις αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
4Μεσαίοgb-2.3-m3
Οι μπάρες στις δύο άκρες ενός δρόμου απέχουν μεταξύ τους 8 $m$ . Ένα φορτηγό έχει περίγραμμα ορθογωνίου με μήκος 7,5 $m$ και πλάτος 2,4 $m$ . Μπορεί ο οδηγός να κάνει αναστροφή;
5Δύσκολοgb-2.3-m2
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά 12 cm και η διάμεσός του ΑΔ προς την πλευρά ΒΓ. Αν Ε είναι το μέσο της ΑΔ, να βρεις το μήκος ΒΕ.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

← Προηγούμενο

2.2 Άρρητοι αριθμοί - Πραγματικοί αριθμοί

Επόμενο →

3.1 Η έννοια της συνάρτησης