Κεφ. 2 - Πραγματικοί αριθμοί›2.2 Άρρητοι αριθμοί - Πραγματικοί αριθμοί

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 2 - Πραγματικοί αριθμοί

§2.2 Άρρητοι & Πραγματικοί αριθμοί

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

∞Άρρητοι αριθμοί

•
Υπάρχουν αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσμα $\frac{μ}{ν}$ (μ ακέραιος, ν φυσικός $\neq = 0$ ). Αυτοί λέγονται άρρητοι αριθμοί.
💡 Παράδειγμα:
$O ι 2, 3, 5, 6, 7, \dots (\overset{ο}{ˊ} σοι δεν ε \overset{ι}{ˊ} ναι τ \overset{ε}{ˊ} λεια τετρ \overset{α}{ˊ} γωνα) ε \overset{ι}{ˊ} ναι \overset{α}{ˊ} ρρητοι .$
Επίσης ο γνωστός αριθμός π.
•
Οι άρρητοι έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά. Μπορούμε να τους υπολογίσουμε μόνο προσεγγιστικά.
💡 Παράδειγμα:
$2 \approx 1, 414, 2 \approx 1, 4142, 2 \approx 1, 41421$ … (όσο περισσότερα ψηφία, τόσο πιο ακριβής η προσέγγιση).
❓ Γιατί:Οι ρητοί έχουν είτε πεπερασμένη δεκαδική μορφή είτε περιοδική (π.χ. $\frac{1}{3} = 0, 333$ …). Αν ένας αριθμός έχει άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία, δεν μπορεί να είναι ρητός — είναι άρρητος.
📎 Δες και:
•
Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε στις δοκιμές για να προσεγγίσουμε έναν άρρητο λέγονται ρητές προσεγγίσεις του.

📚Σύνολα αριθμών

•
Φυσικοί αριθμοί (0, 1, 2, 3, …) → τοποθετούνται δεξιά της αρχής Ο στον άξονα.
•
Ακέραιοι αριθμοί (…, −2, −1, 0, 1, 2, …) → στα αριστερά οι αρνητικοί, δεξιά οι θετικοί.
•
Ρητοί αριθμοί ( $\frac{μ}{ν}$ , μ ακέραιος, ν φυσικός $\neq = 0$ ) → γεμίζουν την ευθεία αλλά όχι πλήρως (αφήνουν «τρύπες»).
•
Πραγματικοί αριθμοί = όλοι οι ρητοί + όλοι οι άρρητοι. Καλύπτουν πλήρως την ευθεία.
❓ Γιατί:Κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό και αντίστροφα. Η αντιστοιχία αυτή είναι 1-προς-1 — γι' αυτό την ευθεία τη λέμε ευθεία (ή άξονα) των πραγματικών αριθμών.
•
Ιεραρχία συνόλων: $Φυσικο \overset{ι}{ˊ} \subset Ακ \overset{ε}{ˊ} ραιοι \subset Ρητο \overset{ι}{ˊ} \subset Πραγματικο \overset{ι}{ˊ}$
💡 Παράδειγμα:
Το 5 είναι φυσικός (άρα και ακέραιος, ρητός, πραγματικός).Το −3 είναι ακέραιος.Το $\frac{2}{3}$ είναι ρητός.
$T ο 2 ε \overset{ι}{ˊ} ναι μ \overset{ο}{ˊ} νο πραγματικ \overset{ο}{ˊ} ς (\overset{α}{ˊ} ρρητος) .$

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-2.2-e2
Να τοποθετήσεις σε σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, τους αριθμούς $5$ , $7$ , $3$ , 1 και $2$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Γράφουμε και το 1 ως ρίζα: $1 = 1$ .
2. 2
  Επειδή $1 < 2 < 3 < 5 < 7$ , η σειρά είναι $1 < 2 < 3 < 5 < 7$ .
2Εύκολοgb-2.2-e1
Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι; Οι αριθμοί είναι οι εξής: $2, (2)^{2}, \frac{4}{9}, 18$ και $\frac{18}{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Άρρητοι είναι οι $2$ και $18$ , γιατί το 2 και το 18 δεν είναι τέλεια τετράγωνα.
2. 2
  Ρητοί είναι οι υπόλοιποι: $(2)^{2} = 2$ από τον ορισμό της ρίζας.
3. 3
  Επίσης $\frac{4}{9} = \frac{2}{3}$ , γιατί $(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$ .
4. 4
  Τέλος $\frac{18}{2} = 9 = 3$ , γιατί $3^{2} = 9$ .
3Εύκολοgb-2.2-e4
Να λύσεις τις εξισώσεις: α) $x^{2} = 0$ , β) $x^{2} = 5$ , γ) $x^{2} = - 3$ , δ) $x^{2} = 17$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  α) $x = 0$ .
2. 2
  β) $x = 5$ ή $x = - 5$ .
3. 3
  γ) Είναι αδύνατη, γιατί το τετράγωνο κάθε αριθμού είναι θετικό ή μηδέν.
4. 4
  δ) $x = 17$ ή $x = - 17$ .
4Μεσαίοgb-2.2-m2
Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 12 c $m^{2}$ . Να βρεις το μήκος της πλευράς του με προσέγγιση εκατοστού, δηλαδή με δύο δεκαδικά ψηφία.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Αν $x$ είναι η πλευρά, τότε $x^{2} = 12$ .
2. 2
  Η εξίσωση έχει δύο λύσεις, όμως το $x$ είναι μήκος, άρα κρατάμε μόνο τη θετική: $x = 12$ .
3. 3
  Με δοκιμές: $3, 4 6^{2} = 11, 9716$ και $3, 4 7^{2} = 12, 0409$ , άρα $3, 46 < 12 < 3, 47$ και η πλευρά είναι περίπου 3,46 cm.
5Μεσαίοgb-2.2-m3
Ένα τετράγωνο έχει διαγώνιο 12 cm. α) Να βρεις το μήκος της πλευράς του με προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων. β) Να βρεις την ακριβή τιμή του εμβαδού του.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Αν $x$ η πλευρά, η διαγώνιος χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές $x$ και $x$ .
2. 2
  Από το Πυθαγόρειο θεώρημα: $x^{2} + x^{2} = 1 2^{2}$ , δηλαδή $2 x^{2} = 144$ και $x^{2} = 72$ .
3. 3
  Άρα $x = 72$ .
4. 4
  Ψάχνουμε με δοκιμές, στενεύοντας κάθε φορά: πρώτα $8^{2} = 64$ και $9^{2} = 81$ , οπότε $8 < 72 < 9$ .
5. 5
  Μετά $8, 4^{2} = 70, 56$ και $8, 5^{2} = 72, 25$ , οπότε $8, 4 < 72 < 8, 5$ .
6. 6
  Τέλος $8, 4 8^{2} = 71, 9104$ και $8, 4 9^{2} = 72, 0801$ , οπότε $8, 48 < 72 < 8, 49$ .
7. 7
  Ποιο από τα δύο είναι πιο κοντά; Δοκιμάζουμε το ενδιάμεσο και βρίσκουμε $8, 48 5^{2} = 71, 995225$ .
8. 8
  Το αποτέλεσμα είναι ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ από το 72.
9. 9
  Άρα το $72$ είναι μεγαλύτερο από το 8,485, δηλαδή πιο κοντά στο 8,49.
10. 10
  Η πλευρά είναι περίπου 8,49 cm. β) Το εμβαδόν είναι $x^{2}$ , που το βρήκαμε ΑΚΡΙΒΩΣ ίσο με 72 τετραγωνικά εκατοστά.
11. 11
  Πρόσεξε ότι δεν χρειάστηκε καθόλου η προσέγγιση για το εμβαδόν.
6Μεσαίοgb-2.2-m1
Να εξετάσεις ποιες από τις παρακάτω ανισώσεις είναι σωστές: α) $4 < 4, 5 < 5$ , β) $1, 4 < 2 < 1, 5$ , γ) $7 < 15 < 8$ , δ) $1, 7 < 3 < 1, 8$ , ε) $2 < 7 < 3$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Υψώνουμε στο τετράγωνο τα άκρα κάθε ανισότητας.
2. 2
  α) Λάθος, γιατί θα έπρεπε $16 < 4, 5 < 25$ .
3. 3
  Το σωστό είναι $2 < 4, 5 < 3$ .
4. 4
  β) Σωστή, γιατί $1, 96 < 2 < 2, 25$ .
5. 5
  γ) Λάθος, γιατί θα έπρεπε $49 < 15 < 64$ .
6. 6
  Το σωστό είναι $3 < 15 < 4$ .
7. 7
  δ) Σωστή, γιατί $2, 89 < 3 < 3, 24$ .
8. 8
  ε) Σωστή, γιατί $4 < 7 < 9$ .
7Εύκολοgb-2.2-e3
Να βρεις τις ρητές προσεγγίσεις των αριθμών $3$ και $7$ έως και δύο δεκαδικά ψηφία.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Δουλεύουμε με διαδοχικές δοκιμές.
2. 2
  Για το $3$ : επειδή $1^{2} = 1$ και $2^{2} = 4$ , είναι $1 < 3 < 2$ .
3. 3
  Επειδή $1, 7^{2} = 2, 89$ και $1, 8^{2} = 3, 24$ , είναι $1, 7 < 3 < 1, 8$ .
4. 4
  Επειδή $1, 7 3^{2} = 2, 9929$ και $1, 7 4^{2} = 3, 0276$ , είναι $1, 73 < 3 < 1, 74$ , δηλαδή $3 \approx 1, 73$ .
5. 5
  Με τον ίδιο τρόπο για το $7$ : επειδή $2, 6 4^{2} = 6, 9696$ και $2, 6 5^{2} = 7, 0225$ , είναι $2, 64 < 7 < 2, 65$ , δηλαδή $7 \approx 2, 64$ .
8Εύκολοgb-2.2-e5
Για καθέναν από τους αριθμούς $7, - 3, \frac{2}{5}, 2$ και 0 να πεις σε ποια από τα σύνολα ανήκει: φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, άρρητοι, πραγματικοί.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Θυμόμαστε τη σειρά: κάθε φυσικός είναι και ακέραιος, κάθε ακέραιος είναι και ρητός, και κάθε ρητός ή άρρητος είναι πραγματικός.
2. 2
  Το 7 είναι φυσικός, άρα και ακέραιος, ρητός και πραγματικός.
3. 3
  Το −3 είναι ακέραιος, άρα και ρητός και πραγματικός, αλλά ΟΧΙ φυσικός.
4. 4
  Το $\frac{2}{5}$ είναι ρητός και πραγματικός.
5. 5
  Το $2$ είναι άρρητος και πραγματικός, γιατί το 2 δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
6. 6
  Το 0 είναι φυσικός, ακέραιος, ρητός και πραγματικός.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-2.2-m2
Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 12 c $m^{2}$ . Να βρεις το μήκος της πλευράς του με προσέγγιση εκατοστού, δηλαδή με δύο δεκαδικά ψηφία.
2Μεσαίοgb-2.2-m1
Να εξετάσεις ποιες από τις παρακάτω ανισώσεις είναι σωστές: α) $4 < 4, 5 < 5$ , β) $1, 4 < 2 < 1, 5$ , γ) $7 < 15 < 8$ , δ) $1, 7 < 3 < 1, 8$ , ε) $2 < 7 < 3$ .
3Μεσαίοgb-2.2-m3
Ένα τετράγωνο έχει διαγώνιο 12 cm. α) Να βρεις το μήκος της πλευράς του με προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων. β) Να βρεις την ακριβή τιμή του εμβαδού του.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔋 Quiz · Δυνάμεις & Ρίζες

← Προηγούμενο

2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

Επόμενο →

2.3 Προβλήματα