Κεφ. 2 - Πραγματικοί αριθμοί›2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 2 - Πραγματικοί αριθμοί

§2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

√Ορισμός τετραγωνικής ρίζας

•
Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α λέγεται ο μη αρνητικός αριθμός $x$ που υψωμένος στο τετράγωνο δίνει τον α.
$α = x$ $⟺ x \geq 0 και x^{2} = α (α \geq 0)$
💡 Παράδειγμα:
$25 = 5, γιατ \overset{ι}{ˊ} 5 \geq 0 και 5^{2} = 25.$
•
Από τον ορισμό προκύπτει επίσης ότι: $(α)^{2} = α (για α \geq 0)$
💡 Παράδειγμα:
$(7)^{2} = 7.$

⚠️Προσοχή — Συχνά λάθη

•
Η τετραγωνική ρίζα δίνει πάντα μη αρνητικό αποτέλεσμα — ποτέ αρνητικό. Η εξίσωση $x^{2} = 25$ έχει δύο λύσεις ( $x = 5$ ή $x = - 5$ ), αλλά το $25$ ισούται ΜΟΝΟ με 5.
💡 Παράδειγμα:
$25 = 5 (\overset{ο}{ˊ} χι - 5, παρ \overset{ο}{ˊ} λο που (- 5)^{2} = 25) .$
❓ Γιατί:Είναι θέμα ορισμού: το σύμβολο √ συμβολίζει συγκεκριμένα τη ΘΕΤΙΚΗ ρίζα. Έτσι ορίστηκε ώστε να αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή — αλλιώς δεν θα ήταν συνάρτηση.
•
Όταν έχουμε $α^{2}$ , δεν παίρνουμε απλά τον α — παίρνουμε την |α| (απόλυτη τιμή του α). $α^{2} = ∣ α ∣$
💡 Παράδειγμα:
$(- 5)^{2} = 25 = 5 = ∣ - 5∣.$
•
Η $α$ ορίζεται μόνο για $α \geq 0$ . Δεν υπάρχει τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού στους πραγματικούς.
💡 Παράδειγμα:
$T ο - 9 δεν ορ \overset{ι}{ˊ} ζεται .$

📐Εφαρμογή στο Πυθαγόρειο

•
Η τετραγωνική ρίζα μάς επιτρέπει να λύνουμε προβλήματα με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
💡 Παράδειγμα:
$Σ ε ορθογ \overset{ω}{ˊ} νιο τρ \overset{ι}{ˊ} γωνο, αν α^{2} + 2, 8^{2} = 3, 5^{2} \to α^{2} = 4, 41 \to α = 4, 41 = 2, 1.$
❓ Γιατί:Το Πυθαγόρειο δίνει το τετράγωνο της πλευράς — με τη ρίζα ανακτούμε την ίδια την πλευρά (μήκος $\geq 0$ , οπότε η θετική ρίζα είναι αυτή που θέλουμε).
📎 Δες και:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-2.1-m5
Να υπολογίσεις τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου γηπέδου που έχει διαστάσεις 65 $m$ και 72 $m$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η διαγώνιος χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές τις διαστάσεις.
2. 2
  Από το Πυθαγόρειο θεώρημα η διαγώνιος δ έχει $δ^{2} = 6 5^{2} + 7 2^{2} = 4.225 + 5.184 = 9.409$ .
3. 3
  Άρα $δ = 9409$ .
4. 4
  Πώς το βρίσκουμε; Επειδή $9 0^{2} = 8.100$ και $10 0^{2} = 10.000$ , η ρίζα είναι ανάμεσα στο 90 και στο 100.
5. 5
  Επειδή ο αριθμός τελειώνει σε 9, η ρίζα του τελειώνει σε 3 ή σε 7.
6. 6
  Δοκιμάζουμε: $9 3^{2} = 8.649$ και $9 7^{2} = 9.409$ .
7. 7
  Άρα $δ = 97 m$ .
2Εύκολοgb-2.1-e7
Να υπολογίσεις τις τετραγωνικές ρίζες: α) $81$ , $0, 81$ και $8100$ , β) $4$ , $0, 04$ και $400$ , γ) $\frac{9}{4}$ και $\frac{144}{25}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) $81 = 9, 0, 81 = 0, 9$ και $8100 = 90$ .
2. 2
  β) $4 = 2, 0, 04 = 0, 2$ και $400 = 20$ .
3. 3
  γ) Στα κλάσματα παίρνουμε ρίζα χωριστά στον αριθμητή και στον παρονομαστή, με τον παρονομαστή να είναι θετικός: $\frac{9}{4} = \frac{3}{2}$ και $\frac{144}{25} = \frac{12}{5}$ .
4. 4
  Πρόσεξε πώς μετακινείται η υποδιαστολή: όταν ο αριθμός γίνεται 100 φορές μεγαλύτερος, η ρίζα του γίνεται μόνο 10 φορές μεγαλύτερη.
3Εύκολοgb-2.1-e4
Λύσε την εξίσωση $x^{2} = - 25$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
Αδύνατη — δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός με τετράγωνο αρνητικό.
4Μεσαίοgb-2.1-m1
Υπολόγισε τον αριθμό: $81$ − $25$ : $100 + 36$ .
Λύση βήμα-βήμα
9 − 5 : $10 + 6 = 9 - 0, 5 + 6 = 14, 5$ .
5Μεσαίοgb-2.1-m2
Για ποιες τιμές του $x$ έχει νόημα η παράσταση $- 2 x$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πρέπει $- 2 x \geq 0$
2. 2
  $x \leq 0$ .
6Μεσαίοgb-2.1-m3
Να βρεις ποιον αριθμό πρέπει να βάλεις στη θέση του $x$ , ώστε να ισχύει κάθε ισότητα: α) $\frac{4}{x} = \frac{2}{3}$ , β) $x + 3 = 6$ , γ) $x + 2 = 11$ , δ) $2 - x = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σε κάθε περίπτωση υψώνουμε στο τετράγωνο, αφού πρώτα απομονώσουμε τη ρίζα.
2. 2
  α) Το τετράγωνο του $\frac{2}{3}$ είναι $\frac{4}{9}$ , οπότε $\frac{4}{x} = \frac{4}{9}$ και $x = 9$ .
3. 3
  β) $x + 3 = 36$ , οπότε $x = 33$ .
4. 4
  γ) Πρώτα απομονώνουμε: $x = 11 - 2 = 9$ .
5. 5
  Άρα $x = 81$ .
6. 6
  δ) Πρώτα απομονώνουμε: $x = 2$ .
7. 7
  Άρα $x = 4$ .
7Εύκολοgb-2.1-e6
Να εξετάσεις αν ισχύουν οι παρακάτω ισότητες: α) $16 = 8$ , β) $4 = 16$ , γ) $9 = 3$ , δ) $0, 4 = 0, 2$ , ε) $4 = - 2$ , στ) $16 + 9 = 5$ , ζ) $25 - 9 = 5 - 3 = 2$ , η) $100 = 50$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Λάθος: $16 = 4$ , γιατί $4^{2} = 16$ .
2. 2
  β) Λάθος: $4 = 2$ .
3. 3
  γ) Σωστό, γιατί $3^{2} = 9$ .
4. 4
  δ) Λάθος: το τετράγωνο του 0,2 είναι 0,04 και όχι 0,4.
5. 5
  ε) Λάθος, και αξίζει να δεις ΓΙΑΤΙ: υπάρχουν δύο αριθμοί με τετράγωνο 4, το 2 και το −2.
6. 6
  Αν το σύμβολο της ρίζας σήμαινε και τους δύο, τότε το $4$ δεν θα ήταν ΕΝΑΣ αριθμός και δεν θα μπορούσαμε να το βάλουμε σε πράξη.
7. 7
  Για τον λόγο αυτό συμφωνήθηκε ότι το σύμβολο της ρίζας δηλώνει ΠΑΝΤΑ τον θετικό ή το μηδέν.
8. 8
  Άρα $4 = 2$ .
9. 9
  Το −2 έχει τετράγωνο 4, αλλά ΔΕΝ είναι το $4$ .
10. 10
  στ) Σωστό, αλλά πρόσεξε ΓΙΑΤΙ: κάνουμε πρώτα την πρόσθεση ΜΕΣΑ στη ρίζα και μετά παίρνουμε ρίζα, δηλαδή $25 = 5$ .
11. 11
  ΔΕΝ σημαίνει ότι η ρίζα σπάει σε άθροισμα: το $16 + 9$ δίνει $4 + 3 = 7$ , εντελώς άλλο αποτέλεσμα.
12. 12
  ζ) Λάθος, και είναι η πιο συνηθισμένη παγίδα: η ρίζα ΔΕΝ μοιράζεται στην αφαίρεση.
13. 13
  Το σωστό είναι $25 - 9 = 16 = 4$ .
14. 14
  η) Λάθος: $100 = 10$ , γιατί $1 0^{2} = 100$ .
15. 15
  Το 50 δίνει $5 0^{2} = 2.500$ , πολύ μεγαλύτερο.
8Μεσαίοgb-2.1-m4
α) Να υπολογίσεις τους αριθμούς $36, 18 + 18, 18 \cdot 18$ και το τετράγωνο του $18$ . β) Να υπολογίσεις το $9 + 16$ και το $9 + 16$ . Τι συμπεραίνεις;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) $36 = 6$ .
2. 2
  Το $18 + 18$ είναι $36 = 6$ .
3. 3
  Το $18 \cdot 18$ είναι $324 = 18$ .
4. 4
  Το τετράγωνο του $18$ είναι 18, από τον ίδιο τον ορισμό της ρίζας.
5. 5
  β) Το $9 + 16$ δίνει $3 + 4 = 7$ .
6. 6
  Το $9 + 16$ δίνει $25 = 5$ .
7. 7
  Τα δύο αποτελέσματα είναι ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ.
8. 8
  Συμπέρασμα: η ρίζα αθροίσματος ΔΕΝ ισούται με το άθροισμα των ριζών.
9. 9
  Στον πολλαπλασιασμό όμως δουλεύει: για κάθε α και β μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός ισχύει $α \cdot β = α \cdot β$ .
10. 10
  Το $18 \cdot 18$ το επιβεβαιώνει, αλλά είναι ειδική περίπτωση γιατί οι δύο παράγοντες είναι ίσοι.
11. 11
  Δες και ένα ζευγάρι με διαφορετικούς: $4 \cdot 9 = 36 = 6$ , και $4 \cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6$ .
12. 12
  Ίδιο αποτέλεσμα.
9Εύκολοgb-2.1-e8
α) Να βρεις τους ΘΕΤΙΚΟΥΣ αριθμούς $x$ για τους οποίους ισχύει: $x^{2} = 9, x^{2} = 64$ και $x^{2} = \frac{100}{81}$ . β) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση $x^{2} = 16$ , αν ΔΕΝ ζητάμε ο $x$ να είναι θετικός;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) $x = 3$ , γιατί $3^{2} = 9$ .
2. 2
  Επίσης $x = 8$ , γιατί $8^{2} = 64$ .
3. 3
  Τέλος $x = \frac{10}{9}$ , γιατί το τετράγωνό του είναι $\frac{100}{81}$ .
4. 4
  β) Δύο λύσεις: το 4 και το −4, γιατί και τα δύο υψωμένα στο τετράγωνο δίνουν 16.
5. 5
  Πρόσεξε τη διαφορά: η ΡΙΖΑ $16$ είναι ΕΝΑΣ αριθμός, ο 4, ενώ η ΕΞΙΣΩΣΗ $x^{2} = 16$ έχει ΔΥΟ λύσεις.
10Εύκολοgb-2.1-e3
Λύσε την εξίσωση $x^{2} = 9$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$x = 3$ ή $x = - 3$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-2.1-m2
Για ποιες τιμές του $x$ έχει νόημα η παράσταση $- 2 x$ ;
2Μεσαίοgb-2.1-m5
Να υπολογίσεις τη διαγώνιο ενός ορθογωνίου γηπέδου που έχει διαστάσεις 65 $m$ και 72 $m$ .
3Μεσαίοgb-2.1-m4
α) Να υπολογίσεις τους αριθμούς $36, 18 + 18, 18 \cdot 18$ και το τετράγωνο του $18$ . β) Να υπολογίσεις το $9 + 16$ και το $9 + 16$ . Τι συμπεραίνεις;
4Μεσαίοgb-2.1-m6
Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ με μήκος 3,7 cm και βάση ΒΓ με μήκος 2,4 cm. Να υπολογίσεις το ύψος του από την κορυφή Α.
5Μεσαίοgb-2.1-m1
Υπολόγισε τον αριθμό: $81$ − $25$ : $100 + 36$ .
6Μεσαίοgb-2.1-m3
Να βρεις ποιον αριθμό πρέπει να βάλεις στη θέση του $x$ , ώστε να ισχύει κάθε ισότητα: α) $\frac{4}{x} = \frac{2}{3}$ , β) $x + 3 = 6$ , γ) $x + 2 = 11$ , δ) $2 - x = 0$ .
7Δύσκολοgb-2.1-h1
Να συγκρίνεις τους αριθμούς $α$ , α και $α^{2}$ στις δύο περιπτώσεις: α) όταν $α > 1$ , δοκιμάζοντας με $α = 4, α = 9$ και $α = 16$ , β) όταν $0 < α < 1$ , δοκιμάζοντας με $α = \frac{1}{4}, α = \frac{1}{9}$ και $α = \frac{1}{16}$ . Τι παρατηρείς;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔋 Quiz · Δυνάμεις & Ρίζες

← Προηγούμενο

1.5 Ανισώσεις α΄ βαθμού

Επόμενο →

2.2 Άρρητοι αριθμοί - Πραγματικοί αριθμοί