Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις›1.5 Ανισώσεις α΄ βαθμού

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις

§1.5 Ανισώσεις α΄ βαθμού

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

⚖️Ιδιότητες ανισοτήτων

•
Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη μιας ανισότητας, προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. $Αν α < β τ \overset{ο}{ˊ} τε α + γ < β + γ$
•
Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα δύο μέλη με τον ίδιο θετικό αριθμό, προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. $Αν α < β και γ > 0 τ \overset{ο}{ˊ} τε α \cdot γ < β \cdot γ$
💡 Παράδειγμα:
$3 < 5 \to 3 \cdot 4 < 5 \cdot 4 \to 12 < 20 ✓ .$
•
Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, προκύπτει ανισότητα με αντίστροφη φορά. $Αν α < β και γ < 0 τ \overset{ο}{ˊ} τε α \cdot γ > β \cdot γ$
💡 Παράδειγμα:
$3 < 5 \to 3 \cdot (- 4) > 5 \cdot (- 4) \to - 12 > - 20 ✓ .$
❓ Γιατί:Όταν πολλαπλασιάζεις με αρνητικό, «αναποδογυρίζεις» τη σειρά στον άξονα. Αυτό που ήταν δεξιότερα (μεγαλύτερο) πάει αριστερότερα (μικρότερο). Παραστατικά: το +3 και το +5 πάνε $στα - 3$ και −5 — αλλά το −5 είναι μικρότερο, όχι μεγαλύτερο!
📎 Δες και:

🔑Επίλυση ανίσωσης

•
Ανίσωση με έναν άγνωστο είναι μια ανισότητα που περιέχει έναν άγνωστο (συνήθως το $x$ ).
•
Λύνουμε ανίσωση παρόμοια με εξίσωση: 1) απαλοιφή παρονομαστών 2) πράξεις 3) χωρίζω γνωστούς από αγνώστους 4) αναγωγή ομοίων 5) διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου.
•
Προσοχή! Αν στο βήμα 5 διαιρέσουμε με αρνητικό αριθμό, αλλάζουμε τη φορά της ανίσωσης.
💡 Παράδειγμα:
$- 5 x \geq 25 \to x \leq - 5 (αλλαγ \overset{η}{ˊ} φορ \overset{α}{ˊ} ς) .$
•
Οι λύσεις μιας ανίσωσης είναι συνήθως άπειρες και παριστάνονται στην ευθεία των αριθμών — με «γεμάτη» τελεία αν περιλαμβάνεται και η ισότητα (≤, ≥), με κενό κύκλο αν $\overset{ο}{ˊ} χι (<, >)$ .
•
Ειδικές περιπτώσεις: αν καταλήξουμε σε $0 \cdot x < c$ (αληθές για κάθε $x$ ), η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε πραγματικό αριθμό. Αν είναι ψευδές, είναι αδύνατη.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Αν

α < β

και πολλαπλασιάσουμε με αρνητικό αριθμό, η φορά της ανισότητας αλλάζει.

2Σωστό / Λάθος

Από

- 5 x \geq 25

προκύπτει

x \geq - 5

3Σωστό / Λάθος

Αν προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό στα δύο μέλη μιας ανισότητας, η φορά της δεν αλλάζει.

4Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την ανίσωση

x + 3 > - 2

5Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την ανίσωση

- 2 x < 6

6Πολλαπλής επιλογής

Λύσε την ανίσωση

8 x + 4 \leq 16 + 5 x

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-1.4-m1
Λύσε: $19 - 3 (x + 2) \geq - 8 (x - 1)$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $19 - 3 x - 6 \geq - 8 x + 8$
2. 2
  $13 - 3 x \geq - 8 x + 8$
3. 3
  $5 x \geq - 5$
4. 4
  $x \geq - 1$ .
2Μεσαίοgb-1.4-m2
Λύσε: $\frac{x}{4} - \frac{x}{6} \leq \frac{x}{3} - \frac{2}{6} \cdot x$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $ΕΚΠ = 12$ . $3 x - 2 x \leq 4 x - 4 x$
2. 2
  $x \leq 0$ .
3Εύκολοgb-1.4-e2
Λύσε: $- 3 x + 5 \geq 2 x - 10$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $- 3 x - 2 x \geq - 10 - 5$
2. 2
  $- 5 x \geq - 15$
3. 3
  $x \leq 3$ .
4Εύκολοgb-1.4-e1
Λύσε: $2 x + 1 > 7$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $2 x > 6$
2. 2
  $x > 3$ . Λύσεις: (3, +∞).

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοgb-1.4-h1
Λύσε τη διπλή ανίσωση: $8 \leq 2 (3 x - 2) \leq 14$ .
2Μεσαίοgb-1.4-m1
Λύσε: $19 - 3 (x + 2) \geq - 8 (x - 1)$ .
3Μεσαίοgb-1.4-m2
Λύσε: $\frac{x}{4} - \frac{x}{6} \leq \frac{x}{3} - \frac{2}{6} \cdot x$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Σε ανίσωση α΄ βαθμού χωρίς κλάσματα/παρενθέσεις.

Βήματα

1Χώρισε αγνώστους από γνωστούς (η μεταφορά αλλάζει πρόσημο — η φορά ΔΕΝ αλλάζει).
2Κάνε αναγωγή ομοίων όρων.
3Διαίρεσε με τον συντελεστή του $x$ . ΑΝ ο συντελεστής είναι αρνητικός → ΑΛΛΑΞΕ τη φορά.

Παράδειγμα

- 7 x + 3 \leq 4 - x

⇔

- 7 x + x \leq 4 - 3

⇔

- 6 x \leq 1

⇔

x \geq - \frac{1}{6}

(αλλαγή φοράς, διαίρεση με −6).

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να λύσεις: $x + 3 > - 2$ .
2
Να λύσεις: $8 x + 4 \leq 16 + 5 x$ .
3
Να λύσεις: $- (1 - x) > 2 x - 1$ .
4
Να λύσεις: $- 7 x + 3 \leq 4 - x$ .
5
Να λύσεις: $3 (ω - 1) > ω - 2$ .
6
Να λύσεις: $4 (t + 5) < t - 4$ .
7
Να λύσεις: $- 2 x \geq 10$ .
8
Να λύσεις: $2 x + 2 - (x - 2) \geq 4 - x$ .
9
Να λύσεις: $3 y - 1 - (y + 2) < 2 (y + 2) + 1$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να βρεις τους ακέραιους αριθμούς

x

που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις ανισώσεις

2 x - 1 \leq 7

και

x + 4 > 1

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Για ποιες τιμές του

x

η παράσταση

3 x - 5

είναι μεγαλύτερη από την παράσταση

x + 7

;

Να λύσεις την ανίσωση

\frac{2 - x}{3} \geq \frac{x + 1}{2}

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Ένας μαθητής έχει στα δύο πρώτα διαγωνίσματα βαθμούς 12 και 15. Θέλει ο μέσος όρος των τριών διαγωνισμάτων να είναι τουλάχιστον 14 (κλίμακα 0–20).

α) Αν

x

ο βαθμός του τρίτου διαγωνίσματος, να γράψεις την ανίσωση.

β) Να λύσεις την ανίσωση.

γ) Τι σημαίνει το αποτέλεσμα;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.5 — Ανισώσεις α΄ βαθμού

Ύλη: §1.5Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος, δικαιολογώντας σύντομα.

α) Αν

α < β

, τότε

α + 5 < β + 5

β) Από

- 3 x > 9

προκύπτει

x > - 3

γ) Η ανίσωση

0 \cdot x < 5

αληθεύει για κάθε πραγματικό

x

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η ανίσωση

5 x - 3 < 2 x + 9

α) Να τη λύσεις.

β) Να γράψεις δύο φυσικούς αριθμούς που είναι λύσεις.

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η ανίσωση

- 4 x + 2 \geq x - 8

α) Να τη λύσεις.

β) Να παραστήσεις τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

📝 Επαναληπτικό Διαγώνισμα — Κεφάλαιο 1: Εξισώσεις & Ανισώσεις

Ύλη: §1.1–§1.5Διάρκεια: 45΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Οι όροι

4 x

και

4 x

² είναι όμοιοι.

β) Η εξίσωση

0 \cdot x = 0

είναι ταυτότητα.

γ) Όταν διαιρούμε ανίσωση με αρνητικό αριθμό, αλλάζει η φορά της.

δ) Από τον τύπο

S = υ \cdot t

, λύνοντας ως προς υ βρίσκουμε

υ = S \cdot t

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

A = 3 (x - 2) - 2 (x - 5)

α) Να την απλοποιήσεις.

β) Να λύσεις την εξίσωση

A = 9

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η εξίσωση

\frac{x - 1}{2} + \frac{x}{3} = 2

α) Να τη λύσεις απαλείφοντας τους παρονομαστές.

β) Ο τύπος του εμβαδού τριγώνου είναι

E = β \cdot \frac{υ}{2}

. Να βρεις το ύψος υ όταν

E = 24

και

β = 8

ΘΕΜΑ Δ

Σε ένα πάρκινγκ η χρέωση είναι 2 € για την είσοδο και 1,5 € για κάθε ώρα στάθμευσης.

α) Αν

x

οι ώρες, γράψε την παράσταση του συνολικού κόστους και υπολόγισέ το για 4 ώρες.

β) Ένας οδηγός θέλει να πληρώσει το πολύ 11 €. Πόσες ώρες το πολύ μπορεί να σταθμεύσει; Γράψε και λύσε την ανίσωση.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

↔️ Quiz · Ανισώσεις & Ανισότητες

← Προηγούμενο

1.4 Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων

Επόμενο →

2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού