Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις›1.3 Επίλυση τύπων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις

§1.3 Επίλυση τύπων

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔧Λύνω τύπο ως προς μια μεταβλητή

•
Αν έχουμε μια σχέση (τύπο) που συνδέει δύο ή περισσότερες μεταβλητές, μπορούμε με τις τεχνικές των εξισώσεων να τη λύσουμε ως προς οποιαδήποτε μεταβλητή.
💡 Παράδειγμα:
$Απ \overset{ο}{ˊ} F = 1, 8 \cdot C + 32 \to 1, 8 \cdot C = F - 32 \to C = \frac{F - 32}{1}, 8.$
•
Έτσι ο ίδιος τύπος αποκτά διαφορετικές μορφές: η μία βολεύει για να υπολογίσουμε την $C$ από την $F$ , η άλλη το αντίστροφο.
💡 Παράδειγμα:
$E = \frac{β \cdot υ}{2} \to ω ς προς β : β = \frac{2E}{υ} και ω ς προς υ : υ = \frac{2E}{β} .$
❓ Γιατί:Είναι το ίδιο εργαλείο με τις εξισώσεις: μεταφορά όρων, $\frac{πολ}{μ ο ˊ ς}$ με ΕΚΠ, διαίρεση με συντελεστή — απλώς αντί για $x$ έχουμε γράμματα-μεταβλητές.
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Από τον τύπο

E = β \cdot \frac{υ}{2}

, λύνοντας ως προς β παίρνουμε

β = \frac{2E}{υ}

2Σωστό / Λάθος

Λύνουμε έναν τύπο ως προς μια μεταβλητή με τις ίδιες τεχνικές όπως τις εξισώσεις.

3Σωστό / Λάθος

Από την ισότητα

α = β + γ

, λύνοντας ως προς β παίρνουμε

β = α + γ

4Πολλαπλής επιλογής

Από τον τύπο

P = 2 (α + β)

(περίμετρος ορθογωνίου), λύσε ως προς α.

5Πολλαπλής επιλογής

Από τον τύπο

S = υ \cdot t

, λύσε ως προς

t

6Πολλαπλής επιλογής

Από τον τύπο

F = 1, 8 \cdot C + 32

, αν

C = 20

, πόσο είναι το

F

;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-1.3-m4
Το εμβαδόν τραπεζίου με βάσεις β και Β και ύψος υ δίνεται από τον τύπο $E = (β + B) \cdot \frac{υ}{2}$ . Να λύσεις τον τύπο ως προς β.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 2: $2E = (β + B) \cdot υ$ .
2. 2
  Διαιρούμε με υ, που είναι μήκος και άρα διάφορο του μηδενός: $β + B = \frac{2E}{υ}$ .
3. 3
  Τέλος μεταφέρουμε το Β: $β = \frac{2E}{υ} - B$ .
2Εύκολοgb-1.3-e3
Η πίεση σε βάθος $h$ μέσα σε υγρό δίνεται από τον τύπο $P = P_{0} + ε h$ , όπου $P_{0}$ η πίεση στην επιφάνεια. Να λύσεις τον τύπο ως προς $h$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Εδώ δεν αρκεί μία διαίρεση.
2. 2
  Πρώτα μεταφέρουμε το $P_{0}$ στο πρώτο μέλος αλλάζοντας πρόσημο: $P - P_{0} = ε h$ . Μετά διαιρούμε και τα δύο μέλη με ε, που πρέπει να είναι διάφορο του μηδενός: $h = \frac{P - P _{0}}{ε}$ .
3Μεσαίοgb-1.3-m3
Δίνεται ο τύπος $α x + β y + γ = 0$ . Να τον λύσεις ως προς $y$ , με β διάφορο του μηδενός.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Μεταφέρουμε τους όρους που δεν έχουν $y$ στο δεύτερο μέλος και αλλάζουμε πρόσημα: $β y = - α x - γ$ .
2. 2
  Επειδή β διάφορο του μηδενός, διαιρούμε και τα δύο μέλη με β: $y = - \frac{α x + γ}{β}$ .
4Εύκολοgb-1.3-e2
Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η ταχύτητα δίνεται από τον τύπο $υ = \frac{S}{t}$ , όπου $S$ το διάστημα και $t$ ο χρόνος. Να λύσεις τον τύπο ως προς $t$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $t$ και έχουμε $υ t = S$ .
2. 2
  Στη συνέχεια διαιρούμε και τα δύο μέλη με υ, που είναι διάφορο του μηδενός αφού το κινητό κινείται: $t = \frac{S}{υ}$ .
5Εύκολοgb-1.3-e1
Το μήκος ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο $L = 2 π ρ$ , όπου ρ η ακτίνα του. Να λύσεις τον τύπο ως προς ρ.
Λύση βήμα-βήμα
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 2π, που είναι διάφορο του μηδενός: $ρ = \frac{L}{2 π}$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοgb-1.2-h2
Ο τύπος της περιμέτρου ορθογωνίου είναι $Π = 2 (x + y)$ . Λύσε ως προς $x$ και βρες το μήκος ορθογωνίου με $Π = 60 ε κ$ . και πλάτος 10 εκ.
2Δύσκολοgb-1.3-h3
Δίνεται ο τύπος $S = \frac{α}{1 - λ}$ . Να τον λύσεις ως προς λ.
3Μεσαίοgb-1.3-m4
Το εμβαδόν τραπεζίου με βάσεις β και Β και ύψος υ δίνεται από τον τύπο $E = (β + B) \cdot \frac{υ}{2}$ . Να λύσεις τον τύπο ως προς β.
4Μεσαίοgb-1.3-m3
Δίνεται ο τύπος $α x + β y + γ = 0$ . Να τον λύσεις ως προς $y$ , με β διάφορο του μηδενός.

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται «λύσε τον τύπο ως προς …» ή «εξέφρασε το … συναρτήσει των άλλων».

Βήματα

1Αντιμετώπισε τη ζητούμενη μεταβλητή σαν τον «άγνωστο $x$ ».
2Απομόνωσέ την: μετάφερε όρους (αλλαγή προσήμου), απάλειψε παρονομαστές.
3Διαίρεσε με τον συντελεστή της.

Παράδειγμα

F = 1, 8 \cdot C + 32

⇔

1, 8 \cdot C = F - 32

⇔

C = \frac{F - 32}{1}, 8

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 8 ασκήσεις προς λύση

1
Να λύσεις τον τύπο $E = β \cdot \frac{υ}{2}$ ως προς υ.
2
Να λύσεις τον τύπο $P = 2 (α + β)$ ως προς β.
3
Να λύσεις τον τύπο $S = υ \cdot t$ ως προς υ.
4
Από τον τύπο $F = 1, 8 \cdot C + 32$ , βρες το $C$ όταν $F = 68$ .
5
Να λύσεις τον τύπο του τόκου $Π = K \cdot E \cdot \frac{χ}{100}$ ως προς Ε.
6
Από τον τύπο του εμβαδού κύκλου $E = π \cdot ρ^{2}$ , να λύσεις ως προς $ρ^{2}$ .
7
Να υπολογίσεις το εμβαδόν τριγώνου $E = β \cdot \frac{υ}{2}$ με βάση $β = 12$ και ύψος $υ = 7$ .
8
Να λύσεις τον τύπο $y = α \cdot x + β$ ως προς $x$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Ο τύπος μετατροπής βαθμών Κελσίου σε Φαρενάιτ είναι

F = 1, 8 \cdot C + 32

. Σε ποια θερμοκρασία δείχνει το θερμόμετρο την ίδια τιμή σε Κελσίου και σε Φαρενάιτ;

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Η περίμετρος ορθογωνίου είναι

P = 2 (α + β)

. Αν

P = 30 cm

και το μήκος α είναι κατά 5 cm μεγαλύτερο από το πλάτος β, να βρεις τις διαστάσεις.

Από τον τύπο του όγκου κυλίνδρου

V = π \cdot ρ^{2} \cdot h

, να λύσεις ως προς

h

και να βρεις το

h

όταν

V = 100 π

και

ρ = 5

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται ο τύπος της ταχύτητας

υ = \frac{S}{t}

, όπου

S

το διάστημα και

t

ο χρόνος.

α) Να λύσεις τον τύπο ως προς

S

β) Να λύσεις τον τύπο ως προς

t

γ) Ένα αυτοκίνητο τρέχει με

υ = 90 km / h

. Πόση ώρα χρειάζεται για

S = 270 km

;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.3 — Επίλυση τύπων

Ύλη: §1.3Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος, δικαιολογώντας σύντομα.

α) Από τον τύπο

E = β \cdot \frac{υ}{2}

, λύνοντας ως προς β βρίσκουμε

β = \frac{2E}{υ}

β) Από τον τύπο

y = α \cdot x + β

, λύνοντας ως προς

x

βρίσκουμε

x = y - β - α

γ) Στον τύπο

F = 1, 8 \cdot C + 32

, για

C = 0

προκύπτει

F = 32

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται ο τύπος του εμβαδού τραπεζίου

E = (B + β) \cdot \frac{υ}{2}

α) Να λύσεις τον τύπο ως προς υ.

β) Να βρεις το Ε όταν

B = 8, β = 4

και

υ = 5

ΘΕΜΑ Γ

Ένας εργαζόμενος παίρνει αύξηση που δίνεται από τον τύπο

y = 0, 03 \cdot x

, όπου

x

ο παλιός μισθός.

α) Πόση αύξηση παίρνει αν ο μισθός του είναι

x = 1.500

€;

β) Αν η αύξηση ήταν 21 €, ποιος ήταν ο μισθός;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Εξισώσεις 1ου βαθμού

← Προηγούμενο

1.2 Εξισώσεις α΄ βαθμού

Επόμενο →

1.4 Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων